专题08 锐角三角函数重难点题型汇编（十大高频题型）-2025-2026学年九年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题08 锐角三角函数重难点题型汇编 【题型1：锐角三角函数的定义 】................................................1 【题型2：已知函数值求边长】..................................................3 【题型3：求角的函数值】......................................................11 【题型4：同角三角函数的关系】...............................................19 【题型5：互余两角三角函数的关系 】...........................................20 【题型6：特殊角的三角函数值】...............................................23 【题型7：解直角三角形及应用】...............................................24 【题型8：解直角三角形的应用-坡度坡角】.......................................33 【题型9：解直角三角形的应用-仰角俯角】.......................................37 【题型10：解直角三角形的应用-方向角】.........................................46 【题型1：锐角三角函数的定义 】 1．在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切、余切的定义是解题的关键． 根据直角三角形三角函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，，的对边为a，邻边为b，斜边为c， ∴，，，，即D选项符合题意． 故选：D． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 3．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， A、在中，故A正确； B、在中，故B正确； C、在中，故C正确； D、在中，故D错误； 故选：D． 4．在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，根据锐角三角函数的定义表示出、、、，问题即可解答． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 由锐角三角函数的定义可知，，， ∴，，，， ∴选项B的结论不正确，符合题意． 故选：B． 【题型2：已知函数值求边长】 1．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正弦三角函数的定义，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它所对的直角边与斜边的比，利用定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 6． 2．如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据，，，证明，由正切的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正弦，勾股定理等知识．作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：12． 4．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 5．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 6．在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 7．如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，解一元二次方程．作的外接圆，作的直径，作于点，利用圆周角定理求得，证明四边形是矩形，推出，利用垂径定理结合圆周角定理求得，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：作的外接圆，作的直径，作于点，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得(负值已舍)， 故答案为：． 10．如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正切的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据高的定义以及勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，即，进而得到；然后运用勾股定理可得，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3：求角的函数值】 1．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变． 【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变． 故选：B． 2．在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键． 【详解】解：如图:∵，， ∴， ∴． 故选：A． 3．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】解：， ， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过P作轴于H，由P的坐标，得到，，结合勾股定理列式计算得，由锐角的正弦定义进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过P作轴于H， ∵P的坐标是， ∴，， 则， ∴， 即的正弦值是． 故选：C． 5．如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键． 求出扩大前后的值即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 如果把的各边都扩大为原来的4倍， ∴， ∴的值不变． 故选：A． 6．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，根据计算解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、余弦的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 在中，由勾股定理可得．根据旋转性质可得、．利用勾股定理可求出，最后根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 8．如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 10．如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正切的定义是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进一步得出，令，再用m表示出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知，令，则， ∴， ∵，且点D为的中点， ∴， ∴ 在中， ∵， ∴ 在中， ， 所以 故选：A． 11．如图，是的直径，、、为的弦，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键．由直径可知，结合勾股定理可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再求正切值即可． 【详解】解：如图，连接， ，是的直径， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，正切值的计算，根据一次函数与坐标轴的交点得到的值，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【题型4：同角三角函数的关系】 1．以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，熟练掌握是解题关键．根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 2．在中，，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，代入即可． 【详解】解：如下图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，解题关键是掌握互余两角三角函数的关系，即已知，能推出，，，． 【题型5：互余两角三角函数的关系 】 1．已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 2．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案． 【详解】解：在直角中，， ， 所以， 故答案为：． 3．在直角三角形中，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系是解题的关键．根据三角函数的性质，一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，由此即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 5．已知，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的定义，在中，，则，，，．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 【题型6：特殊角的三角函数值】 1．的值等于（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 3．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的有理数混合运算．直接利用特殊角的三角函数值代入并按照有理数运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数运算，涉及负整数指数幂的运算、特殊角三角函数值、有理数的乘方、化简绝对值，关键在于知识点的应用，熟记特殊角的三角函数值．分别利用绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果． 【详解】解：原式 5．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）0；（2）3 【分析】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数，实数的运算．解决问题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，实数混合运算的顺序，二次根式的性质． 【详解】（1）解： ；       （2）解： . 【题型7：解直角三角形及应用】 1．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．连结，先根据勾股定理的逆定理证明，再根据正切函数的定义求解． 【详解】解：连结， ，，， ， ， ． 故选：D． 2．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 3．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据同角的余角相等，得到，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选C． 4．如图，矩形的对角线相交于点，且，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质，解直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据，，则把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴． ∴ 解得 故选：A． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，中垂线的性质，根据，得到，设，中垂线的性质，得到，根据，求出的值，再利用勾股定理，求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选A． 6．如图，在中，，，，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过A作于D，利用锐角三角函数求得 ，，进而可求解． 【详解】解：如图，过A作于D， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 7．在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：______，______，发现结论：______；（选填“=”或“≠”） (2)实践探究：如图1，在中，，，求的值； 小明想构造包含的直角三角形：延长至点D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解； (3)拓展延伸：如图2，在中，．求的值． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，难度较大，在直角三角形中作辅助线构造是解决本题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值得出结论； （2）根据题意，利用勾股定理求，即可得结论； （3）作的垂直平分线交于点E，连接，则，在中，利用勾股定理求出，求即可得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：在中，， ∴， 如图1，延长至点D，使， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，作的垂直平分线交于点E，连接, 则， ∵中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 8．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的相关计算． （1）证明，根据求出，进一步可得． （2）求解，，进一步即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 9．在中， (1)求的长 (2)延长至点D，使，连接，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确添垂线是解题的关键． （1）过点作于点，运用勾股定理以及解即可求解； （2）由于，而，故，； 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∴，； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型8：解直角三角形的应用-坡度坡角】 1．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，三角函数的定义是解题的关键． （1）延长交于点，根据直角三角形的性质和正切的定义求出，，结合正切的定义求出，即可求解； （2）结合正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，则， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∴． 2．如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【答案】16米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．延长，两线交于E，过点D作于点Q，利用坡比，解直角三角形的知识点解答即可． 【详解】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 3．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 【题型9：解直角三角形的应用-仰角俯角】 1．2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 2．2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 【答案】千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，再在Rt△ABD中，根据求出，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， ∴（千米）， 在中，， ∴， ∴千米， ∴（千米）， 答：的长为千米． 3．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． (1)求点A到墙面BC的距离． (2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 【答案】(1)点到墙面的距离约为 (2)遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）过点作，垂足为，依次求出的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为． 在中，． ， ∴点到墙面的距离约为． （2）解：如图②，过点作，垂足为， 由题意，得． ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ∴遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为． 4．2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 5．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； 答：的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 6．万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 【答案】(1)点D与塔顶P的距离是140 (2)古塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义， （1）根据，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：如下图， 由题意得：， ， ， ； （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图， 则由题意得点P、F、N在同一直线上， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 【题型10：解直角三角形的应用-方向角】 1．如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 【答案】(1)米 (2)小明先达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，分别利用锐角三角函数比求出的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）, （米）， ∴（米）； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴（米）， （米）， ∴小聪所用时间为：（分钟）， 小明所用的时间为：（分钟）， ∵， ∴小明先到达景点D． 2．2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)小陈先到达体育场D处 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， 【详解】（1）解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答：的长度为米． （2）解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 3．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 【答案】(1)不会穿过古建筑保护群，理由见解析； (2)原计划完成这项工程需要天． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）要求是否穿过古建筑保护群，也就是求到的距离，要构造直角三角形，再解直角三角形即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过作于，设， 由已知有，，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：（米）（米）， ∴不会穿过古建筑保护群； （2）解：设原计划完成这项工程需要天，则实际完成工程需要天． 根据题意得：， 解得：， 经检验知：是原方程的根， 答：原计划完成这项工程需要天． 4．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达港 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角，构建直角三角形是解题的关键． （1）作于点，根据方位角的定义得到，，海里，推出，然后在中，利用三角函数求得、即可得到答案； （2）作于点，由（1）可求得，然后根据解直角三角形得到，，，，结合，从而求得，进而得到、，计算出和进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 在中，（海里）， （海里）， ∴海里， 答：、两港之间的距离为海里． （2）解：作于点，如图所示， 则， 由题意可知，，， 由（1）可知，，（海里）， ∴，， ∴，，，， ∵，即， 解得， ∴海里， 海里， ∴（海里）， （海里）， ∵，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达港． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数重难点题型汇编 【题型1：锐角三角函数的定义 】................................................1 【题型2：已知函数值求边长】..................................................3 【题型3：求角的函数值】......................................................11 【题型4：同角三角函数的关系】...............................................19 【题型5：互余两角三角函数的关系 】...........................................20 【题型6：特殊角的三角函数值】...............................................23 【题型7：解直角三角形及应用】...............................................24 【题型8：解直角三角形的应用-坡度坡角】.......................................33 【题型9：解直角三角形的应用-仰角俯角】.......................................37 【题型10：解直角三角形的应用-方向角】.........................................46 【题型1：锐角三角函数的定义 】 1．在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（　　） A． B． C． D． 4．在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【题型2：已知函数值求边长】 1．如图，在中，，，，则的长为 ． 2．如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 3．如图，在中，，，则的长是 ． 4．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 5．如图，在中，是边上的高，，，那么的长是 ． 6．在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 7．如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 8．如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为 ． 9．如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为 10．如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是 ． 【题型3：求角的函数值】 1．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（    ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大 2．在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 6．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，是的直径，、、为的弦，，则（　　） A． B． C． D． 12．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型4：同角三角函数的关系】 1．以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 2．在中，，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【题型5：互余两角三角函数的关系 】 1．已知中，，，则的值为 ． 2．在中，，，则 ． 3．在直角三角形中，，且，则 ． 4．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 5．已知，若，则 ． 【题型6：特殊角的三角函数值】 1．的值等于（   ） A． B．1 C． D． 2．计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．计算：． 4．计算： 5．（1）计算： （2）计算： 【题型7：解直角三角形及应用】 1．如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 2．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，垂足为点D，，，则的长为（    ）． A．7 B．8 C．9 D．12 4．如图，矩形的对角线相交于点，且，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 5．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，若，则的长是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，求边的长． 7．在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：______，______，发现结论：______；（选填“=”或“≠”） (2)实践探究：如图1，在中，，，求的值； 小明想构造包含的直角三角形：延长至点D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解； (3)拓展延伸：如图2，在中，．求的值． 8．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 9．在中， (1)求的长 (2)延长至点D，使，连接，求的度数． 【题型8：解直角三角形的应用-坡度坡角】 1．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 2．如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 3．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【题型9：解直角三角形的应用-仰角俯角】 1．2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 2．2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 3．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图②，这是遮阳篷的侧面示意图，遮阳篷靠墙端距离地面的高度记为BC，遮阳篷AB长为，与水平面的夹角为（结果精确到，参考数据：）． (1)求点A到墙面BC的距离． (2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为时，测得影长CD为，求遮阳篷靠墙端距离地面的高度BC． 4．2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 5．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 6．万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 【题型10：解直角三角形的应用-方向角】 1．如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 2．2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 3．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划完成这项工程需要多少天？ 4．如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别去、两港装载物资，港位于港西南方向，最后都运送到港．甲货轮沿港的南偏东方向航行60海里后到达港，再沿北偏东航行一定距离到达港．乙货轮沿港的正东方向航行一定距离到达港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达港．（参考数据： ，，） (1)求、两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $