精品解析：江苏南京市玄武区科利华中学2025-2026学年上学期八年级第四次学情自测数学试卷

2025-2026学年上学期八年级第四次学情自测数学试卷 一．选择题（每小题2分，满分16分，） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，进行判断即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 3. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 4. 已知，则实数m的范围是（） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 通过估算的值，得到，进而确定m的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴m在3和4之间． 故选：C． 5. 点是一次函数图象上的两点，，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘积小于0的条件，判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质求解． 【详解】解： 与异号 根据一次函数性质，y随x增大而减小，一次项系数小于0， ． 6. 如图，在中，于，于为的中点，若，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由直角三角形的性质可得，从而得到，由三角形内角和定理求出，同理可得：，，求出，得出，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：，为的中点， ， ， ， ， 同理可得：，， ， ，， ， ， 故选：C． 7. 某校组织少先队员进行登山活动，他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，，直达山顶．下面给出的四幅图中，可以近似地刻画登山路程s（千米）与时间t（小时）之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】登山路程随着时间的增多是在不断增多，由于速度的变化形式为大，0，小，所以随着时间的变化，路程的函数图象也将表现为：陡，平，缓．根据题意逐一判断即可． 【详解】解：∵他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进， ∴在函数图象中有一段是路程不变的，而时间在增加， 又∵， ∴在函数图象中，休息前的一段比休息后的要更陡一些， 故选A． 【点睛】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂题意． 8. 如图，，平分，平分，则线段与一定满足的关系为（ ）． A. 只有垂直且平分BD B. 只有垂直且平分 C. 与互相垂直且平分 D. 与只垂直但不平分 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，再证明、，再根据等腰三角形三线合一的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， 又∵， ∴与互相垂直且平分，即选项C符合题意． 二．填空题（每小题2分，满分20分） 9. 49的算术平方根是_____ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的概念是解决本题的关键． 根据算术平方根的概念，即若一个非负数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的算术平方根，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴49的算术平方根是7． 故答案为：7 ． 10. 今年2月 19日，虹口区“开学第一课”在上海图书馆东馆举行，上海图书馆东馆的建筑面积约为 平方米，其中有_____个有效数字． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了有效数字的知识，熟练掌握是解题的关键．根据有效数字的定义即可解答． 【详解】的有效数字有1，1，5，0，共4个． 故答案为：4． 11. 若点，在一次函数（是常数）的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，在一次函数（m是常数）的图象上，且， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 12. 已知，，则_________． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为___cm． 【答案】或 【解析】 【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为的边为斜边；（2）边长为的边为直角边． 【详解】解：（1）当边长为的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为； （2）当边长为的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为， 故该直角三角形斜边长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，解题的关键是利用分类讨论思想进行解答． 14. 在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标符号改变可得答案． 【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度得到点， ∴点， ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化——平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律． 15. 如图，在中，，，且两锐角之差是，取中点D，连结，则________ ． 【答案】##78度 【解析】 【分析】利用“两锐角互余”及直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解． 【详解】解：， ， ，且两锐角之差是， ， ， ，D为的中点， ， ， ． 16. 如图，已知函数和的图象交于点A，点A的坐标为，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，数形结合的思想是解题的关键，由点的坐标可确定方程组的解． 【详解】解：函数可通过移项得到： 函数可通过移项得到： 关于的方程组的解即为两函数的交点 点是函数与函数的交点，且点的坐标为 方程组的解为： 故答案为： 17. 如图，已知等边的边长为a，中线，点E在上运动，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质得到、；作点A关于直线的对称点M，连接交于N，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 中线， ，， ，， 如图：作点A关于直线的对称点M，连接交于N，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ∵， ， ∴周长的最小值． 【点睛】正确作出辅助线，确定最值出现的条件是解题的关键． 18. 如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．由矩形对角线互相平分的性质，得到是等腰三角形，根据等边对等角求出的度数，最后根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 在中， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分64分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方，绝对值和开立方，再计算加减即可； （2）将系数化为1，然后利用平方根的性质求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值，开立方，平方根的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 因式分解：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由平方差公式法因式分解计算即可求得．（2）先提公因式，然后根据完全平方公式法因式分解计算即可求得． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 21. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证，推出．再由推出，即可证明，可得． 【详解】证明：在和中， ， ， ． ， ，即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均在网格线的交点上．以点为旋转中心．将按顺时针方向旋转，得到，请画出并求旋转过程中的长度． 【答案】，图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图和弧长的计算，根据旋转的性质，画出图形即可，再根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：即为所求： 的半径， 的弧长 23. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：： （2）如果平分，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为E，， ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 24. 如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，直角坐标系下三角形面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． （1）根据可得点A和点B的坐标，将点代入求解即可； （2）先求解点C的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （3）先由面积求解出的长度，由此可得点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵，即，， ∴，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由题意，联立，解得， ∴点C的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：∵，解得， 设点P的坐标为， ∵点，即， ∴，， 解得，， ∴或． 25. 按要求画图，并解答问题： 已知：如图，OC平分． （1）在射线OA上取一点D，过点D作直线，交OC于点E； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，直线DE即为所求作的直线， （2） 【解析】 【分析】（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，与OA，OB交于点Q，T，再以D为圆心，OQ为半径画弧，与OA交于点N，再以N为圆心，QT为半径画弧，与前弧交于点M，再作直线DM即可； （2）利用角平分线的含义先求解 再证明 再利用邻补角的含义可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵OC平分，， ∴ ∵ 【点睛】本题考查的是作已知直线的平行线，角平分线的定义，平行线的性质，掌握“作一个角等于已知角”是解本题的关键． 26. 如图1，四边形中，为中点，，． （1）求证：； （2）如图2，若过点作于，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵为中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点的定义及已知得，推出，再根据三角形外角的性质得，继而得到，即可得证； （2）如图，连接，过点作交的延长线于点，设，推出平分，求出，证明得，证明得，然后结合图形得，通过代换可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴平分， ∵，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即四边形的面积为． 【点睛】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等积变换等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. 杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） （1）随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． （2）在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． （3）在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移 B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小 D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 【答案】（1） （2）零刻度所对应的点与点之间的距离为. （3）①AD；②，③ 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，方程的应用，理解难度大. （1）根据公式代入已知数量可得答案. （2）由零刻度时，，可得. （3）①结合与逐一分析即可；②由，，，，，可得，再进一步解方程即可；③求解当一个物体的质量为，可得，设生锈的秤砣的质量为，结合，进一步建立方程可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：∵零刻度时，， ∴， ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为. 【小问3详解】 解：①∵，提纽的位置向左移， ∴变小，则最大， ∵， ∴最大，故A符合题意， 同理可得：提纽的位置向右移，减小，故B不符合题意， ∵，秤砣的质量变小， ∴变小，故C不符合题意； ∵，秤砣的质量变大， ∴变大，故D符合题意. 故答案为：AD ②∵，，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为. ③∵当一个物体的质量为， ∴， ∵，设生锈的秤砣的质量为， ∴， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级第四次学情自测数学试卷 一．选择题（每小题2分，满分16分，） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则实数m的范围是（） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 点是一次函数图象上的两点，，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 如图，在中，于，于为的中点，若，，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某校组织少先队员进行登山活动，他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，，直达山顶．下面给出的四幅图中，可以近似地刻画登山路程s（千米）与时间t（小时）之间关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，平分，平分，则线段与一定满足的关系为（ ）． A. 只有垂直且平分BD B. 只有垂直且平分 C. 与互相垂直且平分 D. 与只垂直但不平分 二．填空题（每小题2分，满分20分） 9. 49的算术平方根是_____ 10. 今年2月 19日，虹口区“开学第一课”在上海图书馆东馆举行，上海图书馆东馆的建筑面积约为 平方米，其中有_____个有效数字． 11. 若点，在一次函数（是常数）的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 12. 已知，，则_________． 13. 已知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为___cm． 14. 在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴对称的点的坐标是___________． 15. 如图，在中，，，且两锐角之差是，取中点D，连结，则________ ． 16. 如图，已知函数和的图象交于点A，点A的坐标为，则关于x，y的方程组的解是______． 17. 如图，已知等边的边长为a，中线，点E在上运动，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ____________________ ． 18. 如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为______． 三．解答题（共9小题，满分64分） 19. 计算： （1） （2） 20. 因式分解：（1） （2） 21. 如图，，，．求证：． 22. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点均在网格线的交点上．以点为旋转中心．将按顺时针方向旋转，得到，请画出并求旋转过程中的长度． 23. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：： （2）如果平分，且，求的面积． 24. 如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 25. 按要求画图，并解答问题： 已知：如图，OC平分． （1）在射线OA上取一点D，过点D作直线，交OC于点E； （2）若，求的度数． 26. 如图1，四边形中，为中点，，． （1）求证：； （2）如图2，若过点作于，，，求四边形的面积． 27. 杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） （1）随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． （2）在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． （3）在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移 B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小 D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $