3.1.2函数的表示方法 (第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示方法（第1课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 函数的基本性质 函数的单调性与最大值 奇偶性 幂函数 幂函数 函数的应用（一） 函数的应用 本章知识框图 函数的概念 函数的表示法 对勾函数与飘带函数 课标要求 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和 对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 （参见案例２），体会集合语 言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简 单函数的定义域。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 （如图象法、 列表法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用。 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 03 01 02 感受不同表达形式对刻画函数关系的作用，体会数学与现实生活的联系，培养严谨细致的审题习惯. 掌握函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法，会求简单分段函数的解析式与函数值，能绘制分段函数的简图. 课时教学目标 结合实际问题对比三种函数表示法的优缺点，经历分段函数分析过程，学会根据情境选择恰当的表示方式，提高分析解决问题的能力. 环节一 新课导入 问题1：前面我们学习了函数的概念，知道了函数的三要素，并学会了函数定义域，值域的简单求解方法，你能具体说说吗？ 设，是非空的实数集，如果对于集合内的任意一个数，按照某种确定的关系，在集合中有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合上的一个函数，记作： 定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. 已知函数解析式求定义域 复合函数求定义域 观察法、配方法、换元法判别式法、基本不等式法 函数相等的判断：定义域相同、对应关系一致 问题2：回顾初中函数的表示方法，结合上节课函数概念的探究历程，你能说说函数都有哪些表示方法吗？ 环节一 新课导入 问题1：， 问题2：， 问题3：空气质量指数()变化图中 是的对应关系 问题4：恩格尔系数是年份的变化情 况表 解析法 图象法 列表法 函数表示方法 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系 列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系 问题3：结合函数概念的引例中的四个例子，你能说说三种表示方法的优缺点吗？ 环节二 新课探究 环节二 新课探究 表示方法 优点 缺点 备注 解析法 图象法 列表法 ①两个变量间的关系简明、全面、精确 ； ②能比较方便地通过自变量的任意一个值求出其对应的函数值 不够形象直观 研究函数的主要表达方法 ①能直观形象地表示出函数的变化趋势；②有利于研究函数的某些性质. 只能近似的求出函数值 数形结合思想方法的基础 ①不通过运算就能得到与自变量值对应的函数值；②当自变量的取值较多时不便于操作 实际生产和生活中有广泛的应用 只能表示有限个数 环节二 新课探究 例1：某种笔记本的单价是5元，个笔记本需要元. 试用函数的三种表示法表示函数 . 函数的定义域是数集 解析法： ， 列表法： 笔记本数 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 图象法： 写解析法时，一定要将函数定义域写在后面 环节二 新课探究 问题4：请你思考的图象是怎样的？与 有什么区别？ 连续的曲线 离散的点 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等 环节二 新课探究 问题5：函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。那判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 从图象的角度来说，“每个x都有唯一的y与它对应” 也就是 “垂直于x轴的直线与图形至多只有一个交点”. 是函数的图象 不是函数的图象 环节二 新课探究 问题6：我们已经知道了函数的三种表示法各自的优缺点，那么给出函数的解析法是否都能转化为图象法？反之呢？你能举例吗？ 高中所学的函数大都以用两种以上的方式表示，表示法之间的相互转化有利于理解相应函数的对应关系，尤其是用解析法表示的函数，在研究时一般都要通过图象直观帮助理解其变化规律. 综合解析法和图象法的优点，数形结合地研究函数，是高中解答研究函数问题的基本思想方法. 狄利克雷函数 不能用解析法表示 不能用图象法表示 环节二 新课探究 函数的三种表示法的选择和应用的注意点： 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 环节二 新课探究 环节二 新课探究 对于函数，若自变量在定义域内的不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数. 分段函数 分段函数是一个函数，不是多个函数；只是在定义域不同区间，对应关系不一样 说明： 定义域为各段自变量取值范围的并集，值域为各段函数值集合的并集 分段点：定义域区间的分界点，要重点检验此处的定义与连续性 书写形式：在书写时要指明各段函数自变量的取值范围，用大括号把几段表达式写在一起. 环节二 新课探究 1 2 3 4 1 2 O y=|x-2| x y 环节二 新课探究 练习2：某市出租汽车收费标准如下：在 以内(含 ) 路程按起步价元收费，超过 的路程按 收费试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：)的函数解析式. 解：设路程为时，收费额为元，则由题意得：当时，； 当时，按元 所收费用为，那么有. 于是，收费额关于路程的函数解析式为： 环节三 应用新知 例3 解：（１）在同一直角坐标系中画出函数的图象,如右图： 环节三 应用新知 例3 环节三 应用新知 能用其他方法求出的解析式吗？ 思考 环节三 应用新知 变式训练 解：（１）在同一直角坐标系中画出函数的图象,如右图： 环节三 应用新知 变式训练 环节四 新知拓展——函数图象的画法 例4 环节四 新知拓展——函数图象的画法 说明： (1) 对含有绝对值的函数，要画出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段画出函数图象。 分段函数图象的画法： (2) 画分段函数的图象时，分别画出各段的图象，在画每一段图象时，先不管定义域的限制，画出其图象，再保留定义域内的一段图象即可。画图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏。 环节四 新知拓展——函数图象的画法 变式训练 环节四 新知拓展——函数图象的画法 变式训练 环节四 新知拓展——函数图象的画法 变式训练 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 例5 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 例5 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 例5 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 例5 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 函数解析式的常见求法 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 待定系数法：已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题 设条件求待定系数. 函数解析式的常见求法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定. 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 变式训练 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 变式训练 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 变式训练 环节四 新知拓展——函数解析式的求法 变式训练 环节五 归纳小结 1．知识清单： (1)函数的表示方法． (2)求函数解析式． (3)函数的图象． 2．函数三种表示法的优缺点？ 环节六 作业布置 巩固作业：教科书第P69页练习第1,2,3 题 教科书第72页习题3.1第7,11题 感谢聆听 给定函数，，， （1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象； （2），用表示，中的较大者，记为． 例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数． 图左中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数的图象（右图）． 由，得．解得，或． 结合图象，得出函数的解析式为 图左中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数的图象（右图）． 由，得．解得，或． 结合图象，得出函数的解析式为 【详解】（1）当 时，； 当 时， . ∴ （2）函数 的图象如图所示， 已知函数 （）. （1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象； （1）当 时，； 当 时， ； 当 时， . 故 . （2）函数 的图象如图所示， 已知函数 . (1)把函数 的解析式写成分段函数的形式. (2)在坐标系中画出 的图象. 因为 ，所以可先画出函数的大致图象（如图虚线所示）， 把所得图象向左平移1个单位长度，得到 的图象， 再把所得图象向上平移2个单位长度就得到函数 的图象，如图实线所示． 画出函数 的图象． 的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示： 作出函数 的图象 （1）已知 ，求的解析式； （2）已知 ，求函数 的解析式； （3）已知 是二次函数，且满足 ， ，求函数 的解析式； （4）已知 ，求 的解析式． （5）已知 是定义在R上的函数， ，且对任意的实数x，y都有 ，求函数 的解析式． （1）已知 ，求的解析式； （2）已知 ，求函数 的解析式； 【详解】（1）因为 ，所以． （2） 设 ，则， ，即 ， 所以 ，所以 ． （3）因为 是二次函数，所以设．由 ，得c＝1． 由 ，得 ， 整理得 ， 所以 ，所以 ，所以 ． （3）已知 是二次函数，且满足， ，求函数 的解析式； （4）用 替换中的x，得 ， 由 ，解得 ． （5）令 ，则，所以 ． （4）已知 ，求的解析式． （5）已知 是定义在R上的函数， ，且对任意的实数x，y都有 ，求函数 的解析式． 换元法与凑配法：已知 ，求 ，常用的有两种方法： (1)换元法，即令 ，解出 ，代入 中，得到一个含 的解析式，即为所求解析式. (2)配凑法，即从 的解析式中配凑出“ ”，即用 来表示 ，然后将解析式中的 用 代替即可. 利用这两种方法求解时一定要注意 的取值范围的限定. 方程组法：已知 与 满足的关系式，要求 时，可用 代替两边所有的 ，得到关 于 与 的方程组，消去 ，解出 即可.常见的有 与 ， 与 . 【详解】（1）设 ，则， ， . 所以 ， 所以 . （1）已知 ，求函数的解析式； （2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式； （3）已知 满足 ，求 的解析式. （2）因为 是一次函数，可设， 所以 ， 又 ， 即 ，所以 ，解得 。 故 的解析式是 . （1）已知 ，求函数的解析式； （2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式； （3）已知 满足 ，求 的解析式. （3）因为 ，① 把 用 替换，得 ，② 由①②解得 ， 即 的解析式是 . （1）已知 ，求函数的解析式； （2）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析式； （3）已知 满足 ，求 的解析式. 已知函数 的图象如图所示，则函数的解析式为___________. $