第十五章 轴对称 15.3.2 含30°角的直角三角形的性质（第2课时） 2026-2027学年人教版 数学八年级 上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“含30°角的直角三角形的性质”，通过三级分层设计实现从概念记忆到综合应用的递进，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|核心性质直接应用|以“拼一拼”操作验证性质，结合简单计算与选择，夯实概念理解| |能力提升|性质综合应用|含高、角平分线等多知识点结合题，如“直角三角形中30°角与斜边关系计算”，培养推理意识| |拓展探究|性质证明与复杂情境|通过倍长法、截半法证明性质，结合垂直平分线等综合题，发展创新意识与应用能力|

15.3.2 含30°角的直角三角形的性质（第2课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆（30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； ②符号语言：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=1/2AB； ③应用：求边长、证明线段倍分关系； ④注意：30°角所对的直角边才等于斜边一半。 2. 与本节课相关的旧知识：等边三角形的性质、直角三角形。 3. 预习时遇到的疑问：30°角所对的直角边为什么等于斜边的一半？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①必须在直角三角形中； ②30°角所对的直角边是较短的直角边； ③不能记成"30°角所对的边等于另一直角边的一半"。 二、基础随堂自检（当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于____的一半。 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=8，则BC=____。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，若AC=3，则AB=____。 4. 30°角所对的直角边等于斜边的____。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=4，则AB=____。 6. 含30°角的直角三角形中，三边之比为____。 三、分层自主作业（分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 拼一拼：如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 2. 填一填： ∠A=∠D=______，∠BAC=______；AB=DE，△ABE是______三角形；2BC=BE=______。 3. 要点归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的______。 4. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AC的长是（　　） A．2cm　　B．4cm　　C．6cm　　D．8cm 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4，则BD=______。 6. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，若AB=10，则BC=______。 7. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米　　B．9米　　C．12米　　D．15米 8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=______。 9. 如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=______。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是（　　） A．3cm　　B．6cm　　C．9cm　　D．12cm 2. 例2：如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=3，则PD等于（　　） A．3　　B．2　　C．1.5　　D．1 3. 如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°。求证：AB=4BD。 证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=AB，∠B=______； 又∵△BCD中，CD⊥AB，∴∠BCD=______，∴BD=BC， ∴BD=AB，即AB=4BD。 4. 如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长。 5. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h=______m。 ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 证一证：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。求证：BC=AB。 方法一（倍长法）：【提示：延长BC至D，使CD=BD，连接AD】 方法二（截半法）：【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】 2. 例3：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线。CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由。 3. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长。 4. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA。 四、自习后置复盘（2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用（可选·素养） 1. 例4：已知：等腰三角形的底角为15°，腰长为20。求腰上的高。 2. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　） A．300a元　　B．150a元　　C．450a元　　D．225a元 3. 如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ。 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 15.3.2 含30°角的直角三角形的性质（第2课时）参考答案 一、自习前置速忆 30°角所对的直角边等于斜边一半；用于求边长和证明倍分关系。 二、基础随堂自检 1. 斜边 2. 4 3. 6 4. 一半 5. 8 6. 1:√3:2 三、分层自主作业 ★ 基础巩固：1. 把两个三角尺摆放在一起，△ABE为等边三角形，AB=BE=2BC，即BC=AB　2. ∠A=∠D=60°，∠BAC=120°；△ABE是等边三角形；2BC=BE=AB　3. 一半　4. B（∠A=60°，∠ACD=30°，AC=2AD=4cm）　5. 1（BC=AB=2，BD=BC=1）　6. 5（∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，BC=AB=5）　7. B（折断部分长=3×2=6米，树高=3+6=9米）　8. 2（∠CAD=30°∴AD=2CD=2；∠B=∠BAD=30°∴BD=AD=2）　9. 8（BC=AB，AB+AB=12，AB=8） ★★ 能力提升：1. D（∠A=60°，∠ACD=30°∴AC=2AD=6；∠B=30°∴AB=2AC=12cm）　2. C（∠OPC=∠POA=15°=∠COP∴CO=CP=3；作PF⊥OB，∠PCF=30°∴PF=PC=1.5，由角平分线性质PD=PF=1.5）　3. ；60°；30°；；　4. PD=2（同例2：CO=CP=4，PF=PC=2，PD=PF=2）　5. 4（∠ABC=150°∴∠CBE=30°，h=BC=×8=4m） ★★★ 拓展探究：1. 方法一（倍长法）：延长BC至D使CD=BC，连接AD。Rt△ACB≌Rt△ACD（SAS）∴AB=AD，∠DAB=60°∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=2BC，即BC=AB。方法二（截半法）：在BA上截取BE=BC，连接EC。∠B=60°∴△BCE为等边三角形∴∠BEC=60°，EC=BE=BC；∠ECA=30°=∠EAC∴EA=EC；∴AB=BE+EA=2BC，即BC=AB　2. CD=DB。理由：DE⊥AB且DE平分∠ADB，DE为AB的垂直平分线∴AD=BD，∠DAB=∠B；AD平分∠BAC∴∠CAD=∠DAB=∠B，∠CAB=2∠B，∠CAB+∠B=90°∴∠B=30°；△ACD≌△AED（AAS）∴CD=DE；Rt△BDE中∠B=30°∴DE=DB∴CD=DB　3. AC=2.5（DE垂直平分AB∴AE=BE=5；∠B=∠EAB=15°∴∠AEC=30°，AC=AE=2.5）　4. ∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°；D是BC中点∴AD⊥BC，AD平分∠BAC∴∠BAD=60°；Rt△ABD中∠B=30°∴AD=AB；Rt△AED中∠EAD=60°∴∠ADE=30°∴AE=AD=AB；BE=AB−AE=AB=3AE 五、学以致用：1. 腰上的高为10。作腰AC上的高BD，∠BAC=150°∴∠BAD=30°，Rt△ABD中BD=AB=×20=10　2. B（作BH⊥CA交CA延长线于H，∠BAH=30°∴BH=AB=10；S△ABC=×AC×BH=×30×10=150m²，费用150a元）　3. ∵△ABC为等边三角形∴AB=AC=BC，∠BAE=∠ACD=60°；CD=AE∴△ABE≌△CAD（SAS）∴∠ABE=∠CAD；∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°；Rt△BPQ中∠BPQ=60°∴∠PBQ=30°∴PQ=BP，即BP=2PQ 学科网（北京）股份有限公司 $