第一章 二次函数单元测试卷 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版九年级数学上册第一章二次函数培优卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖二次函数核心知识，融入全运会跳台、喷水池等现实情境，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图像性质、新定义|第6题“仰顶函数”考察抽象能力，结合图像辨析| |填空题|6/18|顶点坐标、平移、几何最值|第15题全运会跳台情境，体现应用意识| |解答题|8/72|实际应用、综合探究|第19题喷水池设计、第21题“H函数”创新，培养模型意识与推理能力|

第一章 二次函数（培优卷）2026-2027学年浙教版数学九年级上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．二次函数图象的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 2．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．其图象的开口向下 B．图象的顶点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 5．点，都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 6．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数-1“仰顶函数”。若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　） A．n<-2 B．n≤-2 C．n>2 D．n≥2 7．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（﹣ 1，3）是抛物线的顶点，则以下结论中正确的是（　　） A．a＜0，b＞0，c＞0 B．2a+b＝0 C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 D．ax2+bx+c﹣3≤0 9．如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行的时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 4.5 14 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m），和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=56t2-2t22滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了26s，则滑坡AB的长度为（　　） A．374米 B．384米 C．375米 D．385米 10．抛物线 的一部分如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x =1，有下列结论： ①abc>0； ②2a+b=0； ③方程 c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2，0)；⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则其中正确的有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．二次函数的顶点坐标是　 　． 12． 已知二次函数，当时，该函数取得最小值为3，则m的值为　 　． 13．将的图像先向左平移2个单位，再向下平移6个单位，则最终所得的函数解析式为　 　． 14．如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是　 　． 15．在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为，水池边与跳台支柱之间的宽度为（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面，运动过程中的最高点B距离水面，此时与点A的水平距离为．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为　 　． 16．二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．下述结论：①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．这其中正确的结论是　 　．（填写番号） 三、解答题（共8题，共72分） 17．已知二次函数和一次函数． （1）若二次函数的图像过点，求二次函数的表达式； （2）若一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点． ①求证：； ②若的另一个交点B为二次函数的顶点，求b的值． 18．如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． （1）求b与c的值。 （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。 19．某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． （1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 20．如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒． ①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值； ②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值． 21．我们不妨约定：若某函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则把该函数称为“函数”，其图象上这一点，称为“点”．例如：“函数”，其“点”为． （1）在下列关于的函数中， （请填写对应序号）是“函数”． ①；②；③． （2）若点，点是“函数”（其中0）上的“点”，且，求的取值范围； （3）若“函数”的图象上存在唯一的一个“点”，且当时，的最小值为，求的值． 22．如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． （1）求抛物线的解析式； （2）当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； （3）四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 23．操作与探究：已知抛物线． （1）在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量的取值范围是________； ②方程的根是_______． ③当时，随的增大而减小，则的取值范围是__________； ④当时，函数值，直接写出的取值范围________． 24．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，若点是线段上的一个动点不与点，重合，过点作轴的平行线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）如图，在的条件下，过点的直线与抛物线交于点，且在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】​​​​​​​ 12．【答案】3或-1 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】4 16．【答案】①④⑤． 17．【答案】（1）解：∵二次函数过， ∴，解得： ∴二次函数的表达式为． （2）①证明：∵当时，解得：， ∴二次函数与x轴交于和点， 又∵一次函数与二次函数的图像交于x轴上同一点A，且这个点不是原点， ∴一次函数过点， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， ∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， ∵二次函数的顶点为， ∴过， ∴过， ∴ ∵， ∴，解得：． ∴． 18．【答案】（1）解：由已知得： 整理，得： ∴b=-6， c=5； （2）点P的横坐标为： 19．【答案】（1）解：根据题意，设在轴右侧抛物线的函数表达式为， 把代入表达式，得：， 解得：， ∴在轴右侧抛物线的函数表达式为：； （2）解：在中， 当时，有， ∴这个装饰物的设计高度m． 20．【答案】（1）解：令y＝x﹣3＝0，x＝3，∴B的坐标为（3，0）， 令x＝0，y＝0﹣3＝﹣3， ∴C的坐标为（0，﹣3）， 将B、C代入y＝x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）解：由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 记抛物线对称轴交x轴于E， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∴EB＝2， ∴顶点D的坐标为（1，﹣4）， 若∠CBP＝15°，则分两种情况， ①如图，当P在直线BC下方时， 此时∠EBP＝60°， ∴tan∠EBP＝＝， ∴EP＝2， ∴DP＝4﹣2， ∴t＝＝4﹣2， 当P在直线BC上方时， 此时∠EBP＝30°， ∴tan∠EBP＝＝， ∴EP＝， ∴DP＝4﹣， ∴t＝＝4﹣， 综上，t＝4﹣2或4﹣； ②设P的坐标为（1，n）， 令y＝x2﹣2x﹣3＝0， x＝3或﹣1， ∴A的坐标为（﹣1，0）， 此时PC2＝1+（n+3）2＝n2+6n+10， PA2＝（1+1）2+n2＝4+n2， AC2＝1+32＝10， 当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2， n2+6n+10+10＝4+n2， 解得：n＝， ∴P的坐标为（1，），DP＝4＝， ∴t＝， 当∠APC＝90°时，AP2+PC2＝AC2， 4+n2+n2+6n+10＝10， 解得：n＝﹣1或﹣2， ∴P的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣2）， DP＝4﹣1＝3或DP＝4﹣2＝2， ∴t＝3或2， 当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝CP2， n2+4+10＝n2+6n+10， 解得：n＝， ∴P的坐标为（1，）， DP＝4+＝， ∴t＝， 综上，t＝或3或2或． 21．【答案】（1）②③； （2）解：根据“H点”的定义，y=x，代入函数得：， 整理得：， 设方程的根为x1，x2，则A（x1，x1），B（x2，x2），AB=， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，x1+x2=2m+2，x1x2=（m-1）2， 根据两点间距离公式可得，， ∵， ， 解得：， ∴m的取值范围是：. （3）解：根据题意，令y=x，则， 整理得： ， ∵ 图象上存在唯一的一个“点”， ∴ 整理得：n=（m-k+1）2-k+1， ∴n关于m的二次函数图象开口向上，对称轴为直线m=k-1， 由可得， ①当k-1≤-1时，即k≤0， ∴m=-1时，n取得最小值k， ∴k=（-1-k+1）2-k+1， 解得：k=1（舍去）， ②当时，即， ∴时，取得最小值， ∴， 解得：， ③当时，即， ∴时，取得最小值， 即， 解得：或（舍去）， 综上所述：的值为或． 22．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 设直线AB的解析式为y=gx+h，则 解得 ∴直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 23．【答案】（1）解：列表： 描点，连线，如图， （2）①或；②，；③；④ 24．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）， ∴y=ax2+bx+3=a(x-1)(x-3)， 解得a=1， ∴二次函数的表达式为：y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. （2）解：由（1）得：y=x2-4x+3，则抛物线与y轴的交点C的坐标为C（0，3）， 由B、C两点的坐标可得直线BC的表达式为：y=-x+3， 设Q（x，x2-4x+3），则P（x，x-3）， ∴PQ=x-3-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-）2+， ∵a=-1＜0， ∴PQ有最大值，即当x=时，PQ有最大值， y==， ∴Q（，）. （3）解：存在，理由如下： 设直线CQ的表达式为：y=mx+n， ∵C（0，3），Q（，）， ∴，解得：， ∴yCQ=x+3， 过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA=∠QCO， ∵∠CQD=2∠QCO，∠TQA=∠QCO， ∴∠CQT=∠DQT，即直线AQ和DQ关于直线QT对称， ∴直线DQ的表达式为：y=(x-)=x-， 将直线DQ和抛物线的解析式联立解方程组可得： x1=(舍去），x2=5， y=×5-=8， ∴D(5，8)； 设点E（0，y）， 由B、D、E的坐标可得：BD2=（3-5）2+（0-8）2=68， DE2=（5-0）2+（y-8）2=25+（y-8）2，BE2=32+y2=9+y2， ∵△BDE是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： 当DE=BD时，25+（y-8）2=68，解得：y=8±，即点E（0，8±）； 当DE=BE时，25+（y-8）2=9+y2，解得：y=5；即点E（0，5）； 当BE=BD时，9+y2=68，解得：y=±，即点E（0，±）； 综上可得：点E的坐标为：（0，8±）或（0，5）或（0，±）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $