3.2 探索三角形相似的条件（一）》提优特训A·B卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第三章图形的相似第二节探索三角形相似的条件（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握线段的比、成比例线段的定义与判定；熟练掌握比例基本性质、合比、等比性质；掌握平行线分线段成比例基本事实及三角形推论，能熟练列式求线段长度、线段比值。 2 . 经历由平行线探究线段比例关系的过程，掌握 “ A字型、8字型 ” 经典相似比例模型，提升识图、列式、代数计算能力。 3.建立数形结合思维，养成规范书写比例式、找准对应线段的严谨习惯，为后续三角形相似判定打下核心基础。 4.发展几何直观、运算能力、推理意识，能在复杂图形中精准识别平行比例结构，实现几何与代数的转化运算。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.成比例线段的判定方法、比例的三大性质（基本性质、合比性质、等比性质）的运用。 2.平行线分线段成比例基本事实的理解与直接应用。 3.平行于三角形一边的直线的比例推论（A字型、8字型模型），中考高频必考。 4.根据平行条件列比例式，求解未知线段长、线段比值。 （二） 难点 1.准确区分对应线段，避免比例式上下、左右对应错乱。 2.等比性质使用的分母和不为0隐藏条件，容易忽略。 3.三角形延长线形成的8字型模型，找对应线段容易出错。 4.多个平行线叠加的复杂图形，拆分基础比例模型解题。 ) 三．知识梳理 （一）线段的比 1.定义：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做线段的比。若线段a、b的长度分别为m、n，则线段比：a:b=m:n。 2.核心要求 （1）两条线段单位必须统一； （2）线段的比是正数，无单位； （3）线段比有顺序，a:b ≠ b:a。 （二）成比例线段（比例线段） 1.定义：四条线段a、b、c、d，如果满足a:b=c:d，则称这四条线段成比例线段。其中：a、d为比例外项，b、c为比例内项，d叫做第四比例项。 2.比例中项：若a:b=b:c，则b是a、c的比例中项，满足公式：b2=ac。 （三）比例的三大性质（计算必考） 1.基本性质 若=，则 ad=bc（交叉相乘相等，最常用）； 可逆用：若ad=bc（b、d≠0），则=。 2.合比性质 若，则 。 3.等比性质：（必须保证所有分母之和不为0，否则不能使用等比性质。） 若，则 【点拨】：做题固定套路 （1）看到连等分式，优先设比值等于k； （2）想分子加减分母，就用合比； （3）好几个分式相等，用等比性质。 （四）平行线分线段成比例基本事实（三平两斜） 1.定理内容：两条直线被一组三条及以上平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.几何语言： 若l3∥l4∥l5，则，，，．．． 3.核心口诀： 平行截线段，对应成比例；上比下、上比全、下比全，全部对应相等。 （三）平行线分线段成比例推论（三角形模型⭐重中之重） 1.推论内容： 平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边（或两边延长线）相交，截得的对应线段成比例。 2.两大必考模型 （1）模型1：A字型（三角形内平行） 在△ABC中，DE‖BC可得： =;=;=. （2）模型2：8字型（延长线平行） 在△ABC中，DE‖BC（D、E在两边延长线上），依然满足对应线段成比例。 =;=;=. 3.相似三角形的引理 只要有“三角形+一边平行线”，必有对应线段成比例，是相似三角形判定的前置核心依据。 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.已知四条线段a=2cm，b=4cm，c=3cm，d=6cm，则下列成立的比例式是（ ） A.a:b=d:c B.a:c=b:d C.b:a=c:d D.a:d=b:c 【答案】：B 【解析】：a:c=2:3，b:d=4:6=2:3，=，四条线段成比例。 2.已知线段a=4，c=9，线段b是a、c的比例中项，则b的长（ ） A.±6 B.6 C.36 D. 【答案】：B 【解析】：比例中项b2=ac=4×9=36，线段长为正数，b=6。 3.若=，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：合比性质=→==。 4．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】A、，，，，该组线段不成比例；B、，，，，该组线段成比例；C、， ，，该组线段不成比例；D、，，，，该组线段不成比例． 5．若，则下列各式中一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可设，（）．选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误；选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误；选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误；选项D，，等式恒成立，故D正确． 6. 在△ABC中，DE‖ BC，交AB、AC于D、E，已知AD=2，DB=3，则等于（） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：A字型模型，DE‖BC，==. 7.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】A 【解析】根据平行线分线段成比例定理：已知 AB‖CD‖EF，截两条斜线，对应线段成比例： ＝,对照选项，A 正确，B、C、D 的线段对应关系错误。 8．如图，已知点D是AB上一点，如果DE∥BC，DF∥AC，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】B 【解析】已知 DE‖BC,DF‖AC，四边形 DFCE是平行四边形，DE=FC,DF=EC。由 DE‖BC： =,由 DF‖AC：=,联立可得：＝,所以B 选项正确。 9．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是( ) A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】已知 a‖b‖c，根据平行线分线段成比例：==,设 BD=3k,\ DF=4k，则 BF=BD+DF=7k,==，答案：C 10．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB.若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 AC‖EF‖BD,在△ABC 中：=,在△BCD 中：= BF=3，BE=5，可得 =,答案：A 二．填空题（共30分） 11.已知四条线段2,3,4,x成比例，则正数x=________。 【答案】6 【解析】2:3=4:x，解得2x=12,x=6。 12.若=，则=________。 【答案】 【解析】设x=3k,y=4k，== 13．已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为____． 【答案】12 【解析】 设＝＝＝k，则a＝6k，b＝5k，c＝4k， ∵a＋b－2c＝6，∴6k＋5k－8k＝6，3k＝6，解得k＝2，∴a＝6k＝12. 14．如图，AB∥CD∥EF.若＝，BD＝5，则DF＝ _____． 【答案】10 【解析】根据平行线分线段成比例定理：AB‖CD‖EF，AC：CE=BD：DF=1：2，已知 BD=5，代入得：5：DF=1：2，解得 DF=10 15.△ABC中，DE‖BC，AD=1，AB=4，AC=8，则AE=________。 【答案】：2 【解析】：=，=，AE=2。 16.△ABC中，DE‖BC交AB、AC延长线（8字型）于E、D，已知AD=3，AB=8，AE=4，则AC=________。 【答案】：6 【解析】：=,=,解得AC=6。 17.△ABC中，DE‖BC，AD:AB=2:5，EC=15，则AC=________。 【答案】：25 【解析】：=,设AE=2k，AC=5k，EC=3k=15,k=5，AC=25. 18．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 ． 【答案】 【解析】∵l1∥l2，∴＝①，∵l2∥l3，∴＝②，①×②，得＝， 故答案为：． 19．如图，在△ABC中，点D，E在边AB上，点F，G在边AC上，且DF∥EG∥BC， 若AD∶DE∶EB＝2∶3∶4，FG＝6，则AC＝_________． 【答案】 【解析】已知 AD:DE:EB=2:3:4，所以 AD:AE:AB=2:(2+3):(2+3+4)=2:5:9，DF‖EG‖BC， △ADF∽△AEG∽△ABC，AE：AB=AG：AC=5：9，AD：AB=AF：AC=2：9，FG=AG-AF=AC-AC=AC=AC，又 FG=6，所以 AC=6，得 AC=18 20．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　 ． 【答案】 【解析】∵线段AD、BE是△ABC的中线，∴＝，＝，∵EF∥BC，＝， ∴＝．故答案为：． 三．解答题（共60分） 21．求下列各式中x的值： (1)3∶x＝6∶12; (2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶3. 解：(1)由比例的基本性质可知6x＝3×12，∴x＝6. (2)由比例的基本性质可知(x＋1)(1－x)＝3x，∴x2＋3x－1＝0， ∴x1＝，x2＝. 22.若＝＝＝，求： (1)； (2)； (3)比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律？ 解：(1)令a＝b，c＝d，则＝＝； (2)令a＝b，c＝d，e＝f，则＝ ＝＝； (3)若＝＝＝k，则＝k. 23．如图，DE∥AF∥BC，且AD＝2cm，AB＝6cm. (1)求的值； (2)若FD＝1.5cm，AE＝1.2cm，分别求出DC和EC的值． 解：(1) ＝ (2) ∵AF∥BC，∴＝＝，∴DC＝2FD＝3cm，又∵DE∥BC，∴＝＝，∴EC＝2AE＝2.4cm 24．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 解：(1)证明：∵在中，是斜边上的高．∴ ∴； (2)是成比例线段，理由如下：∵∴∴是成比例线段． 25．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 解：（1）∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24，∴＝＝，∴＝， ∴BC＝15，∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9． （2）∵l1∥l2∥l3∴＝＝，∴＝，∴OB＝3，∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12， ∴＝＝，∴＝，∴CF＝4． 26．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，已知A(1，0)，B(0，3)，M为边BC的中点。 （1）求点C的坐标； （2）设点M的坐标为(a，b)，求的值； 解：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为点D ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=CA，∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∠OAB+∠ABO=90°∴∠ABO=∠CAD， ∵∠AOB=∠CDA，∴△ABO≌△CAD∴AO=CD=1，OB=AD=3，∴C(4，1) （2）过点M作MH⊥x轴，垂足为点H ∵BO∥MH∥CD，MB=MC ∴a=HO=HD=2 ∴b=MH =2，∴=1 27．在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE． （1）若对角线AC＝BD＝a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值； （2）若AC＝m，BD＝n，m、n为定值，但m≠n，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由． 解：（1）∵EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE∴四边形EFGH是平行四边形，设GH为x，GF为y，AH＝p，BH＝q∵GH∥BD，BD＝a∴，即，∵HE∥AC，AC＝a∴， 即，∴，故四边形EFGH的周长＝2（x+y）＝2a； （2）∵AC＝m，BD＝n，则有，，∴x+y＝＝，∵m、n为确定的值，H是AB上的动点，是变量，而x+y随的变化而变化，∴x+y不能确定，即四边形EFGH的周长不是定值． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如果＝，那么下列各式一定成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】D 【解析】已知＝ ，利用合比性质：+2＝ +2，通分后就是＝. A、B、C都可以举反例证明不成立。答案：D 2．设a，b，c是三个互不相同的正数，如果＝＝，那么( ) A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b 【答案】A 【解析】设＝＝=k，则b=ak，c=k(a+b)=ak(1+k),代入=k，化简计算可得：3b=2c。答案：A 3．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】，将，代入得：． 4．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴，，．∵，∴． 5．已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是( ) A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6 【答案】B 【解析】DE‖BC，=代入 AD=5,DB=7,AE=4：CE==5.6,AC=AE+CE=4+5.6=9.6 答案：B 6．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】∵AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，∴＝＝＝，故选：A． 7．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵BN∥AM，＝，∴＝，∵DN∥CM，∴＝＝，故选：B． 8．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（　　） A．CF B．FD C．BE D．EC 【答案】A 【解析】∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8， ∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝， ∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A． 9．如图所示，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，解得，EF＝4，故选：D． 10．如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　） A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5 【答案】D 【解析】过点D作DF∥BE交AC于点F，则＝＝，＝＝3， ∴AE：EC＝6：5，故选：D． 二．填空题（共30分） 11.已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【解析】设所求的线段是，根据题意得到，，解得．，解得．，解得． 12．若，则_______． 【答案】 【解析】根据题意，可设a=3k，b=7k，k≠0，代入可得=. 故答案为. 13.已知，则的值是____________． 【答案】 【解析】∵，∴，，，∴． 14．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝____． 【答案】4 【解析】 ∵x∶y∶z＝3∶5∶6，∴可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k.又∵2x－y＋3z＝6k－5k＋18k＝38，即k＝2，∴3x＋y－2z＝9k＋5k－12k＝2k＝4. 15．若＝＝＝k，则k＝____． 【答案】2或－1 【解析】 根据已知条件，得出a＋b＝ck① b＋c＝ak② c＋a＝bk.③①＋②＋③，得2(a＋b＋c)＝k(a＋b＋c)． (1)当a＋b＋c≠0，则k＝2；(2)当a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b，∴k＝－1.综上所述，k的值是2或－1. 16．若，则＝______． 【答案】 【解析】根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．∵∴ ∴ 17．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和5cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为_________. 【答案】10cm 【解析】设该化石的实际长度为xcm，依题意，=，解得：x=10． 18．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m． 【答案】1.2 【解析】∵BB1∥CC1，∴＝，∵AB＝BC，∴AE＝EF，同理可得：AE＝EF＝FD1， ∵AE＝0.4m，∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），故答案为：1.2． 19．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　． 【答案】2：1 【解析】∵点O是线段AG的中点，∴OA＝OG＝AG，∵DE∥BC，AD：DB＝3：1， ∴＝＝＝，＝＝，∴OH＝OG﹣HG＝AG﹣AG＝AG， ∴AO：OH＝（AG）：（AG）＝2：1，故答案为：2：1． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 ． 【答案】 【解析】如图，过点D作DF∥AE，则＝＝，∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC， ∴DO＝DC，∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，∴S△ABO＝S△ABC，∵∠ACB＝90°，∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，此时△ABO的面积最大为：×4＝．故答案为：． 三．解答题（共60分） 21．已知线段a、b满足，且a+2b＝28． （1）求a、b的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 解：（1）∵，∴a＝2b，∵a+2b＝28，∴2b+2b＝28，解得b＝7，则a＝2×7＝14． （2）∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2＝ab，即x2＝14×7，解得或（不符合题意，舍去），则x的值为． 22．求值： （1）已知a：b：c＝3：1：4，求； （2）已知，且b﹣d+2f≠0，求的值． 解：（1）∵a：b：c＝3：1：4，∴设a＝3k，b＝k，c＝4k（k≠0）， ∴＝＝＝﹣； （2）∵，且b﹣d+2f≠0，∴a＝﹣b，c＝﹣d，e＝﹣f，∴＝＝﹣1． 23．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状． 解：由等比性质，得＝＝＝＝3， ∴a＝5，b＝3，c＝4.∴b2＋c2＝32＋42＝a2＝25.∴△ABC是直角三角形． 24．已知a，b，c是非零实数，且满足＝＝，且x＝，求x的值． 解：①当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得＝＝＝＝1，∴a＋b＝2c，a＋c＝2b，b＋c＝2a.∴x＝＝8. ②当a＋b＋c＝0时，得a＋b＝－c，b＋c＝－a，c＋a＝－b，∴x＝＝－1. 综上所述，x的值为－1或8. 25．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 解：（1）∵FE∥CD，∴＝，即＝，解得，AC＝， 则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝； （2）∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，AB＝． 26．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 解：（1）设，则，，．∵，∴，解得，∴，，； （2）∵线段是线段、的比例中项，∴，把，代入可得：，∵线段长度不能为负，∴； （3）∵四条线段、、、为成比例线段，∴，把，，代入可得：，解得． 27．如图：已知在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝10． （1）求. （2）求GE的长； （3）求CO的长． 解：（1）已知平行四边形ABCD，∴AD‖BC，AD=BC，AB‖CD。DE=2AE，设AE=x，则DE=2x，AD=AE+DE=3x，BC=AD=3x。== （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BG∥CD，∴=∵DE＝2AE，CE＝10，∴=,∴GE＝5 由题意知：AD＝BC， ∵DE＝2AE，∴=,又BC∥DE，∴=，又EO＝EC−OC＝10−OC，∴=,∴OC＝6． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第三章图形的相似第二节探索三角形相似的条件（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握线段的比、成比例线段的定义与判定；熟练掌握比例基本性质、合比、等比性质；掌握平行线分线段成比例基本事实及三角形推论，能熟练列式求线段长度、线段比值。 2 . 经历由平行线探究线段比例关系的过程，掌握 “ A字型、8字型 ” 经典相似比例模型，提升识图、列式、代数计算能力。 3.建立数形结合思维，养成规范书写比例式、找准对应线段的严谨习惯，为后续三角形相似判定打下核心基础。 4.发展几何直观、运算能力、推理意识，能在复杂图形中精准识别平行比例结构，实现几何与代数的转化运算。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.成比例线段的判定方法、比例的三大性质（基本性质、合比性质、等比性质）的运用。 2.平行线分线段成比例基本事实的理解与直接应用。 3.平行于三角形一边的直线的比例推论（A字型、8字型模型），中考高频必考。 4.根据平行条件列比例式，求解未知线段长、线段比值。 （二） 难点 1.准确区分对应线段，避免比例式上下、左右对应错乱。 2.等比性质使用的分母和不为0隐藏条件，容易忽略。 3.三角形延长线形成的8字型模型，找对应线段容易出错。 4.多个平行线叠加的复杂图形，拆分基础比例模型解题。 ) 三．知识梳理 （一）线段的比 1.定义：在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做线段的比。若线段a、b的长度分别为m、n，则线段比：a:b=m:n。 2.核心要求 （1）两条线段单位必须统一； （2）线段的比是正数，无单位； （3）线段比有顺序，a:b ≠ b:a。 （二）成比例线段（比例线段） 1.定义：四条线段a、b、c、d，如果满足a:b=c:d，则称这四条线段成比例线段。其中：a、d为比例外项，b、c为比例内项，d叫做第四比例项。 2.比例中项：若a:b=b:c，则b是a、c的比例中项，满足公式：b2=ac。 （三）比例的三大性质（计算必考） 1.基本性质 若=，则 ad=bc（交叉相乘相等，最常用）； 可逆用：若ad=bc（b、d≠0），则=。 2.合比性质 若，则 。 3.等比性质：（必须保证所有分母之和不为0，否则不能使用等比性质。） 若，则 【点拨】：做题固定套路 （1）看到连等分式，优先设比值等于k； （2）想分子加减分母，就用合比； （3）好几个分式相等，用等比性质。 （四）平行线分线段成比例基本事实（三平两斜） 1.定理内容：两条直线被一组三条及以上平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.几何语言： 若l3∥l4∥l5，则，，，．．． 3.核心口诀： 平行截线段，对应成比例；上比下、上比全、下比全，全部对应相等。 （三）平行线分线段成比例推论（三角形模型⭐重中之重） 1.推论内容： 平行于三角形一边的直线，与三角形另外两边（或两边延长线）相交，截得的对应线段成比例。 2.两大必考模型 （1）模型1：A字型（三角形内平行） 在△ABC中，DE‖BC可得： =;=;=. （2）模型2：8字型（延长线平行） 在△ABC中，DE‖BC（D、E在两边延长线上），依然满足对应线段成比例。 =;=;=. 3.相似三角形的引理 只要有“三角形+一边平行线”，必有对应线段成比例，是相似三角形判定的前置核心依据。 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.已知四条线段a=2cm，b=4cm，c=3cm，d=6cm，则下列成立的比例式是（ ） A.a:b=d:c B.a:c=b:d C.b:a=c:d D.a:d=b:c 2.已知线段a=4，c=9，线段b是a、c的比例中项，则b的长（ ） A.±6 B.6 C.36 D. 3.若=，则的值为（ ） A. B. C. D. 4．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．若，则下列各式中一定成立的是（  ） A． B． C． D． 6. 在△ABC中，DE‖ BC，交AB、AC于D、E，已知AD=2，DB=3，则等于（） A. B. C. D. 7.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 8．如图，已知点D是AB上一点，如果DE∥BC，DF∥AC，点E，F分别在AC，BC上，那么下列比例式中正确的是( ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 9．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是( ) A．　　　B．　　　C．　　　D． 10．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB.若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为( ) A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.已知四条线段2,3,4,x成比例，则正数x=________。 12.若=，则=________。 13．已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为____． 14．如图，AB∥CD∥EF.若＝，BD＝5，则DF＝ _____． 15.△ABC中，DE‖BC，AD=1，AB=4，AC=8，则AE=________。 16.△ABC中，DE‖BC交AB、AC延长线（8字型）于E、D，已知AD=3，AB=8，AE=4，则AC=________。 17.△ABC中，DE‖BC，AD:AB=2:5，EC=15，则AC=________。 18．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 ． 19．如图，在△ABC中，点D，E在边AB上，点F，G在边AC上，且DF∥EG∥BC， 若AD∶DE∶EB＝2∶3∶4，FG＝6，则AC＝_________． 20．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　 ． 三．解答题（共60分） 21．求下列各式中x的值： (1)3∶x＝6∶12; (2)x∶(x＋1)＝(1－x)∶3. 22.若＝＝＝，求： (1)； (2)； (3)比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律？ 23．如图，DE∥AF∥BC，且AD＝2cm，AB＝6cm. (1)求的值； (2)若FD＝1.5cm，AE＝1.2cm，分别求出DC和EC的值． 24．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 25．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 26．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，已知A(1，0)，B(0，3)，M为边BC的中点。 （1）求点C的坐标； （2）设点M的坐标为(a，b)，求的值； 27．在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE． （1）若对角线AC＝BD＝a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值； （2）若AC＝m，BD＝n，m、n为定值，但m≠n，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．如果＝，那么下列各式一定成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2．设a，b，c是三个互不相同的正数，如果＝＝，那么( ) A．3b＝2c B．3a＝2b C．2b＝c D．2a＝b 3．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 5．已知△ABC中，DE∥BC，AD＝5，DB＝7，AE＝4，则AC的值是( ) A．7.6 B．9.6 C．8.5 D．5.6 6．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　） A． B． C． D．1 7．如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若＝，则的值为（　　） A． B． C．2 D．3 8．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（　　） A．CF B．FD C．BE D．EC 9．如图所示，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　） A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5 二．填空题（共30分） 11.已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 12．若，则_______． 13.已知，则的值是____________． 14．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝____． 15．若＝＝＝k，则k＝____． 16．若，则＝______． 17．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和5cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为_________. 18．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m． 19．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB＝3：1，则AO：OH＝　 　． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 ． 三．解答题（共60分） 21．已知线段a、b满足，且a+2b＝28． （1）求a、b的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 22．求值： （1）已知a：b：c＝3：1：4，求； （2）已知，且b﹣d+2f≠0，求的值． 23．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状． 24．已知a，b，c是非零实数，且满足＝＝，且x＝，求x的值． 25．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 26．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 27．如图：已知在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝10． （1）求. （2）求GE的长； （3）求CO的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $