专题1.4 三角形全等的判定（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦全等三角形的判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS四种一般判定方法及HL直角三角形特有判定方法。前承全等三角形概念与性质，后续衔接几何推理及综合应用，通过定义解析、图形直观、符号表达构建完整学习支架。 资料以“小孔成像”“角尺分角”等生活实例引导学生用数学眼光观察现实，通过规范推理过程（如补充证明步骤）培养推理意识，题型分层（典例+变式）适配不同学情。课中辅助教师精准教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4全等三角形的判定 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01全等三角形的判定定理 2.知识清单 题型01"边边边”(SSS)证明三角形全等 题型02“边角边"(SAS)证明三角形全等 全等三角形的判定 题型03“角边角"(ASA)证明三角形全等 题型04"角角边”(AAS)证明三角形全等 3题型精讲 题型05添一个条件使得两个三角形全等 题型06灵活选用方法证明三角形全等 题型07全等三角形的性质与判定的综合应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种一般三角形全等的判定方法及直角三角形特有的 HL判定方法，明确各方法的条件与适用范围。 2.能规范运用全等三角形的判定方法，结合图形中的隐含条件，判断两个三角形是 教学目标 否全等。 3. 经历判定方法的探究过程，提升几何推理、逻辑表达能力及分析解决问题的能 力。 1.重点 (1)熟记SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法的核心条件，尤其明确SAS中“夹 教学重难点 角”的关键限制。 (2)能根据具体图形和已知条件，选择恰当的判定方法，完成基础的全等证明与推 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 理。 2.难点 (1)准确识别图形中的隐含条件（如公共边、对顶角)，并规避SSA、AAA等无效判 定方法的陷阱。 (2)在复杂图形或需添加辅助线（如倍长中线)的问题中，灵活选择判定方法，规 范书写几何推理过程。 知识清单 知识点01全等三角形的判定 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： AB=A'B' ∠A=∠A'∴.△ABC≌△A'B'C'(S.A.S) 符号：在△4BC与△M'B'C'中，AC=A'C 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： ∠A=∠A' AB=A'B'∴.△ABC≌△4'B'C(A.S.A) 符号：在△ABC与△M'B'C'中， ∠B=∠B 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠A ∠B=∠B'∴.△ABC≌△A'B'C'(A.A.S) 符号：在△ABC与△M'B'C'中， BC=B'C' 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等 图形： AB=A'B' AC=A'C'.△ABC≌△M'B'C'(S.S.S) 符号：在A4BC与△M'B'C'中， BC=B'C' 【即学即练】1.如图，小明将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起，记中点为O,即AO=CO BO=DO.测得C,D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A,B两点之间的距 离.图中△AOB与△COD全等的依据是() D A.SSS B.SAS C.ASA D.AAA 2.如图，AB∥EF且BD=CF,要使△ABC≌aEFD,则可以添加的条件是一，（写出一个你认为正 确的即可) B 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.补充完成下列推理过程. 如图，在四边形ABCD中，ABI‖CD,点E在AD上，连接BE,CE.若BE平分∠ABC,CE平分∠BCD B D 求证：AE=DE, 证明：延长BE交CD的延长线于点F, AB∥CD, ∠ABE=∠F. 又：BE平分∠ABC,CE平分∠BCD ∴.∠ABE=∠CBE,∠BCE=∠FCE,( ∴.∠CBE=∠F. 在△CBE和△CFE中， ∠CBE=∠F ∠BCE=∠FCE, CE=CE ACBE≌ACFE, ( .BE=FE. 在△ABE和△DFE中 [∠ABE=∠F BE=FE ∠AEB=∠DEF .△ABE≌△DFE. .AE=DE 题型精讲 题型01“边边边”(SSS)证明三角形全等 4/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26七年级下·全国课后作业)如图，下列三角形中，与△ABC全等的是() B D. 6/ 10 【变式1】(25-26八年级上山西晋城·阶段检测)如图，已知△ABC,以点A为圆心，AB的长为半径作 弧，交BC于点D;以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与以点D为圆心，BC的长为半径所作的弧交于 点E,连接AD,AE,DE,则判定△ADE≌△ABC的依据是() D A.ASA B.AAS C.SSS D.HL 【变式2】(2026宁夏银川一模)工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个 任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合，过 角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.这种方法是通过判定△MOC≌△NOC得到∠MOC=∠NOC, 其中判定aMOC≌aNOC的依据是 M/A E 【变式3】(25-26八年级上·河南信阳·期中)如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AE=BF, CE=DF,AB=2,BC=1.若要运用“SSS”来证明△AEC≌△BFD,则CD的长为一 5/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型02 “边角边”(SAS)证明三角形全等 【典例1】(2026贵州遵义·二模)下列三角形中，一定是全等三角形的是() 8 4 人60° 人60° 60°△ 60X 10 5 (① ② ③ ④ A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 【变式1】(25-26八年级上福建泉州期末)在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置.同学们 发现：当O为AC,BD的中点（即AO=CO,BO=DO),像CD与蜡烛AB大小相等，从数学角度分析， 证明△AOB≌aCOD的依据是() 像 D 蜡烛 A.SSS B.AAS C.ASA D.SAS 【变式2】(25-26八年级上湖北黄石期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,BC=3.将△ABC从点D处沿 虚线剪开，若BE=l,CF=2,当线段BD的长度为 时，剪下的两个三角形全等. D 【变式3】(25-26七年级下·山东济南期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E, 使得DE=AD,连接BE.若AB=5,AC=3,AD=2,则△ABE的周长为 6/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型03 ,“角边角”（ASA)证明三角形全等 【典例1】(25-26八年级上四川宜宾期中)如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他 只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定 依据是() ③ ② ① A.SSS B.AAS C.ASA D.SAS 【变式1】(25-26八年级上河北邢台期末)如图，已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使 △ABC≌△ADE,下列条件添加不正确的是()· E A.AC=AE B.∠B=∠D C.∠E=∠C D.∠1=∠2 【变式2】(25-26七年级下·四川成都期末)如图，在∠AOB的平分线上取一点P,过点P作PC⊥OA于 点C,在射线OB上取一点D,连接PD.若OD=5,aPOD的面积为10，则PC的长为一 【变式3】(26-27八年级上海·暑假作业)如图，在△4BC中，点D、E分别在边AC、AB上， AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.若aCBD≌aEBD,则△ADE的周长为一cm, 7/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 “角角边”（AAS)证明三角形全等 【典例1】(25-26七年级下·陕西西安期中)如图，太阳光线AC与A'C是平行的，在同一时刻将两根高 度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的 性质，其中判断△ABC≌△4B'C'的依据是() B' C 777777777777 777777777777 A.SAS B.SSA C,SSS D.AAS 【变式1】(25-26七年级上·山东威海·期中)如图，已知△ABC的三条边和三个角，甲、乙、丙三个三角 形中，和△ABC全等的图形是() B 50\ 509 729 甲 c58°72 50° 50° 丙 b a A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 【变式2】(25-26七年级下·福建福州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,BC=7, BD=5,则点D到AB的距离为 D B 【变式3】(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，CF,AE分 别为，sCD△d0商痛，#DE-子G6, =2,则。4BC的面积是 8/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 题型05添一个条件使得两个三角形全等 【典例1】(26-27八年级全国·暑假作业)如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知 ∠ACB=∠E,BC=CE,添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是() B A.AB=CDB.AB∥DE C.AC=DE D.∠B=∠DCE 【变式1】(25-26七年级下·陕西西安期末)如图，在△ABC和aCDA中，已知∠BAC=∠DCA,添加下 列一个条件后，仍不能判定△ABC≌△CDA的是() D A.AB=CD B.∠B=∠D C.BC=DA D.ADIBC 【变式2】(25-26八年级下山东烟台期末)如图，△ABC和△DEF中，顶点B,F,C,E在同一直线上， 且BF=CE,AB=DE,请再添加一个条件，使△ABC≌aDEF,这个条件是一·（写出一个即可） D 【变式3】(25-26八年级下·全国暑假作业)如图，已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,要使 △ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为， 9/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型06灵活选用方法证明三角形全等 【典例1】(25-26七年级下·四川成都期末)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.AB=4,BC=3,∠A=30° B.∠C=90°，AB=7 C.∠A=60°，∠B=55°，∠C=65°D.AB=4,BC=6,CA=8 【变式1】(2425八年级上吉林长春期中)如图，已知∠EAC=∠BAD,AC=AD,增加下列条件：① AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠D.其中能使△ABC≌△AED的条件有 【变式2】(25-26八年级上辽宁铁岭期中)如图，点A,B,D,E在同一直线上，AD=EB, BC∥DF,∠C=LF.求证：△ABC≌△EDF. 【变式3】(2025八年级上全国专题练习)已知：AB=AC,BE=CD, 图 (1)如图1，试说明：∠B=∠C: (②)如图2，连接A0,若∠EA0=∠DA0,不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形. 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07全等三角形的性质与判定的综合应用 【典例1】(2026山西朔州模拟预测)如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F.若 ∠ABC=30°，∠C=50°，则∠CDE的度数为() E A.45° B.40° C.55 D.50° 【变式1】(25-26七年级下·广东深圳期中)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补， 点a、F分别在射线CBDC上，且∠BF=B4D.当BC-5DC=gCF=2时，oCEr的周长等 于 D· ∠ABE+∠ABC=180°∠ABC+∠ADC=180° ∴.∠D=∠ABE, 在△ADG与△ABE中， AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DG .△ABE≌△ADG(SAS), .AG=AE,∠EAB=∠DAG, .∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, 11/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAF= ∠BAD LEAF-EAG :.ZFAE=ZGAF, 在△AFG与△AFE中， AG=AE ∠FAG=∠EAF, AF=AF 【变式2】(25-26七年级下·河北邯郸期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB 于点E,点F在AC上，CF=EB.求证：DF=DB. D 【变式3】(25-26七年级下·重庆期末)如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,点E,F在线段 AD上，连接BE,CF,满足BE=AF,∠BED=∠DFC=∠BAC. B D (I)求证：AE=CF: (②)若∠ACF=15°，∠CAD=2LBAD,∠ABC=∠ACB,请求出LBDE的度数. 强化训练 基础自测 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级上山东泰安阶段练习)己知，如图△ABC≌△ADE,AE=AC,∠CAE=20°，则 ∠BAD的度数为() D E A.60° B.90 C.80° D.20° 2.(25-26八年级上·黑龙江佳木斯阶段练习)如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，则下 列结论中错误的是() A.△ABD≌△ACE B.∠ABD=∠ACEC.BD=CE D. ∠ADB=2∠AEC 3.(25-26七年级上山东泰安·阶段练习)根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是() A.AB=5,BC=6,∠A=709 B.AB=5,BC=6,AC=13 C.∠A=50°，∠B=80,AB=8 D.