精品解析：江苏南京市科利华中学2026-2027学年八年级上学期学情自测数学试卷（9月份）

2026-2027学年江苏省南京市科利华中学八年级（上）月考 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 13，11，20 B. 3，7，10 C. 6，8，16 D. 3，3，7 2. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ） A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上 C. 的中点 D. 的垂直平分线上 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形是一个筝形，其中，，则下列结论不正确的是（ ） A. 垂直平分 B. C. D. 筝形的面积 9. 如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（ ） A. AD=AE B. AD＜AE C. BE=CD D. BE＜CD 10. 如图，中，，，D是斜边的中点，E是直角边上一动点，连接交于F，过F作交的延长线于点G，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 11. 如图，，，，那么_____°． 12. 如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______． 13. 如图，，要利用“SSS”得到，需要增加的一个条件是________． 14. 如图，六根木条钉成一个六边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加___________根木条． 15. 如图，在中，，，，若，则_____ 度． 16. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为___． 17. 如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则___． 18. 如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当______时，才能使与全等． 19. 如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为_____． 20. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 三、解答题（本题共7小题，共60分） 21. 如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出中边上的高； （2）画出中边上的中线； （3）直接写出的面积为______． （4），直接写出______． 22. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF． 23. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若，． （1）求证：； （2）若，，求∠E的度数． 24. 如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边的垂直平分线，交边于点E，交边于点M； ②作的平分线，交边于点F； （2）连接，若，则_____ （用含x的代数式表示）． 25. 如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使得点B，C，D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶端E的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度． 26. 如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 27. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 2026-2027学年江苏省南京市科利华中学八年级（上）月考 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是() A.13,11,20 B.3,7,10 C.6,8,16 D.3,3,7 【答案】A 【解析】 【分析】看较小的两数之和与第三个数的大小关系，逐一判断，即可解答. 【详解】解：A:13+11>20,符合题意： B:3+7=10,不符合题意； C:6+8<16,不符合题意； D:3+3<7,不符合题意： 故选：A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用判断能否组成三角形的方法是解题的关键. 2.小涵求△ABC的面积时，作了AB边上的高，下列作图正确的是() B. A B D 【答案】D 第1页/共33页 6学科网 命组卷网 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作AB边上的高即过点C向边AB引垂线， 垂足为D即可. 【详解】解：由题意，作图正确的是： C A 故选D 3.如图所示的两个三角形全等，则∠的度数为() 399 b a 147o a 39 A 470 C 86o D94 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，结合两个三角形全等，则∠1=39°， 所以∠a=180°-47°-39°=94°，即可作答. 【详解】解：如图： 39 a 479 ·两个三角形全等， ∠1=39°， 第2页/共33页 6学科网命组卷网 :∠a=180°-47°-39°=940 故选：D. 4.如图，在△MBC中，D、E分别足边AC、BC上的点，BD是△ABC的一条角平分线.再添加一个 条件仍不能证明△MDB≌△EDB的是() B A.∠DAB=∠DEB B.AB=EB C.∠ADB=∠EDB D.AD=ED 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可. 【详解】解：，BD是△ABC的一条角平分线， ∴∠ABD=∠EBD: A.在△ADB和△EDB中 ∠ABD=∠EBD ∠DAB=∠DEB BD=BD ,△ADB≌△EDB,故A不符合题意； B.在△ADB和△EDB中 AB=EB ∠ABD=∠EBD BD=BD ∴.△ADB≌△EDB,故不符合题意； C.在△ADB和△EDB中 I∠ABD=∠EBD BD=BD ∠ADB=∠EDB 第3页/共33页 学科网命组卷网 ,△ADB≌△EDB,故不符合题意： D.在△ADB和△EDB中，若添加AD=ED,符合“SSA”,此方法不能判断△ADB≌△EDB,故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL) 是解题的关键.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC 的长是() D A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA=4,结合图形计算，得到答案. 【详解】解：，DE是AB的垂直平分线，AE=4, ∴.EB=EA=4, ∴.BC=EB+EC=4+2=6, 故选：C 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两 个端点的距离相等 6.如图，在△ABC中，己知点D在BC上，且BD+AD=BC,则点D在() B D AC ∠BAC 的垂直平分线上 B. 的平分线上 BC C. 的中点 D.AB 的垂直平分线上 第4页/共33页 6学科网 命组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】因为BD+AD=BC,BD+DC=BC,所以AD=DC,点D在AC的垂直平分线上，据此 作答 【详解】解：：BD+AD=BC,BD+DC=BC, .AD=DC, ∴点D在AC的垂直平分线上， 故选：A. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是正确理解线段垂直平分线的判定定理， 7.下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法.上述方法通过判定△MOC≌△NOC得到 ∠AOC=∠BOC AMOC≌ANOC .其中判定 的依据是() SSS A. B.SAS C ASA D.AAS 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可得OM=ON,MC=NC,再结合OC=OC即可推出△MOC2aNOC, 【详解】解：由作图可得OM=ON,MC=NC, OC=0C. :aM0C≌aNOC(SSS) 第5页/共33页 命学科网命组卷网 “判定△MOC≌aNOC的依据是SSS 8.我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”：如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=DC, AB=BC ,则下列结论不正确的是() D B A. BD垂直平分AC B.OD=OB 2 1 =三AC·BD C.∠ADB=∠CDB D.筝形ABCD的面积2 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和分割法求面积，逐项判断即可. 【详解】解：A、AD=DC,AB=BC, ∴.BDAC BD AC 是的垂直平分线，即b垂直平分心： OD=1OB B、根据题中的条件，无法证明 2 C、AD=DC,BD垂直AC, ∴.∠ADB=∠CDB: D、.BD垂直AC, 第6页/共33页 可学科网命组卷网 .筝形ABCD的面积 =S4DC+S4BC= 4AC.0D+)4C-0B=)AC-(OD+0B)=24C-BD 2 综上：选项B符合题意， 9.如图，有一△ABC,今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画 弧，交BC于E点.若∠B=40°，∠C-36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？() D A.AD=AE B.AD<AE C.BE-CD D.BE<CD 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由∠C<∠B利用大角对大边得到AB<AC,进一步得到BE+ED<ED+CD,从而得到 BE<CD 解：，∠C<∠B, ..AB<AC, ..AB-BD,AC-EC, .BE+ED<ED+CD, .'.BE<CD. 故选D 点评：考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角 I0.如图，Rt△ACB中，∠CAB=90°，AB=AC,D是斜边BC的中点，E是直角边AC上一动点， 连接BE交AD于F,过F作GF⊥BE交CA的延长线于点G,交AB于点H,则下列结论：① 3 ∠ABC=45°；②∠CBF+∠FGE+∠ACB=90°；③FH=EF: S△MBB= SAG,其中正确的是《 第7页/共33页 6学科网命组卷网 B HXF G A A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，故①正确：由余角的性质可得 ∠ABE=∠FGE ∠CBF+∠FGE+∠ACB=90° ,由三角形内角和定理可得 故②正确；先证 △BFP≌AGFO(AAS),可得BF=PG,再证△BFH≌aGFE(ASA),可得EF=FH,枚O正确：当 点P与点D重合时，点8与点C重合，点G与点A重合，则S=2S,a,故O错误，即可求解， 【详解】解：：∠CAB=90°，AB=AC, :.∠ABC=∠ACB=45°，故①正确： GF⊥BE, .∠GFE=∠BAC=90°， .∠ABE+∠AEB=9O°=∠AEB+∠FGE, .∠ABE=∠FGE. .∠ABE+∠CBF+∠ACB=90°， .∠CBF+∠FGE+∠ACB=90°，故②正确： 第8页/共33页 6学科网命组卷网 FQ⊥A 如图，过点F作 C于Q,FP⊥AB于P, B D P中XF G A OE :D是BC的中点，AB=AC, .AD平分∠BAC,AD⊥BC, 又：.FOLAC,FP⊥AB FP=FO ∠FBP=∠FGQ 在 和 中， ∠FPB=∠FQG △BFP△GFQ PF=FO △BFP2AGFQ(AAS) .BF=FG, ∠FBH=∠FGE 在 和 中， ∠BF=GF △BFH△GFE ∠BFH=∠GFE=90° :△BFH≌AGFE(ASA) .EF=FH,故③正确： 当点F与点D重合时，点E与点C重合，点G与点A重合， 则5，=2S,a,故④错误， 故选：B, 第9页/共33页 命学科网 组卷网 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形 是解题的关键。 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 11.如图，△ABD≌aABC,∠C=100°，∠CBD=30°，那么∠DAB=。. B D 【答案】65 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出∠D=∠C和∠ABD=∠ABC,结合∠CBD的度数求出∠ABD,最 后利用三角形内角和定理求解∠DAB 【详解】解：△ABD≌A△ABC, ∴.∠D=∠C=1O0°∠ABD=∠ABC .∠CBD=∠ABC+∠ABD=30° :∠ABD=1∠CBD=15° 2 在△ABD中，∠DAB=180°-∠D-∠ABD=180°-100°-15°=65° 12.如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点 C,分别延长AC、BC到D、E,使CE=CB,CA=CD,连接DE,这样就可以利用三角形全等，通 过测量DE的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是 第10页/供33页 6学科网组卷网 【答案】SAS 【解析】 【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等可得两个三角形全等， 【详解】解：根据题意可得： 在△ABC和△DEC中， CA=CD ∠ACB=∠DCE CB=CE ∴.△ABC≌△DCE(SAS) .AB=DE, SAS 依据是 故答案为：SAS」 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等解决实际问题. AB=DC,BE=CF △ABE≌△DCF 13.如图， ,要利用“SSS”得到 ,需要增加的一个条件是 第11页/共33页 学科网组卷网 【答案】AE=DF(或AF=DE) 【解析】 【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等，由此即可判断. 【详解】解：AB=DC,BE=CF, 利用“SSS"得到AABE≌aDCF ，还需AE-DF :AF=DE也可以得出AE=DF, 故答案为：AE=DF(或AF=DE) 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定：SSS, 14.如图，六根木条钉成一个六边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加 根木条. 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观.根据三角形具有稳定性，钉上 木条后把六边形分成三角形即可. 【详解】解：如图，至少还要再钉上3根木条 故答案为：3. 15.如图，在△ABC中，∠B=∠C,BD=CE,CD=BF,若∠A=50°，则∠EDF= 度. 第12页/供33页 6学科网组卷网 【答案】65 【解析】 【分析】由三角形的内角和可得∠B=∠C=65°，根据SAS可得△BDF≌△CED,进而可得 ∠FDB=∠CED ∠EDF=∠C ,再根据角的等量代换即可得 【详解】解：，在△ABC中，∠B=∠C,∠A=50°， ·<B=∠c_180°二50°=659 .∠B=∠C,BD=CE,CD=BF, :△BDF≌aCED(SAS) .∠FDB=∠CED. .∠PFDB+∠EDC+∠C=∠CED+∠EDC+∠C=180°， 又.∠FDB+∠EDC+∠EDF=180°， .∠EDF=∠C=65° 16.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F,若BF=AC, CD=6,BD=8,则线段AF的长度为一· 第13页/供33页 6学科网6组卷网 B D 【答案】2 【解析】 【分析】首先证明△BDF≌△ADC,再根据全等三角形的性质可得FD-CD,AD=BD,根据AD-8, DF-6,即可算出AF的长. 【详解】解：，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高， ∴.∠ADC-∠FDB=90°，∠AEB-90°， ∴.∠1+∠C-90°，∠1+∠2-90°， ∴.∠2=∠C, ∠2=∠3， ∴.∠3=∠C, 在△ADC和△BDF中， ∠3=∠C ∠FDB=∠CDA BF=AC ∴.△BDF≌△ADC(AAS), ∴FD=CD,AD=BD, .CD=6,BD=8, AD=8,DF=6, .AF=8-6=2, 故答案为：2. A 3 δ 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键。 第14页/共33页 6学科网6组卷网 17.如图， MNPO.AB⊥P吧，点4、DB、C分别在直 线MN与PO上，点Z在4B上 AD+BC-7.AD-EB DE-EC.4B= -N P B 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得∠DAE=∠EBC=90°，再证明 Rt△DAE≌RtEBC(HL),得出AE=BC,即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关 键. 【详解I解：：MNIPO AR1PO .AB⊥MN, .∠DAE=∠EBC=90°， 在Rt△DAE和RtEBC中， AD=EB DE=EC, :RtADAES≌Rt△EBC(H) .AE=BC, AD+BC=7. .AB=AE+BE=BC+AD=7. 第15页/共33页 6学科网命组卷网 故答案为：7 1R如图，在R△4BC中，∠C=909,4C=10,BC=5.B,0两点分别在线段4C和过点A且直下 AC 的射线4X上运动，OP=1G.当4P=时，才能使AMBC与△O4全等. X B 【答案】5或10 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形全等的判定方法L,由∠P10=∠C=90° ，需再找两个边对应相等即 ①RIAABC≌Rt△QPA,②Rt△OAP≌RIABCA 可；分类讨论： ,求解两种情况下AP的长即可完成解 答 【详解】解： RIABC知RIAPQA中， 和 .∠ACB=∠PAO OP=AB 产要使△MBC与△PO 全等， 只有： RIABC≌RPA和RiAP≌R△BC 两种情况 当 tABC≌RIQPA时，PA=BC=5 当Ra0 APRIBCA时，MP=AC=I0, 故答案为：5或10 第16页/供33页 可学科网命组卷网 I9.如图，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E,延长AC、BE交于 点F,点G在BC上，连接EG.若AB=6,AC=4EG≈ CF 2 ，则EG的长为 B 【答案】1 【解析】 【分析】通过证明△ABE≌△AFE,得到AF=AB=6,求出CF的长，再代入已知关系式即可求解. 【详解】解：：AD是△ABC的角平分线， ∴.∠BAE=∠FAE, :BE⊥AD, ∴.∠AEB=∠AEF=90° 六在△MBE和△AFE。 和 I∠BAE=∠FAE AE=AE ∠AEB=∠AEF '.△ABE≌△AFE(ASA) ..AF=AB=6 ∴.CF=AF-AC=6-4=2 第17页/共33页 6学科网命组卷网 EG=1CF 2 BG=2X2=1 Rt△ABC ∠BAC=90°CD△ABC AE⊥CD 20.如图，在 °中， 是 的角平分线， 于点E,连接BE AB=6 AC=8 BC=10 0,则△MBE 的面积是 A D 12 【答案】5 【解析】 【分折过点A年A相⊥C于H:延长AE交BC于F,先求出4-头.正明 △ACE≌aFCE(ASA),得出FC=AC=8,AB=FE,再结合三角形面积公式计算即可得出结果. 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H,延长AE交BC于F, 在Rt△ABC中，∠B1C=90°，MB=64C=8,BC=10 第18页供33页 6学科网可组卷网 AH AB-AC 24 BC 5 ,CD是△ABC的角平分线， ∴.∠ACE=∠FCE, AE⊥CD, .∠AEC=∠FEC=90°， …CE=CE :.△ACE≌aFCE(ASA) ..FC=AC=8,AE=FE, ..BF =BC-FC=2, 2412 二×二×2×1 2255. 三、解答题（本题共7小题，共60分） 21.如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A,点B,点C在小正方形的顶点上. (1)画出△ABC中边AB上的高CD: (2)画出△ABC中边AC上的中线BE: (3)直接写出△ABE的面积为 (4)AB=9,直接写出CD=一 第19页/供33页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)如图所示， CD为所求： (2) 如图所示，BE为所求： (3) 16 (4)9 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键. (1)利用网格特征作BH⊥AB,再利用平移的性质作CG交AB于点D,即可得到答案； (2)结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接BE即可得到答案； (3)根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案： (4)利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 1 SAB贴=2 1 解： S.ABC= -×4×4=4 4 【小问4详解】 1 ABCD=8 2 ,AB=9, 第20页/供33页 6学科网命组卷网 CD= 2×816 99 22.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB-DE,∠A=∠D,AC∥DF.求证：BE=CF 【答案】 证明：AC∥DF ∴.∠ACB=∠F, 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D ∠ACF=∠F AB=DE ∴.△ABC≌△DEF(AAS); .'.BC=EF ∴.BC-CE=EF-CE, 即BE=CF」 【解析】 【分析】欲证BE=CF,则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF 可以得出∠ACB=∠F,条件找到，全等可证.根据全等三角形对应边相等可得BC-EF,都减去一段EC即 可得证 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质. 23.如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F,若∠I=∠2=∠3，AB=AD 第21页/共33页 6学科网组卷网 A2 63 B D (1)求证：△ABC≌△ADE: (2)若∠ADB=50°，∠DAC=15°，求∠E的度数. 【答案】(1) 证明：∠1=∠2， .∠I+∠DAF=∠2+∠DAF, 即∠BAC=∠DAE. .∠ADC=∠ADE+∠3=∠B+∠1，∠1=∠3. .∠B=∠ADE, 在△ABC与△ADE中， ∠BAC=∠DAE AB=AD ∠B=∠ADE :.△ABC2aADE(ASM) (2)∠E=35° 【解析】 【分析】(1)证∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,再由ASA证明△ABC≌△ADE即可： (2)由全等三角形的性质得∠C=∠E,再由三角形的外角性质得∠C=∠ADB-∠DAC=35°，即可 得到结论， 第22页/供33页 6学科网 命组卷网 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)可知，△ABC≌△ADE, ∠C=∠E, .∠ADB=∠DAC+∠C=50°，∠DAC=15°， .∠C=∠ADB-∠DAC=50°-15°=35°， .∠E=35°」 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键 24.如图，在△ABC中，∠ACB=90° (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹并标注相应字母）： ①作边AC的垂直平分线ME,交边AB于点E,交边AC于点M ②作∠ACB的平分线，交边AB于点F: (2)连接CE,若∠B=(45°<x<90）,则∠BCF= 。(用含x的代数式表示)· 【答案】(1)如图所示，所作即所求： (2) ∠ECF=(x-45)° 第23页/共33页 6学科网丽组卷网 【解析】 【分析】(1)根据用尺规作线段的垂直平分线及角平分线的方法作图即可： (2)根据角平分线定义可得 ACF=)∠ACB=450 根据“直角三角形两锐角互余”可得 ∠A=90°-∠B=90°-x° AE=CE∠ACE=∠A=90°-x° 再由垂直平分线的性质可得 ，即 ,即可得 出∠ECF的度数. 【小问1详解】 解：①如下图， 0 分别以点A、C为圆心，大于24C为半径画弧，两弧交于点P、O,连接PQ,交边AB于点B,交边 AC ME AC 于点M,则M即为 的垂直平分线： ②如上图， 以点C为圆心，任意长为半径画弧，交边AC、BC于点G、H,分别以点G、H为圆心，大于2为 半径画弧，两弧在∠ACB内部交于点K,作射线CK交边AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线： 【小问2详解】 解：如下图， 第24页/供33页 6学科网命组卷网 0 G .∠ACB=90°∠B=x° ∴.∠A=90°-∠B=90°-x° 由作图知：ME垂直平分AC,CF平分∠ACB, ∴AE=CE, ∠ACF=1∠4CB=450 2 ∴.∠ACE=∠A=90°-x° ∴.∠ECF=∠ACF-∠ACE=45°-(90°-x)=x°-45°=（x-45)° 25.如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的 地面上选了一点C,使得点B,C,D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线AC与居民 楼顶端E的视线EC的夹角为90°（即∠ACE=90°），已知AB⊥BD,ED⊥BD.若AB=CD=7 米，BD=35米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼ED的高度. E 田 田 田 【答案】28米 第25页/供33页 6学科网列组卷网 【解析】 【分折】证明△MBC≌aCDE(MS),可得到ED=BC,根韬线段的和差关系求出BC的长即可得到答 案 【详解】解：，AB⊥BD,ED⊥BD, .∠ABC=∠CDE=90°， .∠BAC+∠BCA=90°： :∠ACE=90°. .∠BCA+∠DCE=90°. ∴.∠BAC=∠DCE, 又.AB=CD」 :△MBC≌ACDE(ASM) .ED=BC, .BD=35米，CD=7米， .BC=BD-CD=28米， .ED=28米， 答：该居民楼ED的高度为28米 26.如图，点D,E分别在AB,AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE,CD相交于点O,OB=OC. 求证：∠1=∠2 小虎同学的证明过程如下： 第26页/供33页 6学科网 命组卷网 证明：·∠ADC=∠AEB=90° :2D0B+∠B=∠E0C+∠C=90 ÷∠DOB=∠EOC :∠B=C ·第一步 又OA=OA,OB=OC. :△ABO2AACO 第二步 .1=∠2第三步 E B (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 【答案】(1)二 (2) 证明：：∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠BDC=∠CEB=90°， 在△DOB和△EOC中， ∠BDO=∠CEO ∠DOB=∠EOC OB=OC ∴.ADOB=AEOC(AAS) 第27页/供33页 6学科网 命组卷网 ..OD=OE 在Rt△ADO和Rt△AEO中， OA=0A OD=OE .Rt△ADO兰Rt△AEO(HL) .∠1=∠2. 【解析】 【分析】(1)根据证明过程即可求解. (2)利用全等三角形的判定及性质即可求证结论. 【小问1详解】 解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键 27.回答问题： G D B A A B E B 图1 图2 图3 (1)【初步探索】如图1：在四边形ABC D中，AB=AD,∠B=∠ADC=90° BC、CD E、F分别是 上的点，且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的 第28页/供33页 学科网命组卷网 方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF, 可得出结论，他的结论应是一： 2)【灵活运用1如图2，若在四边形4BCD中，1B=D,∠B+∠D=180°.五，P分别是 C、CD 中， 上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形 BCD中，∠ABC+∠ADC=l80,AB=AD 若点B在CB 的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的 数量关系，并给出证明过程， 【答案】(I)∠BAE+∠FAD=∠EAF (2) 仍成立，理由：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, B :∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=1800 ∴.∠B=∠ADG 在△MBE和△MDG 中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG :△ABE≌△ADG(SAS) 第29页/供33页 6学科网6组卷网 ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG EF BE+DF. ..EF=DF+DG=FG, 在△AEF和△AGF中， AE=AG AF=AF EF=GF :.△AEF≌aAGF(SSS) :.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (3) EAF=180°-)∠DAB ,证明如下： 在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G :∠B+∠ADC=180°，LABC+∠ABE=I800 ∴.∠ADC=∠ABE 在△MBE和△MD 中 AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG :△ABE≌aADG(SMS) 第30页/共33页 6学科网列组卷网 ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG EF BE+DF. ..EF=DF+DG=FG, 在△AEF和△AGF中 AE=AG AF=AF EF=GF :.△AEF≌△AGF(SSS) .∴.∠FAE=∠FAG .'∠FAE+∠FAG+∠GAE=360° ∴.2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° :2 LFAE+(∠GMB+∠DMAG)=360°，即2∠FAE+∠DMB=360° :∠EAF=180-∠DAB 2 【解析】 【分析】(I)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据全等三角形判定定理可得 △ABE≌AADG,∠BAE=∠DAG,AE=AG EF=FG ,则 根据边之间的关系可得 再根据全等三角 形判定定理及性质即可求出答案. (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据角之间的关系可得∠B=∠ADG,根据全等三角 形判定定理可得△M1BB2AADG,则∠BME=∠DAG,ML=4G EF=FG 根据边之间的关系可得 再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案 (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,根据角之间的关系可得∠ADC=∠ABE, 第31页/供33页 学科网 组卷网 根据全等三角形判定定理可符△MBB2a4DG,则∠B1B=∠D4G,AE=AG 根据边之间的关系可得 EF=FG △AEF≌△AGF∠FAE=∠FAG 再根据全等三角形判定定理可 ,则 ，再根据角之间的关 系即可求出答案。 【小问1详解】 解：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G E 在△MBE和△MD 中， AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG :△ABE≌△ADG(SAS) ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG EF BE+DF. .:EF=DF+DG=FG, 在△AEF和△AGF中， AE=AG AF=AF EF=GF :.△AEF≌aAGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: 第32页/共33页 6学科网命组卷网 故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF, 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决 问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形 第33页/共33页