12.1.2 定义、定理与证明同步练2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

12.1.2 定义、定理与证明 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 2．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 3．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 4．下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 5．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 6．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 二、填空题 7．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 8．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 三、解答题 9．完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 10．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 11．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 12．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1.2 定义、定理与证明 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键． 公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断． 【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意； B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需证明，符合题意； C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意； D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意． 故选：B． 2．下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 3．“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴（同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故选：D． 4．下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键． 根据定义的概念逐项判断即可． 【详解】解：A． 两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意； B． 三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意； C． 对顶角相等是定理，故该选项不符合题意； D． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意； 故选：D． 5．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 6．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 二、填空题 7．如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 【答案】①， ②两直线平行，同位角相等， ③， ④， ⑤， ⑥两直线平行，内错角相等， ⑦等量代换． 【分析】先结合角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用平行线的判定和性质证明，最后等量代换得到答案． 【详解】略． 8．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 三、解答题 9．完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 【答案】①等量代换， ②同位角相等，两直线平行， ③， ④两直线平行，同位角相等， ⑤， ⑥内错角相等，两直线平行． 【分析】根据题意得到，由平行线的判定得，由平行线的性质得，等量代换得到，由此即可得解． 【详解】略 10．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 11．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 【答案】(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质（内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等或同位角相等），利用等量代换即可求出． （2）根据角平分线的定义推出，在①②的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在①③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在②③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数． 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件①③结论②时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件②③结论①时，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：情况1：在①②的条件下， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ． ，， ． ，， ． 情况2：在①③的条件下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 情况3：在②③条件下， ， ，， ， ， ． 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 12．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模 ；360模 ． (2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设； 则； 所以能被3整除， 即模． ②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)0；0 (2)②正确，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设，可得，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴36模；360模； （2）解：②正确， 证明：若a模，其中a为正整数，则a除以3余1，可以设， 则， 因为能被3整除，10除以3余1， 所以模， 即模； （3）证明：因为a模，b模， 所以设， ， 所以模， 所以能被整除， 所以模． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $