第2章随机事件的概率 章末重难点专训 简单事件的概率-数字问题 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦数字情境下简单事件概率计算，以分层题型构建从概念理解到综合应用的逻辑链，强化推理意识与数据表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-6题|判断事件类型及可能性大小|从随机事件定义到等可能事件特征，夯实概率认知基础| |基础计算|填空9-12题|放回/不放回抽取数字，求特定结果概率|结合树状图/列表法，掌握两步事件概率计算方法| |综合应用|解答13-23题|游戏公平性判断、数字和/积的概率问题|从单一事件到复合事件，提升运算能力与模型意识|

第2章随机事件的概率 章末重难点专训 简单事件的概率-数字问题 一、选择题 1．某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”.比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（　　） A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 2．在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（　　） A． B． C． D． 3．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）一次，则正面朝上的数字（　　） A．一定是6 B．可能是6 C．一定大于6 D．一定小于6 4．从写有数字的3张卡片中任意抽取两张，摆成一个两位数，摆出的两位数是3的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 5．有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（　　） A．两张卡片的数字之和等于2 B．两张卡片的数字之和大于2 C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和大于7 6．有4张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2、3、4、5，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（　　） A．两张卡片的数字之和等于5 B．两张卡片的数字之和等于10 C．两张卡片的数字之和大于或等于2 D．两张卡片的数字之和等于4 7．有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有四个小球，分别标有数字1，2，3，4，乙袋装有三个小球，分别标有数字1，2，3，这些小球除数字不同外其余都相同，现从甲、乙两袋中各随机4摸出一个小球，则“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为（　　） A． B． C． D． 8．分别标有数字π，，-2，0，-4的五张卡片中，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．有三张正面分别写有数字1，2，3的卡片，它们除数字外其余完全一样．将其背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字相同的概率是　 　． 10．在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相同），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是　 　． 11． 在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字-、， ，0，2，π的小球， 这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为　 　. 12．一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为　 　． 三、解答题 13．在不透明的布袋里有3个小球分别标有数字1，2，3，它们除所标数字外其他完全相同．如果任意摸出1个小球记下所标数字后，将该小球放回袋中，搅匀后再摸出1个小球，求两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的概率． 14．在一个不透明的袋子中装有三个球，上面分别标有数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余都相同．先将小球搅匀，小刚从袋中随机取出一个小球，记下数字后放回；再将小球搅匀，又从袋中随机取出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小刚两次所记的数字之和等于4的概率． 15．现有四张正面分别标有数字，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀．若从中随机抽取一张记下数字，抽到的卡片不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n， （1）请利用画树状图或列表的方法表示出点所有等可能的结果． （2）求点在第一象限的概率． 16．有4张正面分别写有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀. （1）随机抽取一张，求抽到数字为奇数的概率. （2）随机抽取两张，记下两张卡片的数字，用列表或画树状图求抽取的两张卡片上数字之和为奇数的概率. 17．现有一副扑克牌中的三张牌，牌面数字分别为，将这三张牌背面朝上洗匀后，先从中随机抽取一张牌，记下数字后放回洗匀，再随机抽取一张牌，记下数字．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌牌面数字相同的概率． 18．A口袋中装有两个分别标有数字1和2的小球，B口袋中装有3个分别标有数字3，4和5的小球.每个小球除数字外其他均相同.甲、乙两人玩游戏，从A，B两个口袋中随机地各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若数字之和为奇数，则乙赢. （1）用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗?请简要说明理由. 19．如图，在一只不透明的箱子中装有4个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字0，，3，，搅匀后，甲先从中随机模出一个球（不放回），将小球上的数字记录下来，乙再从余下的3个球中摸出一个球，同样将小球上的数字记录下来． （1）写出第一次摸出的小球上数字是正数的概率； （2）利用画树状图或列表的方法，求出第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数的概率． 20．在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率． 21．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 　 　； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由） 22． 如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形 (两个转盘除表面数字不同外，其余完全相同)， 转盘甲上的数字分别是 ， 8 ， 转盘乙上的数字分别是 (规定： 指针恰好停留在分界线上，则重新转一次)． （1） 转动转盘， 转盘甲指针指向正数的概率是　 　 ；转盘乙指针指向正数的概率是　 　 （2）若同时转动两个转盘， 转盘甲指针所指的数字记为 ， 转盘乙指针所指的数字记为 ， 请用列表或画树状图的方法求满足 的概率． 23．桌面上有4张正面分别标有数字3、5、9、10的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开． （1）小红随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是　 　． （2）小红先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字．请用列表或画树状图的方法，求翻到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：每个数字抽到的概率都为：， 故小星抽到每个数的可能性相同. 故答案为：D. 【分析】根据等可能事件的概率公式可得每个数字抽到的概率都为，据此判断. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：和都是无理数，这四个数乘积为无理数的情况有×2，×2共2种 而任意模出两球的情况有(0，2)，(0，)，(0，)，(，2)(，)(，2)共6种，故P=； 故答案为：B. 【分析】列出任意摸出两球的情况和乘积为无理数的情况，即可求出概率. 3．【答案】B 【解析】【解答】解： 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）一次，则正面朝上的数字可能是6. 故答案为：B . 【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解： 从写有数字1，2，3的3张卡片中任意抽取两张，得出的两位数有12，13，21，23，31，32，其中是3的倍数的有12，21， ∴ 摆出的两位数是3的倍数的概率为. 故答案为：B. 【分析】先求出组成的两位数的个数，再得出是3的倍数的两位数的公式，利用概率公式进行计算，即可得出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于2是不可能事件，故A不符合题意； B、两张卡片的数字之和大于2是必然事件，故B不符合题意； C、两张卡片的数字之和等于6是随机事件，故C符合题意； D、两张卡片的数字之和大于7是不可能事件，故D不符合题意. 故答案为：C. 【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[ 不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件； 随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵2+3=5， ∴两张卡片的数字之和等于5属于随机事件，两张卡片的数字之和等于10属于不可能事件，两张卡片的数字之和大于或等于2属于必然事件，两张卡片的数字之和等于4属于不可能事件. 故答案为：A. 【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然事件； 不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件； 随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性结果，其中“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数有6种， ∴“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为. 故答案为：B． 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数，最后根据概率计算公式，计算求解即可． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵π，，-2，0，-4， 非负数有π，，0，一共3个数， ∴抽到非负数的概率为. 故答案为：C. 【分析】观察已知数据可得到非负数有3个，利用概率公式可得到抽到非负数的概率. 9．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字相同的概率是， 故答案为： 【分析】根据简单事件的概率结合题意进行计算，进而即可求解。 10．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的结果有6种， 则摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是 　 ； 故答案为：. 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案. 11．【答案】 【解析】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中两球上的数字之积恰好是有理数的结果有：，，，，，，，，，，共8种， 两球上的数字之积恰好是有理数的概率为． 故答案为：. 【分析】根据题意画出树状图，进而得到共有20种等可能的结果，其中两球上的数字之积恰好是有理数的结果有：，，，，，，，，，，共8种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。 12．【答案】 【解析】【解答】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况 则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ． 故答案为 ． 【分析】根据题意可得基本事件总3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数，最后由概率公式计算即可． 13．【答案】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果，两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的结果有5种， 两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的概率为. 【解析】【分析】画树状图，由图可知共有9种等可能的结果，两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的结果有5种，再由概率公式求解即可． 14．【答案】解： 所以P（小刚两次所记的数字之和等于4）． 【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 15．【答案】（1）解：由题意列表如下： 0 1 2 　 0 　 1 　 2 　 （2）解：由（1）中表格可知，共有种等可能的结果，其中点在第一象限共有2种等可能的结果， ∵， ∴点在第一象限的概率为． 【解析】【分析】（1）根据树状图的画法，画出其所有可能存在的情况即可； （2）由（1）中表格可知，共有种等可能的结果，其中点在第一象限共有2种等可能的结果，进而根据概率计算公式计算即可. 16．【答案】（1）抽到数字为奇数的概率是. （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为奇数的结果共有8种， ∴抽取的两张卡片上数字之和为奇数的概率是. 【解析】【解答】（1）写有数字1，2，3，4的4张不透明卡片，随机抽取一张，共有4种情况，奇数占2种，故抽到数字为奇数的概率是. 【分析】（1）根据概率的计算公式即可得出答案； （2）依据题意，用列表或画树状图列出事件的所有可能情况，及符合条件的情况，再利用概率公式计算概率即可. 17．【答案】解：如图所示． 第二次 结果 第一次 6 8 8 6 8 8 所以（抽取的两张牌牌面数字相同）． 【解析】【分析】先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 18．【答案】（1）解：画树状图，得 数字之和共有6种等可能的结果，其中和为偶数的结果有3种，和为奇数的结果有3种. ∴P(甲获胜)=. （2）解：这个游戏规则对甲、乙双方公平. 理由如下： 由(1)可知，P(甲获胜)=P(乙获胜)=， 故游戏对甲、乙双方是公平的. 【解析】【分析】(1)首先画出树形图， 有6种等可能的结果，和为偶数的结果有3种， 由此即可求出甲获胜的概率. (2)先分别求出双方取胜的概率，判断是否相等，即可求解. 19．【答案】（1） （2）两次随机摸球（不放回）列表如下： 第二次摸出的数字 第一次摸出的数字 差 0 3 0 × 2 1 × 3 3 5 × 4 1 × 两次随机摸球（不放回）并将第一次记录下来的数减去第二次记录下来的数的差， 共有12个等可能结果，其中结果为正数共有6个等可能结果． 故符合条件的概率． 【解析】【解答】（1） 第一次摸出的小球上数字是正数的概为 故答案为： 【分析】（1）根据概率的公式计算即可； （2）列出表格，根据表格求解即可. 20．【答案】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明获胜的有3种， 故小明获胜的概率为 ． 【解析】【分析】先画树状图求出共有9种等可能的结果，其中小明获胜的有3种，再求概率即可。 21．【答案】（1） （2）解：列表如下： 0 1 ﹣2 3 0 　 1 ﹣2 3 1 ﹣1 　 ﹣3 2 ﹣2 2 3 　 5 3 ﹣3 ﹣2 ﹣5 　 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果， 所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率， ∴此游戏公平． 【解析】【解答】解：（1）∵共有4种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有1种， ∴P（第一次抽取的卡片上数字是负数 ）=， 故答案为：. 【分析】（1）利用概率公式直接分析求解即可； （2）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。 22．【答案】（1）； （2）同时转动两个转盘， 指针所指的数字所有可能出现的结果如下： -6 -1 8 -4 5 7 共有 9 种等可能出现的结果， 其中两个转盘指针所指数字之和为负数的有 3 种， 所以同时转动两个转盘， 指针所指数字之和为负数的概率为 即满足 的概率为 ． 【解析】【解答】解：（1）转盘甲指针指向正数的概率是： 转盘乙指针指向正数的概率是： 故答案为：. 【分析】（1）根据概率计算公式直接计算即可求解； （2）利用列表法列出所有情况，然后结合题意找出符合题意的情况，最后根据概率计算公式直接计算即可求解. 23．【答案】（1） （2）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中翻到的两个数字之和为偶数的结果数有6种， ∴翻到的两个数字之和为偶数的概率为． 【解析】【解答】解：∵一共有4张卡片，其中正面数字是奇数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同， ∴随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是， 故答案为：； 【分析】（1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图，确定所有等可能性的结果数和符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $