3.5点与圆、直线与圆的位置关系（分层作业，26大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“理解-掌握-运用”三级分层设计，覆盖点与圆、直线与圆位置关系等核心知识点，通过基础巩固、能力进阶到思维拔高的梯度，培养抽象能力、推理能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|点与圆/直线与圆位置关系、切线概念与判定|基础选择填空，聚焦概念辨析与简单计算，巩固核心知识点| |B组|切线长定理、内切圆与三角形关系、平移与位置关系|解答题为主，综合运用性质解决取值范围、距离计算问题，提升推理能力| |C组|圆与四边形综合、动态问题、最值问题|探究性题型，结合动态情境与跨知识综合，发展创新意识与模型观念|

分层作业 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断点与圆的位置关系 题型02 利用点与圆的位置关系求半径 题型03 判断直线和圆的位置关系 题型04 切线的概念辨析 题型05 判断或补全使直线为切线的条件 题型06 切线的证明 题型07 切线的性质定理 题型08 切线性质与判定综合应用 B组 能力进阶 题型01 利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围 题型02 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型03 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型04 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型05 直线与圆的位置关系的应用 题型06 应用切线长定理求解 题型07 应用切线长定理求证 题型08 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型09 三角形内心有关应用 题型10 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型11 圆内知识综合 题型12 圆与三角形综合 C组 思维拔高 题型01 点与圆上一点的最值问题 题型02 圆外切四边形 题型03 三角形内切圆与外接圆综合 题型04 圆与四边形综合 题型05 直线与圆位置关系的动态问题 题型06 其他圆的位置关系问题 判断点与圆的位置关系题型01 1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 2．已知的半径点在内,则_________（填>或=，<） 3．已知的半径为，点在外，则的长度可以是_____．（写出一个即可） 4．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知的半径为2，若点在圆上，则______2（填“”、“”、“”）． 5．在直角坐标平面内， 的半径是5，圆心 的坐标为，试判断点与 的位置关系． 利用点与圆的位置关系求半径题型02 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知的半径为6，点P在上，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 3．是内一点，是上任意一点，若，则的半径为________． 4．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 5．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 判断直线和圆的位置关系题型03 1．下列图形中，直线l是的切线的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若点M在内，则过M点的直线与的公共点个数为______． 3．若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为______． 4．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是_____． 5．已知圆的方程为，直线方程为，判断直线与圆的位置关系． 切线的概念辨析题型04 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 2．（24-25九年级上·江苏徐州·月考）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 3．下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 4．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 判断或补全使直线为切线的条件题型05 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 3．在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·质检）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 5．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 切线的证明题型06 1．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    2．如图，将直角三角板的直角顶点放在上，直角边经过圆心，则另一直角边与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 4．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是________． 5．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 __________． 切线的性质定理题型07 1．如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用文字语言写出圆的切线的性质定理：__________________ 4．如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____． 5．已知直线l与相切，若圆心O到直线l的距离是5，则的半径是______． 切线性质与判定综合应用题型08 1．（2025·山东·模拟）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 2．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 3．已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 4．如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________． 利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围题型01 1．直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是 A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围____． 5．直线l与半径为r的⊙相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围． 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离题型02 1．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足（　　） A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5 3．（25-26九年级上·湖北鄂州·月考）已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 5．已知圆的直径为，直线l和圆只有一个公共点．求圆心到直线l的距离． 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离题型03 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 2．如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 4．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件______________________时，与直线相交． 5．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 求直线平移到与圆相切时运动的距离题型04 1．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 4．如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移________个单位时，它与x轴相切． 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 直线与圆的位置关系的应用题型05 1．如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 2．已知点M（0，2），N（﹣3，6）到直线L的距离分别为1，4，则满足条件的直线L的条数是_____． 3．已知点P是直线上一点，与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果，那么点P的坐标是 __． 4．已知中，上的一点，，，则的最大值为_________． 5．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 应用切线长定理求解题型06 1．如图，分别切圆O于A、B两点，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____． 3．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，则等于______． 4．如图，是的切线，A、B为切点，且，若，则______．    5．如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．    应用切线长定理求证题型07 1．（24-25九年级上·江苏南京·联考）如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（   ） A．4 B．8 C． D． 2．如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 3．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 4．如图，△ABC中 ， ∠ACB=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b ，则三角形的内切圆半径为_________． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型08 1．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 2．两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径______． 3．，三条边的长分别是6，8，10，则其内切圆的半径为__． 4．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知三角形三边长分别为、、，则其内切圆半径为______． 5．如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r． 三角形内心有关应用题型09 1．三角形的内心是（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，是的内心，已知，则的度数是______． 3．已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为 ___． 4．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，点为的内心，，则的度数是______． 5．已知：（如图）．求作：⊙，使它与的三边都相切． 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型10 1．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 2．已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为__________． 3．已知三角形三边长为6，8，10，则它的内切圆半径是________. 4．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为________． 5．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 圆内知识综合题型11 1．如图，AB为的直径，点C在上，若AB=4，，则O到AC的距离为(    ) A．1 B．2 C． D． 2．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 3．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为______． 4．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是_____．    5．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．    圆与三角形综合题型12 1．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，圆为的外接圆，其中点在上，且，已知，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，，，则（    ） A．60° B．72° C．75° D．78° 4．在中，若，，则的面积的最大值为______． 5．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 点与圆上一点的最值问题题型01 1．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·二模）在平面内，线段，在以为直径的外有一点C，则长度的取值范围为_______． 3．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 4．已知点为外一点，点到上的点的最长距离为6，最短距离为1，则的半径为______． 圆外切四边形题型02 1．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2．下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 3．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 4．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__． 5．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 三角形内切圆与外接圆综合题型03 1．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 2．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ） A． B． C． D．—1 3．等边三角形的内切圆的半径与其外接圆的直径的比值是________． 4．已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝________． 5．如图，是的内切圆，若，则________． 圆与四边形综合题型04 1．如图，点是的内心，也是的外心．若，求的度数． 2．如图，四边形ABCD是矩形，AC为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，与AC的延长线交于点P，若AC=10，∠P=30°，则AB的长度是（　　）    A． B．5 C．5 D．5 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　) A．100° B．110° C．115° D．120° 4．如图，在平行四边形中，，点，在上，点在上，，则的度数为（    ）    A．112.5° B．120° C．135° D．150° 5．如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为________. 直线与圆位置关系的动态问题题型05 1．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由． 2．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE=8，则k的值是_____． 4．如图，直线与双曲线交于点A，B，C为x轴正半轴上一点，且，P为半径为1的上一点，E为的中点．若的最小值为2，则此时k的值为______． 其他圆的位置关系问题题型06 1．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是__________． 2．（2025·河南南阳·模拟）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D．4 4．如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为____________ 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断点与圆的位置关系 题型02 利用点与圆的位置关系求半径 题型03 判断直线和圆的位置关系 题型04 切线的概念辨析 题型05 判断或补全使直线为切线的条件 题型06 切线的证明 题型07 切线的性质定理 题型08 切线性质与判定综合应用 B组 能力进阶 题型01 利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围 题型02 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型03 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型04 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型05 直线与圆的位置关系的应用 题型06 应用切线长定理求解 题型07 应用切线长定理求证 题型08 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型09 三角形内心有关应用 题型10 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型11 圆内知识综合 题型12 圆与三角形综合 C组 思维拔高 题型01 点与圆上一点的最值问题 题型02 圆外切四边形 题型03 三角形内切圆与外接圆综合 题型04 圆与四边形综合 题型05 直线与圆位置关系的动态问题 题型06 其他圆的位置关系问题 判断点与圆的位置关系题型01 1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离d与圆的半径r的大小即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内； 故选A． 2．已知的半径点在内,则_________（填>或=，<） 【答案】< 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】解：的半径为 点在内， ． 故答案为:． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系. 3．已知的半径为，点在外，则的长度可以是_____．（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴， ∴的长可以是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知的半径为2，若点在圆上，则______2（填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可根据“当点到圆心的距离时，则点在圆外，当点到圆心的距离时，则点在圆上，当点到圆心的距离时，则点在圆内”可进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：＝． 5．在直角坐标平面内， 的半径是5，圆心 的坐标为，试判断点与 的位置关系． 【答案】点在 上 【分析】先用两点距离公式计算出，再跟5作比较即可得出结论． 【详解】解：， 因为半径为5， 所以点在 上． 【点睛】本题主要考查的是两点距离公式以及点与圆的位置关系，掌握两点距离公式是解题的关键． 利用点与圆的位置关系求半径题型02 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径．掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】∵点P在内， ∴， ∵， ∴， ∴的半径可能为6． 故选：D． 2．已知的半径为6，点P在上，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据题意可知点在圆上，即圆心到点的距离等于半径，即可得到本题答案． 【详解】解：∵点P在上， ∴圆心到点的距离等于半径， ∵的半径为6， ∴， 故选：B． 3．是内一点，是上任意一点，若，则的半径为________． 【答案】 【分析】根据点到圆上的距离分析即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是内一点，是上任意一点，， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到圆上的距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 4．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【详解】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 5．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】(1)当时，点A，B都在圆外． (2)时，点A在圆内，点B在圆外． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 【详解】（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 判断直线和圆的位置关系题型03 1．下列图形中，直线l是的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的定义，熟练掌握切线的定义是解决本题的关键． 根据切线的定义，当直线与圆只有一个交点时，则这条直线称为圆的切线，据此判断即可． 【详解】解：根据切线的定义，当直线与圆只有一个交点时，则这条直线称为圆的切线． A、直线与圆相交，不符合题意； B、直线与圆相交，不符合题意； C、直线与圆相切，符合题意； D、直线与圆相离，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若点M在内，则过M点的直线与的公共点个数为______． 【答案】2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点M在内，则过点M的直线与圆相交，有两个公共点，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵点M在内， 则过点M的直线与圆相交， 即过M点的直线与的公共点个数为2， 故答案为：2． 3．若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为______． 【答案】0 【分析】根据直线和圆的位置关系填空即可． 【详解】解：∵直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相离， ∴直线l与⊙O无交点， 故答案为:0． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，直线l与⊙O相离，直线l与⊙O无交点；当直线l与圆心O的距离等于⊙O的半径，直线l与⊙O相切，直线l与⊙O有1个交点；当直线l与圆心O的距离小于⊙O的半径，直线l与⊙O相交，直线l与⊙O有2个交点． 4．⊙O的直径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是_____． 【答案】相切． 【分析】根据题意可得半径r=4，根据d=r，可判断直线l与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵⊙O的直径为8， ∴半径=4， ∵圆心O到直线l的距离为4， ∴圆心O到直线l的距离=半径， ∴直线l与⊙O相切． 故答案为相切． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练运用切线的判定是本题的关键． 5．已知圆的方程为，直线方程为，判断直线与圆的位置关系． 【答案】相交 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解答的关键是熟知直线与圆的三种位置关系的判定方法：计算圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，若，相离；若，相切；若，相交． 本题先利用直线与圆心的距离公式求出d，再与半径r比较大小即可解答． 【详解】解：由圆方程可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线距离公式，计算圆心到直线的距离：， 因为，所以直线与圆相交． 切线的概念辨析题型04 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·月考）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 3．下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 【答案】C 【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可． 【详解】A、B、D说法均正确； C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键． 4．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 判断或补全使直线为切线的条件题型05 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 【答案】D 【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论． 【详解】解：如图， 过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中， 能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键. 3．在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长即可. 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵，，， ∴， ∵S△ABC， ∴， 则以C为圆心CD为半径作与AB相切. 故选D.    【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·质检）如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 5．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 切线的证明题型06 1．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    【答案】 (1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线； (2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】(1)略 (2)解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径．    【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，将直角三角板的直角顶点放在上，直角边经过圆心，则另一直角边与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据圆的切线的判定定理即可得到BC与⊙O相切． 【详解】解：相切， ∵AB，BC是直角三角板的两条直角边， ∴AB⊥BC， ∵AB经过圆心O， ∴OB⊥BC， ∵点B在⊙O上， ∴BC与⊙O相切， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的切线的判定定理是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 4．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是________． 【答案】②③④① 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角确定圆的一条直径，然后根据圆的一条切线与切点所在的直径垂直，进行求解即可． 【详解】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与圆的交点，即图②， 第二步：画出圆的一条直径，即画图③； 第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位置从而画出切线，即先图④再图①， 故答案为：②③④①． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，熟知相关知识是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 __________． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 切线的性质定理题型07 1．如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线． 【答案】证明：连接， 是的中点， ． ， ． 又， ． 是的切线． 【分析】连接，只要证得即可得到是的切线． 【详解】略 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，切于点A，．则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，切线的性质，先证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵切于点A， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．（25-26九年级上·江苏南京·月考）用文字语言写出圆的切线的性质定理：__________________ 【答案】圆的切线垂直于过切点的半径 【分析】本题考查圆的切线的性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．圆的切线的性质定理是圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径． 4．如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为_____． 【答案】 【分析】根据切线的性质得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接OC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB，即∠OCA=90°， 在Rt△OCA中，AO=3 ，OC=2， ∴AC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 5．已知直线l与相切，若圆心O到直线l的距离是5，则的半径是______． 【答案】5 【分析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径． 【详解】解：∵直线l与相切，圆心O到直线l的距离是5， ∴的半径是5． 切线性质与判定综合应用题型08 1．（2025·山东·模拟）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证． 【详解】略 2．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 3．已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解. 【详解】根据题意可知分两种情况讨论： ①O1A＞O2A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A-O1 O2=2 ①O2A＞O1A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A+O1 O2=8 故选D. 【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论. 4．如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A，根据切线的性质计算即可． 【详解】解：连接OC， 由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝70°， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D＝90°−∠COD＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 5．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________． 【答案】44° 【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBA+∠CBP=90°， ∵OC⊥OA， ∴∠A+∠APO=90°， ∵OA=OB，∠OAB=22°， ∴∠OAB=∠OBA=22°， ∴∠APO=∠CBP=68°， ∵∠APO=∠CPB， ∴∠CPB=∠ABP=68°， ∴∠OCB=180°-68°-68°=44°， 故答案为44° 【点睛】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围题型01 1．直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，∴r的取值范围是r＞d＝6．故选C． 2．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴ ∴ ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 3．已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， ∴A符合题意； 故选：A． 4．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围____． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 5．直线l与半径为r的⊙相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围． 【答案】 【分析】直线和圆有三种位置关系：已知的半径为，圆心到直线的距离是，①当时，直线和相切，②当时，直线和相交，③当时，直线和相离，根据以上内容得出即可． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为5， ． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，主要考查学生对直线和圆的位置关系的理解能力，注意：直线和圆有三种位置关系：已知的半径为，圆心到直线的距离是，①当时，直线和相切，②当时，直线和相交，③当时，直线和相离． 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离题型02 1．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线l与⊙O相切，则求解即可． 【详解】解：∵直线l与⊙O相切， ∴， 故选：C． 2．若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足（　　） A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5 【答案】A 【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论即可． 【详解】解：∵直线l与⊙O的位置关系是相交， ∴d＜r， ∵r=5， ∴d＜5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的位置关系的判定是解答此题的关键． 3．（25-26九年级上·湖北鄂州·月考）已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆无公共点，可得圆心到直线距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵ 直线与没有公共点， ∴ 直线l与相离， ∴ 圆心O到直线l的距离半径r， ∵， ∴， 故选：D 4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 5．已知圆的直径为，直线l和圆只有一个公共点．求圆心到直线l的距离． 【答案】 【分析】根据直线和圆只有一个公共点，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得出结果. 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的半径为， ∵直线和圆只有一个公共点， ∴圆心到直线的距离等于圆的半径，即为. 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离题型03 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 2．如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 4．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件______________________时，与直线相交． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【详解】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 5．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【答案】相切;1cm＜d＜5cm 【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 考点：直线与圆的位置关系． 求直线平移到与圆相切时运动的距离题型04 1．如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 2．（25-26九年级上·河北保定·月考）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 4．如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移________个单位时，它与x轴相切． 【答案】1或5 【详解】欲求直线和圆有几个公共点，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较． 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 解答：解：设圆的半径为r，圆心到直线的距离d，要使圆与x轴相切，必须d=r； ∵此时d=3， ∴圆向上平移1或5个单位时，它与x轴相切． 5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 直线与圆的位置关系的应用题型05 1．如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 2．已知点M（0，2），N（﹣3，6）到直线L的距离分别为1，4，则满足条件的直线L的条数是_____． 【答案】3 【分析】以M为圆心，以1为半径的圆，与以N为圆心，以4为半径的圆相外切，故满足条件的直线是两圆的公切线，共3条． 【详解】∵M（0，2），N（-3，6）， ∴MN=5， ∴半径为1的⊙M与半径为4的⊙N外切，故满足条件的直线L是两圆的公切线，有三条， 故答案为3． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，也考查了直线与圆的位置关系，是中档题目． 3．已知点P是直线上一点，与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果，那么点P的坐标是 __． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点P作x轴的垂线，垂足为M，然后由垂径定理及勾股定理可得圆的半径，由此可得答案． 【详解】解：根据题意，画出图形如下： ∴，， 过点P作x轴的垂线，垂足为M， ∴，， 在中，， ∵与y轴相切， ∴轴，， ∵与x轴负半轴交于A、B两点， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是切线的性质、垂径定理及坐标与图形的性质，正确作出图形是解决此题的关键． 4．已知中，上的一点，，，则的最大值为_________． 【答案】##90度 【分析】本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当与圆相切时，有最大值，由“”可证，可得，可证四边形是矩形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于， ， 设，则， ，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当与圆相切时，有最大值， 此时：， 是等边三角形，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 故答案为：． 5．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 【答案】 法一：①过点O作的垂线； ②以垂线段画圆O； ③过点P作圆O的两条切线，这两条切线截得的弦、即为所求； 法二：①以O为圆心，为半径作圆，交于点G； ②作，得弦，即为所求； ③作，得弦，即为所求． 过点O作， 由题意得，，， ∴ ∴ ∴ 同理可证得，． 【分析】此题考查了切线的性质，掌握等弦所对的弦心距相等是解题的关键． 法一：根据题意作出以点O到距离为半径的圆，然后作出圆O的两条切线即可； 法二：根据题意做出，，进而求解即可． 【详解】略 应用切线长定理求解题型06 1．如图，分别切圆O于A、B两点，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据切线的性质得出，即可求得结果． 【详解】解：连接， ∵分别切圆O于A，B两点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，作出辅助线根据切线长定理求解是解题的关键． 2．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____． 【答案】50° 【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠BPO＝∠APO＝25°， ∴∠BPA＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了切线长定理，熟知切线长定理的性质是解题的关键． 3．如图，是的两条切线，A、B是切点，若，则等于______． 【答案】##30度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键；由切线长定理可得． 【详解】解：∵是的两条切线，， ∴． 故答案为： 4．如图，是的切线，A、B为切点，且，若，则______．    【答案】 【分析】运用切线长定理可得是等边三角形，解题即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 5．如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．    【答案】 【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 应用切线长定理求证题型07 1．（24-25九年级上·江苏南京·联考）如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据切线长定理，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵ 别切⊙O于点A，B， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故选B． 2．如图，，为的两条切线，切点分别为，，连接交于点，交弦于点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理即可判断． 【详解】解：由切线长定理可得：，， ∴，， ∴， 故A，B，C正确，而中只满足，无其他条件证明是等边三角形， 故选D． 【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质以及垂径定理，关键是利用切线长定理得到垂径定理的前提条件． 3．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 【答案】65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 4．如图，△ABC中 ， ∠ACB=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b ，则三角形的内切圆半径为_________． 【答案】(a+b-c) 【分析】设内切圆的圆心为O，半径为r，且与△ABC相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，根据切线性质可证得四边形ODCE是正方形，边长为r，再根据切线长定理即可求解． 【详解】解：如图，设内切圆半径为r，且与△ABC相切于D、E、F，连接OD、OE、OF， 则有OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ODCE是正方形， ∴CD=CE=r， ∴AD=b﹣r，BE=a﹣r， 由切线长定理得：AF=AD=b﹣r，BF=BE=a﹣r， ∵AF+BF=AB=c， ∴b﹣r+a﹣r=c， ∴r=(a+b-c)， 故答案为：(a+b-c)． 【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆、圆的切线性质、切线长定理，理解三角形的内切圆定义，熟练掌握切线长定理是解答的关键． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】 解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又是大圆的弦，， ，， ． 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】略 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型08 1．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积． 故选：B． 2．两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径______． 【答案】2 【分析】本题考查特殊三角形的内切圆的半径．勾股定理求出斜边长，利用直角三角形的内切圆的半径等于直角边的和减去斜边的长再除以2进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8， ∴斜边长为， ∴； 故答案为：2． 3．，三条边的长分别是6，8，10，则其内切圆的半径为__． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的内切圆问题． 找到内切圆与的切点，连接，根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图， 圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，连接， 则，，． 设其内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：2． 4．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知三角形三边长分别为、、，则其内切圆半径为______． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，由切线长定理得，，，由切线的性质定理得，，由勾股定理逆定理得，进而得四边形是正方形，从而得，设的半径为，则，，，再根据列方程，即可求解． 【详解】解：如图，中，，，，切三边于点、、，连接、， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径为，则，，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理逆定理、正方形的判定和性质，根据题意作出图形，利用切线长定理结合直角三角形的边长关系建立方程是解题的关键． 5．如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r． 【答案】r＝ 【分析】连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，然后结合三角形面积进行分析求解． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC，设OO与AB，BC，CA的切点分别为点D，E，F，连接OD，OE，OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC ＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF ＝AB·r＋BC·r＋AC·r ＝r(AB＋BC＋AC) ＝r(a＋b＋c)． 又∵S△ABC＝·AC·BC＝ab， ∴r·(a＋b＋c)＝ab， ∴r＝ 【点睛】此题考查了内切圆的性质、以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 三角形内心有关应用题型09 1．三角形的内心是（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的内心的定义解答即可． 【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点， 故选D． 【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质． 2．如图，是的内心，已知，则的度数是______． 【答案】 【分析】根据可得，根据是的内心即可得到，最后根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和公式，角平分线性质及三角形内心，解题的关键是掌握三角形内心是三角形三个内角角平分线交点及整体代换思想． 3．已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为 ___． 【答案】1 【分析】过点O作OD⊥AB，根据三角形内心的定义得∠OAD=∠OBD =30°，结合等腰三角形的性质，得AD =，进而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，△ABC是等边三角形，O是△ABC的内心，过点O作OD⊥AB， ∵点O是等边三角形的内心， ∴∠OAD=∠OBD =30°， ∴OA=OB， ∵等边三角形的边长为， ∴AD=AB=， ∴ ，即它的内切圆的半径为：1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查三角形的内心的定义以及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握三角形内心的定义和等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 4．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】##120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．已知：（如图）．求作：⊙，使它与的三边都相切． 【答案】见解析 【分析】分别作，的平分线和，交点为I，再过I作BC的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以ID的长为半径作⊙即可． 【详解】解：如下图所示：分别作，的平分线和，交点为I，再过I作BC的垂线，垂足为D，再以I为圆心，以ID的长为半径作⊙． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，熟练掌握作三角形内切圆的方法是解题关键． 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型10 1．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比． 由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1． 故选D． 2．已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为__________． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 3．已知三角形三边长为6，8，10，则它的内切圆半径是________. 【答案】2 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，再根据题意画出图形，先根据正方形的判定定理判断出四边形ODCE是正方形，再根据切线长定理即可得到关于R的一元一次方程，求出R的值即可． 【详解】 如图所示：中， 即 是直角三角形， 设的内切圆半径为R，切点分别为D，E，F， ，，， 四边形是正方形，即 ，即 ，即 联立解得：R=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，以及到勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、切线长定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆与内心的相关概念． 4．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为________． 【答案】 【分析】如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．由AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，可得72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，推出AD=4，由•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x． 由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2， 即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1， ∴AD=4， ∵•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r， ×5×4=×20×r， ∴r=， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型． 5．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径． 【答案】 【分析】作，根据勾股定理求解，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可． 【详解】如图，作，设，则， 由勾股定理可知：， 则，解得，则， 故， 由三角形的内切圆性质，可得： ． 【点睛】本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 圆内知识综合题型11 1．如图，AB为的直径，点C在上，若AB=4，，则O到AC的距离为(    ) A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接OC，BC,过点O作OD⊥AC于D，可得OD//BC，利用平行线段成比例可知 和AD=，利用勾股定理，可得，列出方程 ， 即可求出OD的长. 【详解】解：连接OC，BC,过点O作OD⊥AC于D， ∴∠ADO=90°， ∵AB为的直径，AB=4，， ∴∠ACB=90°，OA=OC=， ∴OD//BC， ∴， ∴AD=， 在中，， ∴， 解得OD=； 故选C. 【点睛】本题主要考查了平行线段成比例，勾股定理，掌握平行线段成比例，勾股定理是解题的关键. 2．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 3．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为______． 【答案】 【详解】试题解析：作OF⊥PQ于F，连接OP， ∴PF=PQ=12， ∵CD⊥AB，PQ∥AB， ∴CD⊥PQ， ∴四边形MEOF为矩形， ∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB， ∴OE=OF， ∴四边形MEOF为正方形， 设半径为x，则OF=OE=18-x， 在直角△OPF中， x2=122+（18-x）2， 解得x=13， 则MF=OF=OE=5， ∴OM=5． 4．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是_____．    【答案】3． 【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，利用重径定理可得OD⊥AB，则AD=BD=AB,再根据勾股定理可得OD=1，又由折叠的性质可得＝所在的圆为等园，则根据圆周角定理得到AC=CD，所以AC=DC，利再根据等腰三角形的性质可得AE=DE=1，通过证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，最后通过计算CF，得到CE=BE=3，于是得到BC=3．. 【详解】解：    连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图， ∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝2， 在Rt△OBD中，OD＝=＝1， ∵将弧沿沿BC折叠后刚好经过AB的中点D． ∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆， ∴＝， ∴AC＝DC， ∴AE＝DE＝1， 易得四边形ODEF为正方形， ∴OF＝EF＝1， 在Rt△OCF中，CF＝＝＝2， ∴CE＝CF+EF＝2+1＝3， 而BE＝BD+DE＝2+1＝3， ∴BC＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了折叠的性质，理解折叠前后图形的形状和大小不变、仅仅位置发生变化是解答本题的关键. 5．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．    【答案】3cm≤OP≤5cm. 【分析】根据垂径定理求出OD长,OP介于OA,OD之间 【详解】解：如图，连接OA，作直径MN⊥AB，垂足为D， 由垂径定理可知：AD＝DB＝AB＝4(cm)， ∵圆的直径为10cm， ∴DA＝5cm， 由勾股定理得：OD＝3(cm)， ∵垂线段最短，半径最大， ∴OP长度范围为：3≤OP≤5(cm) 【点睛】本题主要考查直角三角形和圆中的计算问题,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键. 圆与三角形综合题型12 1．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键． 根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是外接圆，是直径， ∴， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴是的角平分线， ∴， ∴在中，， 故选：B． 2．如图，圆为的外接圆，其中点在上，且，已知，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：连接CO,   在△BOC中，∵BO=CO， 又∵OD⊥AC， 故选C. 点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 3．如图，的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，，，则（    ） A．60° B．72° C．75° D．78° 【答案】B 【分析】根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解． 【详解】解：∵AB=2DE， ∴OD=DE， ∴∠E=∠EOD=12°， 在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=24°， ∵OC=OD， ∴∠DCO=∠ODC=24°． ∴∠AOC=∠E+∠ECO=12°+24°=36°， ∵OA=OC， ∴∠BAC=， 故选择：B. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的外角和定理，熟练掌握三角形外角定理是关键． 4．在中，若，，则的面积的最大值为______． 【答案】9+9 【分析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案． 【详解】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M， ∵弦AB已确定， ∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可， 如图所示，当CM过圆心O时，CM最大， ∵CM⊥AB，CM过O， ∴AM＝BM（垂径定理）， ∴AC＝BC， ∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°， ∴OM＝AM＝AB＝×6＝3， ∴OA＝， ∴CM＝OC＋OM＝＋3， ∴S△ABC＝AB•CM＝×6×（＋3）＝9+9． 故答案为：9+9． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关键． 5．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：， ． ，， 在和中： ； (2) 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 点与圆上一点的最值问题题型01 1．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 2．（2026·云南·二模）在平面内，线段，在以为直径的外有一点C，则长度的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先由直径的长度求出的半径，再根据点在外得到的取值范围． 【详解】解：线段，为的直径，点在外， 的半径为， 根据点与圆的位置关系可得，点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径， ． 3．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 4．已知点为外一点，点到上的点的最长距离为6，最短距离为1，则的半径为______． 【答案】 【分析】画出图形，先表示距离，再确定最值条件．本题考查求圆的半径，确定A到圆上的点的最大距离和最小距离对应的线段是求解本题的关键． 【详解】解：如图：连接并延长交于点B，C两点， 点到上的点的最长距离为6，此时的线段一定经过的直径，且远点P的直径端点是距离最大值点，近点P的直径端点是距离最小值点，则， ∴， ∴． 故答案为：． 圆外切四边形题型02 1．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，最大为 【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键． （1）过作于，先利用勾股定理求出，再分别求和； （2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定的最大值，即可得到答案． 【详解】解：（1）过作于，如图1， ，，， ， 四边形是美好四边形，， ， ， ， 在中，， ，， ； （2）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2， 过点作于，过点作于， 则， ，， ， ． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3， 则， 当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点到湖泊的最近距离为，的半径为， ， 又， 当、、依次共线时最长，如图4， 又时，， 此时四边形面积最大， 此时， ， 故四边形的面积最大为． 2．下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 3．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 4．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 5．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 三角形内切圆与外接圆综合题型03 1．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】 证明：∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】略 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 2．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ） A． B． C． D．—1 【答案】B 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长． 【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2， ∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2， ∴它的内切圆半径为：R=（2+2-4）=2-2． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c． 3．等边三角形的内切圆的半径与其外接圆的直径的比值是________． 【答案】 【分析】设出内切圆半径和外接圆半径，利用等边三角形的性质得到两者的关系，再计算内切圆半径与外接圆直径的比值即可． 【详解】解：设等边三角形的内切圆半径为，外接圆半径为 ∵ 等边三角形的内心与外心重合，连接中心到顶点的线段长为，中心到边的垂线段长为，所得直角三角形中，所对的角为， ∴ ，即 ∵ 外接圆的直径为， ∴ 所求比值为． 4．已知正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R＝________． 【答案】 【分析】根据题意作如图，连接OD、OE，利用HL可得△AEO≌△ADO，进而可得∠DAO＝∠EAO，再根据等边三角形的性质即可得∠OAC＝30°，进而可求解． 【详解】解：如图，连接OD、OE， ∵AB、AC切圆O与E、D， ∴OE⊥AB，OD⊥AC， 在Rt△AEO和Rt△ADO中， ， ∴△AEO≌△ADO（HL）， ∴∠DAO＝∠EAO， 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴， ∴OD：AO＝1：2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，三角形外接圆与内切圆的综合，熟练掌握全等三角形的判定及性质和等边三角形的性质是解题的关键． 5．如图，是的内切圆，若，则________． 【答案】##119度 【分析】根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 圆与四边形综合题型04 1．如图，点是的内心，也是的外心．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，，根据点是的内心，，可得，再根据点也是的外心和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接，， 点是的内心，， ，分别是，的平分线， ， ， 点也是的外心， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外接圆与外心，解题关键是掌握内心与外心的区别． 2．如图，四边形ABCD是矩形，AC为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，与AC的延长线交于点P，若AC=10，∠P=30°，则AB的长度是（　　）    A． B．5 C．5 D．5 【答案】D 【分析】连接OB，根据切线的性质得到根据角所对的直角边等于斜边的一半，得到求出OP的长度，进而求出BC,根据直径所对的圆周角是直角，用勾股定理即可求出AB的长度. 【详解】如图，连接OB，   PB是的切线， BC是斜边OP上的中线， ， AC是的直径， 故选:D. 【点睛】考查切线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，数形结合是解题的关键. 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　) A．100° B．110° C．115° D．120° 【答案】B 【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°. 【详解】如下图，连接AD，BD， ∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°， ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°-20°=70°， ∴∠BCD=180°-70°=110°. 故选B 【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键. 4．如图，在平行四边形中，，点，在上，点在上，，则的度数为（    ）    A．112.5° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】延长DO交AB于点H，连接OB，证明，OD是的角平分线，求得，进行求解即可； 【详解】延长DO交AB于点H，连接OB，    ∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴OD是的角平分线， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可． 5．如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为________. 【答案】 【分析】根据题意，连接OB，通过切线和平行线的性质求得，再根据等腰直角三角形边的关系即可求出CD的长. 【详解】如下图，连接OB 四边形ABCD为平行四边形，BC与相切于点B ，AB=CD 又 . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及应用时解决本题的关键. 错因分析  中等难度题.失分原因是不会作辅助线连接OB，通过切线和平行线的性质求得. 直线与圆位置关系的动态问题题型05 1．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是 的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由． 【答案】 四边形AOBC是菱形，理由如下： 连接OC， ∵C是 的中点 ∴∠AOC=∠BOC=×120°=60°， ∵CO=BO（⊙O的半径）， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， 同理△OCA是等边三角形， ∴OA=AC， 又∵OA=OB， ∴OA=AC=BC=BO， ∴AOBC是菱形． 【分析】连接OC，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可． 【详解】略 【点睛】本题利用了等边三角形的判定和性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 3．如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF﹣OE=8，则k的值是_____． 【答案】16 【详解】解：过P点作PAx轴，PBy轴，垂足为A、B， ∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA=PB，四边形OAPB为正方形， ∵∠APB=∠EPF=90°，∴∠BPE=∠APF， ∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE=AF， ∵OF-OE=8， ∴（OA+AF）-（BE-OB）=8， 即2OA=8，解得OA=4， 所以点P的坐标是（4，4）代入得∶k= 16． 故答案为：16 4．如图，直线与双曲线交于点A，B，C为x轴正半轴上一点，且，P为半径为1的上一点，E为的中点．若的最小值为2，则此时k的值为______． 【答案】8 【分析】连接AP，可得OE是的中位线，当的最小值为2时，AP的最小值为4，此时，点P为AC与的交点，进而即可求解． 【详解】解：连接AP， ∵直线与双曲线交于点A，B， ∴点O是AB的中点， ∵E为的中点， ∴OE是的中位线， ∴AP=2OE， ∴当的最小值为2时，AP的最小值为4，此时，点P为AC与的交点，即：AC=4+1=5， ∵，即：C(5，0)， ∴设A(x，2x)，则，解得：x1=2，x2=0（舍去）， ∴A(2，4)， ∴k=2×4=8． 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线，熟练掌握圆外一个点到圆上距离的最小的点为圆外一点与圆心的连线与圆的交点，是解题的关键． 其他圆的位置关系问题题型06 1．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为5，圆心P坐标是（5，a）（a＞5），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是__________． 【答案】## 【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=5，PC=a，易得D点坐标为（5，5），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=5+． 【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（5，a）， ∴OC=5，PC=a， 把x=5代入y=x得y=5， ∴D点坐标为（5，5）， ∴CD=5， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE=BE=， AB=×4=2， 在Rt△PBE中，PB=5， ∴PE=， ∴PD=PE= ∴a=5+． 故答案为：5+． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．解题关键是作出P到x轴的距离、求得D点的坐标． 2．（2025·河南南阳·模拟）已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣4，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，因为OQ是定值，所以当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（-4，0）、B（0，4）， ∴OA=OB=4， ∴AB=4 ∴OP=AB=2， ∴PQ的最小值=． 故选A． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为____________ 【答案】100 【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2， ∵OP2＝x2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2， 当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图， ∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7， ∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $