专题06 圆压轴四大模型突破2026-2027学年九年级数学全册高频考点题型归纳与满分必刷题（浙教版）

专题06 圆压轴四大模型突破 【模型01：点圆最值问题】 【模型02：瓜豆原理】 【模型03：定弦定角】. 【模型04：四点共圆】 【模型01：点圆最值问题】 1．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 2．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，可得 ，利用正方形的性质得，，得到点 在同一条直线上，即得到 ，连接，与相交于点，与相交于点，此时的值最小，最小值 ，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∴点 在同一条直线上， ∴， ∴， 连接，与相交于点，与相交于点，如图， 此时的值最小，最小值 ， ∵， ∴ ， ∴的最小值为． 3.如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 4．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 5．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 【模型02：瓜豆原理】 6．如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，证明为等腰直角三角形，可得，点到距离的最小时，最小，所以垂直时，取最小值，再计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，，，点为中点， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 过点作的垂线段，交于点， ，点到距离为的值， ， ， 当点到距离的最小时，最小， 如图，时，最小， ， 此时， ，即点到距离的最小值为， 故选：B． 7．如图，在等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，根据三角形中位线的性质、圆周角定理的推论可得点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上，取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心，从而得出当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，最后根据勾股定理求值即可． 【详解】解：连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，    ∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线 ∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF= ∴∠EFC=180°－∠ACB=90° ∵AC为直径 ∴∠APC=90°，即AP⊥CP ∴EM⊥MF，即∠EMF=90° ∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上 取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心 当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长， ∵等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8， ∴AC=BC== ∴EF==，FC==， ∴OM1=OF== 根据勾股定理可得OC= ∴CM1=OC－OM1= 即CM最小值为 故选C． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理，掌握三角形中位线的性质、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键． 8．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为（　　） A． B．0.25 C．1 D．2 【答案】A 【分析】依题意设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根据点到直线的距离可知：当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段OE的最小值. 【详解】解：设Q是AB的中点，连接DQ， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC＝2，O为AC中点， ∴ ∴AQ＝AO， 在△AQD和△AOE中， ， ∴△AQD≌△AOE（SAS）， ∴QD＝OE， ∵点D在直线BC上运动， ∴当QD⊥BC时，QD最小， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵QD⊥BC， ∴△QBD是等腰直角三角形， ∴ ∵QB＝AB＝1， ∴ ∴线段OE的最小值是为 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是：作出辅助线构建全等三角形. 9．如图，是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以BC为边作等边，连接DM，则，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC为中垂线与圆的交点时，BC边上的高取最大值为，根据三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：以BC为边作等边，连接DM， ∵， ∴， ∵DC=AC，MC=BC， ∴（SAS）， ∴DM=AB=2为定值， 即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC为中垂线与圆的交点时，BC边上的高取最大值为， 此时面积为： 故选：A 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D的位置是解题的关键． 【模型03：定弦定角】. 10．如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先利用矩形的性质及已知条件得出的长，再由勾股定理得出的长，然后利用三角函数得出，从而，再证得，取中点O，E在以为直径的圆上，则当时，最短，设，则，，根据题意得出关于x的一元一次方程，解得x的值，则答案可求． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴取中点O，E在以为直径的圆上， ∴， ∴当取最小值时，也为最小值， ∵E为上的动点， ∴当时，OE最短， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用、圆的定义及一元一次方程在几何问题中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 11．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，首先根据得到点P的轨迹，从而得到最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵交于点P，且，则点P的轨迹为以为直径的半圆上，连接，交于点，此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小， ∴CP的最小值， 故选：B． 12．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，证明，推出，点在以为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，4为半径的上， ， ， 的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 【模型04：四点共圆】 13．综合与实践 “乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵， ∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳： (1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________． 依据2：________________． 如图3，在四边形中，，则的度数为________． (2)拓展探究： (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 (2) (3) 证明：， ， 点与点关于的对称， ，， ，， ， ， ，，，四点共圆． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可； （2）根据四点共圆、圆周角定理解答； （3）根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：依题意，结合上下证明过程得： 依据1：圆内接四边形对角互补； 依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）解：， 点，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 故答案为：； （3）略 【点睛】本题考查的是圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的定义、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 14．在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①找出图中与全等的三角形，并说明理由； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 【答案】(1) ①，理由如下： 是等腰直角三角形，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ； ②； ③证明： ， ， ， 四点共圆； (2)或 【分析】（1）①由证明；②由可得，通过导角可得，即可求出的度数；③由对角互补的四边形的四个顶点共圆，可证四点共圆； （2）由勾股定理可求的长，由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，的长，再分当点F在线段上时或当点F在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：①略 ② ， ， ， ， ； ③略 （2）解：①如图，当点F在线段上时，连接，过点D作于点H， ， ， ，， ，， 四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②当点F在线段的延长线上时， 由①可知：， ∴， 四点共圆， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴的长为或 【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15．【问题呈现】如图，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵四点共圆，∴， ∴． ∴三点共线． 证明过程缺失 (1)请补全余下的证明过程． (2)【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． 若的半径为，则四边形周长的最大值为______． (3)将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写作法，保留作图痕迹，作图需确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑） 【答案】(1) 证明：由题意可知，， ∵四点共圆， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵， ∴； (2) (3) 作射线交于点，以为一边，在外作，在上取，连接，则此时三点共线，即为所求； 【分析】（）由四点共圆可得，得到三点共线，由是等边三角形得，进而即可求证； （）过点作于，则，由等边三角形的性质和圆周角定理得，即得，得到，，，再根据解答即可求解； （）作射线交于点，以为一边，在外作，在上取，连接，则此时三点共线，即为所求，再根据等边三角形的性质和勾股定理表示出的面积即可说明． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由问题解决可知， ∴， ∵为的弦， ∴当为直径时，最大，最大值为， ∴； （3） 证明：如图，过点作于点， ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴当取最大值时，取最大值， ∵是的弦， ∴当为直径时，取得最大值． 【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 16．阅读下列材料，完成相应学习任务： 四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°． 求证：过点A、B、C、D可作一个圆． 证明：如图（1），假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上． 如图（2）假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，设AD的延长线与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠AEC，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上． 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： （1）材料中划线部分结论的依据是　 　． （2）证明过程中主要体现了下列哪种数学思想：　 　（填字母代号即可） A、函数思想   B、方程思想   C、数形结合思想   D、分类讨论思想 （3）如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°．AD=BD，则求∠ADB的大小． 【答案】（1）圆的内接四边形对角互补（2）D；（3）∠ADB=32° 【详解】试题分析：（1）材料中划线部分结论的依据圆的内接四边形对角互补； （2）证明过程中分点D在圆外或圆内两种情形讨论，主要体现了分类讨论的数学思想； （3）利用“对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”这个结论，结合同弧所对的圆周角相等以及等腰三角形的性质，即可解决问题． 试题解析： 解：（1）材料中划线部分结论的依据圆的内接四边形对角互补， 故答案为圆的内接四边形对角互补； （2）证明过程中主要体现了分类讨论的数学思想，分点D在圆外或圆内两种情形讨论． 故答案为D； （3）解：∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴过四边形ABCD的四个顶点能作一个圆（如图所示）， ∴∠CBD＝∠CAD＝16°， ∴∠ABD＝74°， 又∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝74°， ∴∠ADB＝32°． 点睛：本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和等腰三角形的性质等，推导了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，解题的关键是利用结论解决问题，属于中考创新题目． 17．从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 【答案】(1)， (2) 证明：在上取点D，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P在上运动不与B，C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴， 又， ∴ ， ∴， ∵， ∴； (3) (4)7 【分析】（1）由圆周角定理和题意即可得解； （2）在上取点D，使，连接，证明是等边三角形，得，再证明得，从而可得出结论； （3）构造圆内接四边形，延长交圆O于点D，连接，利用B命题建立关于半径的方程求解即可； （4）条件中有2倍角，故构造一个外角等于二倍角从而得到等腰三角形，在线段上截取作，连接，证 ，可得，从而证明，再过点E作于点G，设，将都用x表示，最后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知因为， 所以A，B，C，D四点共圆， 此时； 故答案为：，； （2）略 （3）解：延长交圆O于点D，连接，，，如图3， 设半径为r，则， ， ， 为直径， ， 在中，， ，， ， ， 即， ， 解得负值舍去， 即扇形的半径的长； （4）解：如图4，在线段上截取，连接， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 过点E作于点G， 设，则，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆压轴四大模型突破 【模型01：点圆最值问题】 【模型02：瓜豆原理】 【模型03：定弦定角】. 【模型04：四点共圆】 【模型01：点圆最值问题】 1．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 2．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3.如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【模型02：瓜豆原理】 6．如图，中，，，点为中点，点、分别在、上，且，连接，则点到距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．如图，在等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接 BP ，取 BP 的中点 M ，则CM 的最小值为（     ）    A． B． C． D． 8．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为（　　） A． B．0.25 C．1 D．2 9．如图，是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【模型03：定弦定角】. 10．如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 11．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 【模型04：四点共圆】 13．综合与实践 “乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1） ∵， ∴． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳： (1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________． 依据2：________________． 如图3，在四边形中，，则的度数为________． (2)拓展探究： (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆． 14．在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①找出图中与全等的三角形，并说明理由； ②求的度数； ③利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 15．【问题呈现】如图，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵四点共圆，∴， ∴． ∴三点共线． 证明过程缺失 (1)请补全余下的证明过程． (2)【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． 若的半径为，则四边形周长的最大值为______． (3)将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形，并说明理由（不写作法，保留作图痕迹，作图需确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑） 16．阅读下列材料，完成相应学习任务： 四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°． 求证：过点A、B、C、D可作一个圆． 证明：如图（1），假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上． 如图（2）假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，设AD的延长线与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC，而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠AEC，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上． 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： （1）材料中划线部分结论的依据是　 　． （2）证明过程中主要体现了下列哪种数学思想：　 　（填字母代号即可） A、函数思想   B、方程思想   C、数形结合思想   D、分类讨论思想 （3）如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°．AD=BD，则求∠ADB的大小． 17．从圆的知识拓展学习，我们知道以下两个命题都正确，现在可在下面的答题中直接运用． A命题：若两个三角形有一条公共边，且在公共边的同侧所对的两角相等，则这两个三角形的顶点在同一个圆上． B命题：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积之和． (1)根据以上两个命题．结合下面的图①填空： 因为______，所以A，B，C，D四点共圆，此时______． (2)如图②，是等边的外接圆，点P在上运动不与B，C重合，连结，求证： (3)如图③，在扇形中，，点A在上，，求扇形的半径的长． (4)如图④，是等边三角形，点D在的延长线上，连接，点E在边上，连接，且，，，那么的长为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $