专题05图形的轴对称精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学图形的轴对称核心知识点，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的概念及区别联系，详解性质（对称轴垂直平分对称点连线等）、作图方法（对称点、对称图形）及应用（最短路径问题），为后续等腰三角形学习搭建知识支架。 资料以生活实例引入培养几何直观（数学眼光），通过高频考点与失分点梳理提升推理意识（数学思维），设计多种题型（如将军饮马、折叠问题）强化模型意识（数学语言），课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺巩固知识。

专题05图形的轴对称精讲学案 核心立意 通过生活实例认识轴对称图形与两个图形成轴对称，理解轴对称的核心性质；能够识别常见轴对称图形并确定其对称轴；掌握作对称点、对称图形的作图方法；会利用轴对称变换解决最短路径问题。感悟图形变换思想，为后续等腰三角形的学习奠定基础。 轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。   关键点：刻画单个图形自身的对称特征。   注意：对称轴是直线，不是线段或射线。 图形的轴对称（两个图形成轴对称）： 一个图形经过变换后，沿某一条直线折叠能够与另一个图形重合，这种变换称为图形的轴对称，称这两个图形关于这条直线成轴对称。   关键点：描述两个图形之间的位置关系。 区别与联系   区别：轴对称图形是一个图形；成轴对称是两个图形的位置关系。   联系：将成轴对称的两个图形视为一个整体，它是一个轴对称图形；将一个轴对称图形沿对称轴分割，得到的两部分关于该对称轴成轴对称。 常见轴对称图形及对称轴【高频考点】 线段：2 条对称轴，分别是线段的垂直平分线、线段所在的直线。 角：1 条对称轴，是角平分线所在的直线。 等腰三角形：1 条对称轴，是顶角平分线（底边上的高、底边上的中线）所在的直线。 长方形：2 条对称轴，是两组对边中点连线所在的直线。 菱形：2 条对称轴，是两条对角线所在的直线。 正方形：4 条对称轴，是两组对边中点连线、两条对角线所在的直线。 圆：无数条对称轴，是经过圆心的任意一条直线。 一般平行四边形：不是轴对称图形，无对称轴。 轴对称的性质 ① 经过轴对称变换得到的图形与原图形全等，对应线段相等，对应角相等。   ⚠️ 注意：全等的两个图形未必成轴对称。全等仅表示形状、大小一致，轴对称还要求特定的位置关系。 ② 对称轴垂直平分连结每一组对称点的线段。（本节核心定理，必考）   几何语言：若点 A' 是点 A 关于直线 l 的对称点，则 lAA'，且 l 平分 AA'。   推论：一组对称点到对称轴的距离相等。 作一个点关于已知直线的对称点 ① 过已知点作已知直线的垂线，标出垂足； ② 在垂线的另一侧截取线段，使其长度等于已知点到垂足的距离； ③ 所得端点即为该点的对称点。   注意：必须保留作图弧痕，仅画出最终结果会失分。 作一个图形关于已知直线的轴对称图形 ① 确定原图形的全部关键点（多边形即为各个顶点）； ② 分别作出每个关键点的对称点； ③ 依照原图形顶点的顺序，依次连接各对称点。   注意：不得遗漏关键点，不得改变连接顺序。 解题应用【解题抓手】 ① 判断轴对称图形：尝试沿多条直线折叠，检验两侧能否完全重合，不要只验证水平、竖直方向的直线。 ② 确定对称轴：能够使图形折叠后重合的折痕所在直线就是对称轴；计数对称轴时做到不重、不漏。 ③ 计算与证明：优先运用“对称轴垂直平分对称点的连线”求解，不必一味依赖全等证明。 ④ 最短路径（将军饮马，课本例题）   步骤：作其中一个定点的对称点 → 连接对称点与另一定点 → 连线与已知直线的交点即为所求点。   原理：利用轴对称实现线段等量转化，依据两点之间，线段最短求得最小值。   说理要求：写明线段的等量代换，并标注公理依据。 重点辨析 ① 一般平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不存在可以使它折叠重合的直线。 ② 全等是成轴对称的必要条件，但不是充分条件。 ③ 最短路径的核心思想：化折为直，借助轴对称将折线段转化为一条线段。 【学生高频失分点】 ① 将对称轴表述为线段，遗漏“所在的直线”。 ② 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的概念。 ③ 记错常见图形的对称轴条数，出现多算或漏算。 ④ 误认为一般平行四边形是轴对称图形。 ⑤ 只记住对应线段、对应角相等，忽略本节核心定理：对称轴垂直平分对称点的连线。 ⑥ 作轴对称图形时，遗漏关键点或者颠倒顶点的连接顺序。 ⑦ 最短路径问题中：对称点取在同侧；连接错误的两点；说理缺少理论依据。 ⑧ 数对称轴时出现重复计数或者漏数。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★★★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★ 题型五 画对称轴 ★ 题型六 求对称轴条数 ★ 题型七 设计轴对称图案 ★★ 题型八 台球桌面上的轴对称问题 ★★ 题型九 轴对称中的光线反射问题 ★★★ 题型十 折叠问题 ★★★★ 题型十一 镜面对称的应用 ★★★★ 题型十二 最短路径问题 ★★★★★ 题型十三 线段问题 ★★ 题型十四 面积问题 ★ 题型十五 角度问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：轴对称图形的识别 解题思路：① 尝试寻找一条直线；② 想象将一个图形沿这条直线折叠；③ 若直线两侧的部分能够完全重合，则它是轴对称图形。 1．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C．D． 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 3．如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（    ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④ 题型二：成轴对称的两个图形的识别 解题思路：① 明确研究对象是两个独立的图形；② 寻找一条直线；③ 沿这条直线折叠，若一个图形可以与另一个图形完全重合，则两个图形成轴对称。 4．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 5．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C．D． 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断 解题思路：① 回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对称轴垂直平分对应点的连线，对应线段、对应角相等；② 逐条核对每一个结论；③ 判断结论是否成立。 7．如图，与关于直线对称，交于点O．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 9．定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解 解题思路：① 找准各组对应点；② 依据对应线段相等、对应角相等写出相等关系；③ 利用对称轴垂直平分对应点连线得到垂直、中点关系；④ 结合已知条件计算线段长或者角度。 10．如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 11．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 12．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 题型五：画对称轴 解题思路：① 在图形上找出两组对应点；② 分别连接两组对应点；③ 作出这两条线段的垂直平分线；④ 这条垂直平分线就是对称轴。 13．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C．D． 14．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 15．下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C．D． 题型六：求对称轴条数 解题思路：① 按照水平、竖直、斜向的顺序依次尝试；② 检验直线两侧折叠后是否重合；③ 每找到一条符合条件的直线就计数一次；④ 避免重复或者遗漏。 16．下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 17．在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 18．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C．D． 题型七：设计轴对称图案 解题思路：① 列出所有可能的对称轴位置；② 针对每一条假想的对称轴，确定需要补充的位置；③ 补全图形；④ 验证补全后的图形是否满足轴对称。 19．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成，图中已有3个小正方形涂上了颜色，如果在图中再涂上一个正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（    ）种不同的涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 20．如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 21．如图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 题型八：台球桌面上的轴对称问题 解题思路：① 把反射看作轴对称变换；② 将目标点沿桌边作对称点；③ 连接出发点与对称点；④ 连线与桌边的交点就是击球的反射点 22．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 23．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 24．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 题型九：轴对称中的光线反射问题 解题思路：① 将反射问题转化为轴对称问题；② 把光源或者反射目标关于镜面作对称点；③ 利用对称点、反射点、终点三点共线确定反射路径；④ 结合角度关系求出相关角。 25．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 26．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 27．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 题型十：折叠问题 解题思路：① 明确折叠的本质是轴对称；② 标出折叠前后相等的线段与相等的角；③ 挖掘图形中的内角、平角、直角等隐藏条件；④ 利用方程或者几何定理求解。 28．如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 29．如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 30．如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十一：镜面对称的应用 解题思路：① 镜面对称属于左右方向的轴对称；② 将图像竖直翻转；③ 可以把纸张反过来从背面观察；④ 读出变换之后的真实数字或者时刻。 31．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 32．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 33．李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 34．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 35．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C．D． 36．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 题型十二：最短路径问题 解题思路：① 识别将军饮马模型；② 作出其中一个定点关于定直线的对称点；③ 连接对称点与另一个定点；④ 连线与直线的交点即为所求，依据两点之间线段最短说明最小。 37．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 38．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 39．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 题型十三：线段问题 解题思路：① 通过轴对称把线段转移到新的位置；② 利用对称轴垂直平分对应点连线得到垂直、中点关系；③ 结合全等、垂直平分线的性质；④ 推导线段相等、和差或者倍分关系。 40．如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为_________．    41．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是______． 42．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 题型十四：面积问题 解题思路：① 观察图形是否存在对称轴；② 利用对称进行割补、等积转换；③ 将零散的阴影部分拼接成规则图形；④ 利用规则图形的面积公式计算。 43．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 44．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 45．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 题型十五：角度问题 解题思路：① 根据每一次对称标记出所有相等的角；② 设未知角为未知数；③ 利用三角形内角和、外角定理、平角建立方程；④ 解方程求出角度。 46．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    47．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 48．如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．（1）在如图1所示的编号为，，，的四个三角形中，关于轴对称的两个三角形的编号为 ； （2）在图2中，画出与关于x轴对称的，点，，分别对应点，，． 2．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 3．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 4．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 5．如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 6．如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 7．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05图形的轴对称精讲学案 核心立意 通过生活实例认识轴对称图形与两个图形成轴对称，理解轴对称的核心性质；能够识别常见轴对称图形并确定其对称轴；掌握作对称点、对称图形的作图方法；会利用轴对称变换解决最短路径问题。感悟图形变换思想，为后续等腰三角形的学习奠定基础。 轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。   关键点：刻画单个图形自身的对称特征。   注意：对称轴是直线，不是线段或射线。 图形的轴对称（两个图形成轴对称）： 一个图形经过变换后，沿某一条直线折叠能够与另一个图形重合，这种变换称为图形的轴对称，称这两个图形关于这条直线成轴对称。   关键点：描述两个图形之间的位置关系。 区别与联系   区别：轴对称图形是一个图形；成轴对称是两个图形的位置关系。   联系：将成轴对称的两个图形视为一个整体，它是一个轴对称图形；将一个轴对称图形沿对称轴分割，得到的两部分关于该对称轴成轴对称。 常见轴对称图形及对称轴【高频考点】 线段：2 条对称轴，分别是线段的垂直平分线、线段所在的直线。 角：1 条对称轴，是角平分线所在的直线。 等腰三角形：1 条对称轴，是顶角平分线（底边上的高、底边上的中线）所在的直线。 长方形：2 条对称轴，是两组对边中点连线所在的直线。 菱形：2 条对称轴，是两条对角线所在的直线。 正方形：4 条对称轴，是两组对边中点连线、两条对角线所在的直线。 圆：无数条对称轴，是经过圆心的任意一条直线。 一般平行四边形：不是轴对称图形，无对称轴。 轴对称的性质 ① 经过轴对称变换得到的图形与原图形全等，对应线段相等，对应角相等。   ⚠️ 注意：全等的两个图形未必成轴对称。全等仅表示形状、大小一致，轴对称还要求特定的位置关系。 ② 对称轴垂直平分连结每一组对称点的线段。（本节核心定理，必考）   几何语言：若点 A' 是点 A 关于直线 l 的对称点，则 lAA'，且 l 平分 AA'。   推论：一组对称点到对称轴的距离相等。 作一个点关于已知直线的对称点 ① 过已知点作已知直线的垂线，标出垂足； ② 在垂线的另一侧截取线段，使其长度等于已知点到垂足的距离； ③ 所得端点即为该点的对称点。   注意：必须保留作图弧痕，仅画出最终结果会失分。 作一个图形关于已知直线的轴对称图形 ① 确定原图形的全部关键点（多边形即为各个顶点）； ② 分别作出每个关键点的对称点； ③ 依照原图形顶点的顺序，依次连接各对称点。   注意：不得遗漏关键点，不得改变连接顺序。 解题应用【解题抓手】 ① 判断轴对称图形：尝试沿多条直线折叠，检验两侧能否完全重合，不要只验证水平、竖直方向的直线。 ② 确定对称轴：能够使图形折叠后重合的折痕所在直线就是对称轴；计数对称轴时做到不重、不漏。 ③ 计算与证明：优先运用“对称轴垂直平分对称点的连线”求解，不必一味依赖全等证明。 ④ 最短路径（将军饮马，课本例题）   步骤：作其中一个定点的对称点 → 连接对称点与另一定点 → 连线与已知直线的交点即为所求点。   原理：利用轴对称实现线段等量转化，依据两点之间，线段最短求得最小值。   说理要求：写明线段的等量代换，并标注公理依据。 重点辨析 ① 一般平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不存在可以使它折叠重合的直线。 ② 全等是成轴对称的必要条件，但不是充分条件。 ③ 最短路径的核心思想：化折为直，借助轴对称将折线段转化为一条线段。 【学生高频失分点】 ① 将对称轴表述为线段，遗漏“所在的直线”。 ② 混淆“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的概念。 ③ 记错常见图形的对称轴条数，出现多算或漏算。 ④ 误认为一般平行四边形是轴对称图形。 ⑤ 只记住对应线段、对应角相等，忽略本节核心定理：对称轴垂直平分对称点的连线。 ⑥ 作轴对称图形时，遗漏关键点或者颠倒顶点的连接顺序。 ⑦ 最短路径问题中：对称点取在同侧；连接错误的两点；说理缺少理论依据。 ⑧ 数对称轴时出现重复计数或者漏数。 题型 考察方向 难度 题型一 轴对称图形的识别 ★★ 题型二 成轴对称的两个图形的识别 ★★★ 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 ★★★ 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 ★ 题型五 画对称轴 ★ 题型六 求对称轴条数 ★ 题型七 设计轴对称图案 ★★ 题型八 台球桌面上的轴对称问题 ★★ 题型九 轴对称中的光线反射问题 ★★★ 题型十 折叠问题 ★★★★ 题型十一 镜面对称的应用 ★★★★ 题型十二 最短路径问题 ★★★★★ 题型十三 线段问题 ★★ 题型十四 面积问题 ★ 题型十五 角度问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：轴对称图形的识别 解题思路：① 尝试寻找一条直线；② 想象将一个图形沿这条直线折叠；③ 若直线两侧的部分能够完全重合，则它是轴对称图形。 1．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意． 2．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 3．如图，在正方形网格中，8条等长线段形成一个轴对称图形，那么擦去下列选项中的两条线段后，剩下的图形将不再是轴对称图形的是（    ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形都是轴对称图形； 擦去②和③，剩下的图形不是轴对称图形． 题型二：成轴对称的两个图形的识别 解题思路：① 明确研究对象是两个独立的图形；② 寻找一条直线；③ 沿这条直线折叠，若一个图形可以与另一个图形完全重合，则两个图形成轴对称。 4．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 5．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 6．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 题型三：根据成轴对称图形的特征进行判断 解题思路：① 回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对称轴垂直平分对应点的连线，对应线段、对应角相等；② 逐条核对每一个结论；③ 判断结论是否成立。 7．如图，与关于直线对称，交于点O．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 而和不一定平行， 故选D． 8．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质求解即可得． 【详解】解：由题折叠的性质得：，，， ∴，， 所以观察四个选项可知，说法错误的是选项C， 故选：C． 9．定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的定义以及给OP的角度关于Ox对称后的角度加上360°的整数倍即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示点Q可得：点Q的极坐标为（3，-60°-360°=-420°）或（3， -60°）或（3，-60°+720°=660°）或（3，-60°+360°=300°）． 故选D． 【点睛】本题考查轴对称的问题，掌握轴对称的定义成为解答本题的关键． 题型四：根据成轴对称图形的特征进行求解 解题思路：① 找准各组对应点；② 依据对应线段相等、对应角相等写出相等关系；③ 利用对称轴垂直平分对应点连线得到垂直、中点关系；④ 结合已知条件计算线段长或者角度。 10．如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【答案】 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 12．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 题型五：画对称轴 解题思路：① 在图形上找出两组对应点；② 分别连接两组对应点；③ 作出这两条线段的垂直平分线；④ 这条垂直平分线就是对称轴。 13．下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后，折痕两侧能够完全重合的直线．画出各图形的对称轴即可求解． 【详解】 解：A．对称轴有1条； B．对称轴有4条； C．对称轴有2条； D．对称轴有5条； 综上可知，对称轴最多的图形是， 故选D． 14．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（   ） A．菱形 B．等腰三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴画法及不同图形的性质，解题关键是明确用无刻度直尺画对称轴需利用图形自身的几何特征（如对角线、顶点连线等）来确定对称轴位置． 根据轴对称图形的性质，分析各图形能否用无刻度的直尺画出对称轴． 【详解】A、菱形的对称轴是对角线所在的直线，可以用直尺连接对角顶点直接画出； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高，但只用直尺无法准确找到底边中点或垂足，故不能画出； C、延长等腰梯形的两腰使其相交于一点，连接两条对角线使其相交于另一点，连接这两点的直线即为对称轴，故能用直尺画出； D、连接正五边形的一个顶点和不经过该顶点的两条对角线的交点，即可画出一条对称轴． 故选B． 15．下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 题型六：求对称轴条数 解题思路：① 按照水平、竖直、斜向的顺序依次尝试；② 检验直线两侧折叠后是否重合；③ 每找到一条符合条件的直线就计数一次；④ 避免重复或者遗漏。 16．下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 17．在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 18．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 题型七：设计轴对称图案 解题思路：① 列出所有可能的对称轴位置；② 针对每一条假想的对称轴，确定需要补充的位置；③ 补全图形；④ 验证补全后的图形是否满足轴对称。 19．如图，大正方形由9个相同的小正方形拼成，图中已有3个小正方形涂上了颜色，如果在图中再涂上一个正方形，使涂色部分成为一个轴对称图形，一共有（    ）种不同的涂法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查学生轴对称性的认识．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：如图，一共有4种不同的涂法． 故选：C． 20．如图的方格中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成轴对称图形，则该小正方形的序号是___________，该轴对称图形有___________条对称轴． 【答案】 ② 1 【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合．逐一尝试涂黑四个序号的小正方形即可． 【详解】解：涂黑①、③、④时，都无法找到一条直线让新图形对折后完全重合； 涂黑序号②的小正方形，如图：阴影组成的图形满足轴对称的要求． 涂黑②后得到的轴对称图形，只存在1条直线，沿这条直线对折，图形两侧都能完全重合，因此只有1条对称轴． 21．如图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由轴对称图形的定义添加验证即可． 【详解】解：如图所示： 添加一条对角线使整个图形是轴对称图形，添加方法有种． 题型八：台球桌面上的轴对称问题 解题思路：① 把反射看作轴对称变换；② 将目标点沿桌边作对称点；③ 连接出发点与对称点；④ 连线与桌边的交点就是击球的反射点 22．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 23．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 24．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 题型九：轴对称中的光线反射问题 解题思路：① 将反射问题转化为轴对称问题；② 把光源或者反射目标关于镜面作对称点；③ 利用对称点、反射点、终点三点共线确定反射路径；④ 结合角度关系求出相关角。 25．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据入射线与反射线的关系，作出入射角等于反射角即可． 【详解】解：作，在右侧量出等于且以为边，N为顶点的角即可．    26．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反射定律得到，再利用直角三角形的内角和，算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ． 题型十：折叠问题 解题思路：① 明确折叠的本质是轴对称；② 标出折叠前后相等的线段与相等的角；③ 挖掘图形中的内角、平角、直角等隐藏条件；④ 利用方程或者几何定理求解。 28．如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴． 29．如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，结合平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用平行线的性质求出的度数. 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ， ， . 30．如图，中，，点D、E分别在、上，将沿折叠得到，点A对应点F，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠确定，，利用邻补角的关系求出，进而求出，的度数，再根据三角形外角的定义求出，又利用邻补角的关系求出，即得，问题随之得解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十一：镜面对称的应用 解题思路：① 镜面对称属于左右方向的轴对称；② 将图像竖直翻转；③ 可以把纸张反过来从背面观察；④ 读出变换之后的真实数字或者时刻。 31．一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 32．从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 33．李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的像正好与现实相反可得答案． 【详解】解：从车子的后视镜里看到了后面的公交车为路公交， 该公交车是路， 故选：C． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，熟知在镜中看到的像与现实的像正好相反是解本题的关键． 34．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 35．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 36．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 题型十二：最短路径问题 解题思路：① 识别将军饮马模型；② 作出其中一个定点关于定直线的对称点；③ 连接对称点与另一个定点；④ 连线与直线的交点即为所求，依据两点之间线段最短说明最小。 37．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 38．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 39．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点， ∴，， ∴根据三角形三边关系可得， ∴． ∴只有符合题意 题型十三：线段问题 解题思路：① 通过轴对称把线段转移到新的位置；② 利用对称轴垂直平分对应点连线得到垂直、中点关系；③ 结合全等、垂直平分线的性质；④ 推导线段相等、和差或者倍分关系。 40．如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质， 根据平分，得出关于的对称点在角平分线上，作点关于的对称点，根据点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，即最小，进而根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，    ∴， ∴， 当三点共线，且时，最短，即最小， ∵，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 41．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题， 解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． ． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． 42．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 题型十四：面积问题 解题思路：① 观察图形是否存在对称轴；② 利用对称进行割补、等积转换；③ 将零散的阴影部分拼接成规则图形；④ 利用规则图形的面积公式计算。 43．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 44．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 45．如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 题型十五：角度问题 解题思路：① 根据每一次对称标记出所有相等的角；② 设未知角为未知数；③ 利用三角形内角和、外角定理、平角建立方程；④ 解方程求出角度。 46．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为________．    【答案】/度 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 47．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 48．如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 解答题 1．（1）在如图1所示的编号为，，，的四个三角形中，关于轴对称的两个三角形的编号为 ； （2）在图2中，画出与关于x轴对称的，点，，分别对应点，，． 【答案】（1），； （2）如图所示，即为所求 【分析】本题考查了成轴对称的两个图形的识别，画轴对称图形． （1）根据轴对称的性质可得，两个图形关于轴对称； （2）根据轴对称的性质找到，，的对应点，，，顺次连接，即可求解． 【详解】解：（1）关于轴对称的两个三角形的编号为，； 故答案为：，． （2）略 2．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 3．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1) 如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； (2) 如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：略． （2）略． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 4．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)三次反射时；四次反射时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质、反射定律以及三角形内角和等知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． （1）利用反射定律得到角的关系，再结合平行线的性质和三角形内角和等知识求解； （2）通过设角，根据反射定律和平行线的性质建立方程求解； （3）分三次反射和四次反射的情况，结合反射定律和平行线性质分析． 【详解】（1）解：∵反射定律， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． 故答案为：；． （2）解：设，． ∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． （3）解：能． 由（2）得, 当三次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，， ， ∴， 解得， ； 当四次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，，， ， ， ， 解得， ． 5．如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 【答案】 解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小． 由对称性可知：， ∵， ∴， ∴的值最小时，点应该满足． 【分析】本题考查了轴对称、最短路径问题、对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，依据轴对称的性质即可得解． 【详解】略 6．如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 7．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $