专题04 随机事件的概率重难点十大题型突破2026-2027学年九年级数学全册高频考点题型归纳与满分必刷题（浙教版）

专题04 随机事件的概率重难点十大题型突破 【题型01 事件的分类】 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】 【题型03 概率的意义理解】 【题型04 根据概率公式计算概率】 【题型05 已知概率求数量】 【题型06 几何概率】 【题型07 列表法或树状图法求概率】 【题型08 求某事件的频率】 【题型09 由频率估计概率】 【题型10 概率的简单应用】 【题型01 事件的分类】 1．下列事件为必然事件的是（     ） A．经过有交通信号灯的十字路口时，遇到红灯 B．在全是红球的袋中任意摸出一球，结果是白球 C．抛掷一枚硬币三次，全都正面朝上 D．画一个三角形，其内角和是 2．下列事件中，是确定事件的是（     ） A．从只有白球的袋中摸出白球 B．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 C．2030世界杯你最喜爱的球队一定夺冠 D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面点数是4 3．任意画一个三角形，其内角和是，这个事件是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】A 4．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”这一事件是（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法判断 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】 5．在，，，，这五个数中，将其中的任意两个数相加，和是偶数的可能性是（     ）． A． B． C． D． 6．把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 7．下列语句所描述的事件，可能性最小的事件是（     ） A．种瓜得瓜 B．竹篮打水 C．水涨船高 D．日落西山 8．下列情况中，摸球一次，摸到红球可能性最小的是（     ） A．8个白球，2个红球，3个绿球 B．3个红球，6个黄球，4个绿球 C．9个白球，3个黑球，1个红球 D．2个白球，4个红球，7个绿球 【题型03 概率的意义理解】 9．下列说法中不正确的是（     ） A．频率等于概率B．“如果是有理数，那么”是必然事件 C．不可能事件发生的概率为0 D．“8，15，17是勾股数”是必然事件 10．下列说法正确的是（     ） A．“明天的降水概率为”，意味着明天下雨的可能性较大 B．“任意画一个三角形，其内角和是”是随机事件 C．“某彩票中奖概率是”，表示买50张这种彩票一定会中奖 D．抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，则正面向上的概率为 11．据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 12．阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 【题型04 根据概率公式计算概率】 13．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 14．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 15．有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（     ） A． B． C． D．0 16．小亮制作了5张完全相同的代表揭阳特色的卡片，卡片内容分别为：景点·揭阳楼，非遗·阳美玉雕，民俗·英歌舞，美食·惠来绿豆饼、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为景点·揭阳楼的概率为（     ） A． B． C． D． 17．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 18．小明购买了1张经济舱机票，从如图所示的某排6个座位中随机选择1个，则所选座位靠窗的概率是（     ） A． B． C． D． 【题型05 已知概率求数量】 19．一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于，则布袋中白球可能有（    ） A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 20．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有8个，黄色玻璃球有12个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为（   ） A． B． C． D． 21．有诗日：桂花香馅裹胡桃，江米如珠井水淘．见说马家滴粉好，试灯风里卖元宵．元宵节，小明妈妈煮了一锅元宵，其中有10个黑芝麻馅，5个花生馅，a个豆沙馅，若小明吃到的第一颗元宵是黑芝麻馅的概率为，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 22．在一个不透明的盒子里装有20个黑、白两种颜色的小球，每个球除了颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则盒子里的白球的个数可能是（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 23．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为（　　） A．11 B．14 C．17 D．20 24．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有冬奥会会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有张．若从中随机摸出1张卡片，摸出印有冰墩墩图案的概率是，则的值是（    ） A．25 B．10 C．5 D．3 【题型06 几何概率】 25．如图将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（    ）    A． B． C． D． 26．如图是水平放置的圆形瓷砖，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份．若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是（     ）    A． B． C． D． 27．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（　　）    A． B． C． D． 28．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，若在这个网格面上随意抛一粒豆子，则豆子落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 29．［教材练习变式］［2017·辽阳］如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是(         )    A． B． C． D． 【题型07 列表法或树状图法求概率】 30．每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 31．已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 32．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（     ） A． B． C． D． 33．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 34．如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（     ） A． B． C． D． 【题型08 求某事件的频率】 35．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 36．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 37．如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（    ） A． B． C． D． 38．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 39．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断： ①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 【题型09 由频率估计概率】 40．在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 41．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是(     ) A．14 B．26 C．30 D．36 42．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 43．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【题型10 概率的简单应用】 44．月日是世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．在一个不透明的袋子中放入标有，，，，，，，的八个小球（小球除标的数字不同外，其他均相同），从中任意抽取一个，若抽到小球上的数字是的倍数，则小明去；若抽到小球上的数字大于，则小华去． (1)任意抽取一个小球，抽到小球上的数字是的倍数的概率是________； (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 45．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 46．“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东抽中的是唐僧的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 47．甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． (1)用画树状图法列出所有可能的结果． (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 随机事件的概率重难点十大题型突破 【题型01 事件的分类】 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】 【题型03 概率的意义理解】 【题型04 根据概率公式计算概率】 【题型05 已知概率求数量】 【题型06 几何概率】 【题型07 列表法或树状图法求概率】 【题型08 求某事件的频率】 【题型09 由频率估计概率】 【题型10 概率的简单应用】 【题型01 事件的分类】 1．下列事件为必然事件的是（     ） A．经过有交通信号灯的十字路口时，遇到红灯 B．在全是红球的袋中任意摸出一球，结果是白球 C．抛掷一枚硬币三次，全都正面朝上 D．画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】可利用三角形内角和为的确定结论，直接判断对应选项为必然事件． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的十字路口时遇到红灯，是随机事件； B、在全是红球的袋中任意摸出一球是白球，是不可能事件； C、抛掷一枚硬币三次全都正面朝上，是随机事件； D、任意三角形的内角和是，是必然事件． 2．下列事件中，是确定事件的是（     ） A．从只有白球的袋中摸出白球 B．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 C．2030世界杯你最喜爱的球队一定夺冠 D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面点数是4 【答案】A 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，与随机事件相对；根据随机事件和确定事件的特点判断即可． 【详解】解：A选项从只有白球的袋中摸出白球，是必然事件，属于确定事件，符合题意； B选项翻到的页码可能是偶数，也可能是奇数，结果不确定，是随机事件，不符合题意； C选项世界杯喜爱球队有可能夺冠，也有可能不夺冠，结果不确定，是随机事件，不符合题意； D选项掷骰子向上一面点数可能为，也可能不是，结果不确定，是随机事件，不符合题意． 3．任意画一个三角形，其内角和是，这个事件是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：任意三角形的内角和均为，该事件一定会发生，属于必然事件． 4．“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”这一事件是（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据不同类型事件的定义判断该事件的类型即可． 【详解】解：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的不确定事件． 又∵随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，结果不确定， ∴该事件是随机事件． 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】 5．在，，，，这五个数中，将其中的任意两个数相加，和是偶数的可能性是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两数和为偶数的奇偶性特征，分别计算总情况数与符合条件的情况数，进而求解可能性． 【详解】解：在，，，，中奇数有个，偶数有个， 从个数中任取个数的情况为：、、、、、、、、、， 共有种等可能结果，其中和是偶数有种情况， 因此，和是偶数的可能性为． 6．把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． 下面描述正确的是（     ） A．一定能摸出3 B．不可能摸出5 C．摸出3的可能性最小 D．摸出1的可能性最大 【答案】D 【详解】解：A、可能摸出3，也可能摸不出3，原说法错误； B、可能摸出5，也可能摸不出5，原说法错误； C、5的数量最少，摸出5的可能性最小，原说法错误； D、1的数量最多，摸出1的可能性最大，原说法正确. 7．下列语句所描述的事件，可能性最小的事件是（     ） A．种瓜得瓜 B．竹篮打水 C．水涨船高 D．日落西山 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性大小的判断，只需先判断各选项对应的事件类型，再比较可能性大小即可，必然事件发生的可能性为，不可能事件发生的可能性为． 【详解】解：∵选项A种瓜得瓜，选项C水涨船高，选项D日落西山都是必然事件，发生的可能性都为，选项B竹篮打水是不可能事件，发生的可能性为， ∴可能性最小的事件是B． 8．下列情况中，摸球一次，摸到红球可能性最小的是（     ） A．8个白球，2个红球，3个绿球 B．3个红球，6个黄球，4个绿球 C．9个白球，3个黑球，1个红球 D．2个白球，4个红球，7个绿球 【答案】C 【分析】根据当所有球的总个数相同时，红球的个数越少，摸到红球的可能性越小，只需比较各选项红球个数即可求解． 【详解】解：先计算每个选项的总球数： A选项总球数：，红球个数为； B选项总球数：，红球个数为； C选项总球数：，红球个数为； D选项总球数：，红球个数为； ∵四个选项总球数相同，且， ∴C选项红球个数最少，摸到红球可能性最小， 故摸到红球可能性最小的是C选项． 【题型03 概率的意义理解】 9．下列说法中不正确的是（     ） A．频率等于概率 B．“如果是有理数，那么”是必然事件 C．不可能事件发生的概率为0 D．“8，15，17是勾股数”是必然事件 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念，以及必然事件，不可能事件的性质和勾股数的定义，要求选出不正确的说法． 【详解】解：A 、频率是通过试验得到的统计结果，是概率的近似估计值，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，但频率不等于概率，因此该说法不正确； B、∵任何有理数的绝对值都是非负数，即对任意有理数，恒成立，∴该事件是必然事件，说法正确； C、根据概率的定义，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，说法正确； D、∵，且，，都是正整数，符合勾股数的定义，∴“，，是勾股数”一定成立，是必然事件，说法正确． 10．下列说法正确的是（     ） A．“明天的降水概率为”，意味着明天下雨的可能性较大 B．“任意画一个三角形，其内角和是”是随机事件 C．“某彩票中奖概率是”，表示买50张这种彩票一定会中奖 D．抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，则正面向上的概率为 【答案】A 【分析】根据概率的含义和必然事件、随机事件的定义，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ A选项中明天的降水概率为，概率大于，意味着明天下雨的可能性较大，∴A正确； ∵ 任意三角形的内角和一定是，该事件是必然事件，不是随机事件，∴B错误； ∵ 彩票中奖概率表示中奖的可能性，买张这种彩票也不一定会中奖，∴C错误； ∵ 抛硬币每次抛出，正面向上的概率都是，和之前的抛掷结果无关，∴D错误. 11．据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义，概率用于表示事件发生可能性的大小，只需根据降雨概率的含义判断选项即可． 【详解】∵概率表示事件发生可能性的大小，是接近的概率， ∴该数据说明明天全市下雨的可能性较高，但降雨不是必然事件，也不是不可能事件， 由此可得：A：“可能性较高”正确；B：“一定不会下雨”错误；C：“可能性较低”错误；D：“一定会下雨”错误． 12．阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 【答案】D 【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率意味着成活的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的． 【详解】解：成活率表示在大量重复试验中，成活的可能性为，属于随机事件，并非必然事件或不可能事件 ．种植棵梭梭，不一定有棵成活，故A错误； 种植棵梭梭，成活数量不确定，故B错误； 种植棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C错误，D正确． 【题型04 根据概率公式计算概率】 13．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵袋子中共有个球，其中绿球有个， ∴随机取出个球恰好是绿球的概率为． 14．口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． 15．有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先列出任取3条线段的所有等可能结果，再根据三角形三边关系找出能构成三角形的结果数，最后根据概率公式计算概率。 【详解】解：∵从长度为四条线段中任取3条，共有4种等可能的结果，分别为： 根据三角形任意两边之和大于第三边判断，只有这一组满足三边关系，符合条件的结果共1种. ∴恰好能构成三角形的概率是． 16．小亮制作了5张完全相同的代表揭阳特色的卡片，卡片内容分别为：景点·揭阳楼，非遗·阳美玉雕，民俗·英歌舞，美食·惠来绿豆饼、特产·荔枝．他将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取1张，抽得卡片为景点·揭阳楼的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：共有5张卡片， 从中任意抽出一张卡片，共有5种等可能的结果， 其中卡片为景点·揭阳楼只有1种结果， 抽得卡片为景点·揭阳楼的概率为． 17．小明要钉一个三角形木框，已有两根长度为、的木棒．如图所示的桌上有长度不同的4根木棒，他从中随机取一根，加上原有的两根木棒，能钉成一个三角形木框的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，从而找出符合条件的木棒根数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 已有两根木棒长度分别为、， 根据三角形三边关系可得：，即， 桌上的4根木棒长度分别为、、、， 满足的木棒有和这2根， 能钉成一个三角形木框的概率为． 18．小明购买了1张经济舱机票，从如图所示的某排6个座位中随机选择1个，则所选座位靠窗的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用靠窗的座位数除以座位总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有6个座位，其中靠窗的座位有2个， ∴从这6个座位中随机选择1个，所选座位靠窗的概率是． 【题型05 已知概率求数量】 19．一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共30个，这些球除颜色外都相同．小红通过多次重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定于，则布袋中白球可能有（    ） A．20个 B．21个 C．22个 D．23个 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，摸到黄球的频率稳定于0.3，即黄球的概率约为0.3，由此可求出黄球数量，再求白球数量． 【详解】解：设黄球有x个， ∵ 总球数为30，且摸到黄球的频率稳定于， ∴ ， 解得， ∴ 白球数量为（个）。 故选：B． 20．一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有8个，黄色玻璃球有12个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．设袋子中蓝色玻璃球有x个，根据概率公式，可得，据此求出蓝色玻璃球的数量；然后用红色玻璃球的数量除以玻璃球的总量，即可解答． 【详解】解：设袋子中蓝色玻璃球有x个， 则， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴随机摸出一个为红色玻璃球的概率为：． 故选：C 21．有诗日：桂花香馅裹胡桃，江米如珠井水淘．见说马家滴粉好，试灯风里卖元宵．元宵节，小明妈妈煮了一锅元宵，其中有10个黑芝麻馅，5个花生馅，a个豆沙馅，若小明吃到的第一颗元宵是黑芝麻馅的概率为，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是根据概率公式列出分式方程，难度不大．根据概率公式列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根， 故选：C． 22．在一个不透明的盒子里装有20个黑、白两种颜色的小球，每个球除了颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则盒子里的白球的个数可能是（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】D 【分析】本题考查用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用白球的概率公式列方程求解得到白球的个数． 根据题意和题目中的数据，可以计算出盒子里的白球的个数可能是多少，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 盒子里的白球的个数可能是：（个）， 故选：D． 23．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为（　　） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】C 【分析】根据口袋中有个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设红球的个数为个，根据题意得： ∴， 解得：， 经检验是原方程的解， 则红球的个数为个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 24．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有冬奥会会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有张．若从中随机摸出1张卡片，摸出印有冰墩墩图案的概率是，则的值是（    ） A．25 B．10 C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据概率的意义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键． 【题型06 几何概率】 25．如图将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分占7份， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 26．如图是水平放置的圆形瓷砖，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份．若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定阴影的面积在整个圆形瓷砖中所占的比例，根据这个比例即可求出小球落在阴影部分的概率． 【详解】解：因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半，因此若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等． 27．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得阴影部分所在扇形圆心角为在圆周角中所占的比即为所求的概率． 【详解】解：因为，所以顾客获奖的概率为． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何型概率，这是基础题． 28．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，若在这个网格面上随意抛一粒豆子，则豆子落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可． 【详解】解：阴影区域面积为3， 正方形面积为4×4＝16， 故豆子落在阴影区域的概率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 29．［教材练习变式］［2017·辽阳］如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是(         )    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵由图可知，黑色方砖可拼4块，图中共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个区域中所占的比值 =， ∴它停在黑色区域的概率是． 【题型07 列表法或树状图法求概率】 30．每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，，列表得到所有的等可能的结果数，找出均为O型血的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，， 列表如下：             共有12种等可能的结果，其中两人均为O型血的有2种结果， ∴选到的两人均为O型血的概率为． 31．已知袋中有2个白球、2个红球，各个球的大小与质地相同，现从袋中依次不放回地取2个球，取出的2个球的颜色不相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与取出的2个球的颜色不相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 白 白 红 红 白 白白 白红 白红 白 白白 白红 白红 红 红白 红白 红红 红 红白 红白 红红 ∵共有12种等可能的结果，取出的2个球的颜色不相同的有8种情况， ∴取出的2个球的颜色不相同的概率为． 32．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出所有等可能的结果，再找出满足条件的结果，结合概率公式即可求解． 【详解】解：记3个黑子分别为黑1，黑2，黑3，1个白子为白，列表如下： 黑1 黑2 黑3 白 黑1 黑1，黑2 黑1，黑3 黑1，白 黑2 黑2，黑1 黑2，黑3 黑2，白 黑3 黑3，黑1 黑3，黑2 黑3，白 白 白，黑1 白，黑2 白，黑3 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有6种， 摸出1个黑子和1个白子的概率为． 33．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药分别为A、B、C、D， 由题意，列表如下． A B C D A － B － C － D － 由表可知共有12种等可能的结果，其中选中灵宝苹果和信阳毛尖的结果有2种， 则P（恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖）． 34．如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： B盘A盘 黑 蓝 红 蓝 （蓝，黑） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，黑） （红，蓝） （红，红） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的情况有种， 故两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为． 【题型08 求某事件的频率】 35．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 36．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋中共有10个球， ∴估计袋中红球的个数为（个）． 37．如图1，在面积为的正三角形内部有一块不规则石块（阴影部分）．为测算石块的面积，小红利用计算机进行模拟实验：在三角形区域内随机投放点，记录点落在石块上的频率，绘制的频率折线图如图2，根据图中信息，估计石块的面积约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则石块的面积与正三角形的面积的比为0.35，即可求得不规则石块的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则石块上的频率稳定在0.35， ∴点落在不规则石块上的概率为0.35， ∴估计石块的面积约是， 故选：C． 38．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 39．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断： ①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据概率公式和摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理符合题意； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球个，故本选项推理符合题意； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率也还是0.35，故本选项推理不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，根据概率求数量等，解题的关键是要明确大量反复试验下频率稳定值即概率． 【题型09 由频率估计概率】 40．在一个不透明的纸箱中装有除颜色外其他完全相同的个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则纸箱中红球和黑球共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设红球和黑球共有个，根据题意可以得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设红球和黑球共有个， ∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴纸箱中红球和黑球共有个． 41．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是(     ) A．14 B．26 C．30 D．36 【答案】B 【分析】本题利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，设袋子中有黄球x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出方程，求解即可． 【详解】解：∵多次摸球试验后，摸出红球的频率稳定在左右， ∴估计摸出红球的概率为． 设袋子中有黄球x个，则 ，解得， 因此袋子中黄球的个数最有可能是． 42．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为, 此二维码白色部分的面积为． 43．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 【题型10 概率的简单应用】 44．月日是世界读书日，为了营造多读书、读好书的氛围，某校举办了校园读书节，要在小明和小华中选取一人作为读书节主持人．在一个不透明的袋子中放入标有，，，，，，，的八个小球（小球除标的数字不同外，其他均相同），从中任意抽取一个，若抽到小球上的数字是的倍数，则小明去；若抽到小球上的数字大于，则小华去． (1)任意抽取一个小球，抽到小球上的数字是的倍数的概率是________； (2)通过计算说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别根据概率公式求解两人去的概率，然后比较两个概率的大小即可判断游戏的公平性． 【详解】（1）解：一共有8个球，其中数字是的倍数的为3，6，有2个， 所以任意抽取一个小球，抽到小球上的数字是的倍数的概率是； （2）解：一共有8个球，其中数字是2的倍数的为2，4，6，8，有4个；数字大于的为11，13，17，有3个， 所以抽到小球上的数字是的倍数的概率为；抽到小球上的数字大于的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 45．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 46．“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东抽中的是唐僧的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：公平，理由如下： 画出树状图如下： 一共有12种等可能出现的结果，师徒关系的有6种，即，， 则，， 所以这个游戏公平． 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）画出树状图，可知所有等可能出现的结果，再得出师徒关系的结果，然后求出各自的概率比较可得答案． 【详解】（1）解：一共有4张卡片，抽到A的概率为； （2）略 47．甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． (1)用画树状图法列出所有可能的结果． (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) 画树状图： ∴16种等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，； (2) 这个游戏公平，理由： 由图知共有16种等可能结果，其中为奇数的可能有8种，为偶数也有8种可能， 故结果为奇数或偶数的概率都是， 甲乙获胜的概率相同，故这个游戏公平． 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率． （1）画树状图即可展示所有16种等可能的结果数； （2）根据树状图得到结果为奇数或偶数的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $