12.1 命题、定义、定理与证明（第1课时 命题）（5大基础题型+1大巩固提升）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

12.1 命题、定义、定理与证明 （第1课时 命题） 题型一：判断是否为命题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线上任取一点 D．过点作直线的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，熟练掌握命题的定义是解决本题的关键． 本题根据命题的定义，判断一件事情的句子叫做命题，逐项判断，即可得到答案． 【详解】解：A、今天星期几？是疑问句，不是命题，故选项A错误； B、相等的角是对顶角，是命题，故B选项正确； C、在直线上任取一点，不是命题，故选项C错误； D、过点作直线的垂线，不是命题，故选项D错误； 故选：B； 5．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列语句中不是命题的是（   ） A．垂线段最短 B．连接A，B两点 C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交 【答案】B 【分析】该题考查了命题，命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．逐一分析选项是否为陈述句且能判断真假． 【详解】解：A．“垂线段最短”是陈述句，属于命题，不符合题意． B．“连接A，B两点”是祈使句，表示指令而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题，符合题意． C．“等角的补角相等”是陈述句，逻辑上为真，属于命题，不符合题意． D．“在同一个平面内，两直线不平行就相交”是陈述句，属于命题，不符合题意． 故选：B． 6．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）下列语句中是命题，且正确的是（    ） A．作直线的平行线 B．互补的角是邻补角 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义，平行公理，平行线的性质，邻补角的定义，熟知相关知识是解题的关键．先利用命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题，判断命题，再利用平行公理，平行线的性质，邻补角的定义判断正确与否． 【详解】解：A、作直线的平行线，不是命题，故不符合题意； B、互补的角是邻补角，是命题，但互补的两个角不一定是邻补角，故不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是命题，且正确，故符合题意； D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是命题，但只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）下列语句中，是命题的是（    ） ①若，，则； ②同位角相等吗？ ③画线段； ④地球围着太阳公转； ⑤直角都相等 A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，难度不大．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：①若，，则，是命题，符合题意； ②同位角相等吗？，是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ③画线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ④地球围着太阳公转，是命题，符合题意； ⑤直角都相等，是命题，符合题意． 故选：A． 8．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据命题的定义分别进行判断． 【详解】解：对顶角不相等；两点之间线段最短；内错角相等，它们都是命题， 而过A、B两点作直线为描述性语言，它不是命题． 故选：B． 9．（24-25八年级上·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 题型二：判断命题的真假 1．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； ③如果直线，直线，那么，真命题； ④同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．所有的直角都是相等的 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质、对顶角和等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解决此题的关键． 根据平行线的性质、对顶角和等式的性质判断即可． 【详解】解：A、所有的直角都是相等的，是真命题； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； C、两直线平行，内错角相等，是真命题； D、若，则，是真命题； 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 【答案】B 【分析】根据所学的数学知识，理解判定解答即可． 本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键． 【详解】A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，不符合题意； B. 一个直角三角形可以分成一个三角形和一个四边形，错误，符合题意； C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，不符合题意； D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、平行线性质、三角形的高及外角的性质。根据各选项的条件与结论逐一分析，结合相关定理判断其正确性。 【详解】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立. B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件． C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点． D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题． 故选：D． 5．（24-25八年级上·全国·期中）已知下列命题，其中真命题的个数（   ） （1）27的立方根是； （2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）平方根是它本身的数有和0； （4）同位角相等； （5）等腰三角形两腰上的高相等； （6）若，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断， 根据定义，定理判断正确的命题即可解答. 【详解】解：27的立方根是3，故（1）中的命题是假命题； 有理数与数轴上的点不是一一对应，故（2）中的命题是假命题； 平方根是它本身的数只有0，故（3）中的命题是假命题； 如果两直线不平行时，同位角就不相等，故（4）中的命题是假命题； 等腰三角形两腰上的高相等，故（5）中的命题是真命题； 若，则，故（6）中的命题是假命题； 所以真命题有1个. 故选：D． 6．（23-24七年级下·四川德阳·期中）下列命题是真命题的有（　　） ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，，，，那么点P到直线l的距离是；④与的两边分别平行；比的3倍少，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题“真”“假”判定，根据垂线公理判断①；根据平行线的判定和性质判断②；根据点到直线的距离的定义判断③；根据平行线的性质判断，当与的两边分别平行时，有两种可能或求出即可判断④． 【详解】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原说法错误，故①是假命题； ②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，正确，故②是真命题； ③点为直线外一点，点、、为直线上的三点，，，，那么点到直线的距离不超过，原说法错误，故③是假命题； ④与的两边分别平行，比的3倍少，则有或，即或，解得或，所以或，故④是假命题； ∴是真命题的只有②，共1个． 故选：A． 7．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．对顶角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用对顶角相等，平行线的性质与判定知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不合题意； B. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； C. 对顶角相等，是真命题，不合题意； D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不合题意； 故选：B． 8．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）下列语句中是真命题的是（   ） A．若，那么 B．数轴上的所有点都表示有理数 C．3的平方根是 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条线互相垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 利用不等式的性质、数轴的定义、平方根的定义及垂直的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、若，那么，正确，是真命题，符合题意； B、数轴上的点都表示实数，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、3的平方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：A 9．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（   ） A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．两直线平行，内错角相等 D．在同一平面内，不相交的两条直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据平行线的判定与性质逐一分析选项，判断其真假即可． 【详解】解：A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，故A不符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同旁内角才互补；命题未说明两直线平行，故原命题为假命题，故B符合题意； C．两直线平行，内错角相等，是真命题，故C不符合题意； D．在同一平面内，不相交的两条直线平行，是真命题，故D不符合题意． 故选：B． 题型三：写出命题的题设和结论 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短 【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论部分． 将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论． 【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，那么垂线段最短． 所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短． 故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）命题“对顶角相等”的题设和结论分别是 ． 【答案】两个角是对顶角；这两个角相等 【分析】本题考查了写出命题的题设和结论，熟练掌握题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，由此即可得出答案． 【详解】解：命题“对顶角相等”的题设是：两个角是对顶角； 命题“对顶角相等”的结论是：这两个角相等． 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 4．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键； （1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论； （2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解； 【详解】（1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）命题“两条直线都与第三条直线相交，如果内错角相等，那么这两条直线平行”的条件和结论各是什么？ 【答案】条件是“两条直线都与第三条直线相交，内错角相等”．结论是“这两条直线平行．” 【分析】本题考查了命题与定理，平行线的性质，正确理解命题的定义是解题的关键； 根据命题的定义，即可解答． 【详解】解：命题“两条直线都与第三条直线相交，如果内错角相等，那么这两条直线平行”的条件是“两条直线都与第三条直线相交，内错角相等”，结论是“这两条直线平行．” 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)同旁内角相等，两直线平行； (3)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构特征写出命题的题设和结论，再根据补角的定义、平行线的判定和性质判断即可求解.掌握命题的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解：题设：两个角的和等于平角，结论：这两个角互为补角，该命题正确； （2）解：题设：同旁内角相等，结论：两直线平行，该命题错误，反例：“与是同旁内角，且，但两直线相交； （3）解：题设：两条平行直线被第三条直线所截，结论：内错角相等，该命题正确． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)若，则； (2)如果，垂足为O，那么； (3)如果，那么； (4)两直线平行，同位角相等． 【答案】(1)条件：，结论： (2)条件：，垂足为O，条件： (3)条件：，结论： (4)条件：两直线平行，结论：同位角相等 【分析】本题主要考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 按照“若p，则q”形式的命题中p叫做命题的题设，q叫做命题的结论，找出下列命题中的“p”和“q”即可． 【详解】（1）解：题设：， 结论：； （2）解：题设：，垂足为O， 结论：； （3）解：题设：， 结论：； （4）解：题设：两直线平行， 结论：同位角相等． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 【答案】(1)条件：两个角是一对等角的补角，结论：这两个角相等 (2)条件：，，结论： 【分析】本题主要考查了命题的基本性质，每个命题都有条件和结论，通过条件而得出结论，即为真命题，反之，即为假命题． 根据命题的基本性质，从题目中得出条件和结论分别是什么． 【详解】（1）原命题改写为：如果两个角是一对等角的补角，那么这两个角相等． 条件：两个角是一对等角的补角． 结论：这两个角相等． （2）条件：，． 结论：． 题型四：把命题改写成“如果......那么......”的形式(选填) 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等 【分析】本题主要考查了命题的改写，熟知命题的结构是正确解答此题的关键． 命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面，即可得答案． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期中）把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两直线平行，那么内错角相等 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 根据命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式为： 如果两直线平行，那么内错角相等． 故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等． 4．（23-24七年级下·广东惠州·期中）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果前面是条件，那么后面是结论，解答即可． 【详解】解：同角的余角相等改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 该命题的条件是：两个角是同一个角的余角， 结论是：这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；两个角是同一个角的余角；这两个角相等． 6．（24-25八年级下·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 题型五：举反例说明假（真）命题 1．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角．这个命题是真命题 (2)题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补，这个命题是假命题；详见解析 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． （1）根据命题的概念解答即可； （2）根据命题的概念解答即可． 【详解】（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角． 这个命题是真命题． （2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补， 这个命题是假命题． 反例：如图中与是同旁内角，， 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键． （1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案； （2）当时，满足，当不满足，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，但不满足，故原命题是假命题． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【分析】本题考查命题，关键是掌握补角，钝角的定义． （1）如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可判断； （2）由相交线的定义，即可判断． 【详解】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据不等式的性质，举出即可； （2）举出，但与不是对顶角，即可； （3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可． 【详解】（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）用举反例的方法说明下列命题是假命题． (1)质数都是奇数； (2)大于的角是钝角； (3)同位角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据质数的定义，举出一个是质数但是不是奇数的数即可； （2）举出一个大于的角但不是钝角的角，即可； （3）举出一个是同位角但是不相等的反例即可． 【详解】（1）解：2是质数，但2是偶数，故为假命题． （2）大于，但它不是钝角，故为假命题． （3）当两条直线不平行时，同位角不相等，所以是假命题 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两个钝角的和一定大于； (2)异号两数相加，和为0； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题 (2)假命题．反例： (3)假命题．反例： 【分析】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键． （1）钝角是大于90度小于180度的角，据此可得结论； （2）根据可得结论； （3）根据时，，可得结论． 【详解】（1）解：∵钝角是大于90度小于180度的角， ∴两个钝角的和一定大于， ∴原命题是真命题； （2）解：异号两数相加，和不一定为0，例如， ∴原命题是假命题； （3）解：如果，那么，不一定有，例如当时，， ∴原命题是假命题． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 【答案】(1)是假命题，反例见解析（答案不唯一） (2)是假命题，反例见解析（答案不唯一） (3)是真命题 (4)是假命题，反例见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的性质，绝对值的意义，钝角的定义以及有理数的加法法则，分析题目是否为真命题，需要分别分析各题是否能推出结论，从而作出判断． （1）缺少“两直线平行”的前提条件； （2）绝对值表示一个数到原点的距离，当两个数绝对值相等时，它们可能相等，也可能互为相反数； （3）通过“钝角是大于小于的角”即可判断为真命题； （4）举出绝对值不等的异号两数相加的例子即可判断． 【详解】（1）是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等． （2）是假命题，如，但． （3）是真命题．每一个钝角都大于，故两个钝角的和一定大于． （4）是假命题，如和2异号，但． 题型一：命题综合 1．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)①②④⇒③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的性质和判定、角平分线的定义． （1）根据命题的概念写出一个命题，任意三个选项为题设，另一个为结论即为真命题； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质和判断分别证明结论． 【详解】（1）解：如果，平分，平分，那么； 即①②④③， 同理这个命题可以是①②③④，①③④②，②③④①， 故答案为：①②④⇒③（答案不唯一）； （2）解：①②④③是真命题，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ． ①②③④是真命题，理由如下： ， ， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ①③④②是真命题，理由如下： ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ②③④①是真命题，理由如下： 平分，平分， ，， ， ∴ ， ∴． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，请你从三个选项①，②平分，③． (1)请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 【答案】(1)①②作为条件，③作为结论；或①③为条件，②为结论；或②③件，①作为结论； (2)真命题，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据条件分别进行证明即可． 【详解】（1）解：条件：①，②平分，结论：③； 条件：①，③，结论：②平分 条件：②平分，③，结论：① （2）条件：①，②平分，结论：③； 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故该命题为真命题； 条件：①，③，结论：②平分 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故该命题为真命题； 条件：②平分，③，结论：① 证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴ ∴，故该命题为真命题. 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 6．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断以下命题是真命题还是假命题： ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行． 【答案】(1)见解析 (2)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 (3)①真命题；②假命题 【分析】题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，解题的关键是： （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据（1）证明即可得出结论； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 故两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行是真命题； ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________． 证明： 【答案】条件：①②④，结论：③；证明见解析 【分析】本题考查的是真假命题的含义，全等三角形的判定与性质，先写出①②④为条件，③为结论；再根据条件证明，从而可得结论． 【详解】解：条件：①②④，结论：③ 理由：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】(1)①，；②见解析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； (2)，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 【详解】（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平方根，平行线的性质与判定、垂线段最短及两点间的距离判断即可． 【详解】解：A. 负数没有平方根，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 在同一平面内，如果，，那么，原命题是真命题，故该选项符合题意；     D. 连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列命题：没有公共点的两条直线平行；若，则；被开方数越大，对应的平方根越大；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；与是同一个正数的平方根，则其中真命题有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行的定义、绝对值的意义、平方根的定义及平行的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 【详解】解：平面内没有公共点的两条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 若，则，正确，是真命题，符合题意； 被开方数越大，对应的算术平方根越大，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 与是同一个正数的平方根，则或，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 真命题有个， 故选：． 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．同位角相等，两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，如果，，那么 【答案】B 【分析】本题考查了判断真假命题，根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定逐一判断即可，正确理解命题的概念，掌握相关知识的性质是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么或，原选项错误，不符合题意； 、同位角相等，两直线平行，原选项正确，符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项错误，不符合题意； 、同一平面内，如果，，那么，原选项错误，不符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：A． 当时，满足，但不满足，符合题意；     B． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     C． ，满足，满足是真命题，不符合题意；     D． ，不满足，，不符合题意． 故选A． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足且的反例即可． 【详解】解：对于命题“如果，那么与互补”的逆命题为“如果与互补，那么”，能说明这个命题为假命题的反例可以为：，， 故选：C． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）命题“如果，那么”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查了真命题和假命题的判断，熟练掌握定义是解题的关键； 根据不等式及其性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴在条件下，由于平方数非负，且作为不等式两边除数，不能为， ∴． ∴不等式两边同时除以同一个大于的数，不等号方向不变， 即由两边除以，可得， ∴该命题是真命题． 故答案为：真． 7．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 8．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)题设：与互为相反数；结论：与互为相反数；真命题； (2)． 【分析】本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键： （1）根据“如果”引导的部分是题设，“那么”引导的部分是结论，进行作答即可； （2）根据（1）中结论，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：题设：与互为相反数； 结论：与互为相反数；此命题为真命题； ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 即：与互为相反数； （2）由（1）可知：与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，与相交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、、，给出以下三个等量关系：①，②，③．请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 【答案】(1)②③，①（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】考查了命题与定理的知识，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理性质是解题关键． （1）根据条件，选择两个条件推出结论的真命题，即可； （2）根据等角对等边得到，结合题意得到，利用可证明，即可得到． 【详解】（1）解：条件：②③，结论：①， 故答案为：②③，①；（答案不唯一） （2）证明：， ， 点E、F分别为、的中点， ， 在与中， ， ， ． 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角．    (1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ (2)证明你所构建的命题是真命题． 【答案】(1)①②，③ (2)见解析 【分析】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）； （2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：选择①②当条件，③为结论； 故答案为：①②，③． （2）解：已知：是的一个外角，，平分， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 即选择①②当条件，③为结论，构成真命题． 11．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·安徽池州·期末）（1）把命题“等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等”写成“如果……，那么……”的形式； （2）判断该命题是否是真命题？若是，请写出证明过程；若不是，请举出一个反例（要求：画出符合题意的图形，并写出已知、求证．） 【答案】（1）如果一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，那么它到底边两个端点的距离相等；（2）真命题，见解析 【分析】（1）命题中的条件是一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，放在“如果”的后面，结论是它到底边两个端点的距离相等，应放在“那么”的后面．． （2）作出图形，然后写出已知、求证，再根据线段中点的定义求出AD=AE，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，再根据等角对等边证明即可． 【详解】解：（1）题设为：一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，结论为：它到底边两个端点的距离相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个点是等腰三角形两腰上的中线的交点，那么它到底边两个端点的距离相等； （2）该命题是真命题． 已知：如图，中，，、分别是边、上的中线，，相交于点O． 求证：． 证明：∵、分别是边、上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 命题、定义、定理与证明 （第1课时 命题） 题型一：判断是否为命题 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 4．（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线上任取一点 D．过点作直线的垂线 5．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列语句中不是命题的是（   ） A．垂线段最短 B．连接A，B两点 C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交 6．（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）下列语句中是命题，且正确的是（    ） A．作直线的平行线 B．互补的角是邻补角 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 7．（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）下列语句中，是命题的是（    ） ①若，，则； ②同位角相等吗？ ③画线段； ④地球围着太阳公转； ⑤直角都相等 A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 8．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 9．（24-25八年级上·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 题型二：判断命题的真假 1．（24-25七年级下·广西崇左·阶段练习）下列命题中，是真命题的有（   ） ①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．所有的直角都是相等的 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 5．（24-25八年级上·全国·期中）已知下列命题，其中真命题的个数（   ） （1）27的立方根是； （2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）平方根是它本身的数有和0； （4）同位角相等； （5）等腰三角形两腰上的高相等； （6）若，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（23-24七年级下·四川德阳·期中）下列命题是真命题的有（　　） ①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；③点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，，，，那么点P到直线l的距离是；④与的两边分别平行；比的3倍少，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．对顶角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行 8．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）下列语句中是真命题的是（   ） A．若，那么 B．数轴上的所有点都表示有理数 C．3的平方根是 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条线互相垂直 9．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（   ） A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．两直线平行，内错角相等 D．在同一平面内，不相交的两条直线平行 题型三：写出命题的题设和结论 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）命题“对顶角相等”的题设和结论分别是 ． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 4．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）命题“两条直线都与第三条直线相交，如果内错角相等，那么这两条直线平行”的条件和结论各是什么？ 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)同旁内角相等，两直线平行； (3)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)若，则； (2)如果，垂足为O，那么； (3)如果，那么； (4)两直线平行，同位角相等． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 题型四：把命题改写成“如果......那么......”的形式(选填) 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 3．（23-24七年级下·山东临沂·期中）把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 4．（23-24七年级下·广东惠州·期中）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ． 6．（24-25八年级下·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 题型五：举反例说明假（真）命题 1．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． (1)两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； (2)同旁内角互补． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）用举反例的方法说明下列命题是假命题． (1)质数都是奇数； (2)大于的角是钝角； (3)同位角相等． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两个钝角的和一定大于； (2)异号两数相加，和为0； (3)如果，那么． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 题型一：命题综合 1．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，请你从三个选项①，②平分，③． (1)请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，写出一个命题； (2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 6．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断以下命题是真命题还是假命题： ①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行． 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________． 证明： 8．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列命题：没有公共点的两条直线平行；若，则；被开方数越大，对应的平方根越大；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；与是同一个正数的平方根，则其中真命题有（    ）个． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．同位角相等，两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．同一平面内，如果，，那么 4．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）命题“如果，那么”是 （填“真”或“假”）命题． 7．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 8．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 9．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，与相交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、、，给出以下三个等量关系：①，②，③．请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 10．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角．    (1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ (2)证明你所构建的命题是真命题． 11．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 12．（24-25八年级上·安徽池州·期末）（1）把命题“等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等”写成“如果……，那么……”的形式； （2）判断该命题是否是真命题？若是，请写出证明过程；若不是，请举出一个反例（要求：画出符合题意的图形，并写出已知、求证．） 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$