专项练习：二次函数经典题型2026-2027学年人教版九年级数学上学期

2026-2027学年人教版九年级上学期专项练习：二次函数经典压轴题型 1. 下图是嘉淇正在设计的一动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形 ．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． (1)求点的横坐标； (2)求点的坐标及的解析式； (3)在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 2. 如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移 动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 3. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪” 时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 5. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是 该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 7. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 8. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 9. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10. 如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 11. 已知二次函数（的实数） (1)二次函数图象的对称轴是______． (2)当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． (3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 12. 在平面直角坐标系中，已知函数（a为常数）． （1）若， ①当时，y的取值范围是______； ②若时，，则b的取值范围是______； （2）当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值． （3）设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为，原函数图象未翻折部分记为，与组成的图象记为G，当G在直线与直线之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围． 13. 在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第 一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 14. 如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 15. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 16. 定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这 两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 17. 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一 个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一 象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 19. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版九年级上学期专项练习：二次函数经典压轴题型答案 1. 下图是嘉淇正在设计的一动画示意图，在轴上依次有三个点，在的上方有一个矩形 ．从点处向右上方沿抛物线发出一个光点，光点落在的中点处后立即弹起，其运动轨迹为抛物线，且与的最大高度相同． (1)求点的横坐标； (2)求点的坐标及的解析式； (3)在轴上设置一个正方形，点从左往右依次在轴上，，点的坐标为，使光点落在边（不含边界）上，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查抛物线的点坐标求解、解析式确定及函数与几何图形的结合，涉及知识点：抛物线的函数值计算、顶点式解析式、正方形的坐标范围．解题关键是准确利用函数与坐标的对应关系，易错点是坐标计算或范围边界的处理．解题思路：（1）令中求H；（2）由矩形得的坐标，结合顶点式求；（3）根据正方形边长确定、的坐标，代入求的范围． （1）通过抛物线的函数值求点； （2）结合矩形性质得点坐标，利用顶点式和最高点相同求解析式； （3）根据正方形边长确定、的坐标范围，代入抛物线求的取值． 【详解】（1）令，解得，， 由图象分析可知，点的横坐标为； （2）∵，点为中点， ∴点横坐标为， 将代入中，得， 点的坐标为； 的最大高度为2， 与的最大高度相同， ，将代入的解析式， 解得（舍），， 的解析式为； （3）点的坐标为，点N的坐标为()， 令， 解得（舍）． 光点落在边（不含边界）上， ，， m的取值范围是． 2. 如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移 动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 3. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪” 时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为-6或0 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法、根与系数关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据根与系数关系和两点之间的距离公式得到，根据得到，解不等式即可得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得 所以抛物线的表达式为：； （2）解：设M，N两点坐标分别为 因为抛物线向上平移个单位长度后为， 所以关于的方程的两个实数根为 所以 所以 因为， 所以， 解得； （3）解：抛物线开口向下，对称轴为， ①即时，随的增大而增大 时时 所以， 解得：； ②且，即时， 当时，当时， 所以， 解得：（舍） ③且，即时， 当时时， 所以4－， 解得：（舍） ④时，随的增大而减小 时时 所以， 解得：； 综上所述，的值为或0． 5. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是 该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线；② (2)或． 【分析】（1）①将代入解析式后，直接用对称轴公式或配方法即可求解对称轴．②因为抛物线关于对称轴对称，所以如果两点横坐标之和确定，可计算两点到对称轴的距离，再结合抛物线开口方向，对称性和增减性就能比较两点纵坐标的大小． （2）先计算的长度，再根据三角形面积公式得到与的关系，因为，所以先求出该区间内的最大值，结合的条件，即可建立关于的不等式求解． 【详解】（1）解：① 当时，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线． ② 由，可得， 即连接两点的线段的中点横坐标为2.5，在对称轴的右侧． ∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且， ∴， 设点的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：令， 因式分解得， ∵， ∴解得， ∴． ∴三角形面积， ∵对任意都有， 即当时，抛物线上所有点M的纵坐标满足． ∵抛物线的对称轴同样为直线， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，S有最大值， 若，， 解得， 结合，得； 若，， 得， 解得， 结合， 得． 综上，或． 7. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． (1)如图1，当抛物线经过点时，求抛物线的解析式； (2)如图2，若点为（1）中抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点．当是等腰三角形时，求点的坐标； (3)若抛物线上存在两点和，对于，，都有请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)的取值范围为或 【分析】（1）把代入，求出的值即可得出结论； （2）求出直线的解析式为，设点，则，分别求得，根据等腰三角形的定义分，，列式，求出的值即可解答； （3）由题可知，抛物线的对称轴为，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ， 若是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去），，（不合题意，舍去）； ②当时，， 解得（舍去）或，或， 此时，点的坐标为或； ③当时，， 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 此时 ，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或； （3）解：由题可知，抛物线的对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴此时； 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴； 当时， 抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∵，，则，， ∴ 故此情况不符合题意， 综上所述，的取值范围为或． 8. 在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，再结合得出点，关于直线对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若，则；若，则；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 9. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 10. 如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点； (2)①或或；②存在，． 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 11. 已知二次函数（的实数） (1)二次函数图象的对称轴是______． (2)当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． (3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式代入可得； （2）①根据平移可得，，关于对称轴对称，可得，求出的值，再代入当时的二次函数的解析式求出的值即可； ②根据点到轴的距离小于等于，确定的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线为且开口向上，当时随值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可； 【详解】（1）解：∵二次函数（的实数）， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）①当时，二次函数为， ∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于， ∴抛物线的图象开口向上，， ∴顶点处有最小值：当时，， 顶点处有最大值：当时，， 当时，， ∴的取值范围是； （3）当，时，需满足，则， ∵点，是二次函数图象上的两点， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值是， ∴， ∴，即， ∴或， ∴解得， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， ∴综上所述，的取值范围为． 12. 在平面直角坐标系中，已知函数（a为常数）． （1）若， ①当时，y的取值范围是______； ②若时，，则b的取值范围是______； （2）当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值． （3）设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为，原函数图象未翻折部分记为，与组成的图象记为G，当G在直线与直线之间所夹的图象y随x增大而减小时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①；②；（2）a的值为0或或2；（3）或或 【分析】（1）①根据题意可得根据自变量的范围求解即可； ②根据，时，，此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即，再根据在时，y随x增大而增大，当x＜1时，y随x增大而减小，得到当时，，再利用二次函数的对称性求解即可； （2）分，和三种情况求解即可； （3）画出对应的函数图像，分当时和当时，利用数形结合的思想求解即可. 【详解】解：（1）①由题意得，， ∵，当x=1时，y有最小值为1， ∴， ②∵，时，， ∴此时抛物线的顶点横坐标在自变量的取值范围内，即， 又∵在时，y随x增大而增大，当x＜1时，y随x增大而减小， ∴当时，， 又∵时，， ∴由对称性可知时，， ∴ ∴； （2） 当时，最低点，最高点， ， ∴，． 当时，最低点是顶点，最高点， ， ∴（舍），（舍）． 当时，最低点是顶点，最高点， ，∴，（舍）． 当时，不合题意． 综上，a的值为0或或2． （3）当时，如图所示， 由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：或， 当时，解得 ∴不成立； 当时，解得 ∴不成立； 时，解得 ∴此时； 时，解得， ∴此时； 所以或 当时，由图像可知此时满足y随x增大而减小的自变量取值范围为：或， 同理可以求得 或； ∴综上所述，或或. 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的对称性，二次函数的增减性等等，解题的关键在于能够采用数形结合的思想进行求解. 13. 在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第 一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①（）②的取值范围为 【分析】（1）过点作于点，根据是等腰直角三角形，得到，得到点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标． （2）①先根据平移规律表示出平移后正方形各顶点的坐标，求出直线的解析式，结合重叠部分为五边形的图形特征，通过“正方形面积减去空白等腰直角三角形面积”的方法表示出重叠面积，并根据交点的位置范围确定的取值范围； ②根据平移过程中重叠部分的形状变化进行分段讨论，结合各段对应函数的增减性，分别求出给定区间内的最大值与最小值，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是, 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是； 故答案为：；； （2）解：正方形沿轴向右平移个单位后，顶点坐标为： ，，，， 直线：过、，解析式为； 直线：过、，斜率为，解析式为 ①是竖直线，与交于； 是水平线，与交于， 重叠部分为五边形时，在边上，在边上， 解得， 此时重叠面积正方形面积左上角的面积， 是等腰直角三角形，直角边长， ， 正方形面积为，因此： ； ②分三段分析函数单调性与最值： 当时，，开口向下，对称轴为，随增大而增大， 时，；时，； 当时，正方形右上角被切去等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 当时，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 的取值范围为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形在坐标系中的位置与平移，等腰直角三角形的性质、正方形的性质，分情况讨论确定重叠部分的面积． 14. 如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 15. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 16. 定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这 两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 17. 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一 个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），当时，PN有最大值，最大值为．    （3）满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，． 【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可； （2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解； （3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可． 【详解】解：（1）将，代入，得，解之，得． 所以，抛物线的表达式为．   （2）由，得． 将点、代入，得，解之，得． 所以，直线BC的表达式为：． 由，得，． ∴ ∵，∴． ∴． ∴． ． ∵ ∴当时，PN有最大值，最大值为．      （3）存在，理由如下：由点，，知． ①当时，过Q作轴于点E，易得， 由，得，（舍） 此时，点；     ②当时，则． 在中，由勾股定理，得． 解之，得或（舍） 此时，点；    ③当时， 由，得（舍）． 综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，． 18. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一 象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 19. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：变化量分别为，；；；； 任务2：； 任务3：（1）， （2）； 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：略 学科网（北京）股份有限公司 $