∠A=40°，∠B=50°，∠C=90 4.(25-26八年级上江苏南京·阶段练习)如图，如果△ABC≌△DEF,△ABC周长是32，DE=9, EF=13,AC为() A.12 B.10 C.9 D.8 5.(25-26八年级上黑龙江佳木斯阶段练习)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE⊥CE于E, BD⊥CE于D,AE=3,BD=5,则DE的长为() 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.(2425七年级下·广东揭阳阶段练习)要测量河岸相对两点A,B的距离，已知AB垂直于河岸BF, 先在BF上取两点C,D,使CD=CB,再过点D作BF的垂线段DE,使点A,C,E在一条直线上，如 图，测出DE=20米，则AB的长是米. A F B E 7.(25-26八年级上黑龙江佳木斯阶段练习)如图，已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2，若∠B=30°， 则∠D= D B E 8.(25-26八年级上黑龙江佳木斯阶段练习)如图，△ACF≌△ADE,AC=7,AF=4,则CE= 9.(25-26八年级上江苏南通阶段练习)如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接CE,若 ∠BAC=26°，则∠DCE= 14/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 10.(25-26八年级上浙江绍兴阶段练习)如图，已知在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10cm, 点E在边AB上，且AE=4cm,如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当△BPE与△CQP全等时，t的值为 4 E B->P 三、解答题 11.(2425八年级上全国课后作业)如图，己知AB=AC,M,N分别是AC,AB的中点，连接 BM,CN N (I)求证：△ABM≌△ACN: (2)求证：OB=OC 12.(25-26八年级上：黑龙江佳木斯阶段练习)如图，己知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC,DC=EC, 点D在AC上，点E在BC延长线上， E C (1)求证：△ACD≌△BCE: (2)判断AD与BE的位置关系，并说明理由. 13.(24-25八年级上甘肃张掖期中)如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF, 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=CF,求证：AB∥DE. A D E 14.(25-26八年级上全国阶段练习)如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E,过点 C作CF⊥AD交AD的延长线于点F. E B ()求证：BE=CF: (2)若△ABE的面积为7，△BDE的面积为2，求△ACF的面积. 15.(25-26八年级上陕西西安：阶段练习)我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角 形，如图，在△OAC和△OBD中，OA=OB,OC=OD,∠AOC=60°，∠BOD=120°， B、 (1)△OAC和aOBD_兄弟三角形；（填“是”或“不是”） 2)取BD的中点P,连接OP,求证：AC=2OP，,小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线 倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程。 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下广东揭阳·阶段检测)如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使 △ABD≌△ACD的条件是() 16121 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.∠B=∠C B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45 2.(25-26六年级下·山东济南期末)如图，线段AB、CD相交于点O,若OA=OC,为了判定 △AOD≌aCOB,则不应该补充的条件是() A.∠A=∠C B.AB=CD C.AD=BC D.∠D=∠B 3.(25-26七年级下四川达州期末)如图，有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地上取一 个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长 到点E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离，其理论依据是() D A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4.(25-26七年级下山东烟台·期末)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.∠C=90°，AC=6 B.AB=2,BC=3,∠A=50 C.∠A=50°，∠B=60°，AB=2 D.AB=2,BC=3,AC=6 5.(25-26七年级下四川成都期末)如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C,交0B于 点D,再分别以点C,D为圆心，大于2CD的长为半径画弧，两弧在∠A0B的内部相交于点P,作射线 OP,连接CP,DP,下列结论不一定成立的是() 17/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P DI B A.∠AOP=∠BOP B.∠CPO=∠DPOC.OC=CP D OC=OD 二、填空题 6.(2425八年级下·贵州铜仁期末)如图，四边形ABCD中，AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,要使 △ABD≌△CDB,应补充的条件是 (填一个即可). D 7.(25-26七年级下山西运城期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点F,EF=2BF, ED⊥BC交BC的延长线于点D,AB=BD.若BF=2cm,则AC=一cm. B D 8.(25-26七年级下江西萍乡期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC,点D是线段AB的中 点，将一块锐角为45°的直角三角板按如图（△ADE)放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重 合，连接BE、CE,CE与AB交于点F,则∠AEC+∠DBE=°. 9.(25-26八年级下山西晋中期末)如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE, 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ∠BAC=∠DAE=a,连接BD和CE交于点P,连接AP,则∠BPC= (用含的代数式表示). 10.(24-25七年级下·河北张家口·期中)如图，在△ABC中，BD⊥AC,垂足为D,E为△ABC外一点， 连接BE,CE,且∠A+LE=180°，BC平分∠ACE.若CD=4,AD=1BD=2,则△BCE的面积为一， B ◇入 、E 平分 BC ∠ACE BD⊥AC,BF⊥CE 三、解答题 11.(25-26七年级下山东济南期末)如图，∠A=∠B,∠1=∠2，AE=BE,点D在AC边上.判断ED与 EC的数量关系，并说明理由. B E D 12. (25-26七年级下·山东济南期末)如图，AB与CD相交于点O,已知点O为AB的中点，AC∥BD D (I)求证：AC=BD: 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠C=75°，∠A0C=40°，求∠B的度数， 13.(25-26七年级下陕西西安·期末)如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，D为垂足，DE交 AB边于点E,过点A作AF⊥AB于点A,交DE延长线于点F,且BE=EF,连接CF、FB. (1)DC与AF相等吗？为什么？ (②)若LDCF=50°，求∠ABC的度数. 14.(25-26七年级下·山东枣庄·期末)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考： 图① 图② (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中. 【灵活运用】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF.若EF=6,EC=4,求线段 BF的长 15.(25-26六年级下·山东济南期末)【模型探究】 已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线I,AD⊥I,垂足为点D,BE⊥I,垂足为点E. 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，当点A、点B在直线I的同侧时，AD、BE、DE之间的数量关系为： (2)如图2，当点A、点B在直线I的异侧时，请写出AD、BE、DE之间的数量关系，并说明理由： 【方法迁移】 (3)如图3，己知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,又以BC为斜边构造RtABCD,其中CD=3,求 △ACD的面积。 16.(25-26七年级下·广东河源期末)问题情境：己知射线AB和射线CB相交于点B.且AB=CB.点D 在射线CB上，作射线AD,在射线AD上取一点E,连接CE,BE,使∠AEC=∠ABC」 A 图1 图2 图3 (1)如图1，∠A与∠C的数量关系为 (②)如图2，当点D在CB延长线上，∠AEC=∠ABC=90°时. ①根据要求作图：在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF. ②求∠AEB的度数； (3)如图3，当∠AEC=∠ABC=a(90°<a<180),请直接写出∠AEB的度数（用含a的式子表示）. 21/21 专题1.4 全等三角形的判定 教学目标 1. 掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种一般三角形全等的判定方法及直角三角形特有的HL判定方法，明确各方法的条件与适用范围。 2. 能规范运用全等三角形的判定方法，结合图形中的隐含条件，判断两个三角形是否全等。 3. 经历判定方法的探究过程，提升几何推理、逻辑表达能力及分析解决问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟记SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法的核心条件，尤其明确SAS中“夹角”的关键限制。 （2）能根据具体图形和已知条件，选择恰当的判定方法，完成基础的全等证明与推理。 2.难点 （1）准确识别图形中的隐含条件（如公共边、对顶角），并规避SSA、AAA等无效判定方法的陷阱。 （2）在复杂图形或需添加辅助线（如倍长中线）的问题中，灵活选择判定方法，规范书写几何推理过程。 知识点01 全等三角形的判定 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【即学即练】1．如图，小明将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上，两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴． 2．如图，且，要使，则可以添加的条件是______．（写出一个你认为正确的即可） 【答案】（或或写一个即可，答案不唯一） 【分析】由则，根据，可得，所以，然后通过全等三角形的判定方法和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 添加，则； 添加，则； 添加，则； 添加， ∴， ∴； 综上可得：可以添加的条件是（或或写一个即可，答案不唯一）． 3．补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；全等三角形对应边相等；已证； 【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写即可． 【详解】略 题型01 “边边边”（SSS）证明三角形全等 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 【变式1】（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 【变式2】（2026·宁夏银川·一模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 “边角边”（SAS）证明三角形全等 【典例1】（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）在“小孔成像”实验中，如图所示，O是小孔位置．同学们发现：当为，的中点（即，），像与蜡烛大小相等，从数学角度分析，证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．根据“”证明即可． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴证明的依据是． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，．将从点处沿虚线剪开，若，当线段BD的长度为__________时，剪下的两个三角形全等． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，当时，利用即可证明两个三角形全等． 【详解】解：如图所示，当时，， 则， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 【答案】12 【分析】先利用“”SAS定理证明，于是得到，然后求的周长即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则的周长为． 题型03 “角边角”（ASA）证明三角形全等 【典例1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接．若，的面积为10，则的长为______． 【答案】4 【分析】过点P作于点E，根据三角形的面积公式求出的长，证明，可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作于点E， ∵，， ∴； ∵的面积为10， ∴， ∵， ∴； ∵点P在的角平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，得到的周长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴的周长． 题型04 “角角边”（AAS）证明三角形全等 【典例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 【详解】解：由题可得：，， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，已知的三条边和三个角，甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据三角形全等的判定定理逐个进行分析即可． 【详解】解：甲中，角所对的边为，而中角所对的边为，故甲不符合题意； 乙中，的夹边是和，与一致，满足，故符合题意； 丙中，有和，且的对边为，与一致，满足，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为_________． 【答案】2 【分析】过点D作于点E，可证明，得到，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点D到的距离为2． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的中线，，分别为，的高．若，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，，再根据，进行解答，即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 题型05 添一个条件使得两个三角形全等 【典例1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在和中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴添加，根据能判定，选项A不符合题意； 添加，根据能判定，选项B不符合题意； 添加，根据不能判定，选项C符合题意； 添加，则，根据能判定，选项D不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】由两个三角形全等的判定定理，结合已知条件添加一个条件即可． 【详解】解：添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ． 题型06 灵活选用方法证明三角形全等 【典例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系和全等三角形的判定定理，能满足全等判定且可构成三角形的条件，即可画出唯一三角形． 【详解】解：A、已知，，，属于条件，不能唯一确定三角形，因此A不符合要求； B、已知和，条件不足，不能确定三角形各边的长度，无法画出唯一三角形，因此B不符合要求； C、已知三个内角，只能确定三角形的形状，不能确定边长大小，不能唯一确定三角形，因此C不符合要求； D、已知三边长，，，，，，满足三角形三边关系， 根据全等判定，三边确定即可画出唯一，因此D符合要求． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 题型07 全等三角形的性质与判定的综合应用 【典例1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 【变式2】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【详解】略 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）已知，如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据得出，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，，，，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过角的关系推导，结合已知边相等，利用全等三角形判定定理（）判断三角形全等，进而分析各选项结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，， ∴ （），故A项正确，不符合题意； ∴ ，，，故B、C项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，构成三角形的条件，一般三角形全等的判定方法有 ，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法判定即可求解． 【详解】解：A、边边角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； B、∵，即， ∴原选项不能画出唯一，不符合题意； C、角边角()能唯一确定三角形，故原选项能画出唯一，符合题意； D、角角角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； 故选：C ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，如果，周长是32，，，为（    ）    A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，得出对应边相等，再结合周长是32，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵周长是32， ∴， 即， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米． 【答案】20 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据判定，再根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：， ， 即， 又，， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．根据全等三角形的性质得，进而得． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：3 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，，连接，若，则 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据证明得出，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知在正方形中，，点在边上，且，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得，，，则有两种情况，当时，，当时，，根据的长度建立方程求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可得， ∵， ∴； ∵点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动， ∴； ∴当与全等时，只存在和两种情况， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上所述，t的值为2或， 故答案为：2或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，M，N分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据证明； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴． 在和中， ∴； （2）证明：由知， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴， 故． 12．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知，，，点在上，点在延长线上． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用直接证明； （2）先判断由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数，再说明与垂直． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴（）． （2）． 理由： ∵， ∴由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数， ∴与为对应边， ∴与也旋转了的度数， 又 ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和SAS综合（SAS），全等三角形的性质，判断由一个图形旋转而成的图形，根据旋转的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得，运用证明与全等，得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论． 【详解】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 14．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若的面积为7，的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，进一步证明即可得到答案． （2）先求解，再进一步的求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的中线， ∴， ∵ ，， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得，， ， ∵的面积为7，的面积为2， ， ∵为的中线， ， ， ∴的面积为11． 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】(1)是 (2)见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）证明： 延长至E，使， 由条件可知， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的边上的高 ∴ ∵ ∴若添加条件， ∴，故A符合题意； 若添加条件，无法证明，故B不符合题意； 若添加条件，无法证明，故C不符合题意； 若添加条件，无法证明，故D不符合题意． 2．（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，线段、相交于点O，若，为了判定，则不应该补充的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：，， A、添加，可利用“角边角”证明，故本选项不符合题意； B、添加，可得可利用“边角边”证明，故本选项不符合题意； C、添加，满足“边边角”，无法证明，故本选项符合题意； D、添加，可利用“角角边”证明，故本选项不符合题意； 3．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，那么量出的长就是，的距离，其理论依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，根据全等三角形的性质，再作出判断． 【详解】解：在与中， ∴， ∴， 即量出的长就是的距离，其理论依据是． 4．（25-26七年级下·山东烟台·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 二、填空题 6．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，四边形中，于，于，要使，应补充的条件是____________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件得到，再根据全等三角形的判定添加合适的条件即可． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴都是直角三角形， 当时， 又∵， ∴， 故要使，应补充的条件是（答案不唯一）． 7．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，，，进而推出，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，点D是线段的中点， ，， ， 是锐角为的直角三角板， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 9．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点作，，交，于点，，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， ． 10．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过作交的延长线于，   ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】解：与的数量关系是：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴． 【分析】根据“”证明和全等，再结合全等三角形性质，即可推出与的数量关系． 【详解】略 12．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，与相交于点，已知点为的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，根据平行线的性质可得，，运用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由三角形内角和定理得，根据（1）可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 根据（1）可得：． 13．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，为垂足，交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接、． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据垂直平分线，求出，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，等量代换，即可； （2）根据垂直平分线的性质，可得，，求出，根据等边对等角，则，最后根据，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 15．（25-26六年级下·山东济南·期末）【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 【答案】(1) (2)． 理由：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）证明，可得，，即可解答； （2）证明，可得，，即可解答； （3）过点A作于点G，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ∴； （2）略 （3）解：过点A作于点G， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． 16．（25-26七年级下·广东河源·期末）问题情境：已知射线和射线相交于点B．且．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，，使． (1)如图1，与的数量关系为________； (2)如图2，当点D在延长线上，时． ①根据要求作图：在射线上取一点F，使，连接． ②求的度数； (3)如图3，当，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①如图， ② (3)或 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可得出答案； （2）①按要求作图即可； ②先证得，得出，，则，进而得出，再根据角的和差即可求解； （3）分两种情况：当点D在线段上时；当点D在的延长线上时；在射线上取一点F，使，连接，先证明，可得：，，再由等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：如图， ∵，， 又∵，， ∴； （2）解：①略 ②由（1）得，由①得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点D在线段上时，如图，在射线上取一点F，使，连接， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； 当点D在的延长线上时，在射线上取一点F，使，连接，如图， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $