26.4 实际问题与二次函数 题型分类练习卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 题型分类练习卷

四类题型通用方法：

1.设变化量，不设结果。涨价额、降价额、边长、时间、横坐标——用变化量做自变量，题目条件最

好翻译。

2.先定范围，再求最值。把自变量的取值范围写在函数式旁边，本卷至少 6 道题的答案由范围决定。

3.开口向下才有最大值。顶点横坐标用 x = −b/(2a)，纵坐标用配方代入算，别硬套公式出错。

4.答案回到题目所问的量，并做实际意义检验：长度为正、售价不超上限、库存在减少、车辆确实已

停下、宽度不超过跨度。

最大利润问题（1-8小题）

一、核心知识：

利润 =（售价 − 进价）× 销售量

关键是把「售价」和「销售量」用同一个自变量表示：

①设涨价（降价）x 元时：售价 = 原售价 ± x，销售量 = 原销量 减（加）每元变化量 × x。

②直接设售价为 x 时：销售量通常由题目给出的一次函数 y = kx + b 表示（如第2题 y = −2x + 60）。

二、解答步骤：

第一步，优先设「涨价（降价）x 元」而不是直接设售价。因为「每涨1元少卖10件」这类条件可以直

译，不用来回换算。

第二步，写两个量：单件利润 =（原售价 ± x）− 进价；销售量 = 原销量 减（加）k·x。

第三步，相乘并配方：w =（单件利润）×（销售量）= a(x − h)² + k，其中 a < 0。

第四步，由「售价不低于进价、不高于某价」「销售任务不少于某件」等条件列出 x 的范围，再对照顶点

横坐标 h。

三、习题演练：

1．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（　　）元/千克．

A．42 B．40 C．38 D．35

2．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　）

A．200元 B．180元 C．170元 D．160元

3．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：

①当售价为57元时，每星期可卖360件；

②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元；

③每星期的最大利润为6125元．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

4．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为　       　 元．

5．已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价t元时，利润最大，则t的取值范围是　       　 ．

6．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低x元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元．

（1）求出y关于x的函数解析式；

（2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？

（3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？

 

 

 

7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元（x＞40），销售该品牌玩具获得的利润为w元．

（1）求出w与x之间的函数关系式；

（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

 

8．某地为推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售率．其中，一批成本为30元/千克的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元/千克销售．经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为w元．

（1）请分别求出y关于x，w关于x的函数表达式．

（2）销售单价定为多少时，每天的销售利润为800元？

（3）销售该农产品每天获得的利润能否达到1300元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由．

 

 

最大面积问题（9-16小题）

一、核心知识：

设垂直于墙的一边为 x：

无隔断（一面靠墙）：平行于墙的边 = 总长 − 2x，面积 S = x(总长 − 2x)。

有 n 道隔断：总长里多了 n 条垂直于墙的边，平行边 = 总长 − (n + 1)x。第10题一道隔断，变成 3x；

第16题中间隔开，也是 3x。

有门（门处不用材料）：按上式算出的平行边要再加上门的宽度之和。第16题两扇宽1米的小门，BC = 46

− 3x + 2 = 48 − 3x。

窗框类（第13题）：材料按「四条框边 + 中间横档」算，不能只算周长。

二、解答步骤：

第一步，设垂直于墙的边为 x（后面配方更顺）。

第二步，用材料总长写出平行于墙的那条边。

第三步，面积 S = x × 平行边，整理并配方。

第四步，列不等式定范围：一是平行于墙的边不能超过墙长，二是各边长必须为正（有门时还要考虑门

的实际要求）。这是本类题的命门。