3.3 轴对称与坐标变化课堂小练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

3.3 轴对称与坐标变化 课堂小练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．点与点B关于x 轴对称，则点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 4．如果将三个顶点的横坐标都乘以，纵坐标不变，则画出坐标变化后的三角形与原三角形的关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位 D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位 5．在平面直角坐标系中有五个点，变换其中一个点的坐标，使五个点组成一个轴对称图形．现有两种方法： ①把点B坐标变换成；②把点C坐标变换成．下面判断正确的是（） A．①②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 6．小红利用蜡烛做平面镜成像的实验．如图，若以桌面为轴，镜面竖直方向为轴（镜面厚度忽略不计）建立直角坐标系．某时刻火焰顶部的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知点和点关于轴对称，则___________． 9．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点在点的右边，点到轴的距离为，则点的坐标为______． 10．如图是一幅老北京城示意图，其中西直门和东直门关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为轴和轴建立平面直角坐标系，若东直门坐标为，则西直门坐标为_______． 11．下面是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②关于轴对称的点的坐标为_______． 12．如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当在上移动时，则四边形周长最小值为_____． 三、解答题 13．在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中，的顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)请在网格中画出两条坐标轴，并标出坐标原点； (2)点的坐标为：__________． (3)作出关于轴对称的图形 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 15．定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)理解：点，，的“最佳间距”是______； (2)探究：已知点，， ． ①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由； 16．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”． 例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”． 若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为． 如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为． 实验与探究： （1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′　 　、C′　 　； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 　 　；（不必证明） 拓展与应用： （3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A B B A D B 1．【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 2．【答案】A 【知识点】坐标系中的对称 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 3．【答案】B 【知识点】坐标系中的对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ， 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于轴对称． 【详解】解：横坐标乘以， 变化前后横坐标互为相反数， 又纵坐标不变， 所得三角形与原三角形关于轴对称． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 5．【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、坐标系中的对称 【分析】本题考查了坐标与图形的轴对称，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形轴对称的性质，画出图形并进行判断即可． 【详解】解：如图，两种方法：①把点B坐标变换成；②把点C坐标变换成．形成的图形都是轴对称图形，    故选：A 6．【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【详解】解：根据题意，结合轴对称的特点得到对应的虚像的坐标是 ． 7．【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查三角形轴对称找规律．熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称性质，归纳点坐标性质规律，是解题的关键． 是等腰直角三角形，顶点为，根据等腰直角三角形的性质和轴对称性质，可得点A经过n次轴对称的点横坐标规律，纵坐标为2.5． 【详解】解：∵中，，，顶点为， 将关于y轴轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； …， 按此规律继续变换下去， 再将关于直线轴对称变换得到， ∴（n偶数）或（n奇数）． ∴当时，点的坐标为． 故选：B. 8．【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标系中的对称 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 9．【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，点与点在同一条平行于轴的直线上，则，根据点到轴的距离为，则，再根据点在点的右边，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴， ∵点到轴的距离为， ∴， ∴， ∵点在点的右边， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点的对称，根据题意，数形结合，掌握平面直角坐标系中点关于轴对称的性质是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，西直门和东直门关于轴对称，若东直门坐标为，则西直门坐标为， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，关于x轴对称的点的坐标，正确建立直角坐标系成为解题的关键．先根据黑棋①和白棋③的坐标建立坐标系，得到黑棋②的位置的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：根据题意可建立如下所示的平面直角坐标系： ∴黑棋②的坐标是， ∴黑棋②关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12．【答案】/ 【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标系中的对称 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、坐标与图形变化等知识，勾股定理，能够求出E点坐标，并得出周长最短时P点即EC与OA的交点是解决此题的关键． 根据已知条件得到，，求得，，得到作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时，四边形周长最小，，运用勾股定理求出，代入四边形周长进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴ 作D关于直线的对称点E，连接交于P， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴点在轴上， 则，此时四边形周长最小， ∴， ∵四边形周长， ∴四边形周长 ， 故答案为：． 13．【答案】(1) 如图为所求坐标系： (2) (3) 如图：即为所求； 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查作图能力—确定直角坐标系，作轴对称图形，正确掌握直角坐标系中点的坐标特点、轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点的坐标确定坐标轴和坐标原点即可； （2）根据平面直角坐标系确定点C的坐标即可； （3）根据轴对称的性质确定点、、，顺次连线即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：点C的坐标为； （3）略 14．【答案】(1) (2)①;②;③ (3)或或 (4)①；②或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点问题，涉及线段长度的计算、三角形面积公式以及点到直线距离的相关知识．对于每个小问，根据动点的不同位置，利用相应的几何关系和公式进行求解．关键在于根据动点的运动路径和时间，准确确定线段长度的表达式，并结合面积条件列出方程或不等式求解． （1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）①当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可；②当点在线段上时，点P在上的运动时间为，，由即可求解；③当点在线段上时，根据点点P在上的运动时间即可求解； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， 故答案为：； （2）①当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； 故答案为：． ②当点在线段上时， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； 故答案为：． ③当点P在线段上时， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， （）； 故答案为：． （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 15．【答案】(1)3 (2)①；②4 【知识点】坐标系中描点、已知两点坐标求两点距离、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）①分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，由于“最佳间距”为2，故，即可求解的值； ②由①可得，“最佳间距”为或的长度，当时，“最佳间距”为，当时，“最佳间距”为，比较两个“最大间距”，即可解决． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，，， ∵， ∴点，，的“最佳间距”是3； （2）解：①∵点，，， ∴轴，，，， ∵点O，A，B的“最佳间距”是2， ∴， ∴； ②当时，点，，的“最佳间距”是， 当或时，， 点，，的“最佳间距”是， ∴点，，的“最佳间距”的最大值为4． 16．【答案】（1）（3，5）、（5，﹣2）；（2）（b，a）；（3）图见解析， 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）求得线段AA′的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点； （2）结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论； （3）求得E点关于直线l的镜面点E′，连接DE′，交直线l于点Q，Q点即为所求． 【详解】解：（1）设镜面直线的解析式为y＝kx， ∵A（0，2），A′（2，0）， ∴线段AA′的中点为（1，1）， ∵镜面直线经过原点和（1，1）， ∴镜面直线为y＝x， ∵B（5，3）、C（﹣2，5）， ∴B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′（3，5）、C′（5，﹣2）， 故答案为：B′（3，5）、C′（5，﹣2）； （2）结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）； 故答案为：（b，a）； 拓展与应用： （3）∵E（﹣1，﹣4），平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）； ∴E点关于直线l的镜面点E'的坐标为（﹣4，﹣1）， ∵D（1，﹣3）， ∴DE′＝＝， ∴点Q到D、E两点的距离之和的最小值为：． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理的应用，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $