12.1 命题、定义、定理与证明（第2课时 定义、定理与证明）（3大基础题型+1大巩固提升）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册
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内容正文：
12.1 命题、定义、定理与证明
（第2课时 定义、定理与证明）
题型一：定义、定理与证明的基本认识
1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列真命题能作为基本事实的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是
C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理．数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的．判断所给命题是否是经过证明得出的结论，即可解答．
【详解】解：四个选项中，A，B，D需要证明得出的结论，只有C是基本事实．
故选：C．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．定理可以推导出基本事实
B．定理都是真命题
C．定理和基本事实都不需要证明
D．基本事实不一定是真命题
【答案】B
【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意；
B、定理都是真命题，正确，符合题意；
C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意；
D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（ ）
①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理；
相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；
25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理；
三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理．
故选：A．
4．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．真命题可能是定理
C．公理就是定理，定理也是公理
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
【答案】C
【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键．
公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意；
B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意；
C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意；
D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
【答案】B
【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意；
B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意；
C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
D. 延长至D使，不是定义，不符合题意；
故选：B
6．（23-24八年级上·江苏盐城·开学考试）下列语句中，是定义的是（ ）
A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等
C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查定义．根据定义的概念判断即可．
【详解】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意；
C、直角都相等，不是定义，不符合题意；
D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意；
故选：D．
7．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过证明为正确的真命题叫做公理
B．假命题不是命题
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可．
【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误；
B、假命题是不正确的命题，故此选项错误；
C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确；
D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误；
故选：C．
8．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③是方程的根；④三角形的内角和是．
【答案】2
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理；
∴可以作定理的有2个
故答案为：2
题型二：写出一个命题的已知、求证以及证明过程
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键．
先写出已知，求证，再证明即可．
【详解】解：已知：是两个连续的自然数．
求证：是偶数．
证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数．
当n是偶数时，是偶数．
综上所述，是偶数．
即两个连续自然数的积是偶数．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证．
【详解】已知：，，．
求证：．
证明：，（已知），
（等量代换），
（等式的性质）．
（已知），
（等式的性质），
（等量代换）．
3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可．
【详解】解：已知：如图，，
求证：；
证明：过点作，如图，
∵，
，
，
，
三角形内角和．
4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可．
【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和．
已知：是的一个外角．
求证：．
证明：如图所示，在中，，
∵，
∴．
5．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行．
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直．
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题…
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明．
下面请你一起完成数学老师所说的任务．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得．
【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题．
已知：如图1，，，
求证：，
证明：作直线分别于直线、、相交，
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，
如图2，，，而．
6．（2024·河南周口·一模）请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．）
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题的证明，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先根据题意，画出图形，写出已知和求证，通过构造等边三角形进行证明即可．
【详解】解：如图，已知在中，，
求证：；
证明：延长至点，使，连接，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
7．（23-24八年级上·福建福州·期中）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度．
根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整．
已知：如图，在中，，______．
求证：______．
证明：
【答案】；．证明见解析
【分析】本题主要考查命题的证明，根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长至D，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明．
【详解】解：根据直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则．
根据这条直角边所对的角等于30度，则．
延长至D，使得，连接，如图，
则，
∵，
∴，
∵，且．
∴垂直平分
∴，
∴，
则是等边三角形．
∴．
∴．
故答案为：，，（证明见上）．
题型三：已知证明过程填写理论依据
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，E是，CD外一点，．求证：．
证明：
，
（等量代换）．
．
【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行
【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．
根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案．
【详解】（已知），
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行） ．
故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（ 内错角相等，两直线平行 ）．
3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（对顶角相等），
．
4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，两直线平行），
∴ABEF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
题型一：根据给出的论断组命题并证明
1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．
【详解】解：（答案不唯一）已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等），
．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
已知：，，
求证：．
证明：，
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
【答案】①②③；④，证明见解析
【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义；
选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到．
【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④．
证明如下：，
，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：①②③；④．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：
①；②；③．
从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可．
【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题，
①②⇒③，
，
，
，
，
，
；
②③⇒①，
，
，
，
，
，
；
①③⇒②，
，
，
，
，
，
．
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
【答案】见解析，证明见解析
【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可．
【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时：
证明：平分，
．
，
，．
；
当条件是①③，结论是②时：
证明：平分，
．
∵，
∴，
∴，
∴；
当条件是②③，结论是①时：
，
，．
，
，
∴平分．
5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，给出下列等量关系：①，；②；③AF平分；请你以其中两个为条件，另一个为结论，写出一个正确命题，并加以证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定以及角平分线的判定，
选取①②为条件，③为结论，先证明，进而可得，由角平分线判定即可证明结论；
选取①③为条件，②为结论，先证明，得，再证明即可得出结论．
【详解】选择（1）：①②为条件，③为结论，
即已知：如图，①，；②，那么③AF平分；
证明：∵，；
∴，
又∵，，
∴
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，；
∴AF平分；
选择（2）：①③为条件，②为结论，
即已知：如图，①，；③AF平分；那么②，
∵AF平分；
∴，
∵，；
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴，
6．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
【答案】答案见详解
【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明；
【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
选择①③作为条件，②作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
选择②③作为条件，①作为结论．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
8．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．
已知：______，求证：______．（只须填写序号）
证明：
【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得
【详解】解：已知①②，求证∶③，
证明∶∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为∶①②；③．
9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】已知：，，平分，
求证：平分．
证明：如图所示，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
10．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（ ）
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B．定理是命题，而且是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理
D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
【答案】C
【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键.
【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意；
定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意；
对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意；
要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意；
故选：C
2．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（ ）
A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】根据定义、定理、基本事实的概念判断即可．
【详解】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于基本事实．
故选：C．
3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】阅读证明可以得到答案．
【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则，
故选：A．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角
【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可．
【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角
5．（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数．
【答案】见解析
【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证．
【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则
．
因为，，都为整数，
所以为整数．
所以是偶数．
所以两个奇数之和是偶数．
6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
(1)根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在中，为锐角，，_____．求证：_____．
(2)证明上述命题：
【答案】(1)于点，
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）依据题意即可补充完整；
（2）根据等边对等角结合三角形内角和定理得到，由直角三角形锐角互余得到，再由角的和差即可证明．
【详解】（1）解：由题意得，
已知：在中，为锐角，，于点．
求证：．
故答案为：于点，；
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴．
7．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(2)该命题是真命题，详见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：
（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．
【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
（2）解：该命题是真命题
已知：如图，在中，
求证：
证明：
．
8．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可．
【详解】已知：如图所示，分别为三个外角，
求证：．
证明：∵，，，
∴
∵，
∴．
9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【答案】见解析
【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可．
【详解】已知：如图，直线中，，，
求证：．
证明：作直线的截线，交点分别为．
∵,
∴，
∵,
∴，
∴，
∴．
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12.1 命题、定义、定理与证明
（第2课时 定义、定理与证明）
题型一：定义、定理与证明的基本认识
1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列真命题能作为基本事实的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是
C．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．定理可以推导出基本事实
B．定理都是真命题
C．定理和基本事实都不需要证明
D．基本事实不一定是真命题
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（ ）
①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．真命题可能是定理
C．公理就是定理，定理也是公理
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
6．（23-24八年级上·江苏盐城·开学考试）下列语句中，是定义的是（ ）
A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等
C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形
7．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（ ）
A．经过证明为正确的真命题叫做公理
B．假命题不是命题
C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可
D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可
8．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③是方程的根；④三角形的内角和是．
题型二：写出一个命题的已知、求证以及证明过程
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等．
3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
5．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行．
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直．
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题…
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明．
下面请你一起完成数学老师所说的任务．
6．（2024·河南周口·一模）请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．）
7．（23-24八年级上·福建福州·期中）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度．
根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整．
已知：如图，在中，，______．
求证：______．
证明：
题型三：已知证明过程填写理论依据
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，E是，CD外一点，．求证：．
证明：
，
（等量代换）．
．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
题型一：根据给出的论断组命题并证明
1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：
①；②；③．
从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，给出下列等量关系：①，；②；③AF平分；请你以其中两个为条件，另一个为结论，写出一个正确命题，并加以证明．
6．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
7．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
8．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．
已知：______，求证：______．（只须填写序号）
证明：
9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．
10．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（ ）
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B．定理是命题，而且是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理
D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
2．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（ ）
A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对
3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
5．（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数．
6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
(1)根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在中，为锐角，，_____．求证：_____．
(2)证明上述命题：
7．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
8．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
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