二次函数的应用：营销问题、拱桥问题、投球问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

二次函数的应用：营销问题、拱桥问题、投球问题专项训练 二次函数的应用：营销问题、拱桥问题、投球问题专项训练 考点目录 二次函数的应用：营销问题 二次函数的应用：拱桥问题 二次函数的应用：投球问题 考点一 二次函数的应用：营销问题 例1．（2026·广西来宾·二模）随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． (1)当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； (2)已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为元，则单件利润为元，分段求解关于的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设日销售数量关于销售单价的函数关系式为 代入点， 则 解得 ∴日销售数量关于销售单价的函数关系式为； （2）解：设日销售利润为元，则单件利润为元， ①当时， ∴ ∵ ∴随着的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当时， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时， 而 ∴农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元． 例2．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展综合与实践活动． 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜．2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品． 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴． 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克． 建立模型： (1)设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克（且为正整数），每日销售额为y元． ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为______千克（用含x的代数式表示）； ②求y关于x的函数表达式； 解决问题： (2)若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克．求此时y的最大值和最小值； (3)政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元（a为正整数），要使农民专业合作社日收入（日收入＝日销售额＋政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个要求，请直接写出a的最小值． 【答案】(1)① ，② (2)y的最大值是2420元，y的最小值是 (3)160 【分析】（1）根据题意列出销售额的代数式，再“销售额售价数量”列出等式求解； （2）由（1）得到销售额的二次函数式，转化为二次函数的顶点式，在顶点处取得最大值，再根据二次函数的增减性找到取值范围内的最小值； （3）利用二次函数的对称性，将5种不同的价格找出来，将这5种价格中的最小值求出来，从而解决问题． 【详解】（1）解：①售价为元，则售价提高了元， 则销量为（千克）； ②由题意列式：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴当时，取得最大值，， ∵， 当时，取得最小值，， ∴y的最大值是2420元，y的最小值是； （3）解：由题意可列式：， ∴ ∵最多有5种不同的单价可以达到这个要求， 由于二次函数的对称轴是， 则的值可以是， 根据二次函数的对称性可知，当价格为这5个价格时， 当时，最小，， ∴，解得， ∴的最小值是160． 例3．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择．近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力． 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为； 素材二 七彩紫洋芋单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． 请完成下列任务： (1)任务一：当时，求y与x之间的函数关系式； (2)任务二：该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周（即），到第几天时，售卖日销售额最高？最高日销售额为多少元？ 【答案】(1)当时， (2)到第7天时，售卖日销售额最高，最高日销售额为644元 【分析】（1）根据函数图象和x的取值范围，用待定系数法，即可求解； （2）设日销售额为W元，分别求出当和时，W关于x的解析式，根据函数的性质求出最大值，比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，； 当时，设函数解析式为， 过点和， ，解得， ， 综上所述：当时，； （2）解：设日销售额为W元， 当时，，，， ，W随x的增大而增大， 当时，W取最大值，为（元）； 当时，，， ， ，开口向下，对称轴为直线，即时，W随x的增大而增大， 当时，W取最大值，为（元）， ， 到第7天时，售卖日销售额最高，最高日销售额为644元． 变式1．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润=单个利润×总数量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （2）解：∵鲜花礼品每天的销售数量不低于100束， ∴， ∴， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最大值为， 即销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元． 变式2．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）某企业生产一种日用品，根据客户订单的需求量进行生产安排（生产量等于销售量）．经测算，该日用品每年的销售量y（万件）与售价 x（元/件）之间满足函数关系式 ．已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为 50 万元，制造成本为 12元/件，（利润＝销售额-生产成本）． (1)求该日用品第一年的利润w（万元）与售价 x 之间的函数关系式； (2)若该日用品第二年的制造成本相比第一年下降 2 元/件，直接成本是将第一年的利润 14万元全部投入． ①求该产品第一年的售价； ②当第二年的售价不高于第一年且产品的销售量不超过 13 万件时，第二年的利润最少是多少万元？ 【答案】(1) (2)①元；②万元 【分析】本题考查列代数式，用一元一次不等式和一元二次方程解决实际问题，二次函数的性质； （1）根据题意列代数式即可； （2）①根据第二年直接成本即为第一年利润万元列方程求解即可； ②列出方程，用一元一次不等式确定x的范围，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：销售额：； 生产成本：； 利润： （2）解：①第二年直接成本=第一年利润万元，故第一年利润： 即 解得：． ②第二年制造成本元/件， 利润； 自变量范围：售价， 销售量， 解得： 即； 对称轴，开口向下， 在上，时利润最小： 变式3．（2026·辽宁丹东·中考真题）根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1：经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1：分析数量关系 根据素材1中的信息，请求出“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2：分析变量关系 根据素材2中的信息，设该系列手办的售价为a元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于a（元/件）的函数关系式． 任务3：探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，为使月销售利润w达到最大值，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 【答案】任务1： 任务2： 任务3：65元/件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数、一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． 任务1：设“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为，利用4月份的销售量月份的销售量，解方程取符合题意的解即可得出结论； 任务：利用月销售量（该系列手办的售价，可找出关于的函数关系式； 任务：利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的二次函数，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设从2月份到4月份销售量的月增长率为， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为； 任务2：根据题意得， 由得，，解得， ∵， ∴， ∴； 任务三：由题意得，， ∵ ∴当时，w取得最大值 答：该文创公司应将手办的实际售价定为65元/件． 考点二 二次函数的应用：拱桥问题 例1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 例2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． (1)求中间大拱抛物线的解析式； (2)双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点离水平地面的高为4米，求铁丝的长（两边接头忽略不计）； (3)如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为．请直接写出的长． 【答案】(1)中间大拱抛物线的解析式为 (2)铁丝的长为米 (3)的长为24米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出二次函数解析式是关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，由题意得点F的坐标为，代入抛物线解析式求得a的值，即可求得解析式； （2）求出当中间大拱抛物线的解析式的值为4时对应的自变量值，即可求得的长； （3）求出大拱在函数值为12时的两点坐标，可得一个小拱的底部宽，即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵米， ∴点F的坐标为， 此点代入抛物线解析式中得：， 解得：， ∴中间大拱抛物线的解析式为； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴（米）， 即铁丝的长为米； （3）解：在大拱上找对称的两点G、H，且其纵坐标为12， ， 解得：， ∴， ∴， ∵大拱顶点到的距离为4，且大拱、小拱的形状相同， ∴每个小拱底部宽为3米， ∴（米）； 答：的长为24米． 例3．（25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 变式1．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)右边：或左边： (2)米 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键． （）①右边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；②左边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式； （）先根据拱桥侧面抛物线的特征设解析式，将已知点代入求出，得到的解析式；再根据列出关于的函数表达式，求出该函数的最小值，即彩带长度的最小值． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 设灯带长度为，则， ∵， ∴当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是米． 变式2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图是一座抛物线型拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高．以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式． (2)现在需要对拱桥进行夜景改造，在桥洞的拱形上安装盏彩灯，为了美观需要盏彩灯相邻两盏之间距离相等，其中，，三点分别安装一盏．另外两盏分别安装在哪个位置？小聪给出了一种安装思路：将四等分，然后把两盏灯分别安装在距离点和的等分点的正上方． ① 请计算说明小聪的方案是错误的． ②请你求出正确的安装位置坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为： (2)正确的安装位置坐标为和 【分析】（1）建立平面直角坐标系， 利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出当和时，对应的值，再比较各点离水面高度的距离进行判断； ②设正确的安装位置横坐标为，则两盏灯的坐标为和，根据两点坐标距离公式列方程计算即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 顶点为，且过点，． 设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （2）解：①把两盏灯分别安装在距离点和的等分点的正上方，即安装在和处， 当时，； 当时，； 此时这两点离水面高度为，点离水面高度为，、两点离水面高度为， 小聪的方案仅保证了水平距离相等，但垂直距离不同，说明小聪的方案不能保证“相邻两盏间距离相等”（距离为直线距离，而非仅水平距离），故小聪的方案是错误的． ②根据抛物线的对称性，设正确的安装位置横坐标为，则两盏灯的坐标为和． 由得， 整理，得， 解得（负值已舍去），则， 则，， 正确的安装位置坐标为和． 变式3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)最多可摆放6个拉杆箱 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． 【详解】（1）解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； （2）解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． 考点三 二次函数的应用：投球问题 例1．（2026·广东潮州·一模）如图，小球击出后飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间具有函数关系，其中v₀表示小球飞出时的初速度，为小球初速度方向与水平向右方向的夹角．解答以下问题： (1)若 ，，小球需要多少时间飞行才能使飞行高度达到？ (2)若，且小球飞行后飞行高度最大，求小球飞出时的初速度是多少？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）把 ，，代入求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把 ，，代入， 得， 化简，得， 解得，， 答：小球需要飞行或才能使飞行高度达到； （2）解：∵，且小球飞行后飞行高度最大， ∴， 解得， 答：小球飞出时的初速度是． 例2．（2026·贵州黔东南·二模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似的看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点P时，点．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 【答案】(1) (2)①；②最低身高和最高身高的最大值为 (3)他至少可以站在第2位 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①由题意，从左向右数第5位同学所站位置；②将和代入即可求出对应的值； （3）求出10米场绳子所在抛物线解析式，即可推导出 ，进而得到的取值范围，继而根据10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知点，． 由题可知P为抛物线的顶点，故可设该抛物线对应的函数解析式为． 将点代入，得． 解得． ∴该抛物线对应的函数解析式为． （2）①由题意，从左向右数第5位同学所站位置为， ∴点M的坐标为； ②∵， ∴把代入，得， 则． ∵最低身高不高于， ∴8米场参赛选手最低身高的最大值为． 把代入，得， 则． ∵最高身高不高于， ∴8米场参赛选手最高身高的最大值为． （3）由题意，设10米场绳子所在抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴10米场绳子所在抛物线解析式为， 由题意，得， ∴绳子高度满足 ， 代入解析式得， 移项整理， 解得， 10米场14人对称站立，中点不站人，站位横坐标依次为： 满足条件且最靠左的位置为第2位． 例3．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境：从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，a为定值，是物体被发射时的速度．科学实验小组用某种发球器从水平地面竖直向上发射一个小球（记作甲），并借助无人机探究小球甲离地面的高度与该小球的运动时间之间的关系，得到如下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 6 高度 0 25 40 45 40 25 0 注：经科研人员检验，上述实验数据均满足 建立模型： (1)根据实验数据，求小球甲离地面的高度与它运动时间的关系式； 问题解决： (2)已知小球甲发射前，无人机悬停在的空中.在小球甲发射的同时，无人机以的速度沿竖直方向匀速下降． ①无人机下降过程中离地面的高度为 m（用含x的代数式表示）； ②当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，求x的值； (3)当时，地面上另一个发球器竖直向上发射小球乙.已知小球乙被发射时的速度与小球甲被发射时的速度相同，当小球甲与小球乙同时在空中，且离地面的高度差为时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2)①，②x的值为或4 (3)x的值为或 【分析】（1）依据题意，结合表格数据，利用待定系数法计算即可得解； （2）①依据题意，由初始高度，匀速下降速度，则无人机下降过程中离地面的高度为：，从而得解； ②依据题意，得，从而得解； （3）依据题意，由甲速度，小球乙在时发射，可得乙运动的时间为，分别求得甲、乙的解析式，结合高度差，从而列出方程计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，将，和，分别代入关系式， 得， ∴， ∴y与x的关系式为． （2）解：①由题意，初始高度为，匀速下降速度为， ∴无人机下降过程中离地面的高度为：； ②由题意得，， 解得：，， ∴当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，x的值为或4． （3）解：由题意得，甲速度，小球乙在时发射， 则乙运动时间：， ∴，， ∴， ∵小球甲与小球乙同时在空中，离地面的高度差为， ∴， 解得：，． 变式1．（2026·江苏徐州·一模）在学校的物理实验课上，老师为了让同学们直观理解物体的竖直上抛运动，决定在学校空旷的操场上开展一项特别的实验：在地面放置了一个弹射器（高度不计），用这个弹射器竖直向上弹射一个小球（忽略空气阻力），并详细记录小球距离水平地面的高度与运动时间的数据如下表： t/（s） 0 1 2 3 4 5 6 h/（m） 0 25 40 45 40 25 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识判断h是关于t的哪种函数并求出函数表达式； (2)已知小球有2个时刻距离水平地面的高度为，求小球两次运动到此高度的时间差； (3)3个小球为一组循环，进行弹射实验：其中1个小球准备弹射，1个小球已经在空中，另1个小球刚落在地上，要完成这组循环实验，需每隔相同的时间弹射一个小球，则需要间隔的时长为多少s？ 【答案】(1)二次函数， (2) (3) 【分析】（1）由表格数据的对称性，判断是关于的二次函数；设顶点式，代入点求出，得表达式． （2）将代入函数表达式，解一元二次方程，得到两个时间解，计算时间差． （3）先由表格得出单个小球的运动总时长为；结合“3个小球为一组循环”的实验要求，根据运动周期和小球状态，计算出弹射间隔时长． 【详解】（1）解：观察表格数据，随的变化呈现先上升后下降的趋势，且对应点不满足一次函数和反比例函数的特征，再由表格数据的对称性，即可判断h是关于t的二次函数， 由表可知，当和时，h值相同， 对称轴为直线， 设二次函数的表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：令， 即， 解得，， ， 答：小球两次运动到距离水平地面的高度为的时间差为； （3）解：由（1）知，小球在空中总时间为6秒，当时，小球到达最高处， 根据对称性可知，当准备弹射1个小球，空中有1个小球，刚好落在地上1个小球，共2个时间间隔，则弹射小球需要间隔的时长为空中总时间的， 每弹射一个小球需要间隔的时长为． 变式2．（2026·山西临汾·二模）综合与实践 问题情境：踢足球是很多同学喜欢的一项运动．体育课上，一次精彩的任意球射门引发了同学们的数学思考，某数学兴趣小组借助仪器开展了一次数学实践活动． 实验数据：已知在水平地面上，足球从O点被踢出，O点到球门线A点的水平距离为13米．足球距地面的竖直高度y（米）与距原点O的水平距离x（米）之间满足二次函数关系（足球大小忽略不计），数据如下： x（米） 0 4 6 8 12 … y（米） 0 3 3.75 4 3 … (1)数学建模：根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象并求其函数表达式； (2)问题初探：守门员站在球门线A点处，其手掌能达到的最大高度为2.3米，若只从拦截高度考虑，他能否挡住这次射门？请说明理由； (3)问题拓展：在计算机软件模拟环节中，保持足球的运动轨迹形状不变，即抛物线的形状不变．小组成员提出若将球门横梁的高度降为1.44米，只沿x轴负方向移动踢球点的位置，设移动距离为m米，最终要使足球飞落进降低高度后的球门内（球落在横梁、球门线A点处均不算进球），请直接写出足球踢出点移动距离m的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)守门员挡不住这次射门，理由见解析 (3)足球踢出点移动距离m的取值范围为 【分析】（1）描点、连线即可作图；再设出顶点式，然后代入即可求解函数表达式； （2）由题意得，点的坐标为，将代入求解函数值与比较即可； （3）由题意得，平移后的函数表达式为，由题意得，当时，，再解不等式即可． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： 由题意得，抛物线的顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得，，解得， ∴函数表达式为； （2）解：守门员挡不住这次射门，理由如下： 由题意得，点的坐标为， 将代入得， ∴守门员挡不住这次射门； （3）解：由题意得，平移后的函数表达式为， 由题意得，当时， ， 利用二次函数图象与不等式的关系，解得 变式3．（25-26九年级下·河南洛阳·期中）某中学课外科技实践社团设计了一款航模飞行器，其飞行轨迹可抽象为抛物线的一段．通过在水平安全线上点发射飞行器的实验，测得飞行器相对于出发点的水平飞行距离（单位：）与飞行高度（单位：）的部分对应数据如表： 飞行水平距离 0 10 20 30 40 50 … 飞行高度 0 22 40 54 64 70 … 根据上面的信息，解决下列问题： (1)求飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式． (2)求飞行器飞行的最大高度． (3)①求飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离． ②社团在水平安全线上搭建了高度可调节的发射平台，当平台高度改变时，飞行器的飞行轨迹可看作原抛物线沿竖直方向平移得到．在水平安全线上设置回收区域，点到点的距离为，的长为．调整发射平台的高度，若飞行器能落在回收区域内（不包括端点，），请直接写出发射平台相对于安全线的高度的取值范围． 【答案】(1) (2)飞行器飞行的最大高度是72米 (3)①飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离是120米；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（抛物线的平移与一元二次方程的求解），解题的关键是根据平移规律写出新函数解析式，再结合落点范围列不等式求解． （1）设二次函数一般式，代入表格数据，用待定系数法求解析式； （2）将解析式配方为顶点式，直接读出顶点纵坐标即最大高度； （3）①令，解一元二次方程，取正根得到落回安全线的水平距离；②根据平移得到新函数，令取正根，结合落点在列不等式，求解的范围． 【详解】（1）解：设飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式为 将；；代入，得 解得 ∴函数解析式为 （2）解： ∵， ∴当时，． 答：飞行器飞行的最大高度为． （3）①令，则 解得 答：飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离为 ②发射平台高度为时，轨迹对应的函数为 令，得 整理得 由求根公式，取正根 由题意，得 解左侧不等式： 解右侧不等式： 综上，． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的应用：营销问题、拱桥问题、投球问题专项训练 二次函数的应用：营销问题、拱桥问题、投球问题专项训练 考点目录 二次函数的应用：营销问题 二次函数的应用：拱桥问题 二次函数的应用：投球问题 考点一 二次函数的应用：营销问题 例1．（2026·广西来宾·二模）随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． (1)当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； (2)已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 例2．（2026·山西临汾·三模）综合与实践 问题情境：为了解本土优质农产品晋祠大米的产销情况及政府对晋祠大米的相关保护措施，数学小组开展综合与实践活动． 收集信息： 信息①：晋祠大米，产自山西太原市晋祠镇，以晋祠难老泉水灌溉，米质晶莹、颗粒饱满，口感软糯香甜．2025年，晋祠大米成功获批国家地理标志保护产品． 信息②：政府提供财政补贴、税收优惠等政策支持，鼓励种植大户、专业合作社扩大种植面积，推动晋祠大米产业规模化、集约化发展，促进农民增收和乡村振兴． 信息③：某农民专业合作社直销晋祠大米，经市场调查发现，若售价为5元/千克，日销售量为340千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少20千克． 建立模型： (1)设该农民专业合作社直销晋祠大米的售价为x元/千克（且为正整数），每日销售额为y元． ①该合作社每天直销晋祠大米的数量为______千克（用含x的代数式表示）； ②求y关于x的函数表达式； 解决问题： (2)若销售过程中，有关部门规定晋祠大米销售价格不得超过15元/千克．求此时y的最大值和最小值； (3)政府为保护传统作物，销售过程中每日给农民专业合作社补贴a元（a为正整数），要使农民专业合作社日收入（日收入＝日销售额＋政府每日补贴额）不低于2500元，并且最多有5种不同的单价可以达到这个要求，请直接写出a的最小值． 例3．（2026·云南昆明·二模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南七彩紫洋芋，亮如紫玉、口感香糯，表皮黑紫、果肉带深紫花纹，耐储存且营养丰富，富含多种人体必需微量元素，是健康饮食的优质选择．近年来，云南多地因地制宜发展其种植产业，在乡村振兴路上焕发出强劲动力． 素材一 某社区种植户今年种植的七彩紫洋芋喜获丰收，采挖上市15天全部售罄，该社区种植户对销售情况进行统计后发现，在该七彩紫洋芋上市第x天时，日销售量P（单位：千克）与x之间的函数关系式为； 素材二 七彩紫洋芋单价y（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示． 请完成下列任务： (1)任务一：当时，求y与x之间的函数关系式； (2)任务二：该社区种植户售卖七彩紫洋芋的第一周（即），到第几天时，售卖日销售额最高？最高日销售额为多少元？ 变式1．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 变式2．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）某企业生产一种日用品，根据客户订单的需求量进行生产安排（生产量等于销售量）．经测算，该日用品每年的销售量y（万件）与售价 x（元/件）之间满足函数关系式 ．已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为 50 万元，制造成本为 12元/件，（利润＝销售额-生产成本）． (1)求该日用品第一年的利润w（万元）与售价 x 之间的函数关系式； (2)若该日用品第二年的制造成本相比第一年下降 2 元/件，直接成本是将第一年的利润 14万元全部投入． ①求该产品第一年的售价； ②当第二年的售价不高于第一年且产品的销售量不超过 13 万件时，第二年的利润最少是多少万元？ 变式3．（2026·辽宁丹东·中考真题）根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1：经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1：分析数量关系 根据素材1中的信息，请求出“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2：分析变量关系 根据素材2中的信息，设该系列手办的售价为a元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于a（元/件）的函数关系式． 任务3：探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，为使月销售利润w达到最大值，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 考点二 二次函数的应用：拱桥问题 例1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 例2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． (1)求中间大拱抛物线的解析式； (2)双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点离水平地面的高为4米，求铁丝的长（两边接头忽略不计）； (3)如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为．请直接写出的长． 例3．（25-26九年级上·陕西安康·期末）某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 变式1．（2026·陕西·一模）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 变式2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图是一座抛物线型拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高．以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式． (2)现在需要对拱桥进行夜景改造，在桥洞的拱形上安装盏彩灯，为了美观需要盏彩灯相邻两盏之间距离相等，其中，，三点分别安装一盏．另外两盏分别安装在哪个位置？小聪给出了一种安装思路：将四等分，然后把两盏灯分别安装在距离点和的等分点的正上方． ① 请计算说明小聪的方案是错误的． ②请你求出正确的安装位置坐标． 变式3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 考点三 二次函数的应用：投球问题 例1．（2026·广东潮州·一模）如图，小球击出后飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间具有函数关系，其中v₀表示小球飞出时的初速度，为小球初速度方向与水平向右方向的夹角．解答以下问题： (1)若 ，，小球需要多少时间飞行才能使飞行高度达到？ (2)若，且小球飞行后飞行高度最大，求小球飞出时的初速度是多少？ 例2．（2026·贵州黔东南·二模）在春日的暖风中，春季运动会在如火如荼地筹备着．某机器人小组设计了多台“摇大绳”机器人作为春季运动会团体项目． 赛场设置： ①如图是摇绳机器人在8米场和10米场摇绳时的示意图，，，分别是高度为的摇绳机器人，绳子摇到最高处时，绳子与摇绳机器人在同一竖直平面，绳子的形状可近似的看作抛物线的一部分，其中，8米场中绳子摇到最高点P时，点．摇绳机器人在8米场和10米场将绳子摇到最高点时，绳子的形状相同． ②为了安全，跳绳时学生正上方的绳子距离头顶至少，学生跳绳时比实际身高高． ③要求8米场参赛小组每10人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是． ④如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求8米场中绳子摇到最高点时，绳子所在抛物线对应的函数解析式． (2)①填空：记8米场从左向右数第5位同学所站位置为点M，则点M的坐标为______； ②结合上述信息，求参与8米场比赛的小组成员中，最低身高和最高身高的最大值（结合实际情况分析，结果保留两位小数）． (3)参加10米场比赛的小组，要求每14人一组，参与选手关于场地中点所在竖直直线对称站立，每两人之间的距离相等，都是．小李是10米场小组队员，若小李的身高为，则从左往右数，直接写出他至少可以站在第几位． 例3．（2026·山西阳泉·二模）综合与实践 问题情境：从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，a为定值，是物体被发射时的速度．科学实验小组用某种发球器从水平地面竖直向上发射一个小球（记作甲），并借助无人机探究小球甲离地面的高度与该小球的运动时间之间的关系，得到如下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 6 高度 0 25 40 45 40 25 0 注：经科研人员检验，上述实验数据均满足 建立模型： (1)根据实验数据，求小球甲离地面的高度与它运动时间的关系式； 问题解决： (2)已知小球甲发射前，无人机悬停在的空中.在小球甲发射的同时，无人机以的速度沿竖直方向匀速下降． ①无人机下降过程中离地面的高度为 m（用含x的代数式表示）； ②当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，求x的值； (3)当时，地面上另一个发球器竖直向上发射小球乙.已知小球乙被发射时的速度与小球甲被发射时的速度相同，当小球甲与小球乙同时在空中，且离地面的高度差为时，直接写出x的值． 变式1．（2026·江苏徐州·一模）在学校的物理实验课上，老师为了让同学们直观理解物体的竖直上抛运动，决定在学校空旷的操场上开展一项特别的实验：在地面放置了一个弹射器（高度不计），用这个弹射器竖直向上弹射一个小球（忽略空气阻力），并详细记录小球距离水平地面的高度与运动时间的数据如下表： t/（s） 0 1 2 3 4 5 6 h/（m） 0 25 40 45 40 25 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识判断h是关于t的哪种函数并求出函数表达式； (2)已知小球有2个时刻距离水平地面的高度为，求小球两次运动到此高度的时间差； (3)3个小球为一组循环，进行弹射实验：其中1个小球准备弹射，1个小球已经在空中，另1个小球刚落在地上，要完成这组循环实验，需每隔相同的时间弹射一个小球，则需要间隔的时长为多少s？ 变式2．（2026·山西临汾·二模）综合与实践 问题情境：踢足球是很多同学喜欢的一项运动．体育课上，一次精彩的任意球射门引发了同学们的数学思考，某数学兴趣小组借助仪器开展了一次数学实践活动． 实验数据：已知在水平地面上，足球从O点被踢出，O点到球门线A点的水平距离为13米．足球距地面的竖直高度y（米）与距原点O的水平距离x（米）之间满足二次函数关系（足球大小忽略不计），数据如下： x（米） 0 4 6 8 12 … y（米） 0 3 3.75 4 3 … (1)数学建模：根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象并求其函数表达式； (2)问题初探：守门员站在球门线A点处，其手掌能达到的最大高度为2.3米，若只从拦截高度考虑，他能否挡住这次射门？请说明理由； (3)问题拓展：在计算机软件模拟环节中，保持足球的运动轨迹形状不变，即抛物线的形状不变．小组成员提出若将球门横梁的高度降为1.44米，只沿x轴负方向移动踢球点的位置，设移动距离为m米，最终要使足球飞落进降低高度后的球门内（球落在横梁、球门线A点处均不算进球），请直接写出足球踢出点移动距离m的取值范围． 变式3．（25-26九年级下·河南洛阳·期中）某中学课外科技实践社团设计了一款航模飞行器，其飞行轨迹可抽象为抛物线的一段．通过在水平安全线上点发射飞行器的实验，测得飞行器相对于出发点的水平飞行距离（单位：）与飞行高度（单位：）的部分对应数据如表： 飞行水平距离 0 10 20 30 40 50 … 飞行高度 0 22 40 54 64 70 … 根据上面的信息，解决下列问题： (1)求飞行器飞行高度关于水平距离的函数解析式． (2)求飞行器飞行的最大高度． (3)①求飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离． ②社团在水平安全线上搭建了高度可调节的发射平台，当平台高度改变时，飞行器的飞行轨迹可看作原抛物线沿竖直方向平移得到．在水平安全线上设置回收区域，点到点的距离为，的长为．调整发射平台的高度，若飞行器能落在回收区域内（不包括端点，），请直接写出发射平台相对于安全线的高度的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $