3.2 探索三角形相似的条件 预习要点检测2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件 预习要点检测2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 3．要使，需要补充的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在设计人体雕像时，雕刻者总是按照一定的比例进行设计雕刻，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，恰好等于下部与全部（全身）的高度比，以增加视觉美感．若按照这样的要求，设计的这个雕像的高为，设雕像上部的高为，则下列结论不正确的是（    ） A．雕像的上部高度与下部高度的关系为 B．根据题意可以列方程 C．依题意可以列方程 D．雕像下部高度为 5．依据下列条件不能判断ABC和DEF的相似是（　　） A．∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° B．∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm C．∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm D．AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm 6．下列命题中，是假命题的是（    ）． A．两个等边三角形相似 B．有一个角为20°的两个直角三角形相似 C．两个等腰直角三角形相似 D．两个直角三角形相似 7．如图，乐器板面上的一根弦，支撑点是的一个黄金分割点，则、之间的距离是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 10．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 11．如果一个矩形的宽与长的比值为，人们就称它为“黄金矩形”．现需制作一个符合黄金矩形的相框，若相框的长为3米，则相框的宽为_________米（结果保留根号）． 12．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 13．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 三、解答题 14．如图，是的一条对角线，请你用尺规作图法在边上作一点，连接，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 15．如图，点D在等边的边上，为等边三角形，与交于点F．证明：． 16．项目式学习 项目主题 风筝的设计与制作 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． (1)步骤一：设计    如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，请你以轴为对称轴画出风筝骨架的另一半，并直接写出点的对称点的坐标为___________． (2)步骤二：制作      将设计与制作的风筝进行试飞，根据当天风速等实际状况试飞，发现当与比值为黄金分割比时，风筝飞的最稳，则的长应设置为___________． (3)步骤三：结论      在步骤二的条件下，风筝所需材料（四边形）的面积为___________． 17．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 18．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D C C D A A 1．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 3．【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．根据相似三角形的性质，因为是公共角，需要，继而选出答案． 【详解】解：要使，且， 需：，即， 故A、B、C错误，D正确． 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵设计的这个雕像的高为，雕像上部的高为， ∴雕像下部的高为， ∴雕像的上部高度与下部高度的关系为，故A选项正确，不符合题意； 依题意列方程，即，故C选项错误，符合题意； 整理得：，故B选项正确，不符合题意； 解得：（舍去）， ∴雕像下部高度为，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 5．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】A. ∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60° ， ABCDEF，不符合题意； B. ∠A＝∠E＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝20cm，EF＝16cm 又 ，不符合题意； C. ∠A＝∠D＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，ED＝16cm，EF＝20cm 但 不能判断ABC和DEF相似符合题意； D. AB＝1cm，BC＝2cm，CA＝1.5cm，DE＝6cm，EF＝4cm，FD＝8cm ，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可得． 【详解】A、两个等边三角形相似，此项是真命题，不符题意； B、有一个角为的两个直角三角形相似，此项是真命题，不符题意； C、两个等腰直角三角形相似，此项是真命题，不符题意； D、两个直角三角形只有一组角一定相等，则两个直角三角形不一定相似，此项是假命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 7．【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，掌握相关知识是解题的关键．根据黄金分割的概念和黄金比值直接求即可． 【详解】解：点是的一个黄金分割点，， ， 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 9．【答案】和 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 10．【答案】1 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 11．【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金比的定义及应用，解题的关键是掌握黄金比的计算公式．先根据黄金比的定义求出相框的宽，再代入数据计算即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长的比值为，相框的长为米， 相框的宽为（米）． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 13．【答案】3 【知识点】公式法解一元二次方程、两直线平行同旁内角互补、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 14．【答案】 如图，点E即为所求作的点． 【知识点】尺规作一个角等于已知角、利用平行四边形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，三角形相似的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定．以点A为角的顶点，为角的一边，在左侧作即可． 【详解】根据作图可知：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】 证明：如图： 为等边三角形， ， 又， ， ． 【知识点】等边三角形的性质、利用两角对应相等判定相似 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可． 【详解】略 16．【答案】(1) 解：下图即为所求： ∵与点关于轴对称， ∴坐标为； (2) (3) 【知识点】分母有理化、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、黄金分割 【分析】（1）找出点关于轴对称的点，然后连接，再写出坐标即可； （2）根据题意，可知，求解即可； （3）根据三角形面积公式求得，再根据，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵当与比值为黄金分割比， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵与关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴风筝所需材料（四边形）的面积为． 17．【答案】(1)； (2)解：，证明如下： ∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，求出，进而求出，根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，D，F三点共线，且， 为等腰直角三角形 由勾股定理得： （2）略 18．【答案】(1)； (2)证明：由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 【知识点】求一次函数解析式、相似三角形的判定综合 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $