第1章 三角形章节复习（10大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

学科网·上好课 三角形 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章三角形章节复习 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01三角形的定义 知识点02三角形的三边关系 知识点03三角形的分类 2.知识清单 知识点04全等三角形的性质与判定 知识点05线段垂直平分线 知识点06角平分线 题型01三角形的识别与有关概念 题型02三角形的三边关系 题型03与三角形的高线有关的计算 题型04根据三角形的中线有关性质求解 题型05定义与命题 3.题型精讲 题型06全等三角形的性质 题型07全等三角形的判定 题型08全等三角形的性质与判定的综合 题型09线段垂直平分线的性质 题型10角平分线的性质 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 1.理解三角形的定义、分类及三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，掌握三 角形内角和及外角性质。 2.掌握等腰三角形、直角三角形的性质与判定，能运用相关知识解决简单几何问 教学目标 题。 3.理解全等三角形的定义、性质与判定定理，能规范进行全等三角形的证明与计 算，提升几何推理能力。 1.重点 (1)掌握三角形三边关系、内角和及外角性质，能灵活运用解决角度与边长计算问 题。 （2)熟练掌握全等三角形的判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)，能规范完成几 何证明。 教学重难点 2.难点 (1)运用三角形三边关系、内角和及外角性质进行复杂角度推理与计算，理清角之 间的数量关系。 (2)结合图形精准选择全等三角形的判定定理，规范书写几何证明过程，突破推 理逻辑断层问题。 知识清单 知识点01三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 - 构成要素：3条边、3个顶点、3个内角（内角和固定为180°）； -表示方法：△ABC(顶点为A、B、C,边为AB、BC、AC,内角为∠A、∠B、∠C)。 知识点02三角形的分类 (1)按边分类（按三边长度关系） 等边三角形：三边都相等（特殊的等腰三角形，三边相等、三角均为60°）； - 等腰三角形：有两条边相等（相等的边为腰，第三边为底，两腰夹角为顶角，腰与底夹角为底角）； -不等边三角形：三边都不相等。 核心关系：等边三角形c等腰三角形（包含关系，不可混淆分类边界）。 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)按角分类（按内角大小关系） 锐角三角形：三个内角都是锐角（均<90°）； -直角三角形：有一个内角是直角(=90°，直角所对的边为斜边，其余两边为直角边，斜边最长)： -钝角三角形：有一个内角是钝角(>90°且<180°)。 核心判定：一个三角形中最多有1个直角或1个钝角（内角和为180°推导得出）。 知识点03三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点： (1)理论依据：两点之间线段最短. (2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则 这三条线段可以组成三角形：反之，则不能组成三角形. (3)证明线段之间的不等关系. 知识点04全等三角形的性质与判定 全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形：两个三角形是全等形，它们就是全等三角形：相 互重合的项点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角： 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： AB=A'B' ∠A=∠A'∴.△ABC≌△A'B'C'(S.A.S) 符号：在△ABC与△A'B'C'中， AC=A'C' 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： 3/23 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠A' AB=A'B'∴.△ABC≌△A'B'C'(A.S.A) 符号：在△ABC与△M'B'C'中， ∠B=∠B' 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： ∠A=∠A ∠B=∠B'∴.△ABC≌△A'B'C'(A.A.S) 符号：在△4BC与△M'B'C'中， BC=B'C' 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等 图形： AB=A'B' AC=A'C'∴.△ABC≌△A'B'C'(S.S.S) 符号：在△ABC与△A'B'C'中 BC=B'C' 知识点05线段垂直平分线 线段的垂直平分线定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一，同时也给 出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段， 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直接或间接地为构造全等三角形创造条件.· 知识点06角平分线 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB,点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF Eh 题型精讲 题型01三角形的识别与有关概念 【典例1】(25-26八年级上四川凉山·期末)观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是() 【变式1】(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，下列说法错误的是() B A.DF是△BDF的边 B,∠FBC是△FBC的内角 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ C.以∠A为内角的三角形有3个 D.以BC为边的三角形有3个 【变式2】(2026七年级下·全国·专题练习)如图，图中三角形的个数为 ；以AB为边的三角形 是 以∠C为一个内角的三角形是 B D E 【变式3】(26-27八年级上·全国课前预习)如图，图中有个三角形，以AD为边的三角形有 在△ABC中，∠B的对边是 ；在△ABD中，∠B的对边是 ;在△ACD中，边 AC的对角是 B D 题型02 三角形的三边关系 【典例1】(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，为估计池塘两岸A,B间的距离，一位同学在池塘一侧 选取一点P,测得PA=19m,PB=15m,那么A,B之间的距离不可能是() A.18m B.26m c.30m D.34m 【变式1】(2627八年级上四川达州开学考试)下列各组线段长度，能构成三角形的是() A.2cm、3cm、5cm B.3cm、4cm、8cm C.4cm、5cm、6cm D.lcm2cm、4cm 【变式2】(25-26七年级下·甘肃兰州期末)已知三角形的三边长分别是3，x,7,且x为整数，请写出 一个满足条件的x的值： 【变式3】(25-26七年级下·河南南阳期末)已知一个三角形的三边长分别为a,b,c,且a+b=5, a+c=6,b+c=7,则该三角形的周长等于 6/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 与三角形的高线有关的计算 【典例1】(25-26七年级下·辽宁铁岭期末)如图，BE是△ABC的中线，AD是△ABC的BC边上的高， DC=6,BD=4,AD=3,则△ABE的面积是() A.1.5 B.2 C.3 D.4.5 【变式1】(25-26七年级下河北沧州期末)如图，在△ABC中，AC=BC=8,SMBc=24,P为AB边 上一动点（不与A,B重合），PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则PE+PF的值是() A.8 B.7 C.6 D.5 【变式2】(25-26七年级上：湖北武汉·开学考试)一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角 形最长边上的高是 【变式3】(25-26七年级下·上海浦东新·期末)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，∠BCD=30°， ∠ACB=80°，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数为 D 题型04根据三角形的中线有关性质求解 【典例1】(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,AD为△ABC的中线， 则△ABD与△ACD的周长之差为() 7/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B A.4 B.3 C.2 D.1 【变式1】(26-27八年级上浙江宁波开学考试)如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为边 BC,AD,CE的中点，且△ABC的面积等于28cm',则阴影部分图形面积等于() y A.5 B.6 C.7 D.8 【变式2】(25-26七年级下·山东菏泽期末)如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=8, SAMC=48,则EC= 【变式3】(25-26七年级下·广东清远期末)如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD的中点， 连接BE,CE.若阴影部分的面积之和是1O,则△ABC的面积是 D 题型05定义与命题 【典例1】(25-26八年级上浙江金华期中)对于命题“若a2>b,则a>b”,能说明该命题是假命题的 是() 8/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a=2,b=-1B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=-2,b=1 【变式1】(25-26七年级上·北京期中)下列命题中，是真命题的是() A.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C.两直线平行，内错角相等 D.若b>a>0,则b的平方根大于a的平方根 【变式2】(25-26八年级上·宁夏吴忠·期中)定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是： (写出它的逆命题，不用判断它的真假) 【变式3】(25-26八年级上福建泉州期中)把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…那么 …”的形式： 题型06全等三角形的性质 【典例1】(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，△ABC≌△DEC,点A和点D,点B和点E是对应点， B、C、D在同一直线上，EC=4cm,AC=8cm,则BD的长为() C D A.4cm B 6cm C.11cm D.12cm 【变式1】(25-26八年级上·山东潍坊·期中)如图，已知△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F,交 DE于点G∠D=25°，∠E=120°，∠DAC=25°，则∠EGB= _度 D G C B 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，已知△ABD≌aEBC,AB=3,BC=4.5,且点B在线 段AC上. D (I)求DE的长： (2)求证：AC1BD. 【变式3】(25-26八年级上·安徽六安·期中)如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延 长BE交AC于点F,且△ACD≌△BED. A ()若BC=11,AD=8,求CD的长度： (2)求证：∠AFE=∠ADB； (3)若S△BCF=20,S四边形CFED=8,则SAEr= 题型07全等三角形的判定 【典例1】(25-26八年级上浙江金华期中)如图，已知点A,D,C,F在同一条直线上，AB=DE, AD=CF,要使△ABC≌△DEF,需添加一个条件是() A.AB∥DEB.BC∥EF C.∠B=∠E D.AC=DF 【变式1】(25-26八年级上全国课后作业)己知：如图，在△ABC中，AD,BE分别是边BC,AC上的高， AD,BE相交于点F,AE=BE.求证：△AEF≌△BEC, 10/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E :.△AEF≌aBEC(ASA) 【变式2】(25-26八年级上广西防城港·期中)如图，已知AC=BD,AB=DE,∠A=∠BDE. A D B (I)求证：△ABC≌△DEB: (2)若AC=6,BE=12,求CD的长. 【变式3】(25-26八年级上山东德州期中)如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=35°，AD, BE交于点H,连接CH (I)求证：AD=BE: (2)求∠AHB. 题型08全等三角形的性质与判定的综合 【典例1】(25-26八年级上山东潍坊阶段练习)如图，己知AB=AC,AF=AE,∠FAE=∠BAC, 点C,E,D,F共线，下列结论错误的是() A.∠FAB=∠EAC B.BF=CE 11/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.AC=DC D.∠BAC=∠BFC 【变式1】25-26八年级上安徽芜湖·阶段练习)如图，在△ABC中，CE是高，将△ABC沿AB所在直线翻 转，点C与点D重合，则图中有」 组全等三角形 B 【变式2】(25-26八年级上全国期中)如图，AD,BE是△ABC的高线，AD,BE交于点F,且AD=BD, D (I)求证：BF=AC: (2)若AF=1,CD=3,求△ABC的面积. 【变式3】(25-26八年级上河南洛阳·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经 过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. M A B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：①△ADC≌△CEB:②DE=AD+BE: (2)如图2，求证：DE=AD-BE; (3)如图3，直接写出线段DE,BE,AD之间的数量关系. 题型09线段的垂直平分线的性质 12/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26八年级上浙江金华·期中)如图，△ABC中，AC=6,AB=8,边BC的垂直平分线 DE分别交AB、BC于点E、D,则△ACE的周长是() B D A.12 B.13 C.14 D.15 【变式1】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点 D,交AB于点E,若BD=4,AC=7,则CD的长为 D 【变式2】(25-26八年级上·四川泸州期中)如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线 m上的动点.若AB=7,AC=4,BC=8,则△APC的周长的最小值为 m 【变式3】(25-26八年级上·浙江杭州期中)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作 DE⊥AB交AB于点E,DF L AC交AC于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. D (1)证明：AD垂直平分EF (2)若△ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长. 13/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型10 角平分线的性质 【典例1】(26-27八年级上山东济南开学考试)如图，在△ABC中，BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB BP、CP交于点P.若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC的度数为() B A.100° B.110 C.120° D.130° 【变式1】(25-26七年级下·上海虹口期末)如图，己知在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=45°，AD是 △ABC的角平分线，那么∠ADB的度数是() D A.80° B.60° C.65 D.75 【变式2】(25-26七年级下重庆·期中)如图，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线， 己知∠BAC=2LB,∠B=5∠DAE,则∠C=°. A DE 【变式3】(25-26七年级下·河南南阳·期末)如图所示，在△ACD中，点B在AD延长线上，AE平分 ∠CAD,DE平分∠CDB,O在射线AE上，OD平分∠ADC,若∠C=80°，则∠AOD=一；∠E= 14/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(26-27八年级上广西南宁·开学考试)如图，己知△A0C≌BOD,点C与点D是对应点，下列结论 中错误的是() B A.AC=BD B.∠AOC=∠BOD C.A0=DO D.∠A=∠B 2.(26-27八年级上：陕西西安·开学考试)如图，△ABC中，DE垂直平分AB,DE分别交AC、AB于点 D、E,连接BD,△ABC的周长为26，BE=5,则△BCD的周长为() D A.10 B.12 C.14 D.16 3.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点D,E,F分别在边BC, AB,AC上，连接DE,DF,且BD=CF,BE=CD,若∠EDF=65°，则∠B的度数为() D C A.50 B.55 C.60° D.65 4.(26-27八年级上四I川达州开学考试)如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB,DF平分∠ADC BE⊥DE,CF⊥DF,若∠DBE=40°，则∠DEF的度数为() 15/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.30° B.40° C.50° D.60° 5.(26-27八年级上江苏常州开学考试)如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点， CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE交于点F.当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值 为() B A.7 B.8 C.9 D.10 二、填空题 6.(26-27八年级上湖北襄阳开学考试)若△ABC2aDEF,∠A=70°，∠B=30°，则∠E= 7.(26-27八年级上全国课后作业)如图，AD∥BC,AD=BC,AE⊥BC,将△ABE沿AD方向平移，使 点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则△ABE≌一，∠F=°. 8.(26-27八年级上四川达州开学考试)如图，将△ABC沿经过点A的直线AD折叠，使边AC所在的直 线与边AB所在的直线重合，点C落在边AB上的E处.若∠B=45°，∠BDE=20°，则∠CAD= E B 0 C 9.(25-26七年级下陕西西安期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,△ABC的角平分线AD、 BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,则BF的长为 16/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分 D 10.(25-26七年级下河南南阳期末)如图所示，在△ACD中，点B在AD延长线上，AE平分∠CAD, DE平分∠CDB,O在射线AE上，OD平分∠ADC,若∠C=8O°，则∠AOD=；∠E= 三、解答题 11.(26-27八年级上浙江杭州开学考试)如图，已知AB=DE,BE=CF,∠B=∠DEF,则AC∥DF 请说明理由， A D B E 解：：BE=CF( ∴.BE+CE= =EF, AB=DE(已知) 在 和 中， ∠B=∠DEF(已知) △ABC△DEF )己证) ∴.△ ≌△ .∠ACB=∠F .AC∥DF 12.(25-26七年级下·陕西汉中·期末)如图，在△ABC中，点D在AC边上，连结DB并延长至点E,连 结AE,△ABE≌△CDB,AC=2AB D B 17/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若△ABC的面积为12，求△ABD的面积： (②)若∠C=28°，∠E=38°，求∠ABC的度数. 13.(26-27九年级上：河北邯郸开学考试)如图，在△ABC和△DEF中，点A、D、B、E在同一条直线 上，己知AB=DE,∠A=∠FDE,AC=DF E (I)求证：△ABC≌ADEF (2)若∠C=60°，求∠F的度数. 14.(26-27八年级上河南开封·开学考试)如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是中线，AE是边BC上 的高，点F在AD上且AF=3DF,FG⊥BC于点G B DG E (I)若∠B=∠BAD,∠C=60°，求∠DFG的度数： (2)若AE=8.求FG的长 15.(25-26七年级下·福建宁德期中)已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E、H分别是AB、 AC边上的点，连接EH,EH∥BC,连接ED,过D作DF⊥DE交EH的延长线于点F,交AC于点G, 连接DH. E G G D D (备用图) (I)若∠BDE=50°，则∠ADF=_: (2)若△HDG≌△HFG,试说明：∠EHD=2∠ADE; (3)若HC平分∠DHF,DH平分∠EDC,直接写出∠HGD与∠HED的数量关系_ 能力提升 18/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2026江苏南通中考真题)如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACD的度数为() A.130° B.120° C.100 D.50° 2.(25-26八年级下辽宁沈阳期末)如图，△PBC的面积为3cm2,CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P, 连接BP,则△ABC的面积为() B C A.3 B.4 C.5 D.6 3.(2425八年级上河北邯郸开学考试)△ABC中，已知点D,E,F分别是BC,AD,CE边上的中点， 且SMBc=32cm2,则Sr为（) A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.1cm2 4.(25-26七年级下·陕西西安·期末)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm,腰AC 的垂直平分线EF交AB于点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则CM+MD的最小值 为() D 19/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3cm B.6cm C.8cm D.12cm 5.(25-26七年级下福建泉州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边 BC上两点，且∠DAE=45°，过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点 F,连接EF,下列结论：①△ABD≌△ACF;②DE=EF;③若SMDE=15,SACr=6,则S△Mc=36: ④BD+CE=DE,其中正确的是() D E A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26七年级下·宁夏期中)如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连接BE、CE,若 △ABC的面积为20，则△BCE的面积为 7.(26-27八年级上北京开学考试)如下图，AD,BC相交于点0，连接AB,CD.若∠A=57°， ∠B=35°，∠C=60°，则∠D的度数为 B D 8.(2026甘肃兰州中考真题)如图，点C,F在BE上，BF=EC,∠A=∠D,要使△ABC≌△DEF, 需添加的一个条件是 一·（只写一个） D 20/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ACD中，∠ADC=90°，AD=CD,延长CD到点B, 连接AB,在AD上找一点F,连接CF并延长交AB于点E,若CE⊥AB,AD=5,△ACF的面积为7.5， 则BD的长为. D 10.(25-26八年级上福建莆田·阶段检测)如图，己知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米， CD=14厘米，∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点 运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点O的运动速度为 厘米秒时，能够使 △BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等 D 三、解答题 11.(25-26七年级下·贵州六盘水期末)某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间 有湖泊，三边划分功能区：边AB为绿地，长为4千米，边AC为临溪护栏，长为2千米，边BC为山间土 路.在土路BC的中点D处修建观景驿站，同时修建索道AD,连接地块顶点A与驿站D, B D E (I)直接写出山间土路BC边长的取值范围」 (2)在△ABC中，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,△ADC与△EDB全等吗？请说明理由； (3)在(2)的条件下，求索道AD长度的取值范围. 12.(26-27八年级上：陕西宝鸡开学考试)在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. 21/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B 图① 图② ()如图①，若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BDC的度数： (②)如图②，连接AD,过点D作DE⊥AB于点EDE=2,AC=4,求△ADC的面积. 13.(25-26七年级下·吉林长春期末)阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”. 例如a=72°，B=42°，a-B=30°，则a,B互为“黄金角”，即a是B的“黄金角”，B也是a的 “黄金角” (1)已知∠1与∠2互为“黄金角”，且∠1>∠2，若∠1与∠2互余，则∠1为 (2)如图，在△ABC中，∠BCA=90°，过点C作AB的平行线CF,作∠CAB的平分线AD,AD分别交CB、 CF于D、E两点. 备用图 ①若∠B>∠AEC,且∠B与∠AEC互为“黄金角”，则∠B的度数为 ②如图，若CG为△ABC的AB边上的高，垂足为G,∠AEC=20°，判断∠DCG与∠CDA是否互为“黄金 角”，请说明理由。 14.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)求解下列各题： G B E 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF: 22/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接 AG,请探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由. 15.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)探究解题 (I)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上方一点，连接AD,BD,且 ∠ADB=90°，过点C作CE⊥AD于点E. ①试说明：△ACE≌△BAD! ②若BD=9,CE=20,求DE的长. 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛ABC,∠CAB=90°，AB=AC,花坛内部设观景平台D, 满足∠ADB=9O°，笔直小路AD延伸交花坛底边BC于点F,从花坛顶点C修建休闲小道CH垂直于小路 AF交AF的延长线于点H,已知BD平分∠ABC,线段DF长80米，求花坛内△ADC区域的面积.（观 景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计) B 23/23 第1章 三角形章节复习 教学目标 1. 理解三角形的定义、分类及三边关系，能判断三条线段能否构成三角形，掌握三角形内角和及外角性质。 2. 掌握等腰三角形、直角三角形的性质与判定，能运用相关知识解决简单几何问题。 3. 理解全等三角形的定义、性质与判定定理，能规范进行全等三角形的证明与计算，提升几何推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握三角形三边关系、内角和及外角性质，能灵活运用解决角度与边长计算问题。 （2）熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能规范完成几何证明。 2.难点 （1）运用三角形三边关系、内角和及外角性质进行复杂角度推理与计算，理清角之间的数量关系。 （2） 结合图形精准选择全等三角形的判定定理，规范书写几何证明过程，突破推理逻辑断层问题。 知识点01 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 - 构成要素：3条边、3个顶点、3个内角（内角和固定为180°）； - 表示方法：△ABC（顶点为A、B、C，边为AB、BC、AC，内角为∠A、∠B、∠C）。 知识点02 三角形的分类 （1）按边分类（按三边长度关系） - 等边三角形：三边都相等（特殊的等腰三角形，三边相等、三角均为60°）； - 等腰三角形：有两条边相等（相等的边为腰，第三边为底，两腰夹角为顶角，腰与底夹角为底角）； - 不等边三角形：三边都不相等。 核心关系：等边三角形⊂等腰三角形（包含关系，不可混淆分类边界）。 （2）按角分类（按内角大小关系） - 锐角三角形：三个内角都是锐角（均＜90°）； - 直角三角形：有一个内角是直角（=90°，直角所对的边为斜边，其余两边为直角边，斜边最长）； - 钝角三角形：有一个内角是钝角（＞90°且＜180°）。 核心判定：一个三角形中最多有1个直角或1个钝角（内角和为180°推导得出）。 知识点03 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点04 全等三角形的性质与判定 全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 知识点05 线段垂直平分线 线段的垂直平分线定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 　　要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 知识点06 角平分线 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 题型01 三角形的识别与有关概念 【典例1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 【变式3】（26-27八年级上·全国·课前预习）如图，图中有________个三角形，以为边的三角形有________；在中，的对边是________；在中，的对边是________；在中，边的对角是________． 【答案】 3 【分析】利用三角形的定义以及三角形有关的角和边分别得出即可． 【详解】解：图中有3个三角形，以为边的三角形有；在中，的对边是；在中，的对边是；在中，边的对角是． 题型02 三角形的三边关系 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． 【变式1】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）下列各组线段长度，能构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A选项：，不能构成三角形． B选项：，不能构成三角形． C选项：，能构成三角形． D选项：，不能构成三角形． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）已知三角形的三边长分别是，，，且为整数，请写出一个满足条件的的值：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ ∴． ∵为整数， ∴在内的整数均满足条件，此处取（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，，，则该三角形的周长等于_____． 【答案】9 【分析】三角形周长为，将三个已知等式左右分别相加，可得到，整体除以2即可直接求出周长，无需单独解出、、． 【详解】解：由题意列方程组： ， 将三式左右两边分别相加： ， 整理得： ， 提取公因数： ， 等式两边同时除以： ， 三角形周长为三边长度之和，因此该三角形周长为． 题型03 与三角形的高线有关的计算 【典例1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 【答案】 【分析】直角三角形中最长边为斜边，两条较短边为直角边，先利用直角边求出三角形面积，再根据面积不变，求出最长边上的高． 【详解】解：由题意知，长度为和的边是直角边， ， 设最长边上的高为， ∴，解得． 【变式3】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 题型04 根据三角形的中线有关性质求解 【典例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【变式1】（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 【变式3】（25-26七年级下·广东清远·期末）如图，中，点是的中点，点是的中点，连接，．若阴影部分的面积之和是10，则的面积是____________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识，建立阴影部分面积与总面积的数量关系即可． 【详解】解：点是的中点， ， 点是的中点， 在中，， 在中，， ， 阴影部分的面积之和是10， ， ． 题型05 定义与命题 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的定义，关键是条件成立时，结论不成立； 若，则可能不成立，当但时即为反例，需找出满足此条件的选项． 【详解】解：选项A：，满足条件，满足结论，故不符合题意； 选项B：，不满足条件，故不符合题意； 选项C：，不满足条件，故不符合题意； 选项D：，满足条件，不满足结论，故符合题意； 因此，选项D能说明该命题是假命题． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则b的平方根大于a的平方根 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与判定、平方根的概念，解题的关键在于准确掌握定理与概念． 【详解】解：A：两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同旁内角才互补，否则不一定，此选项不符合题意； B：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，此选项不符合题意； C：两直线平行，内错角相等，这是平行线的性质，是真命题，此选项符合题意； D：若，则b的平方根有正负两个值，并非所有b的平方根都大于a的平方根，是假命题，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是： （写出它的逆命题，不用判断它的真假） 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原命题的逆命题． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”． 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果那么”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论． 根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等， ∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 题型06 全等三角形的性质 【典例1】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，，点A和点D，点B和点E是对应点，B、C、D在同一直线上，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，可得：，，再根据求出结果． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知，的延长线交于点 F，交 于点 ， 则 度． 【答案】120 【分析】本题考查了全等三角形与三角形内角和问题，属于中等题；根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解： ，即 故答案为：120. 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 题型07 全等三角形的判定 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，则，结合，，可根据证明，故符合题意； B．添加，则，结合，，根据无法证明，故不符合题意； C．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； D．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，分别是边上的高，相交于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由题意得到，又由即可证明． 【详解】证明：∵分别是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）解：由（1）可知， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，，，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由条件根据可证明，则结论得证； （2）由（1）可得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． ． （2）， ， 又， ． 题型08 全等三角形的性质与判定的综合 【典例1】（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的利用全等三角形的性质；先判断三角形全等，根据三角形的全等判断A和B正确，再运用三角形的内角和定理可以判断出D正确，无法判断出C正确，故得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 【变式1】25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，是高，将沿所在直线翻转，点与点重合，则图中有 组全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据判定，根据判定和，据此求解． 【详解】∵将沿所在直线翻转，点与点重合， ∴，， ∵在中，是高， ∴， ∴三点共线， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， 综上分析可得，图中有3对全等三角形， 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，是的高线，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；②根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）思路证明即可； （3）同（2）思路求解． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ， ， ， ， ； ②由①知， ，， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 题型09 线段的垂直平分线的性质 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由垂直平分线可得，则周长可求． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴ ∵， ∴的周长为：． 故选：C ． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，进而求解即可．． 【详解】解：是的垂直平分线 ∵ ∴． 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：11． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型10 角平分线的性质 【典例1】（26-27八年级上·山东济南·开学考试）如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：∵，分别平分和，，， ∴， ∴. 【变式1】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：，是的角平分线， ， 又， ． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【答案】30 【分析】根据三角形高和角平分线的性质得到、，进而利用三角形内角和定理得到，再得到，据此求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，分别是的高线和角平分线， 、， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 一、单选题 1．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应关系确定对应边和对应角，逐项判断． 【详解】解：，点与点是对应点， 点与点是对应点，点与点是对应点， ，，，，， 选项A、B、D结论正确，选项C结论错误． 2．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点，，分别在边，，上，连接，，且，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，故，由此即可说明． 【详解】解：在和中 ， ， ， ， 在中，， ， ． 4．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合角平分线以及平角，得到，接着证明，进一步证明，，最后利用全等三角形的对应角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 二、填空题 6．（26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试）若，，，则________． 【答案】 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 【答案】 【分析】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等．由题意可知平移后得到，且与是对应角． 【详解】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， 沿方向平移，使点与点重合，点平移至点， ， 平移前后对应角相等， ， ， ， ． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，将沿经过点A的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点C落在边上的E处．若，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质求出，由折叠得到，，再根据三角形的内角和定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠可得，，， 在中，， ∴． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得，进而证明，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 三、解答题 11．（26-27八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 【答案】 已知，，，，，，，三角形全等的对应角相等 【分析】根据两三角形全等，对应角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可证明． 【详解】略 12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连结并延长至点，连结，，． (1)若的面积为12，求的面积； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，又由得到，即可得到； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质得到，，利用角的和差即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 13．（26-27九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 14．（26-27八年级上·河南开封·开学考试）如图，在中，是中线，是边上的高，点F在上且，于点G (1)若，，求的度数； (2)若．求的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形性质推出，，进而推出，再结合垂线定义，以及直角三角形性质推出，进而即可求出的度数； （2）连接，设，利用三角形中线性质得到，再根据三角形等高，面积比等于底边之比，推出，，最后结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， 于点G， ， ． （2）解：连接， 设， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 15．（25-26七年级下·福建宁德·期中）已知：如图，在中，于点D，点E、H分别是、边上的点，连接，，连接，过D作交的延长线于点F，交于点G，连接． (1)若，则 °； (2)若，试说明：； (3)若平分，平分，直接写出与的数量关系 ． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂线的定义可得，则可得到； （2）由全等三角形的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，同理可证明，则，据此可满足； （3）设，则，由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，则可求出，，进而得到，再根据，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题 6．（25-26七年级下·宁夏·期中）如图，在中，是中点，是中点，连接、，若的面积为20，则的面积为__________． 【答案】10 【分析】由是中点，可知和等底等高，因此，同理可得，，即可求得的面积． 【详解】解：是中点， ， 又是中点， ，， ． 7．（26-27八年级上·北京·开学考试）如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】在和中，使用三角形内角和定理得到，代入数值即可求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理知，在中，， 在中，， ，（对顶角相等） ， ． 8．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，延长到点，连接，在上找一点，连接并延长交于点，若，，的面积为，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题意可知，，由的面积为易得，则，再证，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ． 10．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题 11．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 12．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，在中，与的度数，再根据“三角形内角和为”求得的度数． （2）过点作两条分别垂直于、的辅助线后，由“角平分线上的点到角的两边距离相等”推导即可． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ． （2）解：过点作于，于， 平分，，， ， 平分，，， ， ． 13．（25-26七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)① ②解：是的黄金角，理由如下： 如图，为的边上的高，垂足为， ，， ， 平分， ， ． ， ， ， ， 为高， ， ， ， ， 即， 是的黄金角． 【分析】（1）根据“黄金角”的定义与互余的定义求解； （2）①根据三角形内角和为，将用表示出来，再根据角平分线与平行线的性质将用表示出来，最后利用“黄金角”的定义求解；②根据角平分线与平行线的性质将的度数求出来，根据三角形高的性质求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴，， ∵， 根据“黄金角”的定义得， ∴，解得． （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵与互为“黄金角”,且， ∴， 解得． ②略 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）探究解题 (1)如图，在中，，，点为直线上方一点，连接，，且，过点作于点． ①试说明：； ②若，，求的长． 【问题解决】 (2)如图，某学校打造等腰直角三角形景观花坛，，，花坛内部设观景平台，满足，笔直小路延伸交花坛底边于点，从花坛顶点C修建休闲小道垂直于小路交的延长线于点，已知平分，线段长80米，求花坛内区域的面积．（观景平台的大小，小路，小道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② (2)花坛内区域的面积为． 【分析】（1）①根据，，，得，再由同角的余角相等得出，即可证得； ②由，得，，即可求得的长． （2）由平分，得，再证得，得，然后，证得，得，最后，由面积公式即可求得区域的面积． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴，， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 答：花坛内区域的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $