第五单元 第10课时 方中圆与圆中方（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“方中圆与圆中方”核心知识点，系统梳理正方形内最大圆（直径=边长）、圆内最大正方形（对角线=直径）的特征及面积关系，承接圆的面积与圆环面积知识，为初中复合图形计算搭建“特征认知—规律推导—应用拓展”的学习支架。 该资料以分层设计（基础夯实、能力提升、思维拓展）和易错预警为特色，通过典型例题推导、生活场景建模（如餐桌玻璃、井盖装饰）渗透推理意识与模型思想，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化运算能力与应用意识。

第 10 课时 方中圆与圆中方 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 3 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 4 考点一：方中圆（正方形内最大圆）的核心特征与面积关系（核心重难点） 4 考点二：圆中方（圆内最大正方形）的核心特征与面积关系（核心重难点） 5 考点三：方中圆与圆中方的面积关系对比（核心必考） 7 考点四：组合图形的面积计算（提升层级） 9 考点五：生活场景的实际应用（拓展应用） 10 第三部分 高频易错预警与避坑指南 12 易错点 1：方中圆里，混淆圆的直径与正方形的边长，误将半径等于边长 12 易错点 2：圆中方里，混淆正方形的对角线与圆的直径，误将边长等于直径 12 易错点 3：混淆方中圆与圆中方的面积比例关系 12 易错点 4：复合图形计算时，重复计算或漏算区域 13 易错点 5：实际应用中，单位不统一，直接计算 13 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 14 一、基础夯实达标练（6 题） 14 二、能力拓展提升练（4 题） 16 三、思维素养拓展练（2 题） 17 四、数学活动拓展 18 第五部分 习题精准解析与知识点睛 19 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第五单元《圆》的组合图形核心应用课，承接第 7-9 课时圆的面积、圆环面积的知识基础，严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域图形的认识与测量主题要求，是学生从 “单一圆形面积计算” 进阶到 “圆与正方形复合图形面积计算” 的关键节点，也是后续初中几何复合图形计算的重要铺垫。本课时核心掌握方中圆（正方形内最大圆）的核心特征与面积关系、圆中方（圆内最大正方形）的核心特征与面积关系、两种图形的面积对比与辨析、复合图形的面积计算、生活场景的实际应用、规律的拓展迁移六大核心内容。全课时建立 “特征认知 — 规律推导 — 对比辨析 — 计算应用 — 场景落地 — 拓展延伸” 的完整学习路径，围绕运算能力、推理意识、模型思想、应用意识四条核心素养主线，让学生深刻理解方中圆与圆中方的本质特征，熟练掌握两者的面积关系与计算方法，能准确分析复合图形的数量关系，规范解决相关题型，为后续几何复合图形计算筑牢认知与应用根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 方中圆核心特征 正方形内最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆心与正方形中心重合 特征辨析法、操作验证法 混淆圆的直径与正方形的边长，误将半径等于边长，无法准确对应两者的数量关系 方中圆面积关系 圆的面积是正方形面积的（约 78.5%），剩余面积是正方形面积的 公式推导法、归纳法 记错面积比例关系，混淆方中圆与圆中方的面积占比 圆中方核心特征 圆内最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径，中心与圆心重合 特征辨析法、操作验证法 混淆正方形的对角线与圆的直径，误将正方形的边长等于圆的直径，无法准确计算正方形面积 圆中方面积关系 正方形的面积是圆面积的（约 63.6%），剩余面积是圆面积的 公式推导法、归纳法 记错面积比例关系，计算正方形面积时误用边长 × 边长，忽略对角线与直径的对应关系 两种图形对比辨析 方中圆与圆中方的特征、面积关系、对称轴数量的对比，明确两者的本质差异 对比归纳法、辨析法 混淆两种图形的特征与面积公式，解题时无法准确判断图形类型 生活场景实际应用 结合方形 / 圆形桌面、井盖、地砖、包装盒等生活场景，解决方中圆与圆中方的实际问题 场景建模法、原理解释法 无法提炼场景中的图形本质，找错对应数量关系，单位不统一 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 方中圆特征推导法 正方形内最大圆的特征与面积推导题型 ① 明确正方形内最大圆的核心特征：圆的直径 = 正方形的边长；② 分别计算正方形和圆的面积；③ 推导两者的面积比例关系；④ 归纳剩余面积的计算方法 方中圆，很简单，圆的直径等边长，面积占比 π/4，剩余面积一算便 圆中方特征推导法 圆内最大正方形的特征与面积推导题型 ① 明确圆内最大正方形的核心特征：正方形的对角线 = 圆的直径；② 分别计算圆和正方形的面积；③ 推导两者的面积比例关系；④ 归纳剩余面积的计算方法 圆中方，要记牢，对角线等圆直径，面积占比 2/π，剩余面积错不了 对比辨析法 方中圆与圆中方的概念、特征、面积对比题型 ① 分别回忆两种图形的核心特征；② 明确直径 / 边长 / 对角线的对应关系；③ 对比面积比例、对称轴数量、图形结构；④ 结合定义判断正误 方中圆，圆中方，特征要分清，直径边长对角线，对应关系不能混 面积计算法 两种图形的面积、剩余面积计算题型 ① 判断题型是方中圆还是圆中方；② 找准对应数量关系（直径 = 边长 / 对角线）；③ 分别计算两个图形的面积；④ 用减法求剩余面积，或用比例直接计算 计算面积先看图形，对应关系先找准，分别算面积，加减求和不出错 生活场景建模法 生活中的方中圆 / 圆中方实际应用题 ① 分析场景，明确图形本质是方中圆还是圆中方；② 提取场景中的边长 / 直径数据，统一单位；③ 结合面积关系计算；④ 结合单价、数量等条件求最终结果；⑤ 检验合理性，规范作答 实际应用先建模，图形本质先找准，对应关系分清楚，单位统一再计算 三、课时数学思想与素养提升 1. 转化思想：复合图形的面积推导核心逻辑 核心要义：将方中圆、圆中方的复合图形面积计算，转化为已学的正方形、圆的面积计算，把未知的复合图形问题，转化为已知的单一图形面积问题，实现 “化复合为单一、化未知为已知” 的转化思想，培养转化与化归能力。 典型范式：方中圆的剩余面积，转化为 “正方形面积 - 圆的面积”；圆中方的剩余面积，转化为 “圆的面积 - 正方形的面积”，通过转化，将复杂的复合图形计算拆解为简单的基础图形计算。 2. 模型思想：两种图形的通用应用模型 核心要义：提炼出方中圆与圆中方的通用应用模型，无论是基础计算、生活场景、组合拓展，都可以通过 “判断图形类型→找准对应关系→选择公式→代入计算→检验作答” 的通用步骤解决，实现 “学一类、通一片” 的迁移效果，培养模型建构与应用能力。 典型范式：无论是方形地砖里的最大圆形图案，还是圆形井盖里的最大方形装饰，都可以套用对应的模型，找准边长 / 直径 / 对角线的对应关系，快速解决面积计算问题。 3. 推理思想：面积比例关系的演绎推导 核心要义：从两种图形的核心特征出发，通过演绎推理，推导出正方形与圆的面积比例关系，实现从特征到公式、从具体到抽象的逻辑推导，培养严谨的逻辑推理能力。 典型范式：从 “方中圆的直径 = 正方形的边长” 出发，推导出圆的面积是正方形面积的；从 “圆中方的对角线 = 圆的直径” 出发，推导出正方形的面积是圆面积的，逻辑完整，推理严谨。 4. 应用思想：几何知识的生活落地 核心要义：方中圆与圆中方的知识广泛应用于家居生活、建筑设计、工业制造、日常用品等生活场景，体会几何知识在解决实际问题中的核心价值，培养用数学眼光观察生活、解决问题的应用意识。 典型范式：方形桌面的最大圆形玻璃、圆形餐桌的最大方形转盘、方形地砖的圆形图案、圆形井盖的方形装饰，都是方中圆与圆中方知识在生活中的直接应用。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：方中圆（正方形内最大圆）的核心特征与面积关系（核心重难点） 典型例题 1（核心层级）—— 特征推导与面积计算 题目：在一个边长为 10 厘米的正方形纸板里，剪去一个最大的圆形，求这个圆的面积是多少平方厘米？剩下的纸板面积是多少平方厘米？圆的面积占正方形面积的几分之几？ 思路点拨： ① 第一步：明确方中圆的核心特征。正方形内最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆心与正方形的中心重合。本题中正方形边长 10 厘米，因此圆的直径厘米，半径厘米。 ② 第二步：计算圆的面积。代入圆的面积公式，取 3.14，平方厘米。 ③ 第三步：计算正方形的面积。代入正方形的面积公式，厘米，平方厘米。 ④ 第四步：计算剩余纸板的面积。剩余面积 = 正方形面积 - 圆的面积，即平方厘米。 ⑤ 第五步：计算面积占比。圆的面积占正方形面积的比例 = 圆的面积 ÷ 正方形的面积 =（或 78.5%）。 ⑥ 第六步：检验作答。圆的面积 78.5 平方厘米，剩余面积 21.5 平方厘米，占比，符合图形的面积关系，结果正确。 【答案】 圆的面积是平方厘米，剩下的纸板面积是平方厘米，圆的面积占正方形面积的（或 78.5%）。 【知识点睛】方中圆核心特征与面积关系核心要点： 1. 核心特征：正方形内最大的圆（方中圆），圆的直径 = 正方形的边长，圆心与正方形的中心重合，圆与正方形的四条边都相切。 2. 面积公式： · 圆的面积：（为正方形的边长） · 正方形的面积： · 剩余面积： 3. 面积比例关系： · 圆的面积是正方形面积的（约 78.5%）； · 剩余面积是正方形面积的（约 21.5%）。 4. 对称轴特征：方中圆的组合图形有 4 条对称轴，分别是正方形的两条对角线、两条对边中点连线。 5. 易错提醒：圆的直径等于正方形的边长，不是半径等于边长；计算圆的面积时，要先通过边长求出半径，再代入公式；剩余面积是正方形面积减圆的面积，不要颠倒。 考点二：圆中方（圆内最大正方形）的核心特征与面积关系（核心重难点） 典型例题 2（核心层级）—— 特征推导与面积计算 题目：在一个直径为 10 厘米的圆里，画一个最大的正方形，求这个正方形的面积是多少平方厘米？剩下的圆的面积是多少平方厘米？正方形的面积占圆面积的几分之几？ 思路点拨： ① 第一步：明确圆中方的核心特征。圆内最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径，中心与圆心重合。本题中圆的直径 10 厘米，因此正方形的对角线长 10 厘米。 ② 第二步：计算圆的面积。代入圆的面积公式，半径厘米，平方厘米。 ③ 第三步：计算正方形的面积。正方形的对角线 = 10 厘米，正方形面积 = 对角线 ²÷2，因此平方厘米。 ④ 第四步：计算剩余面积。剩余面积 = 圆的面积 - 正方形的面积，即平方厘米。 ⑤ 第五步：计算面积占比。正方形的面积占圆面积的比例 = 正方形面积 ÷ 圆的面积 =（或约 63.6%）。 ⑥ 第六步：检验作答。正方形的面积 50 平方厘米，剩余面积 28.5 平方厘米，占比，符合图形的面积关系，结果正确。 【答案】正方形的面积是平方厘米，剩下的圆的面积是平方厘米，正方形的面积占圆面积的（或约 63.6%）。 【知识点睛】圆中方核心特征与面积关系核心要点： 1. 核心特征：圆内最大的正方形（圆中方），正方形的对角线 = 圆的直径，中心与圆心重合，正方形的四个顶点都在圆上。 2. 面积公式： · 圆的面积：（为圆的直径） · 正方形的面积：（为圆的直径，即正方形的对角线） · 剩余面积： 3. 面积比例关系： · 正方形的面积是圆面积的（约 63.6%）； · 剩余面积是圆面积的（约 36.4%）。 4. 对称轴特征：圆中方的组合图形有 4 条对称轴，分别是正方形的两条对角线、两条对边中点连线。 5. 易错提醒：正方形的对角线等于圆的直径，不是边长等于直径；计算正方形的面积时，要用 “对角线 ²÷2”，不能用边长 × 边长，因为正方形的边长不等于圆的直径；剩余面积是圆的面积减正方形面积，不要颠倒。 考点三：方中圆与圆中方的面积关系对比（核心必考） 典型例题 3（核心层级）—— 对比辨析 题目：判断下面的说法是否正确？请说明理由。 （1）方中圆里，圆的面积是正方形面积的。 （2）圆中方里，正方形的面积是圆面积的。 （3）方中圆和圆中方的组合图形，都有 4 条对称轴。 思路点拨： ① 第（1）题： · 第一步：回忆方中圆的面积关系。方中圆里，圆的直径 = 正方形的边长，圆的面积是正方形面积的，是圆中方里正方形的面积占比。 · 第二步：判断。说法错误，混淆了方中圆和圆中方的面积比例。 ② 第（2）题： · 第一步：回忆圆中方的面积关系。圆中方里，正方形的对角线 = 圆的直径，正方形的面积是圆面积的，是方中圆里圆的面积占比。 · 第二步：判断。说法错误，混淆了两个图形的面积比例。 ③ 第（3）题： · 第一步：回忆两个图形的对称轴特征。方中圆的组合图形，对称轴是正方形的 4 条对称轴；圆中方的组合图形，对称轴也是正方形的 4 条对称轴。 · 第二步：判断。说法正确，两个图形都有 4 条对称轴。 【答案】 （1）错误。理由：方中圆里，圆的面积是正方形面积的，是圆中方里正方形的面积占比，二者混淆。 （2）错误。理由：圆中方里，正方形的面积是圆面积的，是方中圆里圆的面积占比，二者混淆。 （3）正确。理由：方中圆和圆中方的组合图形，对称轴都与正方形的对称轴一致，都有 4 条对称轴。 【知识点睛】方中圆与圆中方对比辨析核心要点： 对比维度 方中圆（正方形内最大圆） 圆中方（圆内最大正方形） 核心对应关系 圆的直径 = 正方形的边长 正方形的对角线 = 圆的直径 圆的面积占比 圆的面积是正方形面积的（约 78.5%） / 正方形的面积占比 / 正方形的面积是圆面积的（约 63.6%） 剩余面积占比 剩余面积是正方形面积的（约 21.5%） 剩余面积是圆面积的（约 36.4%） 对称轴数量 4 条 4 条 核心易错点 混淆直径与边长的对应关系，记错面积比例 混淆对角线与直径的对应关系，记错面积比例 考点四：组合图形的面积计算（提升层级） 典型例题 4（提升层级）—— 复合图形计算 题目：在一个边长为 8 厘米的正方形里，剪去一个最大的圆，再在这个圆里剪去一个最大的正方形，求最终剩下的面积是多少平方厘米？ 思路点拨： ① 第一步：分解图形，分步计算。整个图形分为两层：外层是边长 8 厘米的正方形，内部是最大的圆，圆内是最大的正方形。最终剩下的面积 =（正方形面积 - 圆的面积） + （圆的面积 - 内层正方形的面积）= 正方形面积 - 内层正方形的面积。 ② 第二步：计算最外层正方形的面积。边长厘米，平方厘米。 ③ 第三步：计算中间圆的面积。圆的直径 = 正方形的边长 = 8 厘米，半径厘米，平方厘米。 ④ 第四步：计算最内层正方形的面积。内层正方形的对角线 = 圆的直径 = 8 厘米，平方厘米。 ⑤ 第五步：计算最终剩下的面积。 · 第一步剩余面积（正方形剪去圆）：平方厘米； · 第二步剩余面积（圆剪去正方形）：平方厘米； · 总剩余面积：平方厘米。 · （或用简便方法：总剩余面积 = 64-32=32 平方厘米） ⑥ 第六步：检验作答。最终剩下的面积是 32 平方厘米，符合图形的面积关系，结果正确。 【答案】最终剩下的面积是平方厘米。 【知识点睛】复合图形面积计算核心要点： 1. 核心解题逻辑：多层复合图形的面积计算，关键是分层分解，从外到内逐层计算，或通过抵消中间项简化计算，核心是 “分解法”。 2. 解题步骤： ① 观察图形，分解为多个层次的方中圆、圆中方； ② 从外到内，逐层计算每个图形的面积，明确对应关系； ③ 根据 “剪去” 的要求，逐层计算剩余面积； ④ 汇总总剩余面积，或通过简化公式直接计算。 3. 简化规律：在 “正方形→最大圆→最大正方形” 的复合图形中，最终剩余的面积 = 最外层正方形面积 - 最内层正方形面积，中间的圆的面积可以抵消，简化计算。 4. 易错提醒：复合图形计算时，要明确 “剪去” 的顺序，不要重复计算或漏算；内层图形的对应关系要找准，内层正方形的对角线等于圆的直径，圆的直径等于外层正方形的边长，对应关系不能混淆。 考点五：生活场景的实际应用（拓展应用） 典型例题 5（拓展层级）—— 生活场景应用 题目：一个方形餐桌的边长是 1.2 米，要在餐桌上放一块最大的圆形玻璃，玻璃的面积是多少平方米？如果每平方米玻璃需要 80 元，买这块玻璃一共需要多少元？ 思路点拨： ① 第一步：分析场景，明确图形本质。方形餐桌的最大圆形玻璃，是典型的方中圆问题，圆的直径等于正方形餐桌的边长。 ② 第二步：计算圆的半径。正方形边长 1.2 米，圆的直径 = 1.2 米，半径米。 ③ 第三步：计算玻璃的面积。代入圆的面积公式，平方米。 ④ 第四步：计算总费用。每平方米玻璃 80 元，总费用 = 面积 × 每平方米价格 =元，结合实际场景，保留两位小数，约 90.43 元。 ⑤ 第五步：检验作答。玻璃的面积 1.1304 平方米，总费用约 90.43 元，符合实际场景，结果合理。 【答案】玻璃的面积是平方米，买这块玻璃一共需要约元。 【知识点睛】生活场景实际应用核心要点： 1. 核心应用逻辑：生活中方形物体内的最大圆形物体，都是方中圆问题，核心是圆的直径等于方形物体的边长，先计算圆的面积，再结合单价、数量等条件计算总费用。 2. 常见生活场景： · 方形桌面的最大圆形玻璃、转盘； · 方形地砖里的最大圆形图案； · 方形包装盒里的最大圆形零件； · 方形井盖里的最大圆形装饰。 3. 解题步骤： ① 分析场景，明确图形本质是方中圆还是圆中方； ② 提取场景中的边长 / 直径数据，统一单位； ③ 结合对应关系，计算目标图形的面积； ④ 结合单价、数量等条件，计算最终结果； ⑤ 检验结果，结合实际场景判断合理性，规范作答，注意人民币保留两位小数。 4. 易错提醒：注意单位统一，边长和直径的对应关系，面积公式的正确应用，不要和周长公式混淆；实际应用中注意取值规范，人民币通常保留两位小数。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：方中圆里，混淆圆的直径与正方形的边长，误将半径等于边长 错误范式：正方形边长 10 厘米，计算内接圆的面积时，直接用平方厘米，错误地将正方形的边长当成了圆的半径，结果错误。 成因剖析：对方中圆的核心特征理解不清，忘记了圆的直径等于正方形的边长，半径是边长的一半，混淆了直径、半径与边长的对应关系。 避坑方案：牢记方中圆的核心特征：正方形内最大的圆，圆的直径 = 正方形的边长，半径 = 边长 ÷2。口诀：方中圆，要记牢，直径等于正方形边长，半径是边长的一半，先求半径再算面积。计算前先明确对应关系，先求半径，再代入面积公式。 易错点 2：圆中方里，混淆正方形的对角线与圆的直径，误将边长等于直径 错误范式：圆的直径 10 厘米，计算内接正方形的面积时，直接用平方厘米，错误地将圆的直径当成了正方形的边长，结果错误。 成因剖析：对圆中方的核心特征理解不清，忘记了正方形的对角线等于圆的直径，正方形的边长不等于圆的直径，混淆了对角线与边长的概念。 避坑方案：牢记圆中方的核心特征：圆内最大的正方形，正方形的对角线 = 圆的直径，正方形的面积 = 对角线 ²÷2。口诀：圆中方，要记牢，对角线等于圆直径，面积计算用对角线，平方除以 2 不能忘。计算前先明确对应关系，用对角线计算正方形的面积，不要误用边长。 易错点 3：混淆方中圆与圆中方的面积比例关系 错误范式：判断题 “圆中方里，正方形的面积是圆面积的”，直接打对号，混淆了两个图形的面积比例。 成因剖析：对两个图形的面积比例关系记忆不牢，理解不清，导致混淆。 避坑方案：牢记两个图形的面积比例：方中圆，圆的面积是正方形的；圆中方，正方形的面积是圆的。口诀：方中圆，圆占 π/4；圆中方，方占 2/π，比例关系要分清，不能混淆。 易错点 4：复合图形计算时，重复计算或漏算区域 错误范式：计算 “正方形内剪去最大圆，再在圆内剪去最大正方形” 的剩余面积时，直接用正方形面积减圆的面积，忘记了圆内还要剪去正方形，结果错误。 成因剖析：对复合图形的层次分析不清，没有明确 “剪去” 的顺序和范围，导致漏算或重复计算。 避坑方案：复合图形计算，先分层分解，从外到内，逐层计算，明确每一步的计算范围。口诀：复合图形算面积，先分层，再计算，一步一步不重漏，范围分清不出错。计算前先描出每一步的目标区域，再分步计算。 易错点 5：实际应用中，单位不统一，直接计算 错误范式：方形餐桌边长 120 厘米，计算圆形玻璃的面积时，直接用 120 厘米计算，最后结果单位是平方米，单位不统一，结果错误。 成因剖析：只关注数字计算，忽略单位的差异，长度单位不同，不能直接计算，必须先统一单位。 避坑方案：计算前先看单位，单位不同先统一，统一之后再计算。口诀：计算面积先看单位，单位统一再动笔，厘米米要换算，1 米 = 100 厘米记心里。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）正方形内最大的圆，叫作（ ），它的（ ）等于正方形的边长，圆心与正方形的（ ）重合。 （2）圆内最大的正方形，叫作（ ），它的（ ）等于圆的直径，中心与圆的（ ）重合。 （3）方中圆里，圆的面积是正方形面积的（ ），剩余面积是正方形面积的（ ）。 （4）圆中方里，正方形的面积是圆面积的（ ），剩余面积是圆面积的（ ）。 （5）一个边长为 6 厘米的正方形，内接最大圆的面积是（ ）平方厘米，剩余面积是（ ）平方厘米。 2. 判断： （1）方中圆里，圆的直径等于正方形的边长。（ ） （2）圆中方里，正方形的边长等于圆的直径。（ ） （3）方中圆和圆中方的组合图形都有 4 条对称轴。（ ） （4）圆的面积是正方形面积的。（ ） （5）正方形的面积是圆面积的。（ ） 3. 选择： （1）一个边长为 10 厘米的正方形，内接最大圆的面积是（ ）平方厘米。 A. 314 B. 78.5 C. 31.4 （2）一个直径为 10 厘米的圆，内接最大正方形的面积是（ ）平方厘米。 A. 100 B. 50 C. 78.5 （3）下面的说法中，正确的是（ ）。 A. 方中圆里，剩余面积是正方形面积的 B. 圆中方里，剩余面积是圆面积的 C. 方中圆里，圆的半径等于正方形的边长 （4）在一个边长为 8 厘米的正方形里，剪去一个最大的圆，剩下的面积是（ ）平方厘米。 A. 13.76 B. 50.24 C. 64 4. 计算下面各题： （1）边长为 5 厘米的正方形，内接最大圆的面积； （2）直径为 12 厘米的圆，内接最大正方形的面积； （3）边长为 10 厘米的正方形，剪去最大的圆，剩余的面积。 5. 解决问题： （1）一个方形花坛的边长是 20 米，要在花坛里种一个最大的圆形草坪，草坪的面积是多少平方米？ （2）一个圆形井盖的直径是 80 厘米，要在井盖里做一个最大的方形装饰，装饰的面积是多少平方厘米？ 6. 说理题： 请你说一说，方中圆和圆中方的核心特征有什么区别？我们在计算时，要注意哪些问题？ 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）两个方中圆，正方形的边长比是 2:3，它们的圆的面积比是（ ）。 A. 2:3 B. 4:9 C. 3:2 （2）一个圆的直径扩大到原来的 2 倍，它的内接正方形的面积扩大到原来的（ ）倍。 A. 2 B. 4 C. 8 （3）在一个长 10 厘米、宽 8 厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 A. 50.24 B. 78.5 C. 25.12 8. 填空： （1）一个正方形的面积是 36 平方厘米，它的内接最大圆的面积是（ ）平方厘米。 （2）一个圆的面积是 314 平方厘米，它的内接最大正方形的面积是（ ）平方厘米。 （3）方中圆的组合图形有（ ）条对称轴，圆中方的组合图形有（ ）条对称轴。 9. 解决问题： （1）在一个边长为 12 厘米的正方形里，剪去一个最大的圆，再在圆里剪去一个最大的正方形，最终剩下的面积是多少平方厘米？ （2）一个圆形餐桌的直径是 1.6 米，要在餐桌上放一个最大的方形转盘，转盘的面积是多少平方米？如果每平方米转盘需要 120 元，买这个转盘一共需要多少元？ 10. 探究题： 在一个正方形里剪去一个最大的圆，剩下的面积和正方形的面积有什么关系？请举例验证你的结论。 三、思维素养拓展练（2 题） 11. 一个正方形的面积是 20 平方厘米，在它里面剪去一个最大的圆，剩下的面积是多少平方厘米？ 12. 一个圆的面积是，在它里面画一个最大的正方形，正方形的面积是多少？如果圆的面积是 28.26 平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？ 四、数学活动拓展 实践活动：生活中的方中圆与圆中方大调查 活动任务： 1. 收集生活中 3 个方中圆或圆中方的应用场景（如方形桌面的圆形玻璃、圆形井盖的方形装饰、方形地砖的圆形图案等）； 2. 测量或查询场景中的边长 / 直径数据，计算相关图形的面积； 3. 和同学分享你的测量计算结果，讨论方中圆与圆中方在生活中的应用价值； 4. 自己编一道方中圆或圆中方的实际应用题，和同学交换解答。 要求：通过真实生活调查与计算，深化对方中圆与圆中方的特征和面积关系的理解，体会数学的实用价值，提升应用意识与实践探究能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）方中圆；直径；中心 （2）圆中方；对角线；圆心 （3）； （4）； （5）28.26；7.74 思路点拨： ① 方中圆的定义，直径等于正方形边长，圆心与中心重合； ② 圆中方的定义，对角线等于圆的直径，中心与圆心重合； ③ 方中圆的面积比例，圆占正方形的，剩余占； ④ 圆中方的面积比例，正方形占圆的，剩余占； ⑤ 边长 6cm，圆半径 3cm，面积cm²，正方形面积 36cm²，剩余cm²。 【知识点睛】基础概念识记题型，全面覆盖方中圆、圆中方的定义、特征、面积比例、基础计算，夯实概念基础。 2. 【答案】（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）× 思路点拨： ① 方中圆的直径等于正方形边长，正确； ② 圆中方的对角线等于圆的直径，不是边长，错误； ③ 两个图形都有 4 条对称轴，正确； ④ 只有方中圆里，圆的面积才是正方形面积的，缺少前提，错误； ⑤ 只有圆中方里，正方形的面积才是圆面积的，缺少前提，错误。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避特征混淆、比例关系混淆等高频易错点，深化概念理解。 3. 【答案】（1）B （2）B （3）A （4）A 思路点拨： ① 边长 10cm，圆半径 5cm，面积cm²，选 B； ② 直径 10cm，正方形对角线 10cm，面积cm²，选 B； ③ A 选项剩余面积是正方形面积的，正确；B 选项剩余面积是圆面积的，错误；C 选项圆的半径是边长的一半，错误，选 A； ④ 正方形面积cm²，圆面积cm²，剩余cm²，选 A。 【知识点睛】基础选择题型，考查特征、面积计算、比例关系，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1）半径厘米，面积（平方厘米） （2）正方形对角线 = 12 厘米，面积（平方厘米） （3）正方形面积平方厘米，圆面积平方厘米，剩余面积（平方厘米） 思路点拨： 根据图形特征，找准对应关系，再代入公式计算，注意运算顺序。 【知识点睛】基础计算题型，巩固方中圆、圆中方的面积计算方法，训练规范的计算步骤。 5. 【答案】 （1）圆形草坪的直径 = 花坛边长 = 20 米，半径米，面积（平方米） 答：草坪的面积是 314 平方米。 （2）方形装饰的对角线 = 井盖直径 = 80 厘米，面积（平方厘米） 答：装饰的面积是 3200 平方厘米。 思路点拨： 实际应用中，先明确图形本质，找准对应关系，再代入公式计算，注意单位统一。 【知识点睛】基础应用题，结合生活场景考查方中圆、圆中方的实际应用，强化知识的实际使用。 6. 【答案】 核心特征区别：① 方中圆是正方形内的最大圆，核心对应关系是圆的直径 = 正方形的边长；② 圆中方是圆内的最大正方形，核心对应关系是正方形的对角线 = 圆的直径，二者的对应关系完全不同。 注意事项：① 计算前先判断图形类型，明确是方中圆还是圆中方，找准对应关系；② 方中圆要先通过边长求半径，再计算圆的面积；③ 圆中方要通过对角线计算正方形的面积，不能误用边长；④ 面积比例关系要分清，不要混淆两个图形的占比；⑤ 单位要统一，计算结果的单位要规范。 思路点拨： 从特征区别和计算注意事项两个维度阐述，逻辑清晰，覆盖核心要点。 【知识点睛】概念归纳题型，培养总结概括能力，深化对方中圆与圆中方的理解。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）B （3）A 思路点拨： ① 边长比是 2:3，面积比是 4:9，圆的面积比等于正方形的面积比，选 B； ② 直径扩大 2 倍，对角线扩大 2 倍，面积扩大 4 倍，选 B； ③ 长方形内最大的圆，直径等于宽 8cm，半径 4cm，面积cm²，选 A。 【知识点睛】综合应用题型，考查面积变化规律、长方形内最大圆，提升综合应用能力。 8. 【答案】 （1）28.26 （2）200 （3）4；4 思路点拨： ① 正方形边长 6cm，圆半径 3cm，面积cm²； ② 圆的半径cm，直径 20cm，正方形面积cm²； ③ 两个图形都有 4 条对称轴。 【知识点睛】进阶填空题，考查面积逆用、对称轴数量，强化灵活应用能力。 9. 【答案】 （1）正方形面积平方厘米，外圆半径cm，圆面积平方厘米，内层正方形对角线 = 12cm，面积平方厘米，最终剩余面积平方厘米。 （2）方形转盘的对角线 = 餐桌直径 = 1.6 米，面积平方米，总费用元。 思路点拨： 复合图形分层计算，先算外层，再算内层，最后汇总；实际应用中找准对应关系，规范计算。 【知识点睛】综合应用题，考查复合图形计算、生活场景应用，提升分析与解决问题的能力。 10. 【答案】 在正方形里剪去一个最大的圆，剩余面积是正方形面积的（约 21.5%），是固定不变的比例。 举例：正方形边长 10cm，面积 100cm²，圆面积 78.5cm²，剩余 21.5cm²，，符合规律。 思路点拨： 通过举例验证剩余面积与正方形面积的比例关系，归纳出通用规律。 【知识点睛】探究拓展题型，通过举例验证规律，培养归纳推理能力，深化对方中圆面积关系的理解。 三、思维素养拓展练解析 11. 【答案】 方中圆里，剩余面积是正方形面积的， 剩余面积 =（平方厘米） 答：剩下的面积是 4.3 平方厘米。 思路点拨： 利用方中圆的剩余面积比例，直接计算，无需求半径，简化计算。 【知识点睛】比例应用拓展题，培养灵活应用能力，深化对方中圆面积比例的理解。 12. 【答案】 圆内最大正方形的面积是圆面积的， 当圆的面积是时，正方形的面积 =； 当圆的面积是 28.26 平方厘米时，正方形的面积 =平方厘米。 答：正方形的面积是平方厘米，当圆面积是 28.26 平方厘米时，正方形面积是 18 平方厘米。 思路点拨： 利用圆中方的面积比例，直接计算，无需求直径，简化计算。 【知识点睛】比例应用拓展题，培养灵活应用能力，深化对圆中方面积比例的理解。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 场景调查：收集方形桌面的圆形玻璃、圆形井盖的方形装饰、方形地砖的圆形图案等生活中的应用场景，测量或查询边长 / 直径数据； 2. 计算实践：对每个场景，判断图形类型，代入公式计算相关图形的面积，结合实际场景理解应用价值； 3. 分享交流：和同学分享计算结果，讨论方中圆与圆中方在生活中的广泛应用，总结不同场景的解题注意事项； 4. 编题互动：自主编一道方中圆或圆中方的实际应用题，和同学交换解答，互相批改，巩固方法。 【知识点睛】通过真实生活实践，深化对方中圆与圆中方的特征、面积关系的理解，提升应用意识、实践探究能力与合作交流能力，让学生在真实场景中感受数学的实用价值，落实应用意识核心素养的培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $