精品解析：湖北襄阳市第四中学2026-2027学年高一上学期9月素养测评数学试题

襄阳四中2026级高一上学期9月素养测评 数学试题 考试时间：9月23日14：40-16：40 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设实数x满足，则函数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 5. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 8. 已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 二、多选题 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 11. 设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称为集合的聚点，下列说法中正确的是（ ） A. 1是集合的聚点 B. 0不是集合的聚点 C. 1不是集合的聚点 D. 0是集合的聚点 三、填空题 12. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 14. 已知a，且，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知命题：不等式的解集中的整数有且仅有，0，1；命题：集合且. （1）当命题为真命题时，求实数的取值范围； （2）当命题、中有且仅有一个为真命题时，求的取值范围. 17. 设命题：对任意，不等式恒成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2026级高一上学期9月素养测评 数学试题 考试时间：9月23日14：40-16：40 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求结果即可. 【详解】由，则，故. 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 反之，由，得，，则， 因此“”是“”的必要不充分条件. 3. 设实数x满足，则函数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 4. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：取，满足， 但，故不成立，故A错误； 对于B，若，则，即，可得，所以取时，不成立，故B错误； 对于C，取满足题意，则不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，所以，故D正确. 5. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可. 【详解】令， 则， 由，， 所以，即. 故选：B 6. 已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 7. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 8. 已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 二、多选题 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】因为，所以N的元素只能是U中的元素，结合根与系数的关系，求出所有满足条件的a的可能值，确定所有可能的集合N，对每个可能的N，分别计算、、，再逐一验证选项是否成立即可. 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得，解得， 若，将代入方程得，解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：，若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C：若，则，只有一个元素； 若，则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，，所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D错误. 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析判断. 【详解】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 11. 设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称为集合的聚点，下列说法中正确的是（ ） A. 1是集合的聚点 B. 0不是集合的聚点 C. 1不是集合的聚点 D. 0是集合的聚点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于A，对任意，存在，，使得，则，A正确； 对于B，对任意，令，若，解得， 在集合中不存在，0不是集合的聚点，B正确； 对于C，对任意，存在，使得，则， 因此1是集合的聚点，C错误； 对于D，对任意，存在，，使得，则， 因此0是集合的聚点，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 【答案】 44 【解析】 【分析】利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数. 【详解】设集合，，， 根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数， 对应公式为：   由题意得：，，，，，，， 代入公式计算：   因此这支测绘队共有44人. 13. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程可得，因此或或或，分情况讨论即可求出的取值范围． 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得或或或， 当时，满足，解得， 将代入方程，可得， 此时，满足条件， 将代入，得到，上面已经验证满足条件， 综上所述，的取值范围是． 14. 已知a，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，把代入： ，，，，即. 【小问2详解】 ”是“”的充分条件即，则. ①时，，解得. ②当时，即时，令，即，因为 所以，得到，解得. 由①②得出. 16. 已知命题：不等式的解集中的整数有且仅有，0，1；命题：集合且. （1）当命题为真命题时，求实数的取值范围； （2）当命题、中有且仅有一个为真命题时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由此求解即可； （2）先求出当真时，，然后分P真Q假、P假Q真两种情况分别求解即可. 【小问1详解】 由，得， 因为不等式中的整数有且仅有，0，1. ，得， 即真时a的取值范围为：. 【小问2详解】 当真时： 则有或方程的解为负数， 所以或， 即或 所以. 当P真Q假时，即，此不等式组无解； 当P假Q真时，则有， 解得， 所以命题、中有且仅有一个为真命题时，. 17. 设命题：对任意，不等式恒成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）记真时的所有取值构成集合，（），若，求正数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数在上单调递增求得，结合不等式恒成立可得，即可求得答案； （2）由，可得，分类讨论a的取值范围，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由于函数在上单调递增，故， 由对任意，不等式恒成立，可得， 解得，故实数的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）知， 而， 由于，故， 当时，，则，解得； 当时，即为，此时，不满足； 当时，，则，解得； 综合以上可知正数的取值范围为. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $