3.4～3.5.1～3.5.2 圆周角 点与圆、直线与圆的位置关系 周练 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 九年级圆章节周测卷，精选2024-2026年各地期末/模拟真题，覆盖点与圆位置关系、垂径定理等核心知识点，通过汽车轮胎漏气等生活情境、赵爽弦图文化素材及分层设问，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|点与圆、直线与圆位置关系|第3题结合轮胎漏气情境考查直线与圆位置关系| |填空题|6/30|圆心确定、旋转动态问题|第10题以赵爽弦图为背景考查几何裁切| |解答题|8/40|垂径定理、圆周角定理、综合证明|第20题融合等边三角形判定与线段和差证明，体现逻辑推理|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第3章 圆（3.4～3.5.1～3.5.2） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•栾城区期末）·【A】平面内，已知⊙O的半径是4cm，线段OP＝5cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 2．（2025•东莞市校级模拟）·【A】已知点O到直线l的距离为3cm，以点O为圆心的⊙O与直线l有两个交点，则⊙O的半径可能为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．（2024•鼓楼区二模）·【A】如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 4．（2025秋•朝阳区校级期中）·【A】已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 5．（2024秋•东莞市校级期末）·【A】已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 6．（2024秋•平湖市期中）·【A】已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4.5，则点P在（　　） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•大丰区校级月考）·【A】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作： （1）利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； （2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为　 　 ．（结果保留根号） （3）如果点E坐标为（2，﹣2），则E点在⊙D　 　 ．（填“内”、“外”或“上”） 8．（2024秋•广东校级期末）·【B】如图，已知AB＝5，⊙B的半径为2，点C在⊙B上，连接AC，并将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD．当点C在⊙B上运动时，点D到直线AB距离的最大值是　 　 ． 9．（2024秋•姜堰区校级月考）·【B】已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 　 　 ． 10．（2025春•集美区期末）·【B】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．假设直角三角形的两直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c，某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a，b为边长构造了两个正方形，通过图中的裁切方式将边长为b的正方形ABCD裁切成四块，EF，HG是裁切线．若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为 　 　 ．（用含有a，b的式子表示） 11．（2026•南京一模）·【B】如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　 　 ． 12．（2026•科左中旗模拟）·【B】如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB⊥CD于E，连接OD，DB．∠CAB＝20°，则∠OBD的大小为 　 　 °． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•惠城区校级期中）·【B】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，连接AC、AD，AC＝AD． （1）求证：AB⊥CD． （2）若AC＝4，CD＝8，求⊙O的半径． 14．（2024秋•番禺区期末）·【B】如图，⊙O的直径AB的长为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．试求BC，AD的长． 15．（2025•安庆一模）·【B】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分线交AB于点E，交⊙O于点F，连结AF，BF． （1）若⊙O的半径为6，AD＝4，求弦CG的长； （2）求证：AF＝EF． 16．（2025秋•凉州区期中）·【B】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O的直径，BC＝CD，在AD的延长线上取一点E，连接CE，使CD＝CE． （1）求证：AB＝AE； （2）若AD＝DE＝2，求BD的长． 17．（2024秋•都安县期末）·【B】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BEC＝30°，过点C作CF⊥AB于点F，CF的延长线交⊙O于点D． （1）求∠ABC的度数； （2）若⊙O的半径为5，求CD的长． 18．（2025•蜀山区校级三模）·【C】如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 19．（2025•武汉模拟）·【C】如图，AC，BD分别是⊙O的直径，连接AB，BC，CD，DA． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若点E为的中点，连接DE，且，AD＝6．求⊙O的半径． 20．（2025•碧江区 校级模拟）·【C】如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB＝PC． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D A B A C 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•栾城区期末）·【A】平面内，已知⊙O的半径是4cm，线段OP＝5cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：∵⊙O的半径为4cm，OP＝5cm， ∴点P到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在⊙O外． 故选：A． 2．（2025•东莞市校级模拟）·【A】已知点O到直线l的距离为3cm，以点O为圆心的⊙O与直线l有两个交点，则⊙O的半径可能为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】D 【解答】解：点O到直线l的距离为3cm，以点O为圆心的⊙O与直线l有两个交点，则⊙O的半径大于3cm，所以⊙O的半径可能为4cm， 故选：D． 3．（2024•鼓楼区二模）·【A】如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 【答案】A 【解答】解：这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交， 故选：A． 4．（2025秋•朝阳区校级期中）·【A】已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，那么点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，4＜5， ∴点P在⊙O内， 故选：B． 5．（2024秋•东莞市校级期末）·【A】已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点P在圆内． 故选：A． 6．（2024秋•平湖市期中）·【A】已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4.5，则点P在（　　） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：∵r＝5，d＝4.5， ∴d＜r， ∴点P在⊙O内． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2024秋•大丰区校级月考）·【A】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作： （1）利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； （2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为　2　 ．（结果保留根号） （3）如果点E坐标为（2，﹣2），则E点在⊙D　上　 ．（填“内”、“外”或“上”） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）上． （2）利用点A与点D的坐标结合勾股定理即可得到⊙D的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与⊙D的半径比较，即可得到E点与⊙D的位置关系． 【解答】解：（1）由题意，如图，连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：D（﹣2，0）． （2）∵D（﹣2，0），A（0，4）， ∴OD＝2，OA＝4． ∴． ∴⊙D的半径长为，故答案为：． （3）由题意，∵E（2，﹣2），D（﹣2，0）， ∴点E到⊙D圆心D的距离为：． ∵⊙D的半径长为， ∴E点在⊙D上． 故答案为：上． 8．（2024秋•广东校级期末）·【B】如图，已知AB＝5，⊙B的半径为2，点C在⊙B上，连接AC，并将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD．当点C在⊙B上运动时，点D到直线AB距离的最大值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：将AB绕A旋转60°得AE连接BC、BE、DE，如图． ∵∠CAD＝∠BAE＝60°， ∴∠CAD﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAD． ∴∠CAB＝∠DAE． 又∵CA＝DA，AB＝AE， ∴△CAB≌△DAE（SAS）． ∴CB＝ED＝2． ∴D在点E为圆心，2为半径的圆上． ∴如图，当DH过E垂直于AB时，点D到直线AB距离的最大． ∵∠BAE＝60°，AB＝AE， ∴△BAE为等边三角形． 又∵AB＝5， ∴EH． ∴D到直线AB距离的最大值为D'H＝D'E+EH2． 故答案为：2． 9．（2024秋•姜堰区校级月考）·【B】已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：如图： 连接AO并延长交圆O于点B，C两点，点A到⊙O上的点的最短距离线段AB的长，最长距离为线段AC的长度． 设圆的半径为r，则：BC＝2r＝AC﹣AB＝4﹣2＝2， ∴r＝1． 故答案为：1． 10．（2025春•集美区期末）·【B】“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．假设直角三角形的两直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c，某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a，b为边长构造了两个正方形，通过图中的裁切方式将边长为b的正方形ABCD裁切成四块，EF，HG是裁切线．若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为 　或　 ．（用含有a，b的式子表示） 【答案】或． 【解答】解：①若拼接边长为c的正方形如图1所示： 由图可知，，EF⊥GH，连接EH，FH，FG，EG， 则四边形EGFH是正方形， ∴EH＝FH＝FG＝EG，∠EHF＝90°， ∴∠AHE+∠DHF＝90°． ∵正方形ABCD， ∴∠EAH＝∠HDF＝90°， ∴∠AHE+∠AEH＝90°， ∴∠AEH＝∠DHF， ∴△AEH≌△DHF， ∴AE＝DH． 同理可得：AE＝DH＝CF＝BG， ∴AE+AH＝DH+AH＝AD＝b， 由图可知，∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形， ∴AE． ②若拼接边长为c的正方形如图2所示， 同理①的方法可得，AE+AH＝b，AH＝DF＝CG＝BE， 由图可知，∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形， ∴AE． ∴综上所述，裁切点E与点A的距离为或． 故答案为：或． 11．（2026•南京一模）·【B】如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示： ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OB＝4， ∵点D为CD的中点，点E为OA的中点， ∴DE为△AOB的中位线， ∴DEOB＝2， ∴随着点B在⊙O上运动， 点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动， ∵点M为CD的中点，点G为CE的中点， ∴GM为△CED的中位线， ∴GMED＝1， ∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径 的圆上运动， 根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM， ∴当AM＝AG+GM时，AM为最大， 即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大， 最大值为AG+GM， 如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC， ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OC＝4， ∴OA2+OC2＝42+42＝32， 又∵AC， ∴AC232， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°， ∵点F是OE的中点，点G是CE的中点， ∴GF为△EOC的中位线， ∴GFOC＝2，OFOE＝1，GF∥OC， ∴∠AFG＝∠AOC＝90°， ∴AF＝OA﹣OF＝3， 在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2， 由勾股定理得：AG， ∴AG+GM1． ∴AM的最大值为1． 故答案为：1． 12．（2026•科左中旗模拟）·【B】如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB⊥CD于E，连接OD，DB．∠CAB＝20°，则∠OBD的大小为 　70　 °． 【答案】70． 【解答】解：如图，连接OC． ∵∠CAB＝20°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝40°， ∵AB⊥CD， ∴， ∴∠BOC＝∠BOD＝40°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD（180°﹣∠BOD）＝70°． 故答案为：70． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•惠城区校级期中）·【B】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，连接AC、AD，AC＝AD． （1）求证：AB⊥CD． （2）若AC＝4，CD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）5． （2）连接OC，设⊙O的半径的为r．根据垂径定理求出DE，在Rt△ACE中利用勾股定理求出AE，将OE用含r的代数式表示出来，在Rt△OCE中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC＝AD， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴∠BAC＝∠BAD， ∴AB⊥CD． （2）解：如图，连接OC． 设⊙O的半径的为r， ∵CD＝8，AB⊥CD， ∴CECD8＝4， 在Rt△ACE中利用勾股定理，得AE8， ∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r， 在Rt△OCE中利用勾股定理，得OE2+CE2＝OC2 ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径是5． 14．（2024秋•番禺区期末）·【B】如图，⊙O的直径AB的长为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．试求BC，AD的长． 【答案】8cm，5cm． 【解答】解：如图，连接AD、BD、OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得BC8（cm）； ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∵OA＝OB， ∴OD⊥AB， ∴∠AOD＝90°， 在Rt△AOD中利用勾股定理，得AD5（cm）． 15．（2025•安庆一模）·【B】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分线交AB于点E，交⊙O于点F，连结AF，BF． （1）若⊙O的半径为6，AD＝4，求弦CG的长； （2）求证：AF＝EF． 【答案】（1）8； （2）见解答． （2）根据圆周角定理、对顶角的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理证明即可． 【解答】（1）解：如图，连接OC． ∵⊙O的半径为6，AD＝4， ∴OA＝OC＝6， ∴OD＝OA﹣AD＝6﹣4＝2， 在Rt△COD中利用勾股定理，得CD4， ∴CG＝2CD＝2×48． （2）证明：∵CG⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠FCG+∠DEC＝90°， ∵∠AEF＝∠DEC， ∴∠FCG+∠AEF＝90°， ∵CF是∠ACG的平分线， ∴∠ACF＝∠FCG， ∴， ∴∠B＝∠FCG， ∴∠B+∠AEF＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF+∠B＝90°， ∴∠AEF＝∠BAF， ∴AF＝EF． 16．（2025秋•凉州区期中）·【B】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O的直径，BC＝CD，在AD的延长线上取一点E，连接CE，使CD＝CE． （1）求证：AB＝AE； （2）若AD＝DE＝2，求BD的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）2． （2）由（1）求出AB，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD即可． 【解答】（1）证明：如图，连接AC． ∵BC＝CD， ∴， ∴∠BAC＝∠EAC， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠ABC＝∠CDE， ∴∠ABC＝∠E， 在△ABC与△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴AB＝AE． （2）解：∵AD＝DE＝2， ∴AE＝AD+DE＝2+2＝4， ∴AB＝AE＝4， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中利用勾股定理，得BD2． 17．（2024秋•都安县期末）·【B】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BEC＝30°，过点C作CF⊥AB于点F，CF的延长线交⊙O于点D． （1）求∠ABC的度数； （2）若⊙O的半径为5，求CD的长． 【答案】（1）60°； （2）5． （2）根据三角形函数求出CF，再由垂径定理求出CD即可． 【解答】解：（1）如图，连接OC． ∵∠BEC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BEC＝2×30°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°． （2）∵OC＝5，∠BOC＝60°， ∴CF＝OC•sin∠BOC＝5， ∵CF⊥AB， ∴CD＝2CF＝25． 18．（2025•蜀山区校级三模）·【C】如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 【答案】见试题解答内容 （2）连接OC，交BD于点G，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出OG的长，进而求得BG的长和BD的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵CD＝CB， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，BD＝2BG， ∵∠ACB＝90°，BC＝CD，AC， ∴AB20， ∴⊙O的半径为10， 设OG＝x，则CG＝10﹣x， 由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， 即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴BG8， ∴BD＝16． 19．（2025•武汉模拟）·【C】如图，AC，BD分别是⊙O的直径，连接AB，BC，CD，DA． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若点E为的中点，连接DE，且，AD＝6．求⊙O的半径． 【答案】5． （2）连接OE交AB于点M，延长EO交CD于点N，由垂径定理可得OE⊥AB，设OD＝r，根据矩形的性质可得NO＝MO＝3，则ME＝r﹣3，NE＝r+3，在Rt△DON中，DN，在Rt△DNE中，（4）2＝（）2+（r+3）2，解得r＝5，即可求⊙O的半径为5． 【解答】（1）证明：∵AC是圆O的直径， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵BD是圆O的直径， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：连接OE交AB于点M，延长EO交CD于点N， ∵点E为的中点， ∴OE⊥AB， ∵AB∥CD， ∴EN⊥CD， 设OD＝r， ∵AD＝6， ∴MN＝6， ∵DO＝CO＝AO＝BO， ∴NO＝MO＝3， ∴ME＝r﹣3， ∴NE＝r+3， 在Rt△DON中，DN， 在Rt△DNE中，DE2＝DN2+NE2， ∴（4）2＝（）2+（r+3）2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径为5． 20．（2025•碧江区 校级模拟）·【C】如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状并证明你的结论； （2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由． （3）求证：PA+PB＝PC． 【答案】见试题解答内容 （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，知OA＝AP＝OB＝PB，∴四边形PBOA是菱形； （3）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得． 【解答】解：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形， 连接OP， ∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，P是的中点， ∴∠AOP＝∠BOP＝60° 又∵OA＝OP＝OB， ∴△OAP和△OBP均为等边三角形， ∴OA＝AP＝OB＝PB， ∴四边形PBOA是菱形； （3）如图2，在PC上截取PD＝AP， 又∵∠APC＝60°， ∴△APD是等边三角形， ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°． 又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°， ∴∠ADC＝∠APB， 在△APB和△ADC中， ， ∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP＝CD， 又∵PD＝AP， ∴CP＝BP+AP． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $