《第二章一元二次方程 回顾与思考 提优特训A·B卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上《一元二次方程》单元复习提优卷，分A（基础）、B（提优）两卷，覆盖核心概念、四种解法、根的判别式、韦达定理及五大实际模型，适配单元复习，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|20题60分|定义、解法适用、判别式、韦达定理|结合地方真题（如贵阳期中题），辨析易混点（如a≠0条件）| |解答题|14题120分|解法运算、含参问题、几何面积、销售利润、动态问题|综合几何与方程（如菱形对角线方程应用），体现建模思想（增长率、动点面积），注重运算规范与推理严谨|

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程回顾与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.系统梳理一元二次方程完整知识体系，精准辨析一元二次方程的定义、一般形式、成立条件，区分一元一次、分式方程、高次方程的本质差异，抽象出降次求解、建模应用两大核心数学思想。 2. 熟练辨析四种解法的适用场景，能根据方程结构推理最优解法；结合根的判别式判断实数根的情况，利用韦达定理推理两根关系、参数取值范围，养成先判根、后求值、必验根的严谨推理逻辑。 3.熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法的规范运算步骤，精准处理含参数、含分数、含小数的一元二次方程运算；熟练完成两根代数式变形运算，规避符号、配方、化简类计算错误。 4.熟练掌握增长率、销售利润、几何面积、传播分叉、循环计数五大经典实际模型，能从真实情境中提取等量关系建立一元二次方程模型，结合实际场景取舍方程的解，解决中考综合应用题。 ) 二．知识梳理 ( （一）一元二次方程核心概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数 ， a ≠ 0） ， （1） ax 2 ：二次项，a为二次项系数； （2） bx：一次项，b为一次项系数； （3） c：常数项。 3.关键注意点 （1） a ≠ 0是方程为一元二次方程的必要条件，若a=0，方程退化为一元一次方程； （2） 一般形式必须整理为右边为0，左边按降幂排列的标准形式； （3） 未知数最高次数必须为2，且不能含未知数在分母、根号内，必须是整式方程。 4.方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。 （二）一元二次方程四种解法（降次思想） 本章所有解法的核心思想：将二次方程降次，转化为一元一次方程求解。 1 . 直接开平方法 （1） 适用方程结构 方程可整理成 x 2 =p 或 (mx+n) 2 =p 的形式，只有当 p ≥ 0 时才有实数解；若p<0，不存在实数平方根，方程无实数根。 （2） 求解规则 若(mx+n) 2 =p(p ≥ 0)，则 mx+n= ± ，分别解两个一元一次方程得到两根。 2. 配方法（本节课重点） （1） 定义：通过在方程两侧添加常数，将方程左侧配成完全平方式，再用直接开平方法求解。 （2） 标准解题步骤（针对ax 2 +bx+c=0,a ≠ 0） ① 移项：将常数项移至方程右侧，保留二次项、一次项在左侧； ② 化1：方程左右同时除以二次项系数a，使二次项系数变为1； ③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方(x+m)^2，右侧合并常数； ⑤ 开方：判断右侧常数正负，非负则开平方求解，负数则无实数根。 （3） 拓展用途 ： 除解方程外，配方法可用于求二次多项式的最大/最小值，也是推导求根公式的理论基础。 ) ( 3. 公式法（通用解法） （1） 求根公式推导来源：由配方法对一元二次方程一般式推导得出。 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来 . 用配方法解方程： （ 、 、 为常数且 ） 因为 ，方程两边同除以 ，得 移项，得 ，配方 ， 因为 ，所以 ，当 时，直接开平方得： ，又因为式子前面已有符号 “ ” ，所以无论 还是 ，最终结果总是 即 ；当 时，原方程无解． （2） 前提条件：先将方程整理为标准一般形式 ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，准确确定a、b、c（必须包含各项前面的正负符号）。 （3）当 △ ≥ 0时，将a、b、c代入公式 计算方程的根。 4. 因式分解法（考试优先选用，计算最简） （1） 原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即AB=0 \iff A=0或B=0。 （2） 解题四步 ① 移项：把所有项移到方程左边，保证方程右侧等于0； ② 分解：将左侧二次多项式因式分解为两个一次因式相乘的形式； ③ 拆分：令两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解两个一次方程，所得解即为原一元二次方程的根。 （3） 常用因式分解手段：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 （4） 易错提醒：方程两侧存在相同含未知数因式时，不能直接约去，否则会丢失其中一个根。 （三）根的判别式 1.判别式公式： △ =b 2 -4ac（仅针对一元二次方程a ≠ 0） 2.根的情况判定 ① △ >0：方程有两个不相等的实数根； ② △ =0：方程有两个相等的实数根； ③ △ <0：方程没有实数根。 3.核心应用 （1） 判断含参方程根的个数； （2） 根据根的情况求参数取值范围； （3）根与系数 解题必须先保证 △ ≥ 0。 （四） 根与系数的关系 1.适用前提：根与系数关系只对有实数根的方程成立，若判别式 △ = b 2 -4ac<0，方程无实数根，不能使用该定理，这是考试最核心易错点。 2.核心公式： 对于一元二次方程 ， 当判别式 △ = b 2 -4ac ≥ 0 ， 方程存在两个实数根x 1 、x 2 ，则根与系数满足固定关系： （1） 两根之和：x 1 +x 2 =- ， （2） 两根之积：x 1 x 2 = ) ( 3.常用恒等变形（中考必考） （1） 两根平方和： （2） 两根倒数和： （3） 两根差的平方： （4） 两根差的 绝对值 ： 4.特殊根规律 （1） 两根互为相反数：x 1 +x 2 =0 b=0； （2） 两根互为倒数：x 1 x 2 =1 a=c； （3） 有一根为0：x 1 x 2 =0 c=0。 （4） 两个正数根 （ 5 ） 两个负数根 （ 6 ） 一正一负根 x 1 x 2 <0（积为负必然两根异号，无需判别式） （ 五）一元二次方程的实际应用（五大必考模型） 通用解题六步骤：审、设、列、解、验、答 ； 双重检验： ① 检验是否为方程的根 ② 检验是否符合实际生活意义 1.平均增长率/下降率 初始量a，变化两次后量b，变化率x： （1）增长：a(1+x) 2 =b； （2）下降：a(1-x) 2 =b 注意：仅变化1次无平方；增长率x>0，下降率0<x<1，负数根直接舍去。 2.销售利润问题 （1）单件利润 = 单件售价 - 单件成本 （2）总利润 = 单件利润 × 销售总数量 （3）规律：涨价 → 销量减少；降价 → 销量增加，看清 “ 每涨/降1元，销量变化多少件 ” 。 3.几何面积问题 （1）靠墙矩形：仅三边用围栏，设垂直墙边长为x，平行墙长度=总长-2x； （2）内部甬道：平移道路，剩余种植区域合并为新矩形，长、宽同时减去道路宽度； （3）四角裁剪正方形：剩余图形长、宽各减2x。 4.传播/分支问题 一轮传染1人传染x人，两轮总感染人数：1+x+x(1+x)=(1+x) 2 ；植物分支：主干1，支干x，小分支x 2 ，总数1+x+x 2 。 5.循环计数问题 单循环（比赛、握手）：总次数 n(n-1)；双循环（互赠礼物）：n(n-1)。 （六）本章核心数学思想与重难点 1.转化思想：二次降为一次，复杂方程转化为简易方程； 2.建模思想：实际问题抽象为一元二次方程代数模型； 3.分类讨论思想：含参方程、根的情况、实际取值范围讨论； 4.必考重难点：解法择优运算、判别式与根与系数关系综合、含参问题、实际应用题验根取舍。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025贵阳市花溪区期中） 若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 【答案】：B 【解析】：满足|m|=2并且m-2≠0，解得m=-2。 2.（2024秋·贵阳市南明区九上期末） 解方程(x+4)2=16，最简便的解法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 直接开平方法 D. 公式法 【答案】：C 【解析】：方程为完全平方式等于非负数标准形式(x+m)2=n(n≥0)，直接两边开平方即可求解，是直接开平方法的典型题型，其余方法步骤繁琐。 3．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【解析】：∵Δ＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B． 4．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0， 解得c＝1；故选：A． 5．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 【答案】C 【解析】：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3， ∴+＝＝＝＝﹣．故选：C． 6．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3 【答案】D 【解析】：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D． 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】：设这种植物每个枝干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C． 8．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32 【答案】：B 【解析】：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．故选：B． 9.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 【答案】B 【解析】∵a，b是方程x2-x-2028=0的两个实数根，，∴a+b=1，ab=-2028，= Ab+a+b+1=-2028+1+1=-2026. 10、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】依题意得,,代入得,∴,∴.故选A 二．填空题（共30分） 11.（2025南明区月考） 若x=1是方程ax2+bx-2=0的根，则代数式a+b=____。 【答案】：2 【解析】：代入x=1得a+b-2=0，所以a+b=2。 12.（2025乌当区期末） 若(m-1)xm2+1-3x=0是一元二次方程，则m=____。 【答案】：-1 【解析】：m2+1=2并且m-1≠0，解得m=-1。 13.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 【答案】：x(x+3)=9（整理：x2+3x-18=0） 【解析】：长直角边x+3，利用三角形面积公式列式。 14.如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2030，则A的最小值是 　　． 【答案】2026． 【解析】P＝x2+2xy+2y2﹣4y+2030＝x2+2xy+y2+y2﹣4y+4+2026＝（x+y）2+（y﹣2）2+2026， ∵（x+y）2≥0，（y﹣2）2≥0，A的最小值是2026．故答案为：2026． 15.已知（a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，则a2+b2＝　  　． 【答案】4． 【解析】设a2+b2＝x，则原方程化为（x+3）（x﹣3）＝7，求出x＝±4，再求出答案即可． （a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，设a2+b2＝x，则原方程化为：（x+3）（x﹣3）＝7，x2﹣9＝7， x2＝16，x＝±4，∴a2+b2＝±4，∵不论a、b为何值，a2+b2≥0，∴a2+b2＝﹣4舍去，即a2+b2＝4． 16.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 【答案】x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【解析】方程整理得：x2﹣2x＝﹣2，配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1，开方得：x﹣1＝±i，解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i．故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i 17．若关于x的方程kx2－4x－＝0有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】k≥－6　 【解析】k＝0时，－4x－＝0，解得x＝－，符合题意；当k≠0时，方程kx2－4x－＝0是一元二次方程，根据题意可得Δ＝16－4k×(－)≥0，解得k≥－6，k≠0，综上k≥－6. 18.直线y=x-a不经过第二象限，且关于x的方程ax2-2x+1=0有实数解，则a的取值范围是_____________________. 【答案】0≤a≤1 【解析】∵直线y=x-a不经过第二象限，∴-a≤0，即a≥0，①当a=0时，一元一次方程-2x+1=0有实数解x=，满足情况.②当a＞0时，一元二次方程ax2-2x+1=0有实数解，Δ=4-4a≥0，解得a≤1，综上可得，0≤a≤1 19．一个容器盛满了纯药液20 L，第一次倒出若干升，用水加满，第二次倒出同样多的液体，这时容器内只剩下纯药液5 L，则每次倒出的液体是____L. 【答案】10 【解析】：设每次倒出液体x(L)，由题意，得 20－x－·x＝5，整理，得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30(不合题意，舍去)．∴每次倒出的液体是10 L. 20．如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, 【答案】：15 cm 【解析】：设横彩条的宽度为2x cm，则竖彩条的宽度为3x cm，依题意，得(180－2×2x)(120－2×3x)＝180×120×（1-），整理，得x2－65x＋300＝0，解得x1＝5，x2＝60.∵当x＝60时，3x＝180＞120，∴x＝60舍去，∴2x＝10，3x＝15. 三．解答题（共60分） 21.解方程 （1）4(2y－5)2＝9(3y－1)2. （2）(x－1)(x－3)＝8. （3）(y＋)2＝4y＋12 （4）x(x－4)＝2－8x. 解：(1)开方，得2(2y－5)＝±3(3y－1)，即2(2y－5)＝3(3y－1)或2(2y－5)＝－3(y－1) ∴y1＝－，y2＝1. （2）去括号，得x2－4x＋3＝8，移项，得x2－4x＝5，配方，得x2－4x＋4＝9，即(x－2)2＝9， 所以x－2＝±3，所以x1＝5，x2＝－1. （3）y2＋2y＋3－4y－12＝0，y2－2y－9＝0，(y＋)(y－3)＝0，∴y＋＝0或y－3＝0，∴y1＝－，y2＝3. (4)x2＋4x－2＝0，a＝1，b＝4，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24.x＝， x1＝－2＋，x2＝－2－. 22.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根，∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0，解得m≤2. (2)∵方程x2－6x＋(4m＋1)＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，即32－16m＝16，解得m＝1. 23．如图，如果菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O，且AO，BO的长分别是方程x2－(2m－1)x＋4(m－1)＝0的两个根，求m的值． 解：由题意知AO2＋BO2＝25.而AO，BO的长分别是方程x2－(2m－1)x＋4(m－1)＝0的两个根．故(2m－1)2－8(m－1)＝25，解得m＝－1或m＝4.由于AO，BO的长均大于0，则m的值为4. 24．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，则张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元？ 解：设这种箱子底部宽为x米，依题意，得x(x＋2)×1＝15.解得x1＝－5(舍去)，x2＝3，x＋2＝5.所以这种箱子底部长为5米，宽为3米，这张矩形铁皮面积为(5＋2)×(3＋2)＝35(平方米)，所以要花35×20＝700(元)． 25．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产． (1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？ (2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值． 解：(1)设该果农今年收获樱桃x千克．根据题意，得400－x≤7x，解得x≥50. 答：该果农今年收获樱桃至少50千克． (2)由题意得100(1－m%)× 30＋200× (1＋2m%)× 20(1－m%)＝100× 30＋200× 20. 令m%＝y，原方程可化为3 000(1－y)＋4 000(1＋2y)(1－y)＝7 000，整理可得8y2－y＝0，解得y1＝0，y2＝0.125.∴m1＝0(舍去)，m2＝12.5.答：m的值为12.5. 26.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门． (1)若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80平方米； (2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？ 解：(1)设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为x米，则矩形鸡舍的另一边长为(26－2x)米． 依题意，得x(26－2x)＝80，解得x1＝5，x2＝8.当x＝5时，26－2x＝16＞12(舍去)， 当x＝8时，26－2x＝10＜12.答：矩形鸡舍的长为10米，宽为8米时，鸡舍面积为80平方米． (2)由(1)知，靠墙的边长为10或16米，∴当a≥16时，(1)中的解有两个，当10≤a＜16时，(1)中的解有一个，当a＜10时，无解． (3)当S＝90平方米时，则x(26－2x)＝90，整理得x2－13x＋45＝0，则Δ＝b2－4ac＝169－180＝－11＜0，∴所围成鸡舍面积不能为90平方米． 27．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm． （1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，解得：t＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm， ∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·江苏启东一模）下列关于x方程，一定属于一元二次方程的是（ ） A.k2x2-4x+1=0 B.(k2+1)x2-2x=0 C.(x-1)2=x2 D.=2x2-1 【答案】：B 【解析】：k2+1≥1，二次项系数永远不为0；A当k=0二次项消失；C化简无二次项；D无理方程。 2．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3m+1＝0的一个解是x＝1，则实数m的值是（　　） A．1 B． C． D．﹣1 【答案】：A 【解析】：把x＝1代入x2+mx﹣3m+1＝0，可得1+m﹣3m+1＝0，解得m＝1．故选：A． 3．用配方法解方程2x2﹣8x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝﹣ B．（x﹣2）2＝ C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7 【答案】：B 【解析】：∵2x2﹣8x﹣3＝0，∴2x2﹣8x＝3，则x2﹣4x＝，∴x2﹣4x+4＝+4，即（x﹣2）2＝，故选：B． 4．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【答案】：A 【解析】：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴2m2+4m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1+1＝3，故选：A． 5．关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】：B 【解析】：∵关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0根的判别式Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×（﹣2）＝9k2+8＞0，∴x2﹣3kx﹣2＝0有两个不相等实数根，故选：B． 6．如图一块矩形铁片的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是240cm3，若设原铁皮的宽为x，则可列方程（　　） A．（x﹣6）（2x﹣6）＝240 B．3（x﹣6）（2x﹣6）＝240 C．2（x﹣3）（x﹣6）＝240 D．3（x﹣3）（2x﹣3）＝240 【答案】：B 【解析】：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，（x﹣3×2）（2x﹣3×2）×3＝240，故选：B． 7．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3 【答案】：C 【解析】：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x4﹣2x3+x＝（x2）2﹣2x2•x+x＝（x+1）2﹣2（x+1）•x+x＝x2+2x+1﹣2x2﹣2x+x＝﹣x2+x+1＝﹣（x2﹣x﹣1）＝0．故选：C． 8．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 【答案】：B 【解析】：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±， ∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，∴﹣h﹣＝﹣3，﹣h+＝2，∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±，∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，故选：B． 9．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或3 C．0或﹣ D．或﹣ 【答案】：A 【解析】：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；所以方程[x]＝x2的解为0或．故选：A． 10．如果数m使关于x的方程（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有实数根，且使关于x的分式方程有正分数解，那么所有满足条件的整数m的值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 【答案】：C 【解析】：当m+1＝0时，∴m＝﹣1，∴3x﹣1＝0，∴x＝，符合题意，当m+1≠0时， 此时△≥0，∴﹣8m+1≥0，∴m≤，∵使关于x的分式方程有正分数解， ∴＝﹣1，∴x＝＞0，∴m＞﹣4，∴﹣4＜m≤，∴m＝﹣3或﹣2或﹣1或0， ∵是正分数，∴m＝﹣3或﹣1，∴﹣3+（﹣1）＝﹣4，故选：C． 二．填空题（共30分） 11．若关于x的方程（a﹣4）x|a|﹣2+3x﹣2＝0是一元二次方程，则a的值为 　　． 【答案】：﹣4 【解析】：∵关于x的方程（a﹣4）x|a|﹣2﹣5x+2＝0是一元二次方程，∴a﹣4≠0且|a|﹣2＝2，解得：a＝﹣4．故答案为：﹣4． 12．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 【答案】：2026 【解析】：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2030﹣2（a﹣b）＝2030﹣2×2＝2030﹣4＝2026， 13. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 【答案】a＋b＝－1　 【解析】设两个方程相同的根为x＝m.根据题意，得m2＋am＋b＝0①，m2＋bm＋a＝0②.①－②，得m(a－b)＋(b－a)＝0.∵a≠b，∴a－b≠0，∴两边同除以(a－b)，得m＝1，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1. 14．关于x的一元二次方程x2+5x+4﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　　． 【答案】：﹣2 【解析】：根据题意得Δ＝52﹣4（4﹣m）＞0，解得m＞﹣，所以m的最小整数值是﹣2．故答案为﹣2． 15．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣2k+3＝0没有实数根，则k的取值范围是 　　． 【答案】：k＜1 【解析】：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣2k+3＝0没有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣2k+3）＜0，解得：k＜1，故答案为：k＜1． 16．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0），则关于a（x+m+2）2+b＝0的解是　 　． 【答案】：x1＝1，x2＝4 【解析】：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝3或x+2＝6， 解得x＝1或x＝4．故方程a（x+m+2）2+b＝0的解为x1＝1，x2＝4．故答案为：x1＝1，x2＝4． 17．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【解析】：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，∵，∴， ∴，解得或，，∴， ∴，故答案为：1． 18．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【解析】：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，，∴， ∴ ，故答案为：． 19．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣1）＝5，则实数x的值为 　　． 【答案】：2 【解析】：当x＞﹣1时，x2+x﹣1＝5，即x2+x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣3（舍去），当x≤﹣1时，（﹣1）2+x﹣1＝5，解x＝5（舍去），所以x的值为2．故答案为：2． 20．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120 cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等(AE＝BF)，另外一边是AE的倍(即CD与MN之间的距离)．求这块台布的长为______． 【答案】：160 cm 【解析】：设下垂长度BF为x cm，则AE＝BF＝x cm，根据题意，得(120＋2x)·(60＋x)＝2×120×60，∴x2＋100x－2 400＝0.解得x1＝20，x2＝－120(不符合题意，舍去)．∴120＋2x＝120＋2×20＝160，60＋x＝60＋×20＝90. 答：这块台布的长为160 cm，宽为90 cm. 三．解答题（共60分） 21．解下列方程： （1）x2+3x﹣1＝0； （2）3x2﹣6x+1＝0（用配方法解） （3）（x+3）2＝5（x+3） （4）x2﹣2x+3＝0． 解：（1）∵x2+3x﹣1＝0，∴x2+3x＝1，∴x2+3x+＝1+，∴（x+）2＝， ∴x+＝±，解得x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．（方法不唯一） （2）∵3x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣2x+＝0，∴x2﹣2x＝﹣，∴x2﹣2x+1＝﹣+1， ∴（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±解得x1＝1﹣，x2＝1+． （3）∵（x+3）2＝5（x+3），∴（x+3）2﹣5（x+3）＝0，∴（x+3）（x+3﹣5）＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2． （4）△=（-2）2-4×1×3=-8<0，无解。 22.阅读下面的例题： 范例：解方程x2－|x|－2＝0， 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)． (2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得 x1＝－2，x2＝1(不合题意，舍去)． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2. 请参照例题解方程x2－|x－1|－1＝0. 解：x2－|x－1|－1＝0， (1)当x≥1时，原方程化为x2－x＝0，解得x1＝1，x2＝0(不合题意，舍去)． (2)当x＜1时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1(不合题意，舍去)．故原方程的根是x1＝1，x2＝－2. 23.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．（x+5）2﹣32＝40， （x+5）2＝40+32．直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，故答案为：5、3、2、﹣12； （2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4． （x+2）2﹣42＝4， （x+2）2＝4+42． ∴x＝﹣2±2， ∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴Δ≥0，即（﹣6）2﹣4（4m+1）≥0，解得m≤2，∴m的取值范围是m≤2； （2）∵该方程的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝6，x1•x2＝4m+1，∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝26，∴62﹣2（4m+1）＝26，解得m＝1． 25．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折销售？ （3）若该专卖店想获得最大利润W，核桃的单价应定为多少元？最大利润是多少？ 解：（1）设每千克核桃应降价x元，（60﹣x﹣40）（100+）＝2240， 解得，x1＝4，x2＝6，即每千克核桃应降价4元或6元； （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元，此时售价为：60﹣6＝54（元），∴＝9，即该店应按原价的九折出售； （3）设每千克应降价y元，W＝（60﹣y﹣40）（100+）＝﹣10（y﹣5）2+2250， ∴当y＝5时，W取得最大值，此时W＝2250，∴60﹣y＝60﹣5＝55，即该专卖店想获得最大利润W，核桃的单价应定为55元，最大利润是2250元． （2）设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进akg奉节脐橙，则购进了akg赣南脐橙， 根据题意得：10a﹣8a+ay﹣12a≥（8a+12a）×20%，解得：y≥14，∴y的最小值为14． 答：赣南脐橙售价至少为14元． 26．△ABC中，∠B＝90°，AB＝9cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示） （2）经过几秒，PQ的长为6cm？ （3）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ 解：（1）根据题意得：BQ＝2t，PB＝9﹣t．故答案为：2t；9﹣t． （2）根据题意得：（9﹣t）2+（2t）2＝72，解得：t1＝，t2＝3，∴经过秒或3秒，PQ的长为6cm． （3）根据题意得：×（9﹣t）×2t＝8，解得：t1＝8，t2＝1．∵0≤t≤6，∴t＝1． 答：经过1秒，△PBQ的面积等于8cm2． 27．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△OPQ的面积是9； （3）当t为何值时，△PQB为直角三角形． 解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOQ＝45°，在Rt△AOD中，∠ADO＝45°，∴AO＝AD＝2，OD＝2，∴t＝＝2； （2）过点P作PE⊥x轴于点E，如图： ∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，∵AD平分∠AOC，∴∠DOQ＝∠AOD＝45°， ∴△OPE是等腰直角三角形，∴当运动时间为t秒时，OP＝t，OE＝PE＝OP＝t，OQ＝2t，∵△OPQ的面积是9，∴OQ•PE＝9，即×2t•t＝9，解得：t1＝3，t2＝﹣3（不合题意，舍去），答：当t为3时，△OPQ的面积是9； （3）由（2）知：OE＝PE＝t，OQ＝2t，∴P（t，t），Q（2t，0），∵四边形OABC是矩形，A（0，2）、C（6，0），∴B（6，2），∴PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2， ①若∠PQB＝90°，如图： ∴PQ2+BQ2＝PB2，即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，整理得：4t2﹣8t＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝2，∴t＝2， ②若∠PBQ＝90°，如图： ∴PB2+QB2＝PQ2，即[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，整理得：t2﹣10t+20＝0， 解得：t＝5±． ③若∠BPQ＝90°，∴PB2+PQ2＝QB2，即[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+2t2＝（6﹣2t）2+22，整理得：8t＝0，解得：t＝0（舍去）．∴当t＝2或t＝5+或t＝5﹣时，△PQB为直角三角形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上 《第二章一元二次方程回顾与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.系统梳理一元二次方程完整知识体系，精准辨析一元二次方程的定义、一般形式、成立条件，区分一元一次、分式方程、高次方程的本质差异，抽象出降次求解、建模应用两大核心数学思想。 2. 熟练辨析四种解法的适用场景，能根据方程结构推理最优解法；结合根的判别式判断实数根的情况，利用韦达定理推理两根关系、参数取值范围，养成先判根、后求值、必验根的严谨推理逻辑。 3.熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法的规范运算步骤，精准处理含参数、含分数、含小数的一元二次方程运算；熟练完成两根代数式变形运算，规避符号、配方、化简类计算错误。 4.熟练掌握增长率、销售利润、几何面积、传播分叉、循环计数五大经典实际模型，能从真实情境中提取等量关系建立一元二次方程模型，结合实际场景取舍方程的解，解决中考综合应用题。 ) 二．知识梳理 ( （一）一元二次方程核心概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.一般形式：ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数 ， a ≠ 0） ， （1） ax 2 ：二次项，a为二次项系数； （2） bx：一次项，b为一次项系数； （3） c：常数项。 3.关键注意点 （1） a ≠ 0是方程为一元二次方程的必要条件，若a=0，方程退化为一元一次方程； （2） 一般形式必须整理为右边为0，左边按降幂排列的标准形式； （3） 未知数最高次数必须为2，且不能含未知数在分母、根号内，必须是整式方程。 4.方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。 （二）一元二次方程四种解法（降次思想） 本章所有解法的核心思想：将二次方程降次，转化为一元一次方程求解。 1 . 直接开平方法 （1） 适用方程结构 方程可整理成 x 2 =p 或 (mx+n) 2 =p 的形式，只有当 p ≥ 0 时才有实数解；若p<0，不存在实数平方根，方程无实数根。 （2） 求解规则 若(mx+n) 2 =p(p ≥ 0)，则 mx+n= ± ，分别解两个一元一次方程得到两根。 2. 配方法（本节课重点） （1） 定义：通过在方程两侧添加常数，将方程左侧配成完全平方式，再用直接开平方法求解。 （2） 标准解题步骤（针对ax 2 +bx+c=0,a ≠ 0） ① 移项：将常数项移至方程右侧，保留二次项、一次项在左侧； ② 化1：方程左右同时除以二次项系数a，使二次项系数变为1； ③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方(x+m)^2，右侧合并常数； ⑤ 开方：判断右侧常数正负，非负则开平方求解，负数则无实数根。 （3） 拓展用途 ： 除解方程外，配方法可用于求二次多项式的最大/最小值，也是推导求根公式的理论基础。 ) ( 3. 公式法（通用解法） （1） 求根公式推导来源：由配方法对一元二次方程一般式推导得出。 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来 . 用配方法解方程： （ 、 、 为常数且 ） 因为 ，方程两边同除以 ，得 移项，得 ，配方 ， 因为 ，所以 ，当 时，直接开平方得： ，又因为式子前面已有符号 “ ” ，所以无论 还是 ，最终结果总是 即 ；当 时，原方程无解． （2） 前提条件：先将方程整理为标准一般形式 ax 2 +bx+c=0(a ≠ 0)，准确确定a、b、c（必须包含各项前面的正负符号）。 （3）当 △ ≥ 0时，将a、b、c代入公式 计算方程的根。 4. 因式分解法（考试优先选用，计算最简） （1） 原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即AB=0 \iff A=0或B=0。 （2） 解题四步 ① 移项：把所有项移到方程左边，保证方程右侧等于0； ② 分解：将左侧二次多项式因式分解为两个一次因式相乘的形式； ③ 拆分：令两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解两个一次方程，所得解即为原一元二次方程的根。 （3） 常用因式分解手段：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 （4） 易错提醒：方程两侧存在相同含未知数因式时，不能直接约去，否则会丢失其中一个根。 （三）根的判别式 1.判别式公式： △ =b 2 -4ac（仅针对一元二次方程a ≠ 0） 2.根的情况判定 ① △ >0：方程有两个不相等的实数根； ② △ =0：方程有两个相等的实数根； ③ △ <0：方程没有实数根。 3.核心应用 （1） 判断含参方程根的个数； （2） 根据根的情况求参数取值范围； （3）根与系数 解题必须先保证 △ ≥ 0。 （四） 根与系数的关系 1.适用前提：根与系数关系只对有实数根的方程成立，若判别式 △ = b 2 -4ac<0，方程无实数根，不能使用该定理，这是考试最核心易错点。 2.核心公式： 对于一元二次方程 ， 当判别式 △ = b 2 -4ac ≥ 0 ， 方程存在两个实数根x 1 、x 2 ，则根与系数满足固定关系： （1） 两根之和：x 1 +x 2 =- ， （2） 两根之积：x 1 x 2 = ) ( 3.常用恒等变形（中考必考） （1） 两根平方和： （2） 两根倒数和： （3） 两根差的平方： （4） 两根差的 绝对值 ： 4.特殊根规律 （1） 两根互为相反数：x 1 +x 2 =0 b=0； （2） 两根互为倒数：x 1 x 2 =1 a=c； （3） 有一根为0：x 1 x 2 =0 c=0。 （4） 两个正数根 （ 5 ） 两个负数根 （ 6 ） 一正一负根 x 1 x 2 <0（积为负必然两根异号，无需判别式） （ 五）一元二次方程的实际应用（五大必考模型） 通用解题六步骤：审、设、列、解、验、答 ； 双重检验： ① 检验是否为方程的根 ② 检验是否符合实际生活意义 1.平均增长率/下降率 初始量a，变化两次后量b，变化率x： （1）增长：a(1+x) 2 =b； （2）下降：a(1-x) 2 =b 注意：仅变化1次无平方；增长率x>0，下降率0<x<1，负数根直接舍去。 2.销售利润问题 （1）单件利润 = 单件售价 - 单件成本 （2）总利润 = 单件利润 × 销售总数量 （3）规律：涨价 → 销量减少；降价 → 销量增加，看清 “ 每涨/降1元，销量变化多少件 ” 。 3.几何面积问题 （1）靠墙矩形：仅三边用围栏，设垂直墙边长为x，平行墙长度=总长-2x； （2）内部甬道：平移道路，剩余种植区域合并为新矩形，长、宽同时减去道路宽度； （3）四角裁剪正方形：剩余图形长、宽各减2x。 4.传播/分支问题 一轮传染1人传染x人，两轮总感染人数：1+x+x(1+x)=(1+x) 2 ；植物分支：主干1，支干x，小分支x 2 ，总数1+x+x 2 。 5.循环计数问题 单循环（比赛、握手）：总次数 n(n-1)；双循环（互赠礼物）：n(n-1)。 （六）本章核心数学思想与重难点 1.转化思想：二次降为一次，复杂方程转化为简易方程； 2.建模思想：实际问题抽象为一元二次方程代数模型； 3.分类讨论思想：含参方程、根的情况、实际取值范围讨论； 4.必考重难点：解法择优运算、判别式与根与系数关系综合、含参问题、实际应用题验根取舍。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025贵阳市花溪区期中） 若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 2.（2024秋·贵阳市南明区九上期末） 解方程(x+4)2=16，最简便的解法是（ ） A. 因式分解法 B. 配方法 C. 直接开平方法 D. 公式法 3．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（　　） A．1 B． C． D． 5．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 6．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32 9.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 10、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.（2025南明区月考） 若x=1是方程ax2+bx-2=0的根，则代数式a+b=____。 12.（2025乌当区期末） 若(m-1)xm2+1-3x=0是一元二次方程，则m=____。 13.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 14.如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2030，则A的最小值是 　　． 15.已知（a2+b2+3）•（a2+b2﹣3）＝7，则a2+b2＝　  　． 16.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 17．若关于x的方程kx2－4x－＝0有实数根，则k的取值范围是________． 18.直线y=x-a不经过第二象限，且关于x的方程ax2-2x+1=0有实数解，则a的取值范围是_____________________. 19．一个容器盛满了纯药液20 L，第一次倒出若干升，用水加满，第二次倒出同样多的液体，这时容器内只剩下纯药液5 L，则每次倒出的液体是____L. 20．如图要设计一幅宽120 cm，长180 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，每个彩条的宽度为_______, 三．解答题（共60分） 21.解方程 （1）4(2y－5)2＝9(3y－1)2. （2）(x－1)(x－3)＝8. （3）(y＋)2＝4y＋12 （4）x(x－4)＝2－8x. 22.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值． 23．如图，如果菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O，且AO，BO的长分别是方程x2－(2m－1)x＋4(m－1)＝0的两个根，求m的值． 24．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，则张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元？ 25．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产． (1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？ (2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值． 26.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门． (1)若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80平方米； (2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？ 27．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·江苏启东一模）下列关于x方程，一定属于一元二次方程的是（ ） A.k2x2-4x+1=0 B.(k2+1)x2-2x=0 C.(x-1)2=x2 D.=2x2-1 2．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3m+1＝0的一个解是x＝1，则实数m的值是（　　） A．1 B． C． D．﹣1 3．用配方法解方程2x2﹣8x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝﹣ B．（x﹣2）2＝ C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7 4．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 5．关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 6．如图一块矩形铁片的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是240cm3，若设原铁皮的宽为x，则可列方程（　　） A．（x﹣6）（2x﹣6）＝240 B．3（x﹣6）（2x﹣6）＝240 C．2（x﹣3）（x﹣6）＝240 D．3（x﹣3）（2x﹣3）＝240 7．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3 8．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 9．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或3 C．0或﹣ D．或﹣ 10．如果数m使关于x的方程（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0有实数根，且使关于x的分式方程有正分数解，那么所有满足条件的整数m的值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 二．填空题（共30分） 11．若关于x的方程（a﹣4）x|a|﹣2+3x﹣2＝0是一元二次方程，则a的值为 　　． 12．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 13. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 14．关于x的一元二次方程x2+5x+4﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　　． 15．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣2k+3＝0没有实数根，则k的取值范围是 　　． 16．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0），则关于a（x+m+2）2+b＝0的解是　 　． 17．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 18．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 19．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣1）＝5，则实数x的值为 　　． 20．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120 cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等(AE＝BF)，另外一边是AE的倍(即CD与MN之间的距离)．求这块台布的长为______． 三．解答题（共60分） 21．解下列方程： （1）x2+3x﹣1＝0； （2）3x2﹣6x+1＝0（用配方法解） （3）（x+3）2＝5（x+3） （4）x2﹣2x+3＝0． 22.阅读下面的例题： 范例：解方程x2－|x|－2＝0， 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)． (2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得 x1＝－2，x2＝1(不合题意，舍去)． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2. 请参照例题解方程x2－|x－1|－1＝0. 23.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 25．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折销售？ （3）若该专卖店想获得最大利润W，核桃的单价应定为多少元？最大利润是多少？ 26．△ABC中，∠B＝90°，AB＝9cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示） （2）经过几秒，PQ的长为6cm？ （3）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ 27．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△OPQ的面积是9； （3）当t为何值时，△PQB为直角三角形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $