第五单元 圆（易错专项讲义）数学苏教版六年级上册（新教材）

第五单元 圆易错专项讲义  易错题型01 圆的周长和面积图形计算 易错题型02 圆的概念、特点及对称性 易错题型03 弧、圆心角、扇形的认识 易错题型04 圆及半圆的周长的应用 易错题型05 圆的面积的应用 易错题型06 圆环的面积的应用 易错题型07 最大面积问题及圆中方或方中圆问题 易错题型01 圆的周长和面积图形计算 1、同时满足「明确圆的半径/直径取值、匹配对应正确的周长/面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆的周长和面积图形计算的合规解题结果，随意混淆半径直径、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理整圆周长计算类问题时，要先确认已知条件是半径还是直径，已知直径用C=πd、已知半径用C=2πr计算总周长，不能直接把半径代入直径公式、把直径代入半径公式计算，得到偏差的错误结果。 3、处理半圆周长计算类问题时，要先明确半圆周长是半圆弧长加一条直径的长度，即C半圆=πr+2r，不能直接把整圆周长除以2就当成半圆周长，遗漏直径部分得到偏小的错误结果。 4、处理圆环面积计算类问题时，要先确认外圆半径R和内圆半径r的取值边界，分别计算外圆面积和内圆面积后相减，即S环=π(R2−r2)，不能直接把半径差的平方代入公式、错用π(R−r)2计算，得到不符合环形面积规则的错误结果。 5、标注圆的周长和面积计算的最终结果时，要明确区分长度单位和面积单位，周长用长度单位（厘米、米等）、面积用面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道圆的周长和面积运算过程中，圆周率的取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的近似取值、混淆厘米和米的换算进率、错移小数点位置，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】求阴影部分的周长和面积。 【易错巩固1】如图所示，正方形的边长是12厘米，求阴影部分的面积。 【易错巩固2】求下图阴影部分的周长、面积（圆周率取3.14）。 【易错巩固3】求阴影部分的面积和周长。 【易错巩固4】求下列各图中阴影部分的周长。 【易错巩固5】求涂色部分的面积。（单位：厘米） 易错题型02 圆的概念、特点及对称性 1、同时满足「明确圆的核心要素定义、对应特征匹配几何公理要求」规则得到的结论，才是本单元认可的圆的概念类问题的合规判定结果，随意混淆半径直径定义、违背几何公理的错误表述不能作为有效判定依据。 2、处理圆的核心要素判定类问题时，要先确认圆心、半径、直径的严格定义：圆心是圆的中心定点，半径是圆心到圆上任意一点的线段，直径是过圆心且两端都在圆上的线段，不能把圆内任意线段直接判定为直径，得到不符合定义的错误结论。 3、处理同圆/等圆的要素关系类问题时，要先明确“同圆或等圆”的前置前提，所有半径长度相等、所有直径长度相等，直径长度是半径的2倍即d=2r，不能脱离该前提直接判定任意两个圆的直径都是半径的2倍，得到不符合几何逻辑的错误结果。 4、处理圆的位置与大小判定类问题时，要明确圆心唯一决定圆的位置，半径唯一决定圆的大小，不能把半径当成位置决定要素、把圆心当成大小决定要素，得到完全颠倒的错误判定结果。 5、标注圆的要素相关计算结果时，要明确标注对应的长度单位，避免出现漏写单位、单位和数值错配的问题，导致要素长度的实际指代完全失真。 6、处理圆的对称性判定类问题时，要先明确圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆拥有无数条对称轴，不能把直径线段直接当成对称轴，混淆直线和线段的概念得到错误结论。 7、同一道圆的概念判定运算过程中，要素的定义边界、同圆等圆的前置条件必须完全统一，不能中途随意更改直径的判定标准、混淆对称轴是直线的核心属性，打乱概念判定逻辑的严谨性。 8、处理圆与其他直线图形的特征对比类问题时，要先锚定圆是由光滑封闭曲线围成的图形，没有直边和顶点，区别于长方形、正方形等直线类平面图形，不能把圆归类为直线多边形，违背图形分类的基础规则。 9、处理用圆规规范画圆类实操问题时，要先固定圆心位置、调整圆规两脚间距为指定半径，旋转一周画出完整圆形，不能随意改变圆规两脚间距、移动圆心位置，画出不符合指定半径要求的错误圆形。 10、处理半圆的对称性判定类问题时，要明确半圆只有1条对称轴，沿垂直于半圆直径的中线对折才能完全重合，不能错误判定半圆有无数条对称轴，混淆整圆和半圆的对称特征差异。 【题型精讲2】在一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，圆的半径是（    ）厘米。 A．12 B．15 C．7.5 D．6 【易错巩固1】下列图形中，对称轴数量最多的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固2】在一张边长为21分米的正方形纸板上，剪出半径是1.5分米的圆，最多可剪（ ）个。 【易错巩固3】考古挖掘中发现了一个圆形铜镜残片（如图所示）。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是（ ）cm。 【易错巩固4】下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个，图形（ ）的对称轴条数最多。（填序号） 【易错巩固5】图甲是利用13个圆设计的软件LOGO，展现了数学与艺术的巧妙结合。聪聪受此启发，也用圆设计了一个LOGO（如图乙所示）。你能看懂它的画法吗？请在右侧方框中画出该图案，并保留作图痕迹。 易错题型03 弧、圆心角、扇形的认识 1、同时满足「明确弧、圆心角、扇形的严格几何定义、对应特征完全匹配图形属性」规则得到的结论，才是本单元认可的扇形概念类问题的合规判定结果，随意混淆三者边界、违背几何定义的错误表述不能作为有效判定依据。 2、处理弧的判定类问题时，要明确弧是圆上两点之间的曲线部分，是圆周的局部片段，不能把圆上两点之间的直线段（弦）直接判定为弧，得到混淆曲线与线段的错误结论。 3、处理圆心角的判定类问题时，要明确圆心角的顶点必须在圆心、两条边都是圆的半径，不能把顶点在圆上的圆周角、顶点在圆内其他位置的角直接判定为圆心角，得到不符合定义的错误判定结果。 4、处理扇形的判定类问题时，要明确扇形是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径共同围成的封闭图形，不能把单独的一段弧、圆内任意一块不经过两条半径分割的局部直接判定为扇形，得到缺失核心要素的错误结论。 5、标注扇形相关计算的最终结果时，要明确标注对应场景的正确单位，弧长标注长度单位、扇形面积标注面积单位，避免出现漏写单位、单位和数值错配的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理扇形大小对比类问题时，要明确扇形大小同时由圆心角和半径两个要素共同决定，同圆/等圆中圆心角越大扇形越大，圆心角相等时半径越大扇形越大，不能脱离半径前提直接判定“圆心角大的扇形一定更大”，得到片面的错误结论。 7、同一道扇形概念判定的运算过程中，核心要素的定义边界、同圆等圆的前置条件必须完全统一，不能中途随意更改圆心角的顶点要求、混淆弧与弦的属性定义，打乱概念判定逻辑的严谨性。 8、处理扇形对称性判定类问题时，要明确扇形是轴对称图形，只有1条对称轴，即圆心角的角平分线所在的直线，不能错误判定扇形有无数条对称轴，混淆扇形和整圆的对称特征差异。 9、处理扇形与圆的从属关系判定类问题时，要明确扇形是圆的一部分，圆心角为360°的扇形是整个圆，180°的扇形是半圆，90°的扇形是四分之一圆，不能把扇形和圆判定为完全并列的独立图形，得到不符合从属逻辑的错误结论。 10、用扇形相关概念解决实际问题时，要先锚定「先确认图形是否满足弧、两条半径的三要素、再核对圆心角与半径的影响逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通封闭图形的判定逻辑，忽略扇形的圆弧专属属性。 【题型精讲3】日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 【易错巩固1】若圆心角，下面（    ）图表示圆心角为。 A． B． C． D． 【易错巩固2】如图，王伯伯靠着墙角用4.71米长的篱笆围了一块扇形菜地。这块菜地的面积是多少平方米？ 【易错巩固3】一只挂钟的分针长20cm，它从数字12转到数字6，分针扫过的区域是一个圆心角为（ ）°的扇形，这个扇形的面积是（ ）。 【易错巩固4】你见过停车场或小区门口的起降杆吗？在东方小区门口有车辆进出的起降杆（如图），当车进入或出去时这根起降杆就要完成一次起降运动。王叔叔外出办事，驾车从小区驶出后，这根起降杆A点起降总共移动了多少米？起降杆来回移动的面积是多少？（结果保留两位小数） 【易错巩固5】如图，李师傅从一块三角形铁皮上剪下3个扇形。这3个扇形的面积和是多少平方厘米？ 易错题型04 圆及半圆的周长的应用 1、同时满足「明确圆/半圆周长的场景边界、对应条件匹配正确周长公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆及半圆周长应用问题的合规解题结果，随意混淆整圆与半圆周长定义算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理普通整圆周长计算类应用问题时，要先确认已知条件是半径还是直径，已知直径用C=πd、已知半径用C=2πr代入计算，不能直接把半径代入直径公式、把直径代入半径公式，得到偏差的错误周长结果。 3、处理半圆周长计算类应用问题时，要先明确半圆周长是半圆弧长加一条完整直径的长度，即C半圆=πr+2r，不能直接把整圆周长除以2就当成半圆周长，遗漏直径部分得到偏小的错误结果。 4、处理车轮滚动类周长应用问题时，要明确车轮滚动一周前进的路程等于车轮自身的整圆周长，总前进路程等于单圈周长乘滚动总圈数，不能直接把车轮直径当成滚动一周的路程计算，得到不符合运动逻辑的错误结果。 5、标注圆及半圆周长应用问题的最终结果时，要明确标注对应的长度单位（厘米、米等），避免出现漏写单位、单位和数值错配的问题，导致周长的实际指代完全失真。 6、处理圆形跑道类周长应用问题时，要先区分直道部分和弯道部分，两个弯道拼接成一个完整的圆周长，总跑道周长等于两个直道长度加整圆弯道周长，不能直接把弯道直径和直道长度直接相加，得到不符合跑道结构的错误周长结果。 7、同一道圆及半圆周长应用的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理组合图形类周长应用问题时，要先沿着图形外围完整描边，只计入外围的圆弧和直线段长度，内部拼接的重合线段一律排除，不能把内部隐藏的直径、半径重复计入总周长，得到虚高的错误结果。 9、处理已知周长反向求半径/直径的应用问题时，要严格遵循“直径=周长÷π、半径=周长÷π÷2”的逆向推导逻辑，不能直接用周长除以2当成直径，得到完全错误的半径/直径数值。 10、用圆及半圆周长公式解决实际问题时，要先锚定「先梳理场景的图形组成、拆分整圆/半圆弧段与直线段分别计算、累加所有外围有效长度得到总周长」的核心规则，不能直接硬套单一整圆周长公式解题逻辑，忽略半圆、组合图形的专属边界属性。 【题型精讲4】一个圆的周长是2024厘米，如果半径增加1厘米，那么周长增加（    ）厘米。 A．2 B． C． D． 【易错巩固1】在长4cm、宽3cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）。 A．7.71cm B．10.28cm C．12.56cm D．15.42cm 【易错巩固2】小军把一张圆形手工卡纸剪成两个完全相等的半圆形，周长一共增加了8厘米。原来这张圆形卡纸的周长是（ ）厘米。 【易错巩固3】如图，少年宫里有一个半径是3米的半圆形鱼池，鱼池的周围有一条1米宽的小路。若一只狗绕小路外沿跑了一圈，则它所跑的路程是（ ）米。 【易错巩固4】水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，波纹以每秒1m的速度匀速向四周扩散。水滴滴入水中的第一个波纹第三秒扩散后形成的圆的周长是多少米？ 【易错巩固5】工人师傅在街心花园中靠墙新建了一个由长方形地和半圆形地组成的花圃（如下图）。 （1）若沿花圃围一圈栅栏（靠墙的一面不围），则至少需要多少米长的栅栏？ （2）如果在花圃中铺上花土，那么铺花土的面积是多少平方米？ 易错题型05 圆的面积的应用 1、同时满足「明确圆的面积场景边界、对应条件匹配正确面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆的面积应用问题的合规解题结果，随意混淆半径直径、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理普通整圆面积计算类应用问题时，要先确认已知条件是半径还是直径，已知半径直接代入S=πr2，已知直径要先换算出半径再代入公式，不能直接把直径平方后乘π，得到虚高的错误面积结果。 3、处理半圆面积计算类应用问题时，要明确半圆面积是整圆面积的一半，即S半圆=πr2÷2，不能直接把半径乘2后再除以2代入计算，违背圆的面积底层推导逻辑得到错误结果。 4、标注圆的面积应用问题的最终结果时，要明确标注对应的面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致面积的实际指代完全失真。 5、同一道圆的面积应用的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 6、处理已知周长反向求圆面积的应用问题时，要先通过周长逆向推导出半径，再代入面积公式计算，不能直接用周长的平方乘π，跳过半径推导步骤得到完全错误的面积数值。 7、用圆的面积公式解决实际问题时，要先锚定「先梳理图形组成、拆分各规则图形分别计算面积、按拼接关系累加或扣除重叠部分得到总面积」的核心规则，不能直接硬套单一整圆面积公式解题逻辑，忽略组合图形的拼接重叠属性。 【题型精讲5】圆的半径从2厘米增加到5厘米，面积增加了（    ）平方厘米。 A．9.42 B．65.94 C．18.84 D．37.68 【易错巩固1】在一块长8厘米、宽4厘米的储能电池金属底板上画最大圆形散热片，这个散热片的面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．28.26 C．6.28 D．无法确定 【易错巩固2】用一根长18.84米的绳子刚好能围着一个树干绕3圈，这个树干的周长是（ ）米，横截面的面积是（ ）平方米。 【易错巩固3】一只挂钟时针长5厘米，分针长8厘米，经过半小时后，分针针尖所走的路程是（ ）厘米，扫过的面积是（ ）平方厘米（圆周率取3.14）。 【易错巩固4】明明去披萨店要买一个12寸的披萨，过了一会儿，服务员过来说：“不好意思，现在做不了12寸的，您看换成2个6寸的可以吗？2个6寸的和1个12寸的一样大！”如果你是明明，你愿意换吗？为什么？（提示：12寸、6寸是指披萨的直径，分别约为30厘米、15厘米） 【易错巩固5】如图。新新餐厅准备给直径是1.4米的圆形餐桌中间加一个圆形转盘，转盘距离桌边20厘米，这个转盘的面积是多少平方米？（圆周率用表示） 易错题型06 圆环的面积的应用 1、同时满足「明确圆环的同心圆属性边界、对应条件匹配正确圆环面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆环面积应用问题的合规解题结果，随意混淆非同心圆、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理标准同心圆圆环面积计算类应用问题时，要先明确外圆半径R和内圆半径r的取值边界，用S环=π(R2−r2)计算，不能直接把半径差的平方代入公式，错用π(R−r)2得到不符合环形面积规则的错误结果。 3、处理环形小路类圆环应用问题时，要先确认内圆半径，再用内圆半径加小路宽度得到外圆半径，代入圆环面积公式计算，不能直接把小路宽度当成外圆半径，得到虚高的错误面积结果。 4、处理扇环面积计算类应用问题时，要先确认扇环对应的圆心角度数，用完整圆环面积乘圆心角占360°的比例计算，不能直接把扇环当成完整圆环代入公式，忽略圆心角占比得到偏大的错误结果。 5、标注圆环面积应用问题的最终结果时，要明确标注对应的面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致环形面积的实际指代完全失真。 6、处理玉璧、环形垫片类实物圆环应用问题时，要先通过外直径、内直径分别换算出外半径和内半径，再代入公式计算，不能直接把直径数值代入半径的平方项，得到完全错误的面积结果。 7、同一道圆环面积应用的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理已知圆环面积反向求环宽的应用问题时，要先通过圆环面积公式逆向推导出R2−r2的数值，再结合已知的外圆或内圆半径推导环宽，不能直接用面积除以π得到环宽，得到完全错误的环宽数值。 9、处理半圆环类特殊环形应用问题时，要先算出完整圆环的面积再除以2，同时按需确认是否需要补充直边长度相关的额外计算，不能直接套用整圆环的完整公式，忽略半环的减半属性得到错误结果。 10、用圆环面积公式解决实际问题时，要先锚定「先确认图形是同心圆环形、拆分外圆和内圆的半径分别计算面积、相减得到环形总面积」的核心规则，不能直接硬套普通整圆面积公式解题逻辑，忽略圆环的“两圆相减”专属属性。 【题型精讲6】一个扇环面积是28.26，圆心角90°，对应的圆环面积是（    ）。 A．56.52 B．84.78 C．113.04 D．226.08 【易错巩固1】美术社团制作的毕业手抄报中画了一个圆环图案（如图）：大圆直径是小圆直径的2倍，其中涂色部分的面积是16。这个圆环的面积是（    ）。 A．64π B．48π C．32π D．16π 【易错巩固2】天安门城楼前的金水桥旁，有一圆形石墩，石墩的横截面是一个圆环，外直径1米，内直径0.6米，这个圆环的面积是（ ）平方分米。 【易错巩固3】国际摔跤比赛通常在一个边长12米的正方形毯子上举行，分为黄色比赛区、红色消极区和蓝色保护区（如下图）。黄色比赛区的周长是（ ）米，红色消极区的面积是（ ）平方米。 【易错巩固4】某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【易错巩固5】你们还记得咱们北京奥运会的奖牌是什么样子的吗？北京奥运会奖牌首次采用金镶玉的设计，奖牌环形玉的外直径约是56毫米，奖牌环形玉的内圆的直径约是32毫米，这块玉的面积约是多少呢？ 易错题型07 最大面积问题及圆中方或方中圆问题 1、同时满足「明确最大面积/圆中方/方中圆的图形边界、对应条件匹配正确圆与正方形面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的这类问题的合规解题结果，随意混淆图形位置关系、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理固定周长围出最大面积类应用问题时，要明确周长相等的长方形、正方形、圆中，圆的面积最大，不能直接判定正方形面积最大，得到不符合等周定理的错误结论。 3、标注这类图形计算问题的最终结果时，要明确标注对应的面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致图形面积的实际指代完全失真。 4、处理长方形内剪出最大圆类应用问题时，要明确剪出的最大圆的直径等于长方形的短边宽度，不能直接把长方形的长边当成圆的直径，得到超出长方形边界的错误圆面积结果。 5、同一道这类图形计算的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 6、处理方中圆的剩余边角料面积计算类应用问题时，要用正方形总面积减去内切圆的面积得到剩余部分面积，不能直接用圆的面积减去正方形面积，得到负数的完全错误结果。 7、处理圆中方的剩余边角料面积计算类应用问题时，要用圆的总面积减去内接正方形的面积得到剩余部分面积，不能直接用正方形面积减去圆的面积，得到不符合图形大小关系的错误结果。 8、用这类图形规律解决实际问题时，要先锚定「先确认两个图形的位置对应关系、分别计算两个图形的面积、按要求做差或求比得到最终结果」的核心规则，不能直接硬套单一整圆或正方形的面积公式解题逻辑，忽略两个图形的嵌套专属属性。 【题型精讲7】“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计。如图，外面正方形窗棂的周长是24dm，那么该正方形中最大圆的面积是（    ）。 A．12.15dm2 B．18.84dm2 C．28.26dm2 D．37.68dm2 【易错巩固1】2024年春晚机器人表演转手绢，手绢是一个正方形，旋转时形成一个半径的圆（如图）。这块正方形手绢的面积是（ ）。 【易错巩固2】剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm，宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【易错巩固3】用一根长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，而且都是质数。围成的长方形的长和宽可能是多少？（写出符合要求的所有情况）这个长方形的面积最大是多少？ 【易错巩固4】如图，小明做手工时，在一张周长为40厘米的正方形纸上画了个最大的圆，再在这个圆里画了一个最大的正方形。 （1）圆的半径是多少厘米？ （2）画的新正方形的面积是多少平方厘米？ 【易错巩固5】一款可收缩餐桌，完全收缩时为长方形，半展开时为正方形，完全展开时为圆形，如下图所示。已知完全收缩时桌面长1.6米，宽是长的。 （1）若为完全收缩状态的桌面购置一张同尺寸的桌垫，则桌垫的面积是多少平方米？ （2）这款餐桌完全展开后，桌面的面积是多少平方米？（π取3） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆易错专项讲义  易错题型01 圆的周长和面积图形计算 易错题型02 圆的概念、特点及对称性 易错题型03 弧、圆心角、扇形的认识 易错题型04 圆及半圆的周长的应用 易错题型05 圆的面积的应用 易错题型06 圆环的面积的应用 易错题型07 最大面积问题及圆中方或方中圆问题 易错题型01 圆的周长和面积图形计算 1、同时满足「明确圆的半径/直径取值、匹配对应正确的周长/面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆的周长和面积图形计算的合规解题结果，随意混淆半径直径、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理整圆周长计算类问题时，要先确认已知条件是半径还是直径，已知直径用C=πd、已知半径用C=2πr计算总周长，不能直接把半径代入直径公式、把直径代入半径公式计算，得到偏差的错误结果。 3、处理半圆周长计算类问题时，要先明确半圆周长是半圆弧长加一条直径的长度，即C半圆=πr+2r，不能直接把整圆周长除以2就当成半圆周长，遗漏直径部分得到偏小的错误结果。 4、处理圆环面积计算类问题时，要先确认外圆半径R和内圆半径r的取值边界，分别计算外圆面积和内圆面积后相减，即S环=π(R2−r2)，不能直接把半径差的平方代入公式、错用π(R−r)2计算，得到不符合环形面积规则的错误结果。 5、标注圆的周长和面积计算的最终结果时，要明确区分长度单位和面积单位，周长用长度单位（厘米、米等）、面积用面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、同一道圆的周长和面积运算过程中，圆周率的取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的近似取值、混淆厘米和米的换算进率、错移小数点位置，打乱运算逻辑的严谨性。 【题型精讲1】求阴影部分的周长和面积。 【答案】28.56厘米；3.44平方厘米 【分析】从图中可知，正方形的边长是4厘米，一个直径是4厘米的圆。阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的四条边长，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解；阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【解答】阴影部分的周长： ＝ ＝（厘米） 阴影部分的面积： ＝ ＝ ＝ ＝3.44（平方厘米） 【易错巩固1】如图所示，正方形的边长是12厘米，求阴影部分的面积。 【答案】平方厘米 【分析】确定解题使用割补转化的思想，将不规则的阴影部分拼接为规则图形。 计算正方形的面积，使用正方形面积公式 ，其中 �� 为正方形边长。 因为阴影部分拼接后为正方形面积的一半，所以用正方形面积除以即可得到阴影部分面积。 【解答】如图所示，将阴影部分通过割补转化，得到一个三角形， 所以阴影部分的面积为： （平方厘米） 【易错巩固2】求下图阴影部分的周长、面积（圆周率取3.14）。 【答案】米；平方米 【分析】该图形的周长为两条米的直边和一个完整圆的周长（）； 将左边凸出来的半圆移动到右边凹进去的半圆就合成一个长方形。根据长方形的面积长宽计算即可。 【解答】 （米） （平方米） 【易错巩固3】求阴影部分的面积和周长。 【答案】面积37.68平方厘米；周长37.68厘米 【分析】阴影面积等于半径4厘米大圆减去半径2厘米小圆；周长等于大圆周长加上小圆周长。，。 【解答】小圆半径：4÷2＝2（厘米） 面积：3.14×42－3.14×22 ＝3.14×16－3.14×4 ＝50.24－12.56 ＝37.68（平方厘米） 周长：2×3.14×4＋3.14×4 ＝6.28×4＋12.56 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（厘米） 【易错巩固4】求下列各图中阴影部分的周长。 【答案】（1）37.68dm；（2）20.56cm 【分析】（1）中间三个小半圆弧的长度和等于外面大半圆弧的长度，所以阴影部分的周长等于半径为6dm的圆的周长，圆的周长：C＝2πr，代入数据计算即可解答。 （2）阴影部分的周长等于直径为4cm圆的周长加2个4cm的边长，圆的周长：C＝πd，代入数据计算即可解答。 【解答】（1）2×3.14×6 ＝6.28×6 ＝37.68（dm） （2）3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 【易错巩固5】求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】84.78平方厘米；12.56平方厘米；207.24平方厘米 【分析】第一幅图：图形为圆环，因为涂色面积是外圆面积减内圆面积，所以直接用圆环面积公式，代入外圆半径厘米、内半径厘米计算。 第二幅图：外半圆直径为8厘米，大半圆半径：（厘米），内部空白圆的直径等于外半圆的半径，即小圆直径为4厘米，小圆半径（厘米）。因为涂色面积是半圆面积减去内部空白圆的面积，所以分别用圆面积公式：计算对应部分再作差。 第三幅图：为半圆环，半圆环的内圆半径（厘米），半圆环的外圆半径（厘米），涂色面积是完整圆环面积的，所以半圆环面积公式：计算。 【解答】 （平方厘米） （厘米）、（厘米） （平方厘米） （厘米）、（厘米） （平方厘米） 易错题型02 圆的概念、特点及对称性 1、同时满足「明确圆的核心要素定义、对应特征匹配几何公理要求」规则得到的结论，才是本单元认可的圆的概念类问题的合规判定结果，随意混淆半径直径定义、违背几何公理的错误表述不能作为有效判定依据。 2、处理圆的核心要素判定类问题时，要先确认圆心、半径、直径的严格定义：圆心是圆的中心定点，半径是圆心到圆上任意一点的线段，直径是过圆心且两端都在圆上的线段，不能把圆内任意线段直接判定为直径，得到不符合定义的错误结论。 3、处理同圆/等圆的要素关系类问题时，要先明确“同圆或等圆”的前置前提，所有半径长度相等、所有直径长度相等，直径长度是半径的2倍即d=2r，不能脱离该前提直接判定任意两个圆的直径都是半径的2倍，得到不符合几何逻辑的错误结果。 4、处理圆的位置与大小判定类问题时，要明确圆心唯一决定圆的位置，半径唯一决定圆的大小，不能把半径当成位置决定要素、把圆心当成大小决定要素，得到完全颠倒的错误判定结果。 5、标注圆的要素相关计算结果时，要明确标注对应的长度单位，避免出现漏写单位、单位和数值错配的问题，导致要素长度的实际指代完全失真。 6、处理圆的对称性判定类问题时，要先明确圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆拥有无数条对称轴，不能把直径线段直接当成对称轴，混淆直线和线段的概念得到错误结论。 7、同一道圆的概念判定运算过程中，要素的定义边界、同圆等圆的前置条件必须完全统一，不能中途随意更改直径的判定标准、混淆对称轴是直线的核心属性，打乱概念判定逻辑的严谨性。 8、处理圆与其他直线图形的特征对比类问题时，要先锚定圆是由光滑封闭曲线围成的图形，没有直边和顶点，区别于长方形、正方形等直线类平面图形，不能把圆归类为直线多边形，违背图形分类的基础规则。 9、处理用圆规规范画圆类实操问题时，要先固定圆心位置、调整圆规两脚间距为指定半径，旋转一周画出完整圆形，不能随意改变圆规两脚间距、移动圆心位置，画出不符合指定半径要求的错误圆形。 10、处理半圆的对称性判定类问题时，要明确半圆只有1条对称轴，沿垂直于半圆直径的中线对折才能完全重合，不能错误判定半圆有无数条对称轴，混淆整圆和半圆的对称特征差异。 【题型精讲2】在一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，圆的半径是（    ）厘米。 A．12 B．15 C．7.5 D．6 【答案】D 【分析】长方形中画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，用直径除以2即可得到半径，对比各选项，选出正确选项。 【解答】（厘米） 【易错巩固1】下列图形中，对称轴数量最多的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条折痕所在的直线叫做该图形的对称轴。 【解答】 A．，有1条对称轴； B．，有1条对称轴； C．，有1条对称轴； D．，有无数条对称轴。 【易错巩固2】在一张边长为21分米的正方形纸板上，剪出半径是1.5分米的圆，最多可剪（ ）个。 【答案】49 【分析】一个半径1.5分米的圆，直径为：1.5×2＝3（分米），也就是剪这个圆，至少需要边长3分米的小正方形。 先看大正方形边长21分米，一行能放几个直径3分米的圆，算出每行数量，再算可以排几行，最后相乘得到总个数。 【解答】圆的直径：1.5×2＝3（分米） 大正方形一条边上可以剪出几个圆： 21÷3＝7（个） 说明横向一行最多能剪7个，纵向也最多能剪7个。 大正方形最多可剪总个数：7×7＝49（个） 【易错巩固3】考古挖掘中发现了一个圆形铜镜残片（如图所示）。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是（ ）cm。 【答案】3 【分析】圆规两脚张开的距离是所画圆的半径，图中标注的6cm是残片圆弧对应的直径长度，用圆的直径与半径的公式代入数值计算即可。 【解答】 圆规两脚之间张开的距离是3cm。 【易错巩固4】下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个，图形（ ）的对称轴条数最多。（填序号） 【答案】3 ⑤ 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线即为对称轴。据此解答即可。 【解答】 是轴对称图形的有3个，图形⑤的对称轴条数最多。 【易错巩固5】图甲是利用13个圆设计的软件LOGO，展现了数学与艺术的巧妙结合。聪聪受此启发，也用圆设计了一个LOGO（如图乙所示）。你能看懂它的画法吗？请在右侧方框中画出该图案，并保留作图痕迹。 【答案】（画法不唯一） 【分析】根据题目所给的图形，我们可以先画三行三列9个大小相同的圆，再沿着四个角位置的圆画线，保留实线的位置，留下的形状就是聪聪设计的标志，这道题的画法不唯一，有多种画法，合理即可。 【解答】略 易错题型03 弧、圆心角、扇形的认识 1、同时满足「明确弧、圆心角、扇形的严格几何定义、对应特征完全匹配图形属性」规则得到的结论，才是本单元认可的扇形概念类问题的合规判定结果，随意混淆三者边界、违背几何定义的错误表述不能作为有效判定依据。 2、处理弧的判定类问题时，要明确弧是圆上两点之间的曲线部分，是圆周的局部片段，不能把圆上两点之间的直线段（弦）直接判定为弧，得到混淆曲线与线段的错误结论。 3、处理圆心角的判定类问题时，要明确圆心角的顶点必须在圆心、两条边都是圆的半径，不能把顶点在圆上的圆周角、顶点在圆内其他位置的角直接判定为圆心角，得到不符合定义的错误判定结果。 4、处理扇形的判定类问题时，要明确扇形是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径共同围成的封闭图形，不能把单独的一段弧、圆内任意一块不经过两条半径分割的局部直接判定为扇形，得到缺失核心要素的错误结论。 5、标注扇形相关计算的最终结果时，要明确标注对应场景的正确单位，弧长标注长度单位、扇形面积标注面积单位，避免出现漏写单位、单位和数值错配的问题，导致结果的实际指代完全失真。 6、处理扇形大小对比类问题时，要明确扇形大小同时由圆心角和半径两个要素共同决定，同圆/等圆中圆心角越大扇形越大，圆心角相等时半径越大扇形越大，不能脱离半径前提直接判定“圆心角大的扇形一定更大”，得到片面的错误结论。 7、同一道扇形概念判定的运算过程中，核心要素的定义边界、同圆等圆的前置条件必须完全统一，不能中途随意更改圆心角的顶点要求、混淆弧与弦的属性定义，打乱概念判定逻辑的严谨性。 8、处理扇形对称性判定类问题时，要明确扇形是轴对称图形，只有1条对称轴，即圆心角的角平分线所在的直线，不能错误判定扇形有无数条对称轴，混淆扇形和整圆的对称特征差异。 9、处理扇形与圆的从属关系判定类问题时，要明确扇形是圆的一部分，圆心角为360°的扇形是整个圆，180°的扇形是半圆，90°的扇形是四分之一圆，不能把扇形和圆判定为完全并列的独立图形，得到不符合从属逻辑的错误结论。 10、用扇形相关概念解决实际问题时，要先锚定「先确认图形是否满足弧、两条半径的三要素、再核对圆心角与半径的影响逻辑」的核心规则，不能直接硬套普通封闭图形的判定逻辑，忽略扇形的圆弧专属属性。 【题型精讲3】日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】周角为，圆盘被平均分成12个大小相等的扇形，求每个扇形对应的圆心角度数用除法计算。 【解答】 【易错巩固1】若圆心角，下面（    ）图表示圆心角为。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】顶点在圆心上，且角的两边是圆的半径，这样的角叫做圆心角；已知，那么可以计算的度数，根据这个度数判断即可。 【解答】2∠1＝2×65°＝130° A．角顶点在圆周，不是圆心，排除； B．是圆心角，但角度约为，不符合要求，排除； C．角顶点不在圆心，不符合定义，排除 D．顶点在圆心的圆心角，角度约为，符合要求。 【易错巩固2】如图，王伯伯靠着墙角用4.71米长的篱笆围了一块扇形菜地。这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】7.065平方米 【分析】由图可知，该菜地的形状为一个的圆，要求面积先求出该菜地的半径；已知篱笆长度，乘上4即为完整圆的周长，再根据圆的周长＝求出圆的半径；最后运用圆的面积＝求出圆的面积除以4即可。 【解答】菜地的半径： 4.71×4÷3.14÷2 ＝18.84÷3.14÷2 ＝3（米） 菜地的面积： ＝3.14×9÷4 ＝28.26÷4 ＝7.065（平方米） 答：这块菜地的面积是7.065平方米。 【易错巩固3】一只挂钟的分针长20cm，它从数字12转到数字6，分针扫过的区域是一个圆心角为（ ）°的扇形，这个扇形的面积是（ ）。 【答案】180 628 【分析】分析题目，分针从数字12转到数字6，扫过的面积等于圆面积的一半，对应扇形的圆心角是圆周角（360°）的一半，圆的半径等于分针的长度；扇形的面积＝πr2，据此代入数据求出扇形的面积。 【解答】360°÷2＝180° 3.14×202× ＝3.14×400× ＝1256× ＝628（cm2） 一只挂钟的分针长20cm，它从数字12转到数字6，分针扫过的区域是一个圆心角为180°的扇形，这个扇形的面积是628cm2。 【易错巩固4】你见过停车场或小区门口的起降杆吗？在东方小区门口有车辆进出的起降杆（如图），当车进入或出去时这根起降杆就要完成一次起降运动。王叔叔外出办事，驾车从小区驶出后，这根起降杆A点起降总共移动了多少米？起降杆来回移动的面积是多少？（结果保留两位小数） 【答案】10.99米；19.23平方米 【分析】根据题意，起降杆完成一次起降运动，起降杆A点移动了2个半径为3.5米的圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求出起降杆A点总共移动的长度。起降杆来回移动的面积相当于2个半径为3.5米的圆的面积的，根据圆的面积公式S＝πr²，代入可计算出起降杆来回移动的面积，保留两位小数则是根据千分位上的数字进行四舍五入。 【解答】2×3.14×3.5××2 ＝6.28×3.5××2 ＝21.98××2 ＝5.495×2 ＝10.99（米） 3.14×3.5²××2 ＝3.14×12.25××2 ＝38.465××2 ＝9.61625×2 ≈19.23（平方米） 答：这根起降杆A点起降总共移动了10.99米；起降杆来回移动的面积约是19.23平方米。 【易错巩固5】如图，李师傅从一块三角形铁皮上剪下3个扇形。这3个扇形的面积和是多少平方厘米？ 【答案】半径为5厘米的半圆；39.25平方厘米 【分析】由图可知，这3个扇形的半径都是5厘米，三角形的内角和是180°，则这3个扇形的圆心角的和是180°，把这3个扇形拼在一起刚好是一个半圆，利用“”求出这3个扇形的面积和，据此解答。 【解答】分析可知，把这3个扇形拼在一起，能得到一个半径为5厘米的半圆。 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 答：这3个扇形的面积和是39.25平方厘米。 易错题型04 圆及半圆的周长的应用 1、同时满足「明确圆/半圆周长的场景边界、对应条件匹配正确周长公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆及半圆周长应用问题的合规解题结果，随意混淆整圆与半圆周长定义算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理普通整圆周长计算类应用问题时，要先确认已知条件是半径还是直径，已知直径用C=πd、已知半径用C=2πr代入计算，不能直接把半径代入直径公式、把直径代入半径公式，得到偏差的错误周长结果。 3、处理半圆周长计算类应用问题时，要先明确半圆周长是半圆弧长加一条完整直径的长度，即C半圆=πr+2r，不能直接把整圆周长除以2就当成半圆周长，遗漏直径部分得到偏小的错误结果。 4、处理车轮滚动类周长应用问题时，要明确车轮滚动一周前进的路程等于车轮自身的整圆周长，总前进路程等于单圈周长乘滚动总圈数，不能直接把车轮直径当成滚动一周的路程计算，得到不符合运动逻辑的错误结果。 5、标注圆及半圆周长应用问题的最终结果时，要明确标注对应的长度单位（厘米、米等），避免出现漏写单位、单位和数值错配的问题，导致周长的实际指代完全失真。 6、处理圆形跑道类周长应用问题时，要先区分直道部分和弯道部分，两个弯道拼接成一个完整的圆周长，总跑道周长等于两个直道长度加整圆弯道周长，不能直接把弯道直径和直道长度直接相加，得到不符合跑道结构的错误周长结果。 7、同一道圆及半圆周长应用的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理组合图形类周长应用问题时，要先沿着图形外围完整描边，只计入外围的圆弧和直线段长度，内部拼接的重合线段一律排除，不能把内部隐藏的直径、半径重复计入总周长，得到虚高的错误结果。 9、处理已知周长反向求半径/直径的应用问题时，要严格遵循“直径=周长÷π、半径=周长÷π÷2”的逆向推导逻辑，不能直接用周长除以2当成直径，得到完全错误的半径/直径数值。 10、用圆及半圆周长公式解决实际问题时，要先锚定「先梳理场景的图形组成、拆分整圆/半圆弧段与直线段分别计算、累加所有外围有效长度得到总周长」的核心规则，不能直接硬套单一整圆周长公式解题逻辑，忽略半圆、组合图形的专属边界属性。 【题型精讲4】一个圆的周长是2024厘米，如果半径增加1厘米，那么周长增加（    ）厘米。 A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设原来圆的半径为r，半径增加1厘米后为（r＋1）厘米，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，分别计算变化前后的周长，求差即可得到周长增加的长度。 【解答】设原来圆的半径为r，原来的周长： 半径增加1厘米后的周长： 增加的周长：（厘米） 周长增加厘米。 【易错巩固1】在长4cm、宽3cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）。 A．7.71cm B．10.28cm C．12.56cm D．15.42cm 【答案】B 【分析】要在长方形内画一个最大的半圆，需确定半圆的直径。通常考虑以长方形的长或宽作为直径。若以长为直径，半径为，需验证半径是否小于等于宽。确定直径后，根据半圆周长公式“圆周长的一半加直径”进行计算。 【解答】首先确定最大半圆的直径。 长方形的长为，宽为。 若以长方形的长为半圆的直径，则直径，半径。 因为，即半径小于宽，所以该半圆可以画在长方形内。 若以宽为直径，直径为，半圆较小，不符合“最大”的要求。 所以，最大半圆的直径为。 根据半圆的周长公式列式计算： （cm） 这个半圆的周长是。 【易错巩固2】小军把一张圆形手工卡纸剪成两个完全相等的半圆形，周长一共增加了8厘米。原来这张圆形卡纸的周长是（ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】把一张圆形纸片剪成两个相等的半圆，它们的周长之和比原来圆的周长增加了两条直径，用8厘米除以2由此求出圆的直径。然后根据圆的周长＝πd，代入数据即可求出圆的周长。 【解答】d＝8÷2＝4（厘米） C＝πd＝3.14×4＝12.56（厘米） 即小军把一张圆形手工卡纸剪成两个完全相等的半圆形，周长一共增加了8厘米。原来这张圆形卡纸的周长是（12.56）厘米。 【易错巩固3】如图，少年宫里有一个半径是3米的半圆形鱼池，鱼池的周围有一条1米宽的小路。若一只狗绕小路外沿跑了一圈，则它所跑的路程是（ ）米。 【答案】22.56 【分析】根据题意，小狗跑的路线由三部分组成：外半圆弧长、外半圆直径、两侧路宽。先根据鱼池半径3米和小路宽1米，求出外半圆半径为3＋1＝4米；再根据半圆弧长公式C＝πr（π取3.14），求出外半圆弧长；接着求出两侧路宽的总长度；最后将三部分长度相加，即可求出小狗跑的总路程。 【解答】 （米） 【易错巩固4】水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，波纹以每秒1m的速度匀速向四周扩散。水滴滴入水中的第一个波纹第三秒扩散后形成的圆的周长是多少米？ 【答案】18.84米 【分析】先根据波纹的扩散速度和扩散时间求出第三秒后圆的半径，再利用圆的周长＝计算周长。 【解答】（米） （米） 答：水滴滴入水中的第一个波纹第三秒扩散后形成的圆的周长是18.84米。 【易错巩固5】工人师傅在街心花园中靠墙新建了一个由长方形地和半圆形地组成的花圃（如下图）。 （1）若沿花圃围一圈栅栏（靠墙的一面不围），则至少需要多少米长的栅栏？ （2）如果在花圃中铺上花土，那么铺花土的面积是多少平方米？ 【答案】（1）51.4米 （2）357平方米 【分析】（1）求需要多少米的栅栏，用图中所给长方形的两条宽的长度加上半圆弧的长度即可； （2）求铺花土的面积，用长方形的面积加上半圆的面积即可。 【解答】（1）10×2＋20×3.14÷2 ＝20＋31.4 ＝51.4（米） 答：至少需要51.4米的栅栏。 （2） ＝200＋100×3.14÷2 ＝200＋157 ＝357（平方米） 答：铺花土的面积是357平方米。 易错题型05 圆的面积的应用 1、同时满足「明确圆的面积场景边界、对应条件匹配正确面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆的面积应用问题的合规解题结果，随意混淆半径直径、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理普通整圆面积计算类应用问题时，要先确认已知条件是半径还是直径，已知半径直接代入S=πr2，已知直径要先换算出半径再代入公式，不能直接把直径平方后乘π，得到虚高的错误面积结果。 3、处理半圆面积计算类应用问题时，要明确半圆面积是整圆面积的一半，即S半圆=πr2÷2，不能直接把半径乘2后再除以2代入计算，违背圆的面积底层推导逻辑得到错误结果。 4、标注圆的面积应用问题的最终结果时，要明确标注对应的面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致面积的实际指代完全失真。 5、同一道圆的面积应用的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 6、处理已知周长反向求圆面积的应用问题时，要先通过周长逆向推导出半径，再代入面积公式计算，不能直接用周长的平方乘π，跳过半径推导步骤得到完全错误的面积数值。 7、用圆的面积公式解决实际问题时，要先锚定「先梳理图形组成、拆分各规则图形分别计算面积、按拼接关系累加或扣除重叠部分得到总面积」的核心规则，不能直接硬套单一整圆面积公式解题逻辑，忽略组合图形的拼接重叠属性。 【题型精讲5】圆的半径从2厘米增加到5厘米，面积增加了（    ）平方厘米。 A．9.42 B．65.94 C．18.84 D．37.68 【答案】B 【分析】根据圆的面积公式，分别计算半径为2厘米和5厘米的圆面积，二者的差就是增加的面积。 【解答】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 【易错巩固1】在一块长8厘米、宽4厘米的储能电池金属底板上画最大圆形散热片，这个散热片的面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．28.26 C．6.28 D．无法确定 【答案】A 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，由直径求出圆的半径，再根据圆的面积公式：计算即可。 【解答】圆的半径：（厘米） 圆的面积： （平方厘米） 【易错巩固2】用一根长18.84米的绳子刚好能围着一个树干绕3圈，这个树干的周长是（ ）米，横截面的面积是（ ）平方米。 【答案】6.28 3.14 【分析】18.84米是树干3圈的长度，用18.84÷3，求出树干1圈的长度，即树干的周长；再根据圆的周长＝2×半径×π。半径＝周长÷2÷3.14，求出树干截面的半径，再根据圆的面积＝π×半径2，据此解答。 【解答】18.84÷3＝6.28（米） 6.28÷2÷3.14 ＝3.14÷3.14 ＝1（米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 【易错巩固3】一只挂钟时针长5厘米，分针长8厘米，经过半小时后，分针针尖所走的路程是（ ）厘米，扫过的面积是（ ）平方厘米（圆周率取3.14）。 【答案】25.12 100.48 【分析】分针针尖走过的轨迹是以分针长度为半径的圆，所以半径厘米。分针走1小时是1圈，经过半小时，分针走了圈。分针针尖所走的路程等于圆周长的一半，公式为。分针扫过的面积等于圆面积的一半，公式为。 【解答】分针针尖所走的路程： （厘米） 分针扫过的面积： （平方厘米） 【易错巩固4】明明去披萨店要买一个12寸的披萨，过了一会儿，服务员过来说：“不好意思，现在做不了12寸的，您看换成2个6寸的可以吗？2个6寸的和1个12寸的一样大！”如果你是明明，你愿意换吗？为什么？（提示：12寸、6寸是指披萨的直径，分别约为30厘米、15厘米） 【答案】不愿意换；一个12寸的披萨比两个6寸的披萨大。 【分析】根据圆的面积公式：S＝，先算出一个12寸的披萨的面积，再算出2个6寸的披萨的面积，然后比较大小即可。 【解答】30÷2＝15（厘米） 15÷2＝7.5（厘米） 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 3.14×7.52×2 ＝3.14×56.25×2 ＝3.14×112.5 ＝353.25（平方厘米） 706.5＞353.25 答：不愿意换，理由是一个12寸的披萨比两个6寸的披萨大。 【易错巩固5】如图。新新餐厅准备给直径是1.4米的圆形餐桌中间加一个圆形转盘，转盘距离桌边20厘米，这个转盘的面积是多少平方米？（圆周率用表示） 【答案】平方米 【分析】因为圆形餐桌的直径是米，转盘距离桌边厘米，厘米米，所以转盘的直径是（米），半径直径，圆的面积公式为：，代入数据计算即可。 【解答】厘米米， （平方米） 答：这个转盘的面积是平方米。 易错题型06 圆环的面积的应用 1、同时满足「明确圆环的同心圆属性边界、对应条件匹配正确圆环面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的圆环面积应用问题的合规解题结果，随意混淆非同心圆、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理标准同心圆圆环面积计算类应用问题时，要先明确外圆半径R和内圆半径r的取值边界，用S环=π(R2−r2)计算，不能直接把半径差的平方代入公式，错用π(R−r)2得到不符合环形面积规则的错误结果。 3、处理环形小路类圆环应用问题时，要先确认内圆半径，再用内圆半径加小路宽度得到外圆半径，代入圆环面积公式计算，不能直接把小路宽度当成外圆半径，得到虚高的错误面积结果。 4、处理扇环面积计算类应用问题时，要先确认扇环对应的圆心角度数，用完整圆环面积乘圆心角占360°的比例计算，不能直接把扇环当成完整圆环代入公式，忽略圆心角占比得到偏大的错误结果。 5、标注圆环面积应用问题的最终结果时，要明确标注对应的面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致环形面积的实际指代完全失真。 6、处理玉璧、环形垫片类实物圆环应用问题时，要先通过外直径、内直径分别换算出外半径和内半径，再代入公式计算，不能直接把直径数值代入半径的平方项，得到完全错误的面积结果。 7、同一道圆环面积应用的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 8、处理已知圆环面积反向求环宽的应用问题时，要先通过圆环面积公式逆向推导出R2−r2的数值，再结合已知的外圆或内圆半径推导环宽，不能直接用面积除以π得到环宽，得到完全错误的环宽数值。 9、处理半圆环类特殊环形应用问题时，要先算出完整圆环的面积再除以2，同时按需确认是否需要补充直边长度相关的额外计算，不能直接套用整圆环的完整公式，忽略半环的减半属性得到错误结果。 10、用圆环面积公式解决实际问题时，要先锚定「先确认图形是同心圆环形、拆分外圆和内圆的半径分别计算面积、相减得到环形总面积」的核心规则，不能直接硬套普通整圆面积公式解题逻辑，忽略圆环的“两圆相减”专属属性。 【题型精讲6】一个扇环面积是28.26，圆心角90°，对应的圆环面积是（    ）。 A．56.52 B．84.78 C．113.04 D．226.08 【答案】C 【分析】圆心角的扇环面积是对应圆环面积的，用扇环面积乘即可求出整个圆环的面积。 【解答】 （） 【易错巩固1】美术社团制作的毕业手抄报中画了一个圆环图案（如图）：大圆直径是小圆直径的2倍，其中涂色部分的面积是16。这个圆环的面积是（    ）。 A．64π B．48π C．32π D．16π 【答案】D 【分析】涂色部分是由大正方形面积减去小正方形面积得到的。大正方形的边长等于大圆的半径，小正方形的边长等于小圆的半径。已知大圆直径是小圆直径的2倍，那么大圆半径＝小圆半径的2倍。大正方形的面积就是大圆半径×大圆半径＝大圆半径2，小正方形的面积就是小圆半径×小圆半径＝小圆半径2。因为涂色部分的面积是16cm2，也就是大正方形面积减去小正方形面积等于16，即大圆半径2－小圆半径2＝16cm2，根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2）解答。 【解答】π×16＝16π（cm2） 这个圆环的面积是16πcm2。 【易错巩固2】天安门城楼前的金水桥旁，有一圆形石墩，石墩的横截面是一个圆环，外直径1米，内直径0.6米，这个圆环的面积是（ ）平方分米。 【答案】50.24 【分析】先根据“1米＝10分米”把单位换算成以“分米”作单位，用直径除以2分别算出外圆半径与内圆半径，再利用圆环面积公式计算出圆环面积。 【解答】1米＝10分米，，0.6米＝6分米 （分米） （分米） （平方分米） 【易错巩固3】国际摔跤比赛通常在一个边长12米的正方形毯子上举行，分为黄色比赛区、红色消极区和蓝色保护区（如下图）。黄色比赛区的周长是（ ）米，红色消极区的面积是（ ）平方米。 【答案】21.98 25.12 【分析】黄色比赛区周长：黄色比赛区是直径为7米的圆，利用圆的周长公式计算即可。 红色消极区面积：红色消极区是环宽1米的圆环，内圆为黄色比赛区，所以先计算外圆的直径，再利用圆环面积公式计算。 【解答】黄色比赛区的周长（米） 红色消极区的面积 红色消极区是圆环，面积外圆面积内圆（黄色比赛区）面积 黄色比赛区（内圆）半径：（米） 环宽1米，因此外圆半径：（米） 圆环面积： （平方米） 【易错巩固4】某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【答案】1727元 【分析】根据题意可知鹅卵石路的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入可求出鹅卵石路的面积，然后用所求面积乘每平方米鹅卵石路需要的价钱，即可解答。 【解答】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 34.54×50＝1727（元） 答：铺完这条鹅卵石路共需要1727元。 【易错巩固5】你们还记得咱们北京奥运会的奖牌是什么样子的吗？北京奥运会奖牌首次采用金镶玉的设计，奖牌环形玉的外直径约是56毫米，奖牌环形玉的内圆的直径约是32毫米，这块玉的面积约是多少呢？ 【答案】1657.92平方毫米 【分析】用奖牌环形玉的外直径除以2求出奖牌环形玉的外圆半径，用奖牌环形玉的内圆的直径除以2，求出奖牌环形玉的内圆的半径，再根据圆环的面积＝×（－）计算即可解答。 【解答】56÷2＝28（毫米） 32÷2＝16（毫米） 3.14×（－） ＝3.14×（784－256） ＝3.14×528 ＝1657.92（平方毫米） 答：这块玉的面积约是1657.92平方毫米。 易错题型07 最大面积问题及圆中方或方中圆问题 1、同时满足「明确最大面积/圆中方/方中圆的图形边界、对应条件匹配正确圆与正方形面积公式计算」规则得到的结果，才是本单元认可的这类问题的合规解题结果，随意混淆图形位置关系、错套公式算出的不符合几何规则的数值不能作为有效解题依据。 2、处理固定周长围出最大面积类应用问题时，要明确周长相等的长方形、正方形、圆中，圆的面积最大，不能直接判定正方形面积最大，得到不符合等周定理的错误结论。 3、标注这类图形计算问题的最终结果时，要明确标注对应的面积单位（平方厘米、平方米等），避免出现漏写单位、周长和面积单位错配的问题，导致图形面积的实际指代完全失真。 4、处理长方形内剪出最大圆类应用问题时，要明确剪出的最大圆的直径等于长方形的短边宽度，不能直接把长方形的长边当成圆的直径，得到超出长方形边界的错误圆面积结果。 5、同一道这类图形计算的运算过程中，圆周率π的近似取值标准、长度单位的换算规则必须完全统一，不能中途随意更改π的取值、混淆厘米和米的换算进率，打乱运算逻辑的严谨性。 6、处理方中圆的剩余边角料面积计算类应用问题时，要用正方形总面积减去内切圆的面积得到剩余部分面积，不能直接用圆的面积减去正方形面积，得到负数的完全错误结果。 7、处理圆中方的剩余边角料面积计算类应用问题时，要用圆的总面积减去内接正方形的面积得到剩余部分面积，不能直接用正方形面积减去圆的面积，得到不符合图形大小关系的错误结果。 8、用这类图形规律解决实际问题时，要先锚定「先确认两个图形的位置对应关系、分别计算两个图形的面积、按要求做差或求比得到最终结果」的核心规则，不能直接硬套单一整圆或正方形的面积公式解题逻辑，忽略两个图形的嵌套专属属性。 【题型精讲7】“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计。如图，外面正方形窗棂的周长是24dm，那么该正方形中最大圆的面积是（    ）。 A．12.15dm2 B．18.84dm2 C．28.26dm2 D．37.68dm2 【答案】C 【分析】已知正方形周长，根据正方形周长公式，可以求出正方形的边长。因为正方形内最大圆的直径和正方形的边长相等，所以由正方形边长可得到圆的直径，进而求出圆的半径。已知圆的半径，根据圆的面积公式，即可计算出圆的面积。 【解答】正方形的边长：24÷4＝6（dm） 正方形里最大的圆，直径刚好和正方形的边长相等，所以这个圆的直径是6dm。 圆的半径：6÷2＝3（dm） 圆的面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 【易错巩固1】2024年春晚机器人表演转手绢，手绢是一个正方形，旋转时形成一个半径的圆（如图）。这块正方形手绢的面积是（ ）。 【答案】 【分析】（）圆的半径是，根据直径半径，可得圆的直径是，因为正方形手绢旋转形成圆，所以正方形的对角线长度等于圆的直径，即正方形的对角线长厘米。 （）把正方形沿着对角线分成两个完全一样的等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的底是正方形的对角线，高是圆的半径。根据计算得到一个等腰直角三角形的面积。 （）正方形的面积等于两个这样的等腰直角三角形的面积之和。 【解答】（） （） （） 【易错巩固2】剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个长40cm，宽30cm的长方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】94.2 706.5 【分析】根据题意可知，在这张长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】①3.14×30＝94.2（cm） 即这个圆的周长是94.2cm； ②30÷2＝15（cm） 3.14×152＝3.14×225＝706.5（cm2） 即这个圆的面积是706.5cm2。 【易错巩固3】用一根长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，而且都是质数。围成的长方形的长和宽可能是多少？（写出符合要求的所有情况）这个长方形的面积最大是多少？ 【答案】围成的长方形的长和宽可能是和，和，和。面积最大： 【分析】是长方形的周长，所以长＋宽。接下来寻找两个质数的和等于24的情况。。据此分别进行计算可以知道，当长方形的长和宽分别为和时面积最大。 【解答】围成的长方形的长和宽可能是和，和，和。          答：这个长方形的面积最大是。 【点睛】本题需要我们理解质数的含义，并能够逐一地把长方形周长的一半24厘米拆成两个质数的和，最后可依据长和宽越接近，面积越大来解答。 【易错巩固4】如图，小明做手工时，在一张周长为40厘米的正方形纸上画了个最大的圆，再在这个圆里画了一个最大的正方形。 （1）圆的半径是多少厘米？ （2）画的新正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）5厘米 （2）50平方厘米 【分析】（1）正方形周长＝边长×4，先根据大正方形周长求出边长，大正方形里面最大圆的直径等于大正方形边长，半径＝直径÷2。 （2）圆内最大正方形的对角线长度等于圆的直径，把这个正方形分成两个相同三角形，三角形底是直径，高是半径，两个三角形面积相加就是正方形面积。三角形面积公式S＝底×高÷2。 【解答】（1）40÷4＝10（厘米） 10÷2＝5（厘米） 答：圆的半径是5厘米。 （2）10×5÷2×2 ＝50÷2×2 ＝50（平方厘米） 答：画的新正方形的面积是50平方厘米。 【易错巩固5】一款可收缩餐桌，完全收缩时为长方形，半展开时为正方形，完全展开时为圆形，如下图所示。已知完全收缩时桌面长1.6米，宽是长的。 （1）若为完全收缩状态的桌面购置一张同尺寸的桌垫，则桌垫的面积是多少平方米？ （2）这款餐桌完全展开后，桌面的面积是多少平方米？（π取3） 【答案】（1）1.92平方米 （2）3.84平方米 【分析】（1）宽是长的，先求出宽的长度，根据长方形面积＝长×宽求出面积。 （2）半展开状态的正方形边长与完全收缩时长方形的长相等，为1.6米，完全展开后该正方形为圆形桌面的内接正方形，根据正方形面积＝边长×边长，可以求出正方形的面积；整个桌面是一个以正方形对角线为直径的圆，要求桌面的面积，即求圆的面积。连接里面正方形的对角线，正方形被平均分成4个完全一样的等腰直角三角形，三角形的直角边长为圆的半径，三角形的面积＝，乘4等于正方形的面积，列等式可以求出的值，根据圆面积＝，可以求出圆的面积。 【解答】（1）（米） 1.6×1.2＝1.92（平方米） 答：桌垫的面积是1.92平方米。 （2） 解：设圆的半径为r，如图连接正方形对角线，正方形被平均分成4个完全相同的等腰直角三角形， （平方米） 答：这款餐桌完全展开后，桌面的面积是3.84平方米。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $