第三章《勾股定理》章节测试卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第三章《勾股定理》章节测试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1.下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是() A.3,4,5 B.8,15,17 C.14,48,49 D.5,12,13 2.直角三角形两条直角边长分别为9cm和12cm,则斜边上的中线长为() 15 A.9cm B.12cm C.15cm 3.如图，长为16cm的橡皮筋放置在水平的x轴上，固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉 升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了() D A C B A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB,连 接DB.若AC=6,BC=3,则CD的长为() D A E B R C.11 2 D.3 5.观察以下勾股数，并寻找规律：(1)4,3,5；(2)6,8,10；(3)8,15,17；(4) 10,24,26…根据规律，第（7)组勾股数是（) A.14,48,49B.16,12,20 C.16,63,65 D.16,30,34 6.如图，0P=2,PP=1,且∠OPP1=90°，PP+1=1i=1,2,3,4…,n, ∠0P,P1=90(i=1,2,3,4,n小，观察规律，线段0P,的长是（) 王 81P 14 1 15■ P 6 2 1 D A.4V2 B.V34 C.6 D.32 7.如图，在△ABC中，AB=9,AC=12,BC=15,将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边 上的点D重合，E为射线BM上的一个动点，当△CDE的周长最小时，CE的长为() D A.7 B.8 C.5 2 D.号 8.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D,E为BC上的两点，∠DAE=45°，F 为△ABC外一点，且FB⊥BC,A⊥AE.有下列结论：①CE=BF;②S△ADE=2AD·EF;③ BD2=DE2-CE2:④CE2+BE2=AE2.其中正确的结论有（） A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若两边长为5和13，则第三边的长为一· 10.如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则∠DAE-∠BAC的 度数为· A 11.某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点 P处先往西走13m,又往北走4m,遇到障碍后又往东走6m,再转向北走8m后往西拐.走了 2m就到达点Q:则p、Q两点之间的距离为一m· 8m 6m 4m 13m 12.如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E 的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是 C E B 13.如图，在一棵树CD离地面10米高的B处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的A处有 水果.为了吃水果，一只猴子爬下树跑到A处，另一只爬到树顶D后直接跳到A处（路径以直 线计算)，如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高CD为 米 14.已知△ABC的中线BD将AC分为两段，若AB=6,BC=8,BD=5,则AC的长度为 15.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三 角形较短直角边长为a,较长直角边长为b,若a+b2=25,小正方形的面积为1，则大正方形 的面积为 16.定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad),即在△ABC中，AB=AC,顶 角A的正对记作sadA,这时sadA=底迪BC.如图，若在△ABC中，AB=AC, 腰AB sad∠BAC= 号，AD平分∠BAC交BC于点D,则sad∠BAD的值是 D 17.如图，在长方形纸片ABCD中，点E为边BC上一点，将长方形纸片ABCD沿过点E的直线 折叠，使点B落在边CD上的点B处，点A落在点A处，折痕EF交AD于点F.若AD=9, CD=7?BE=5?则线段AF的长为 D B 18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，F是对角线 BD上的动点，连接EF:若AC=10:BD=8,则EF的最小值为 E A D 三、解答题（共9小题，共64分) 19.(5分)如图，四边形ABCD为某林场种植树林的区域，AB⊥BD.经测量AB=8km, AD=17km'BC=12km'CD=9km' (1)护林员操控一架无人机从B处沿直线飞行到D处进行巡查，求无人机飞行路径BD的长； (2)试判断△BCD的形状，并说明理由. 20.(5分)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词 《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译 成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地 高度为一尺(AC=1尺).将它往前推进两步(EB⊥OC于点E,且EB=8尺)，踏板升高到 点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长多少尺. 21.（7分)按要求作图 (1)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C均在小正方形的顶点上. A ①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△ABC; ②在直线I上找一点P，,使得△APC的周长最小； ③△ABC的面积为 (2)如图，画出一个面积为10的正方形， 22.(5分)如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°，AD是△ABC的角平分线. D (I)过点D作DE⊥AB,垂足为点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若BD=4,在(1)的条件下，AE的长为 23.(5分)某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预 算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究， 利用课余时间完成了实践调查报告. 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 相关数据及说明： 测量示意图： ①在四边形ABCD中，∠ABC=90°； 研究方案及测 ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所 13m 量数据 A 12m 示； 3m B 4m C ③测量示意图中1cm代表实际距离10m; ④每平方米的绿化费用为60元. 计算结果 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用. 24.(8分)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程的正整数解a,b, c通常叫作勾股数组，可以记作(a,b,c小毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根 据该公式可以构造出如下勾股数组：3,4,5；5,12,13：7,24,25：… 分析这些勾股数组可以发现，4=1×3+1,12=2×5+1,24=3×7+1，. (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将a2+b2=c移项并因式分解得a2=c2-b2=c+b小c-b,请写出满足上述规律的第n个 勾股数组（用含的式子表示），并尝试用小红的方法证明； (3)若x,x+7,x+m是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值. 25.(10分)【综合探究】“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为/5，V10,V13, 求这个三角形的面积.” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)，再在网格 中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样不需要 求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图 法 A m 2 12x四E B o 图1 图2 (1)直接写出图1中△ABC的面积是一； (2)类比迁移：若△MNP的边长分别为√m2+16n2,V9m2+4n2,4m2+4n2(m>0,且m≠n) 运用构图法在图2中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代 数式X+4+12-x+9的最小值：小强同学发现X+4可看作两直角边分别为x和2的直 角三角形斜边长，12-x+g可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜边长.于 是构造出如图，将问题转化为求Rt△ACD的斜边AC和Rt△BCE的斜边BC的和的最小值，易 得A、C、B三点共线时，AC+BC取得最小值，即线段AB的长，进而求得 √X+4+12-x?+g的最小值是 (④)拓展应用：求代数式x+3P+4+5-x+1610<x<5的最小值. 26.(10分)截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法.截长就是在长边上截取一 条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问 题.数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,∠B=2∠C”.求证：AB+BD=AC 图① 图② 图③ 图④ (1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证 BD=EC即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题.请你按照上述解题思路写 出证明过程. (2)请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，△ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC=120°，连接AD.判断出线 段DA,DB,DC之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.D是边BC下方-点，∠BDC=90°.求 证：V2DA=DB+DC. 27.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,动点P从点C出发，按 C-B-A-C的路径运动，且速度为2cms,设出发时间为ts B B 备用图 (I)BC边上的高为；AB边上的高为· (2)当CP⊥AB时，求t的值； (3)若△ACP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值. 参考答案 一、选择题 1.C 解：：32+42=9+16=25=52,82+152=64+225=289=17,52+122=25+144=169=132，A、 B、D均可以构成直角三角形. .:142+482=196+2304=2500?49=2401' .142+482≠492，C不可以构成直角三角形. 2.D 解：，直角三角形两直角边长分别为9cm和12cm. 由勾股定理得斜边：c=Vg2+122-V81+144=V225=15cm, 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， “斜边上中线长=×15=5cm 2cm. 3.B 解：由题意可知：CD垂直平分AB, .AD=BD. ,点C是AB的中点，AB=16cm, AC-AB-8cm, 在Rt△ACD中，AC=8cm,CD=6cm; 根据勾股定理，得：AD=BD=VAC2+CD=10cm; .AD+BD-AB=2AD-AB=20-16=4cm 故橡皮筋被拉长了4cm. 4.A 解：点E是AB的中点，DE⊥AB,DE垂直平分AB, ∴.BD=AD, 设CD=x, ∴.BD=AD=AC-CD=6-X, 在Rt△BCD中，BD=CD2+BC2, .6-x2=x2+32, 怒保x呈 ..CD=9 5.C 解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（叶1）， 第二个是：n(t2), 第三个数是：（叶1）2+1，故可得第⑦组勾股数是16,63,65. 故选C. 6.C 解：PP1⊥OP,OP=2,PP1=1, 在Rt△OPP,中，有0P,=OP2+PP=4+1=5 .P2P LOP1,OP =5.P2 P=1. ∴在Rt△0P,P,中，有0P,=OP,+P,F-5+1=6 P3P21OP2,0P2=V6,P3P2=1, ∴在Rt△0P,P,中，有0P,=OP,2+P,P-6+1=RV7 依次类推，可知OPn=n+4, 即当n=32时，有0P32=32+4=36=6 故选：C. 7.C 解：如图，连接AE, D 由题意可知，AB与DB关于射线BM对称， ∴.AB=BD=9」 .CD=BC-BD=6. ,E为射线BM上的一个动点， ∴.AE=DE, .∴.DE+CE=AE+CE≥AC=12, ∴.△CDE的周长为CD+DE+CE≥6+12=18，当A、E、C三点共线时，取得最小值， 当A、E、C三点共线时，如图，设CE=x,则AE=DE=12-x, B D ,AB2+AC2=9+12=152=BC2, ∴.∠BAC=90°， 由折叠的性质可得，∠BDE=∠BAC=90°， ∴.∠CDE=180°-∠BDE=90°， 在Rt△CDE中，DE+CD=CE2, .12-x2+36=x2, 解得x=15 ， CE=15 8.B 解：①：∠BAC=90°，FA⊥AE,∠DAE=45°， ∴.∠CAE=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD. ∠FAB=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD' ∴.∠FAB=∠EAC, .AB=AC,∠BAC=90° ∴.∠ABC=∠ACB=45°， .FB⊥BC, .∠FBA=45°=∠C, .△AFB≌△AEC(ASA), ∴CE=BF,故①正确， ②如图，设AD与EF的交点为G, .∠FAB=∠CAE, ∴.∠AD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°， ∴.∠FAD=∠EAD=45°， .△AFB≌△AEC(ASA), .AF=AE, ∴.AD⊥EF,EF=2EG, 5a:号AD-nG-号AD×PF-号ADER,数②不正确， ③连接FD, B D E 由①中证明△AFB≌△AEC, ..AF=AE, .∠DAE=45°，FA⊥AE, ∴.∠FAD=∠DAE=45, .AD=AD ∴.△AFD≌△AED(SAS), ∴.FD=DE, .FB⊥BC, ..FB2+BD2=FD2 FB=CE, FB2+BD=BD2+CE2=FD=DE,即BD=DE2-CE2,故③正确， ④FB2+BE2=EF2,CE=BF, ..CE2+BE=EF2, 在Rt△AEF中，AF=AE, ..AF2+AE2=EE2, ..EF2=2AE2, .CE2+BE2=2AE2,故④不正确. 二、填空题 9.12或194 解：根据题意，当13为斜边时，第三边为132-52=12， 当13为直角边时，第三边为132+52=V194, 故第三边的长为12或V194. 10.45° 解：如图，连接EG,AG, F E D B 由勾股定理得：AE=AG2=12+22=5,EG2=12+32=10, .∴.AE2+AG2=EG2, .∴.∠EAG=90, ∴.△EAG是等腰直角三角形， .∠AEG=45°， ,EF‖AB ∴.∠AEF=∠DAE, 在△EFG和△ABC中 FG=BC=1 ∠EFG=∠ABC=90° EF=AB=3 .△EFG≌△ABC(SAS): .∴.∠FEG=∠BAC, .∴.∠DAE-∠BAC=∠AEF-∠FEG=∠AEG=45°· 11.15 解：如图，作QT⊥AP于点T, 18m 6m 4m A T 13m 则PT=13-(6-2=9m,QT=8+4=12m, 在Rt△PQT中，由勾股定理可得PQ=PT2+QT=15ml. 12.2 解：，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴.S正方形C=SE方形E-S正方形D,S正方形C=SE方形A十SE方形B, .正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， .S正方形c=12-3=9,SE方形c=7+S正方形B, .7+S正方形B=9, .SE方形B=2. 13.15 解：设这棵树高x米，即CD=x米， 由题意得：AC⊥CD,BC=10米，AC=20米， .BD=CD-BC=x-10米， 两只猴子所经过的距离相等， ∴.BD+AD=BC+AC,即x-10+AD=10+20, .AD=40-x(米)， 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2,即202+x2=40-x2, 解得x=15, 即CD=15米， 答：这棵树高15米. 14.10 解：延长BD到点E,使ED=BD,连接CE, D .BD=5, .∴.BE=2BD=10 .BD是△ABC的中线， ∴.CD=AD .在△CED和△ABD中， CD=AD ∠CDE=∠ADB, ED=BD ∴.△CED≌△ABD SAS ∴.∠DCE=∠A,CE=AB=6, .CE‖AB, .BC=8 .CE2+BC2=62+82=100, .BE2=102=100 ..CE2+BC2=BE2, ∴.△BCE是直角三角形，且∠BCE=90°， ∴.∠ABC=180°-∠BCE=90°， .AC=AB2+BC2=V62+8=10. 15.13 解：由题意可得：b-a=1,c2=a2+b2, .b2-2ab+a=1, a+b2=a2+2ab+b2=25, ∴.两式相加可得2a+b2=26, .a2+b2=13, 结合勾股定理可得，大正方形的面积为c2=a2+b=13. l16. 2V5 5 解：.AB=AC,AD平分∠BAC, AD⊥BC,BD=BC, :sad∠BAC= BC 8 AB5 .设BC=8k,AB=5k 则BD=4k, 在Rt△ABD中，AD=VAB2-BD2-VI5k-4k=3k' 在AB上截取AE=AD=3k,连接DE, H E B< :△ADE为等腰三角形，且项角∠DAE=∠BAD: sad∠BAD=DE AD' 过点D作DH⊥AB于H, :Sam号AB-DH-TAD~8D, .5k·DH=3k·4k, DH=2k, 5 在R△Ann中.AT-9nn-nn-3k-号 i=AD-AMH=3k号k-=号， 12 6V5 k sad∠BAD=DE=5=25 AD 3k 5 17. 8 0 解：由折叠的性质可知：AB=AB=CD=7,BE=BE=5,AF=AF,∠A=∠A=90°， ∠ABE=∠B=90°， .BC=AD=9,BE=5, ∴.CE=BC-BE=4, 在Rt△BCE中，BC=BE2-CE=3, ∴.DB=CD-BC=4, ∴CE=DB, .∠ABE=90°， ∴.∠DBH+∠CBE=90=∠BEC+∠EBC, ∴.∠DBH=∠CEB, 在△DBH和△CEB中， ∠C=∠D=90° DB=CE ∠DBH=∠CEB ∴.△DBH≌△CEB ASA, ∴.BH=EB=5,DH=CB=3, ∴.AH=2,AH=6, 设AF=AF=X,则FH=6-x, 在△AFH中，AF2+AH2=FH2, 即X+22=6-x, 条得：X登 即AF= 3 D B' H E F B 18.3 解：如图，连接DE、BE, E D :∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，AC=10, BE=号AC=5,DE=号AC=5, ∴BE=DE, 过点E作EF⊥BD于点F, BD=8, .'.BF'=DF=-BD=4, ..EF=BE2-BF2=3, .由垂线段最短可得，当EF上BD时，有最小值为3. 三、解答题 19.(1)解：AB⊥BD, ∴.∠ABD=90, 在Rt△ABD中，AB=8km,AD=17km,则由勾股定理得 BD=A D2-A B2=V172-82=15km' ∴.无人机飞行路径BD的长为15km; (2)解：△BCD是直角三角形， 理由如下： 在△BCD中，CD=9km,BC=12km,BD=15km, 92+12=-225=152,即CD+BC2=BD2, ∴△BCD是直角三角形. 20.解：设OB=OA=X, 根据题意得：EB⊥OC,EC⊥CD,BD⊥CD, ∴.∠BE0=90°， .∵AC=1,EC=BD=5, ∴.EA=EC-AC=5-1=4, 在Rt△OBE中，OB=X,OE=OA-EA=x-4,EB=8, .OB=OE2+EB2, .x2=x-42+82, 解得：x=10, .秋千绳索(OA或OB)长10尺. 21.(1)解：①如图，△ABC即为所求； ②如图，点P即为所求； @AA8c的面积=2×4-1×2-×1×3-号×1x4子： (2)解：如图，正方形ABCD即为所求； D 22.(1)解：如图，DE即为所求， B (2)解：.AC=BC,∠C=90°， .∠BAC=∠B=45°， DE⊥AB, .∠BDE=45°， ∴∠BDE=∠B, ∴.DE=BE, BD=4, .DE+BE2=2DE2=BD2=42, .DE=22, .AD是△ABC的角平分线， ∴.∠CAD=∠BAD, 又∠C=∠AED=90°，AD=AD, ∴.△ACD≌△AED AAS, ∴.CD=DE=2V2,AC=AE, ∴.BC=CD+BD=22+4, 又AC=BC, ∴.AE=AC=BC=2V2+4. 23.解：如图，连接AC, D 13m A 12m 3m B 4m C ,AB⊥BC ∴.∠ABC=90° ..AC=VAB2+BC2=V32+42=5(cml, ,AC2+CD2=52+122=169=132=AD2, ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， .图中1cm代表实际距离10m, .'AB=30m,BC=40m,AC=50m,CD=120m, ∴.四边形ABCD的面积为： S=5m+5m号A0BC+号AcCD-2×30×40+号x50x120=30lm. .3600×60=216000(元). ∴.绿化这块空地所需的费用为216000元. 24.(1)由4=1×3+1,12=2×5+1,24=3×7+1的规律可知：下一个等式是 40=4×9+1: 则对应的勾股数组是9,40,41： (2)第n个勾股数组为2n+1,2nn+1,2nn+1+1. 证明：由题意可知：第n个勾股数组的最小数字（第一个数字）是2n+1, 令a=2n+1,b=2nn+1,c=2nn+1+1, c+b=2nn+1+1+2nn+1=4n2+4n+1' c-b=2nn+1+1-2nn+1=1’ 则c2-b2=(c+b)(c-b)=4n2+4n+1×1=2n+12=a2, 即a2+b2=c2, 所以2n+1,2nn+1,2nn+1+1是满足上述规律的第n个勾股数组. (3)因为x,x+7,x+m是满足上述规律的一组勾股数组， 故令x=2n+1,则x+7=2nn+1,x+m=2nn+1+1, ∴.x+7-x=2nn+1-2n+1,x+m-x+7=2nn+1+1-2nn+1=1, ∴.7=2n2+2n-2n-1,m-7=1, 解得：n=2(负值舍去)，m=8, .x=2n+1=5,x+7=12,x+m=13, 此时x2+x+72=52+12=132=x+m2,符合题意， 所以，x的值为5， 25.(1)解：网格中每个小正方形的边长为1，包围△ABC的大长方形长为3、宽为3，其 面积为3×3=9 周围三个直角三角形的面积分别为：号×1×2=1，号×1x3=3,号×2×3=3. =2’2 △AC的重积=g-1-是3子： 7 (2)解：将√m+16n看作直角边为m和4n的斜边DE,V9m2+4n看作直角边为3m和2n的 斜边DF,V4m2+4n2看作直角边为2m和2n的斜边EF, n m D 包围△乙的大长方形长为3m、宽为4n,其面积为3m×4n=12mn, 周图三个直角三角形的面积分别为：多×m×4n=-2m,×2m×2n=2m, 1×3m×2n=3mn. ∴.△MNP的面积=12mn-2mn-2mn-3mn=5mn; (3)解：如图，CD=x,CE=12-x,AD=2,BE=3, 12-gE 3 B 在Rt△ADC中，AC=VCD2+AD2=Vx2+4, 在Rt△BCE中，BC=VCE2+BE=12-x+9 .Vx2+4+12-x+9=AC+BC' 要使VX+4+12-X+9的值最小，则AC+BC的值最小， ∴.当A,C,B三点共线时，AC+BC的值最小，最小值为AB, 过点B作BO⊥AD,交AD延长线于点O,得矩形BEDO, .BO=DE=CD+CE=12'DO=BE=3' .∴.AO=AD+DO=2+3=5, ∴.AB=B02+A02=V12+52=13 代数式X+4+12-x+9的最小值为13 (4)解：将代数式(x+3+4+(5-xP+16转化为平面直角坐标系中，点Px,00<x<5) 到点A-3,2的距离PA与到点B5,4的距离PB之和，即PA+PB. 作点A-3,2关于x轴的对称点A-3,-2,连接AB,根据对称性质可知PA=PA, ∴.PA+PB=PA+PB,根据“两点之间线段最短”，当P为AB与X轴的交点时，PA+PB取 得最小值，即AB的长度， AB=-3-52+-2-42=V100=10' “代数式x+3+4+5-xP+16的最小值为10： 26.(1)证明：，AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠DAC' 在△ABD和△AED中， AB=AE ∠BAD=∠DAE, AD-AD .∴.△ABD≌△AED(SAS) ∴.∠B=∠AED,BD=ED 又，∠B=2∠C, .∴.∠AED=2∠C, .·∠AED=∠C+∠EDC, .∴.∠C=∠EDC' ∴△CED为等腰三角形， .∴.DE=CE,BD=DE=CE, .∴.AB+BD=AE+CE=AC (2)①DA=DB+DC,理由如下： 如下图所示，在DC的延长线上截取CE=BD,连接AE. B D :△ABC是等边三角形， .∴.AB=AC,∠BAC=60°， 在四边形ABDC中，∠BAC+∠ABD+∠ACD+∠BDC=360° .∠BAC=60,∠BDC=120, .∴.∠ABD+∠ACD=360°-60°-120°=180， 又：∠ACE+∠ACD=180°， .∴.∠ABD=∠ACE· 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠ABD=∠ACE, BD=CE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) .∴.AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60, ·△ADE是等边三角形， .'DA=DE' .DE=DC+CE=DC+BD' .DA=DB+DC ②证明：如下图所示，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE, -E D .∠BAC=90°，∠BDC=90, .∴.∠ABD+∠ACD=180°， .∠ACE+∠ACD=180°， ∴.∠ABD=∠ACE, :AB=AC,BD=CE,在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠ABD=∠ACE, BD=CE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) .∴.AD=AE,∠BAD=∠CAE, .∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90, ∴△ADE是等腰直角三角形， .DE=AD2+AE2=2AD' DE=DC+CE=DC+DB' ..2DA=DB+DC 27.(1)解：如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥AB于点E, A Eh.】 B D 图1 .AB=AC,AD⊥BC, BD=CD-BC=6cm. .AD=A B2-BD2=8cm, :Sa号BcAD-号ABCE, ∴CE=BCAD=12×8-48 cm, AB 105 :BC边上的高为8cm:AB边上的高为地cm: (2)如图，当CP⊥AB时， B C 图2 由(1)得：CP=48 m, ∴BP=VBC2-Cp=3 5cm, ·BC+BP=96 cm, 5 兽2-想 (3)解：分情况讨论： ①当PA=PC时， 如图，过点A作AD⊥BC于点D, B 图3 由(1)得：AD=8cm,CD=6cm, 设PD=acm,则PA=PC=a+6cm, ..PA2=PD+AD2 a+6r=+8,解得a=子 PC=25 3 cm, t=25÷2=25s. 3 6 ②当CP=CA=10cm,点P在BC上时， t=10÷2=5s ③当AP=AC时， 点P与点B重合，则CP=BC=12cm, ∴.t=12÷2=6s. ④当CP=CA=10cm,点P在AB上时， 如图，过点C作CG⊥AB于点G, G 图4 由(1)得：CG=48。 9m, PG=VCp2-CG=14。 "5cm, 由(2)降：BG=5m, BP=22 m, ..BC+BP=82 c9m, 号2 5 综上所述，所有满足条作的：的值为菪或5或6或智 6