专题09 直线和圆重难点题型汇编（六大题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题09圆重难点题型汇编 【题型01 ：直线与圆的位置关系的判定】.............................................................................1 【题型02 ：切线的性质】.........................................................................................................2 【题型03：切线长的判定定理】...............................................................................................5 【题型04 ：直线与圆的位置关系的判定】.............................................................................8 【题型05：三角形的内切圆】...................................................................................................10 【题型06：三角形的外接圆】...................................................................................................11 【题型01 ：直线与圆的位置关系的判定】 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 4．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 5．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【题型02 ：切线的性质】 1．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且为的弦，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知为的切线，点D为上一点，交于点C，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ）    A．2 B．3 C． D．4 5．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 7．如图，是半圆的直径，点是圆心，点是延长线上的一点，与半圆相切于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为（   ） A．5 B． C． D． 9．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 11．如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 12．如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型03：切线判定与性质综合】 1．如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 2．如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 3．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证∶与相切； (2)若，，求的半径r． 4．如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作经过点D，与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 5．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 6．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若 交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【题型04：切线长定理】 1．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 2．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 4．如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 【题型05：三角形的内切圆】 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 4．如图，三个半径为R的圆两两外切，的三边分别与其中两个圆相切．若的面积为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 【题型06：三角形的外接圆】 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09圆重难点题型汇编 【题型01 ：直线与圆的位置关系的判定】.............................................................................1 【题型02 ：切线的性质】.........................................................................................................7 【题型03：切线长的判定定理】...............................................................................................19 【题型04 ：直线与圆的位置关系的判定】.............................................................................30 【题型05：三角形的内切圆】...................................................................................................35 【题型06：三角形的外接圆】...................................................................................................40 【题型01 ：直线与圆的位置关系的判定】 1．已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，；直线和圆相切，；直线和圆相离，（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）求解． 【详解】解：由题意知， ∵的半径为，线段，， ∵点A到圆心O的距离，大于圆的半径， ∴点A在圆的外部， ∵点B到圆心O的距离，等于圆的半径， ∴点B在圆上， ∵点A在圆外，点B在圆上， ∴直线会与圆O相交或相切． 故选：D． 2．如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，连接，作于点F，由等边三角形的性质得，则，所以，由切线的性质得，则，可知当的值最小时则的值最小，所以当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点Q，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当的值最小时则的值最小， ∴当时，， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 4．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【答案】D 【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论． 【详解】解：当点O2在点O1的右侧时， 当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M， 则O2M=4， 又∵∠AO2O1=30°， ∴O1O2=2•O2M=8， 当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2， 所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键． 5．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 【题型02 ：切线的性质】 1．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且为的弦，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的性质，等边对等角，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 连接，根据圆的切线的性质定理得出直角三角形，利用直角三角形的性质求出，然后再利用平行线的性质和等边对等角进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用圆周角定理求出，再根据切线性质得出，最后结合三角形内角和求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ 以为直径的与相切于点 ∴ ∴ 故选：． 3．如图，已知为的切线，点D为上一点，交于点C，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据切线得到直角，然后利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∴， 根据圆周角定理得，， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ）    A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 根据一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与相切于点D，连接，设，根据列出关于x的方程，求出x即可求出答案． 【详解】解：当时， 当时，， ∴， ∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴， ∴， 在中， ， 如图，设与相切于点D，连接，    ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 5．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 6．如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 7．如图，是半圆的直径，点是圆心，点是延长线上的一点，与半圆相切于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，锐角三角函数，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，由与半圆相切于点，则，故有，然后通过勾股定理求出，再由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与半圆相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得或（舍去）； ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可． 【详解】解：连接、、，交于，如图，   ，与相切，切点分别为，， ，，平分， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 11．如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 12．如图，分别与的外接圆相切，为切点，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数等，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点，可得，即得到，由切线的性质和切线长定理得，，进而可得，即得到，即可得，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设点为的外接圆圆心，连接，过点作于点， 则    ， ∵， ∴， ∵分别与的外接圆相切，为切点， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 【题型03：切线判定与性质综合】 1．如图，是的直径，切⊙于点，点是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求弦及，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可．由三角形的内角和定理可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和为，结合已知条件可得，于是得证； （2）连接，根据切线长定理可得，由全等三角形的判定与性质可得，于是可得，由勾股定理可求得的长，最终利用等边三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， 切于点， ， ， 四边形的内角和为， ， ， 又点是上的一点， 是的切线； （2）解：如图，连接， 、是的切线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，切线的性质，垂线的性质，多边形的内角和，切线的判定，切线长定理，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解题的关键． 2．如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）连接连接，可证明四边形是正方形，则，设，则，由勾股定理得，求得半径r即可． 【详解】（1）证明：连接，则． ． ， ． ． ． ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 与相切于点， ． ． 四边形是矩形， ． 四边形是正方形． ． 设， ， ． ． ． 解得（不符合题意，舍去）． 故的半径为3． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证∶与相切； (2)若，，求的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：∵，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 4．如图，在四边形中，平分．点 O在上，以点O为圆心，为半径，作经过点D，与相切于点B，延长线交于点 E，交于点 F，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解决此题的关键． 5．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 6．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若 交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5 【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题． （2）①连接，想办法证明即可解决问题． ②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：连接． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． ②解：，， ， ， ，，， ，设， 在中，， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型04：切线长定理】 1．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 2．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于 、、是⊙的切线，则，，求出的长即可求出 的长． 【详解】解：∵、为⊙的切线， ∴， ∵、为⊙的切线， ∴ ， ∴． 故选：B． 4．如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：D． 5．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到 ，结合勾股定理求出，即可得到的长. 【详解】解：连接，，，，如图所示， 在矩形中， ∵，， ∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 6．如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 【答案】D 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，，证明，再利用割补法求解面积即可. 【详解】解：如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，， ∵四边形是的外切四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故选：D 【题型05：三角形的内切圆】 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 4．如图，三个半径为R的圆两两外切，的三边分别与其中两个圆相切．若的面积为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，连接三个圆心，连接，连接，分别为两个圆与的切点，证明为等边三角形，再求得，解方程即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接三个圆心，连接，连接，分别为两个圆与的切点， 三个半径为R的圆两两外切， ， 为等边三角形， 点分别为两个圆与的切点， ， ， 四边形为矩形， ， 同理可得， ， 为等边三角形， 根据切线长定理可得， ， 同理可得， ， 如图，为等边三角形中边上的垂线段，设， 则， ， 故， ， 解得（负值舍去）， 故选：A． 5．如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定可得，根据切线的性质可得，四边形是正方形，设，可得，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形与圆的综合，切线的性质，切线长的运用，勾股定理的知识，掌握切线的性质，切线长的运用是解题的关键． 【题型06：三角形的外接圆】 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $