精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

荆州中学2025-2026高一上学期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出，，再由集合交集的定义求解即可. 【详解】因为全集 ， ，， 所以，， 所以 故选： 2. 已知，为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式计算可得，结合同角的三角函数关系建立方程组，解之即可求解. 【详解】由，得， 是第二象限角， ，解得 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将 两边平方，可得，计算进而可求解. 【详解】将 两边平方，得， 即，所以， 所以 故选：. 4. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定的值，求得，利用二次函数的单调性即可确定参数a的取值范围. 【详解】因幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意． 故，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得． 故选:C. 5. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案. 【详解】由题意得①，②， 则， 即，即， 所以， 故选：D 6. 若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解析式得的零点为或，讨论、判断的范围，数形结合判断满足要求的图象. 【详解】令，可得或， 对于，若，则的零点，A满足，B不满足； 对于，若，则的零点，C、D不满足. 故选：A 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案. 【分析】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”， 故其值域为，而，则值域为； 当时，， 当时，，对称轴且开口向上， 则在上单调递增，则， 故由函数是“函数”可得， 解得，即实数的取值范围是， 故选：C. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为分析两个函数和 的零点. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断AC；利用不等式的性质判断B；利用作差法判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，满足，但是，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得，即可得函数图象，结合函数图象逐项判断即可得解. 【详解】若，则， 即，即，， 故，， 故其图象如图所示： 对A：由图象可得不关于直线对称，故A错误； 对B：由图象可得的最大值为，故B正确； 对C：当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C正确； 对D：由图象，当时，方程在有4个解， 在时，方程在少于4个解，故D正确. 故选：BCD. 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存在正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用性质可判断A；利用基本不等式结合性质可判断B；根据函数的值域可判断C；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断D. 【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则， 可得， 所以所有偶函数都具有性质，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以具有性质，故B正确； 对于选项C：因为， 且函数的值域为， 所以不存在实数，使得，故C错误； 对于选项D：因为 ， 因为，，，则，则， 可得，即，则， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由弧长公式和扇形的面积公式计算即可. 【详解】根据扇形的弧长公式可得， 根据扇形的面积公式可得． 故答案为：4. 13. 已知（且），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把变形为，然后对 和讨论，得出结果 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的取值范围是， 故答案为： 14. 已知，对正整数，如果满足：为整数，则称为“好数”，由区间内所有“好数”组成的集合记为，则集合__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到即可求解. 【详解】因为，所以= =， 因为为整数， 所以区间内的“好数”为7,25,79. 所以集合， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解； （2）由充分条件建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 故的两根为，且， 故； 【小问2详解】 由题意集合，，由于， 则. 16. （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系即可求值； （2）利用同角三角函数的基本关系化简，再结合是第三、四象限角求解即可. 【详解】（1）原式， 又，所以原式； （2）因为①， 两边平方得， 因为②，所以③， ②+③得， 即，所以， 因为是第三、四象限角，所以， 所以， 所以④， 联立①④，解得，， 所以. 17. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式 【答案】（1） （2）在上单调递增； 证明如下：令， ， 由， 则，，， ， 即在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由关于原点对称可得，，再结合代入计算即可得； （2）借助单调性的定义证明即可； （3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可. 【小问1详解】 定义在上的函数图象关于原点对称， 为上的奇函数，，解得； ， 又，故，， 其满足，故为奇函数，图象关于原点对称， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得为奇函数， 故由，得，， 又在上单调递增， 则有，解得， 故不等式的解集为 18. 已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 【答案】（1）为偶函数， （2）的值域为， （3）时或，时所求的正整数值不存在. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判定， （2）根据基本不等式求解，即可由对数的性质求解， （3）根据，，为三边长的三角形，将问题转化为恒成立，即可由，分类讨论求解函数的单调性求解. 【小问1详解】 ，定义域为, 且，故为偶函数， 【小问2详解】 当时，， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 因此的值域为， 【小问3详解】 若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形， 故恒成立，且取值为正， 即， 由于时，故在单调递增， 因此当时，在单调递增，当时，在单调递减， 故当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增， 且当时，， 当时，， 由于为正整数，故或. 当时，所以，即， 化简可得， 结合函数在单调递增，且当时，，当 时，，故此时不存在正整数， 综上所述，当时或；当，不存在满足条件的正整数. 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当，时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②令，， 则，为关于的方程的两根， 则有，， 所以，， 所以， 即， 即有，由①知， 故，又，故， 由于，则，故， 又在上单调递增，故， 即. 【解析】 【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解； （2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证. 【小问1详解】 由，则， 当时，，而， 故或（舍），故， 【小问2详解】 ①令，因为，所以，则， 则， 由在上单调递增， 故关于的方程在上有两个不相等实数根， 即有， 解得，即的取值范围为； ②略 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助韦达定理得到，，从而可得，再结合三角函数在上的单调性与①中所得计算即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025-2026高一上学期12月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 4. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 6. 若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 在上不单调 D. 在，方程（m为常数）最多有4个解 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存在正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 13. 已知（且），则的取值范围是______. 14. 已知，对正整数，如果满足：为整数，则称为“好数”，由区间内所有“好数”组成的集合记为，则集合__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求； （2）已知是第三、四象限角，且，求. 17. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式 18. 已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当，时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $