第3章 勾股定理（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章勾股定理（高效培优单元自测提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 6 6 7 8 答案 A B B D C B B 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.2.5 10.9π 11.是 12.12 13.4 14.2-1 158 39 16.3或8 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3, AC=AB2-BC2=3=4 .AD=3. .CD=AC-AD=4-3=1, 在RIABCD中，BD=CD2+BC=F+3=N0 3分 18. 【详解】(4)解：：(a-2+b-V万+e-3=0且(a-2°≥0，b-≥0，e-320, 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a-2=0.b-7=0c-3=0 解得a=V5.b=V7.c=3 2分 (2)解：△ABC是直角三角形，理由如下： :a=2,b=7,c=3,其中是最长边， d2+b=(2j°+(7j=2+7=9,c2=3=9, a2+b2=c2, △ABC是直角三角形.5分 19.(1)△ABC是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架AC=8dm,AB=6dm,两轮中心的距离BC=10dm, 8+6=10,即4C+B=8C2 △ABC是直角三角形.2分 (2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G, 图2 :AD=13dmAE=5dmAE⊥DE .DE=VAD2-AE2=V132-52=12dm 由(1)得，△ABC是直角三角形， .Sauw-CCG 4G=4B:AC-6x8=4:8dm BC 10 ∴购物车上篮子的左边缘D到BC的距离为DE+AG=12+4.8=16.8dhm.5分 20. 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：∠D=90°，AD=7m,DC=24m, ÷AC=VAD2+DC2=V72+242=25(m) 又AB=20m,CB=15m,152+202=625=252, BC2+AB=AC2,即AB⊥BC, 及nm=S4+SMx-号4D-Dc+号4B-BC=×7x24+分x20x15=234(m). 答：这块试验田ABCD的面积为234m2;2分 (2)解：连接CE E B 在 的垂直平分线上， C..E AC ∴AE=CE 设BE=x,则AE=CE=20-x, 由(1)知AB⊥BC, BE+BC2=CE,即+15=(20-x 解得r35 8 35 答：点E到点B的距离为8m.5分 21.(证明B=6,BC=6V5.AC=12 :4C=14,4B2-36BC=108 .'BC2+AB2=AC2, .∠ABC=90° .△ABC是直角三角形；1分 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②解：：4B=6BC=65,D是BC的中点， BC :BD-CD=I8C=3 2 又∠ABC=90°」 AD=AB2+BD=3 ;3分 CD=33 (3)由(2)可知 当DP⊥AC时，DP有最小值，如图， .∠C=30°. 2, 3V5 即DP的最小值为2.5分 22.(1)解：如图所示，图中三角形即为所求； 2分 B (答案不唯一)： (②)解：如图所示，图中三角形即为所求； D (答案不唯一)；…4分 E 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图所示，图中三角形即为所求； (答案不唯一).6分 【详解】(1)解：AB=2,BC=1,4C=VP+2=V5 .AB,BC为有理数，AC为无理数，且AB2+BC2=5=AC2, ∴，△ABC是直角三角形，符合题意： (2)解：DE=DF=VP+P=V2,EF=2 DE,DF为无理数，EF为有理数，且DE2+DF2=4=EF2, ∴，△DEF是直角三角形，符合题意； (3)解：：GH=G1=P+2=5,m=VP+32=0 .GH,GL,H都为无理数，且GH+G2=10=Ⅲ2， ∴.△GHⅢ是直角三角形，符合题意. 23 【详解】(1)解：由折叠可知，AB=AC:1分 (2)解：由折叠可知，∠BAF=∠BAC=)∠CMF=45°， 2 .∠FAC=90° “.△ABF为等腰直角三角形， AF BF AB=AF2+BF2=AF ..AB=AC. .AC=AF .4C=2:4分 :AF (3)AB∥CD',理由如下： 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC∥FD ∠BAC+∠ABD=180° 由折叠可知：∠ABD=∠ACD' ∴.∠BAC+∠ACD'=180° .AB∥CD'6分 24. 【详解】(I)解：如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥AB于点E, A E B D 图1 :AB=AC,AD⊥BC, ..BD=CD三BC=6cm, AD-AB-BD-8cm S.c-1BC-AD=1ABCE. ..CE-BC.4D_12x84 AB=10=5 cm 48 ·BC边上的高为8cm:AB边上的高为5cm.…2分 (2)如图，当CP⊥AB时， A 图2 由(1)得：CP=48。 BP=VBC2-CP=36。 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC+BP=96 cm :196 51 ..4分 (3)解：分情况讨论： ①当PA=PC时， 如图，过点A作AD⊥BC于点D, A 图3 由(1)得：AD=8cm,CD=6cm. 设PD=acm,则 PA=PC=(a+6)cm PA2=PD2+AD2, a+6=a2+8,解得a=7 3, PC=2 3 cm 3 ②当CP=CA=10cm,点P在BC上时， 1=10÷2=5(s) ③当AP=AC时， 点P与点B重合，则CP=BC=12cm, :1=12÷2=6(s) ④当CP=CA=1Ocm,点P在AB上时， 如图，过点C作CG⊥AB于点G, 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B C 图4 由(1)得：CG=48。 PG=CP2-CG2=14 由(2)得：BG=36 BP=22 BC+BP=82。 :82 5 25 41 综上所述，所有满足条件的1的值为6或5或6或5.6分 25. 【详解】(1)解：设等边三角形的边长为a, a2+a2=2a2,符合“奇异三角形”的定义， 等边三角形是奇异三角形.…2分 (2)解：：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c,AC=b,BC=a, a2+b2=c2, AB是Rt△ABC的斜边，且b>a, ∴.c>b>a>0 .c2>b2>a2, .c2+b2>a2+a2,即c2+b2>2a2, 又，Rt△ABC是奇异三角形， 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a2+c2=2b2, [a2+b2=c2 b2=2a2 联立a2+c2=2b2得：c2=3a2, :h=20或b=-a<0(合去)，c=vB0政c=V5a<0《含去)， a:b:c=1:: .4分 (3)证明：，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形， ..AD2+BD2=AB2,AC2+BC2=AB2, .AC2+BC2=AD2+BD2, AD=BD, .AC2+BC2=AD2+AD2=2AD2 AE=AD,CB=CE, .AC2+CE2=2AE2, △ACE是奇异三角形.6分 26.(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为c2,也可表示为42b+(a-, :c2=4×5ab+(a-b)}2, 2 ∴.c2=2ab+a2-2ab+b2, .a2+b2=c2.3分 (2)解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,即AE=BF=ET=a,BE=EN=b, :S=(aE+BE)=(a+b.S,=EF2=BF2+BE2=a2+b=4=16.S,=MT2=(E7-EM}=(a-b. :8+S+S,=(a+b)+16+(a-b)月 =a2+2ab+b2+16+a2-2ab+b2 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2(a2+b2)+16 =2×16+16 =48.6分 (3)解：如图，延长DH交AG于点E, 0 H E 6 ,正方形ABCD的边长为10， .AD=DC=BA=10,∠ADC=∠BAD=90°， 在△ABG和△CDH中， [AB=CD AG=CH BG=DH △ABG≌ACDH(SSS) .∠BAG=∠DCH, :∠BAG+∠DAE=∠BAD=90°， .∠DCH+∠DAE=90°， 在△DCH中，CH=8,DH=6,CD=10, .CH2+DH2=82+62=100=102=CD2, .∠CHD=90° ∴.∠DCH+∠CDH=90° .∠CDH=∠DAE .'∠CDH+∠ADE=∠ADC=90°， .∠DCH=∠ADE, 在△DCH和△ADE中， 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠DCH=∠ADE DC=AD ∠CDH=∠DAE' △DCH≌△ADE(ASA) .∠DEA=∠CHD=90°，DE=CH=8,AE=DH=6, .∠HEG=180°-∠DEA=90°，EH=DE-DH=8-6=2,EG=AG-AE=8-6=2, ∴在Rt△EHG中，GH=VEH+EG2=V2+22=2√2 10分 27. 【详解】(1)解：网格中每个小正方形的边长为1，包围△ABC的大长方形长为3、宽为3，其面积为 3×3=9 围三个直角三角形的面积分别为12斗：)1x3子2x3国 2’2 37 六4ABC的面积=9-1-3 2 2:3分 (2②)解：将Vm2+16n 看作直角边为m和4n的斜边DE,V9m+4n 看作直角边为3m和2n的斜边DF, V4m2+4n2 看作直角边为2m和2n的斜边EF, n m D E 包围△DEF的大长方形长为3m、宽为4n,其面积为3m×4n=12mn, 周围三个直角三角形的面积分别为：2×m×4n=2m”,2×2m×2n=2m”,2 x3m×2n=3mm .△MNP的面积=12mn-2mn-2mn-3mn=5mn;.6分 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图，CD=x,CE=12-x,AD=2,BE=3, 12x四E B 在R△MDC中，AC=CD2+AD=VR+4 在RUABCE中，BC=VCE2+BE2=VI2-}+9】 Vx2+4+V12-x2+9=AC+BC 要使VP+4+2-x+9的值最小，则4C+BC的值最小， 当A,C,B三点共线时，AC+BC的值最小，最小值为AB, 过点B作BO1AD,交AD延长线于点O,得矩形BEDO, ..BO=DE =CD+CE=12,DO=BE=3, A0=AD+D0=2+3=5, :AB=VB02+A02=V122+52=13 .代数式V2+4+12-+9的最小值为13：…9分 (4解：将代数式Vx+3+4+5-+16转化为平面直角坐标系中，点P(x,0叭0<x<5)到点 1(-3,2)的距离PA与到点B5刊的距离PB之和，即PA+PB。 B 作点4(3,2)关于产轴的对称点3，-2)，连接B,根据对称性质可知PA=P1, 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PA+PB=PA'+PB,根据“两点之间线段最短”，当P为AB与x轴的交点时，PA+PB取得最小值， 即AB的长度， AB=V(-3-52+(-2-4)}2=100=10」 代数式V6x+3y+4+5-+I6的最小值为10.…1分 13113学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章勾股定理（高效培优单元自测·提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各 组数中，是“勾股数”的是() A.6、810 B.V55V万 C.7、8、9 D.2.5、0.7、2.4 2.若△ABC的三边分别是a,b,c,则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是() A.a2+b2=c2 B.a:b:c=2:3:4 C.∠A=∠B-∠C D.∠A:∠B:∠C=1:2:3 3.如图，在数轴上找出表示3的点A,过点A作直线I⊥OA,在1上取点B,使AB=2,以点O为圆心， OB为半径作弧，弧与数轴交点为C,则点C表示的数是() A.3 B -V13 c.3-3 D.V3-3 4.如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A, B,C,D的面积分别是9,25,4,16，则最大正方形E的面积是() B D E A.V34+2W5 B36 C54 D.64 5.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB,垂足为D,AD=3,则BD的长为()， 119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.6 B V3 c.2V5 D.3V5 6.如图，圆柱形玻璃杯高为llcm,底面周长为30cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线 长为（杯壁厚度不计）() 蚂蚁 B蜂蜜 A.12cm B.15cm C.17cm D.25cm 7.中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一，下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是( ) b A b D a 8.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E为BC上的两点，∠DAE=45°，F为△ABC外 一点，且B1BC,ALAE.有下列结论：OCE=F,②am=2MDF :③BD=DE-CE,④ CE2+BE2 AE2 其中正确的结论有() A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.直角三角形两直角边长AB=3,AC=4,则斜边上中线AD的长为. 10,如图，在△1BC中，∠C=90°，MB=6,以△1BC三边为直径向外作半圆，其面积分别为， S1 S2 S3 S+S2+S3 则 的值为 C S3 S2 B S 11.如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A,河边有两个入口B,C,通过道路BA,CA可前往观 景点A.因景区改造，需要关闭通道CA,为方便游客观景，分散人流，决定新修道路AD(点D在BC 上).经测量：AB=1.5km,AD=1.2km,BD=0.9km,则AD是否为从A到河边的最近道路 一（请 从“是”“否”“不确定”中选择一个填空). B/ 12.如图，操场上直立一根旗杆AB,旗杆垂直于水平地面.将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端 A.若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端B,细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉 开，当末端落至地面点D处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部B与点D相距5米.求旗杆AB的高度 米 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m m 图1 图2 13.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到一名同学为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形 草地中穿过.为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB=3m, AC=12m,则标牌上“■”处的数字是 A 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点，连接CE,若 ∠ACD=3∠BCD,CD=1BD ，则的长为 D 15.如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要 布置跨线工位CD,使得CD⊥a,物料供应点A到传送带a的距离AE=3米，物料供应点B到传送带b的 2V13 距离BF=2米，4，B之间的距离为2 米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即1C=BD 则EC= a LF b B 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，△ABC为等腰三角形，AB=BC,AC=8,BO是AC边上的高，BO=3,动点P、分别在边 1C、B上（点P不与点、C重合》，满 ∠BPQ=∠BAO.△PQB CP .当 为等腰三角形时，的长为 B PO 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，连接BD,AB=5,若BC=AD=3,求BD的长， ■ D 18.若a、kc是aABC的三边长，且a、c满足a-2+b-V+c-3=0 (I)求6C的值： (2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由， l9.图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8dm,AB=6dm,两轮中心的距 离BC=10dm (BA 图1 图2 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)判断△ABC的形状，并说明理由. (②)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm,AE=5dm,且AE⊥DE,AE和BC都与地面 平行，求购物车上篮子的左边缘D到BC的距离. 20.如图，某试验基地有一块四边形试验田ABCD,基地管理处计划修一条A到C的小路，经测量， ∠D=90°，AD=7m,DC=24m,AB=20m,CB=15m. E B D (I)求这块试验田ABCD的面积： (2)基地现计划在AB上建立一个观测点E,要求点E在AC的垂直平分线上，请你计算出点E到点B的距 离。 21.如图，在M4BC中，=6C=65,AC=12.D是C的中点 (I)求证：△ABC是直角三角形： (2)求AD的长. (3)若∠C=30°，点P是线段AC上的一个动点，求DP的最小值. 22.图1、图2、图3均为4×4网格，每个小正方形的边长为1.请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上 的直角三角形，且满足对应边长要求。 图1 图2 图3 (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数： 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数： (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数. 23.综合与实践 按照国际标准，A系列纸为长方形.如图所示，将A4纸进行两次折叠（折痕分别是AB和AE)，使线段 AF和AB均落在AC边上，点D的对应点为点D'.请结合图形解决以下问题： (1)线段AB与AC之间的数量关系是： 、 :(填“相等”或“不相等”) AC (②)若A4纸的宽为AF,长为AC,则A (3)已知AC∥FD,试判断AB与CD'的位置关系，并证明. 24.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,动点P从点C出发，按C→B→A→C的路径运 动，且速度为2cm/s,设出发时间为s. B 备用图 (①)BC边上的高为—：AB边上的高为， (2)当CP⊥AB时，求t的值： (3)若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值. 25.我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形. B (1)根据“奇异三角形”定义，等边三角形 奇异三角形，（填“是”或“不是”）： 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形，求 a:b:c: (3)如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD,若四边形ADBC内存在点E,使得 AE=AD,CB=CE,求证：△ACE是奇异三角形 26.我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最 早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵 爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中C是直角三角 形的斜边，4，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明. D 横闳ac文秀 朱实b H 茱实朱股 朱实剩 G B 图① 图② 图③ (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD的面积 为 ,正方形 FGH 的面积为S,正方形M7的面积为，若正方形FGH的边长为4，求+8，+8 的值； (3)如图③，若正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,求GH的长. 27.【综合探究】“在△MBC中，MB、BC、4C三边的长分别为5,0， ,求这个三角形的面 积.” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 △ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网 格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法。 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 名 2 12-x9 B 3 夕 图1 图2 (1)直接写出图1中△ABC的面积是 (②类比迁移：若△MNP的边长分别为Vm+16 √9m2+4n2,V4m2+4n(m>0,且m≠n)运用构图 法在图2中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积： (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式 Vx+4+V(12-x+9的最小值：小强同学发现VR+4可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长， V12-x+9可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜边长.于是构造出如图，将问题转化为 求RtAACD的斜边AC和RtABCE的斜边BC的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，AC+BC取得最小 值，即线段AB的长，进而求得V?+4+2-x'+9的最小值是 ④拓展应用：求代数式Vx+3+4+V5-x+16(0<x<5列的最小值. 9/9 第3章 勾股定理（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【详解】解：勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数， 选项A中，且三个数均为正整数，符合题意； 选项C中，，，不满足勾股定理，不符合题意； 选项B中各数为无理数，选项D中各数为小数，均不是正整数，不符合题意． 2．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到勾股定理的逆定理与三角形内角和定理，根据相关定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A. ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； B. 设，，，其中， ，， ，不能判定是直角三角形，符合题意； C. ， ， 又， ，即，是直角三角形，不符合题意； D. 设，，， 由三角形内角和得，解得， ，是直角三角形，不符合题意． 3．如图，在数轴上找出表示的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为C，则点C表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴点C表示的数是． 4．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，， 即． 5．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ）． A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中利用等腰直角三角形性质求出长，再在中根据直角三角形边角关系及勾股定理计算． 【详解】解：∵， ∴． 在Rt中，， ∴为等腰直角三角形，． 在Rt中，， ∴， 由勾股定理得． 6．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 7．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．  C．  D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 8．如图，在中，，，，为上的两点，，为外一点，且，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定②，根据勾股定理与等量代换可得③正确，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②如图，设与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故②不正确， ③连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即，故③正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④不正确． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．直角三角形两直角边长，则斜边上中线的长为____________． 【答案】2.5 【分析】首先用勾股定理计算斜边的长度．因为是斜边上的中线，所以长度等于斜边长度的一半，据此推导的长． 【详解】由题可知是直角三角形，直角顶点为，两直角边，， ∴根据勾股定理，斜边． ∵是斜边上的中线， ∴． 10．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 11．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 12．如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【答案】12 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据题意可得： ， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 13．课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到一名同学为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若，，则标牌上“■”处的数字是________． 【答案】4 【分析】利用勾股定理求出，进而求出两条路的差值，即可解题． 【详解】解：，，， ， ， 标牌上“■”处的数字是4． 14．如图，在中，，，垂足为，点是的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】求出，则可求出，由直角三角形的性质得到，则可推出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，求得，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 16．如图，为等腰三角形，，，是边上的高，，动点、分别在边、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， ∵在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图，在Rt中，，点在上，连接，若，求的长． 【答案】 【分析】在中由勾股定理得，得出，在Rt中由勾股定理得的长． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 18．若是的三边长，且满足． (1)求的值； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】（1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 19．图是某超市的购物车，图为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离．      (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到的距离． 【答案】(1)是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架，，两轮中心的距离， ，即， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ，，， ， 由（1）得，是直角三角形， ， ， 购物车上篮子的左边缘到的距离为． 20．如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得到，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据求解： （2）由垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：，，， ， 又，，， ，即， ， 答：这块试验田的面积为； （2）解：连接， 在的垂直平分线上， ， 设，则， 由（1）知， ，即， 解得， 答：点到点的距离为． 21．如图，在中，，，D是的中点． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． (3)若，点P是线段上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)证明∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行证明即可； （2）根据中点的性质得出，再由勾股定理求解即可； （3）当时，有最小值，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，D是的中点， ∴， 又， ∴； （3）由（2）可知， 当时，有最小值，如图， ∵， ∴， 即的最小值为． 22．图1、图2、图3均为网格，每个小正方形的边长为1．请在三幅图中各画出一个顶点均在格点上的直角三角形，且满足对应边长要求． (1)在图1中，画出的直角三角形三边长，仅有一条边长是无理数，另外两条边长均是有理数； (2)在图2中，画出的直角三角形三边长，仅有两条边长是无理数，另外一条边长是有理数； (3)在图3中，画出的直角三角形三边长都是无理数． 【答案】(1)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (2)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）； (3)解：如图所示，图中三角形即为所求； （答案不唯一）． 【分析】（1）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （2）根据有理数与无理数的定义进行作图即可； （3）根据无理数的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为有理数，为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （2）解：∵， ∴为无理数，为有理数，且， ∴是直角三角形，符合题意； （3）解：∵， ∴都为无理数，且， ∴是直角三角形，符合题意． 23．综合与实践 按照国际标准，A系列纸为长方形．如图所示，将纸进行两次折叠（折痕分别是和），使线段和均落在边上，点的对应点为点．请结合图形解决以下问题： (1)线段与之间的数量关系是：________；（填“相等”或“不相等”） (2)若纸的宽为，长为，则________； (3)已知，试判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1)相等 (2) (3)，理由如下： 由折叠可知： 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结果； （2）易得为等腰直角三角形，进而求出，即可得出结果； （3）根据平行线的性质，折叠的性质，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：由折叠可知，； （2）解：由折叠可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）略 24．如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发时间为． (1)边上的高为______；边上的高为______． (2)当时，求的值； (3)若是等腰三角形，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) (3)或5或6或 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由等面积法求出即可； （2）当时，由（1）得,再由勾股定理得，则，即可求解； （3）分情况讨论：①当时，②当，点在上时，③当时，④当，点在上时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴边上的高为；边上的高为． （2）如图，当时， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． （3）解：分情况讨论： ①当时， 如图，过点作于点， 由（1）得：，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． ②当，点在上时， ． ③当时， 点与点重合，则， ∴． ④当，点在上时， 如图，过点作于点， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴． 综上所述，所有满足条件的的值为或5或6或． 25．我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据“奇异三角形”定义，等边三角形________奇异三角形，（填“是”或“不是”）； (2)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求； (3)如图，以为斜边分别在的两侧作直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，，求证：是奇异三角形． 【答案】(1)是 (2) (3)证明：∵以为斜边分别在的两侧作直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是奇异三角形． 【分析】（1）设等边三角形的边长为，则，由此即可得； （2）先得出，，则可得，再联立求解即可得； （3）利用勾股定理可得，，再等量代换即可得证． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， ∴，符合“奇异三角形”的定义， ∴等边三角形是奇异三角形． （2）解：∵在中，，，，， ∴， ∵是的斜边，且， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是奇异三角形， ∴， 联立得：， ∴或（舍去），或（舍去）， ∴． （3）略． 26．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 27．【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为； （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $