精品解析：山东省东明县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义可得斜率. 【详解】∵直线的一个方向向量为， ∴直线的斜率为. 故选：B. 2. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为， 对于A，直线斜率为， 对于B，直线无斜率， 对于C，直线斜率， 对于D，直线斜率， 故选：C 3. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两条直线的斜率之积为 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 【答案】B 【解析】 【分析】通过直线与直线平行、垂直与斜率的关系，以及倾斜角的概念，对每个选项判断即可得到结果． 【详解】因为两条直线倾斜角为时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确； 平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确； 垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为；当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为时两直线也垂直，故C不正确； 斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确； 故选：B． 5. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线与直线平行，则，或， 验证均不重合，满足. 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 6. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 7. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，边上的高所在直线方程为，得到边所在直线的方程，再与边上的中线所在直线方程联立求得点C，设，由点B在AC的高线上和AB的中线上求解. 【详解】解：因为，边上的高所在直线方程为， 所以， 所以边所在直线的方程为，即. 又边上的中线所在直线方程为， 由，解得， 所以. 设，则线段的中点， 则 解得 即， 所以所在直线的方程为. 故选：D 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断． 【详解】由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误； 记点为， ， 当时弦长最短，最短弦长为，当直线过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确． 故选：ACD． 10. 已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解. 【详解】A：实数，满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆； 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； B：原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误． C：令，则直线与圆有公共点，所以，， 解得，所以的最大值为．故C正确； D：令，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值为．故D正确. 故选：AB. 11. 已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（ ） A. 若圆与圆相切，则 B. 若圆与圆相交，则 C. 若圆与圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1 D. 过圆的圆心作圆的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】当圆与圆相外切时，得到，求得的值，可判定A不正确；根据圆与圆相交，列出不等式，求得的范围，可判定B正确；结合圆的弦长公式，以及圆的性质，可判定C正确；由圆的切线的性质，求得割线方程，结合，求得直线过定点，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为，且， 对于A，当圆与圆相内切时，此时圆心距，此时两圆重合，舍去； 当圆与圆相外切时，可得圆心距，即， 将代入，可得，解得或，所以A不正确； 对于B，若圆与圆相交，则圆心距满足， 即，而， 可得，解得，所以B正确； 对于C，如图（1）所示，因为圆与圆的半径都是，则是的垂直平分线， 则圆心到的距离， 又因为圆心，圆心在直线， 可得圆心的距离为，即， 又由圆的弦长公式，可得， 即的最大值为，所以C正确； 对于D，如图（2）所示，过点作圆的切线方程， 设切点分别为， 可得直线和的方程为和， 因为和相交点，可得，所以割线的方程为， 又因为，可得， 联立方程组，解得， 即直线恒过定点，所以D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，为坐标原点，则外接圆的标准方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心与半径，即可写出△AOB的外接圆方程 【详解】由题知，故外接圆的圆心为的中点，半径为， 所以外接圆的标准方程为. 故答案为. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，考查直角三角形外接圆的特点，属于基础题． 13. 圆上的点到直线的距离的最小值是_______． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：圆的圆心为，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值是5-1=4 考点：直线和圆的位置关系 14. 在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆的切线的几何性质及四边形面积公式可得四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值，再由点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意，得圆的半径为4，， 所以， 四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值， 由题意可知，的最小值是圆心到直线的距离， 因为，所以的最小值为2，四边形面积的最小值为8. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为 （1）若与直线平行，求的值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值； （2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为与直线平行， 所以且， 解得：. 【小问2详解】 当时，：，不满足题意. 当时，与轴，轴的交点分别为， 因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得. 故的方程为或. 16. 已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线、的方程，求出点的坐标，根据两直线平行求出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）求出点、，可求出的值，以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由得，即点. 因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为， 故所求直线方程为，即. 【小问2详解】 直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为， 则，点到的距离， 所以，的面积. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）求圆心到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心在圆的弦的中垂线上和直线上，可得圆心的坐标；由圆心到圆上点的距离等于半径，可得圆的半径，代入圆的标准方程即可求得； （2）利用点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 由圆经过点和，可得线段的中点坐标为， 则圆心在直线上，又在直线上， 故可得圆心，则半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1），可得圆心到直线的距离为. 故圆心到直线的距离为. 18. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案； （2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨得，，则，与题意不符，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由弦长公式得圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为或. 【小问2详解】 当直线轴时，直线的方程为， 不妨得，，此时x轴平分. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，. 联立，得，， 所以，. 若x轴平分，则，即， 即，则，即， 解得. 综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立. 19. 已知圆，直线，. （1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点； （2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； （3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）圆的圆心为，半径为， 所以圆心C到直线的距离． 所以直线与圆C相交，即直线与圆总有两个不同的交点； 或：直线的方程可化为，无论m怎么变化，直线过定点，由于，所以点是圆C内一点，故直线与圆总有两个不同的交点． （2），它是一个以为圆心，以为半径的圆； （3）或. 【解析】 【分析】（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式： 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设中点为，因为直线恒过定点， 当直线的斜率存在时，，又，， 所以，化简得． 当直线的斜率不存在时，中点也满足上述方程． 所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆． 【小问3详解】 假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线的距离为 化简得，解得或． 【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解．求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题设条件借助图形的直观，运用圆心与直线的距离之间与的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 下列直线中，倾斜角为45°的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两条直线的斜率之积为 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 5. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 7. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 直线被圆截得的最长弦长为4 10. 已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（ ） A. 若圆与圆相切，则 B. 若圆与圆相交，则 C. 若圆与圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1 D. 过圆的圆心作圆的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，为坐标原点，则外接圆的标准方程是__________. 13. 圆上的点到直线的距离的最小值是_______． 14. 在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为 （1）若与直线平行，求的值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 16. 已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求的面积． 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）求圆心到直线的距离. 18. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆，直线，. （1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点； （2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线； （3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $