3.1.2　第1课时　函数的表示法 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示法，系统讲解解析法、列表法、图象法的定义、优缺点及应用，通过京沪高铁路程计算、出生人口变化曲线、氰化物浓度关系表等情境导入，引导学生关联初中知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象、数学运算核心素养，通过三种表示法对比分析、典型例题（如问答游戏得分函数、营运利润二次函数）及分层练习，帮助学生掌握表示法选择逻辑，提升问题解决能力。学生能增强用数学眼光观察现实、用数学语言表达关系的能力，教师可借助系统资源高效开展教学。

3.1.2　函数的表示法 新课程标准解读 核心素养 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用 数学抽象、 直观想象 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、 数学运算 第1课时　 函数的表示法 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380 千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶 x 小时 后，路程为 y 千米，则 y 是 x 的函数，可以用 y ＝300 x 来表示，其中 y ＝300 x 叫做该函数的解析式； （2）如图是我国近五年出生 人口变化曲线： 目录 数学·必修第一册 （3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 【问题】　根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么 方法表示函数的？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点　函数的表示法 目录 数学·必修第一册 提醒　函数三种表示法的优缺点比较 目录 数学·必修第一册 1. 已知函数 y ＝ f （ x ）的对应关系由下表给出，则 f （3）＝（　　） x 1≤ x ＜2 2 2＜ x ≤4 f （ x ） 1 2 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 不存在 解析： 　因为当2＜ x ≤4时， f （ x ）＝3，所以 f （3）＝3. 目录 数学·必修第一册 2. 购买某种饮料 x 瓶，所需钱数为 y 元.若每瓶2元，用解析法将 y 表 示成 x （ x ∈{1，2，3，4}）的函数为（　　） A. y ＝2 x B. y ＝2 x （ x ∈R） C. y ＝2 x （ x ∈{1，2，3，…}） D. y ＝2 x （ x ∈{1，2，3，4}） 解析： 　由题意得 y ＝2 x ， x ∈{1，2，3，4}. 目录 数学·必修第一册 3. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可 知，下列说法中错误的是（　　） A. 这天15时的温度最高 B. 这天3时的温度最低 C. 这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D. 这天21时的温度是30 ℃ 解析： 　这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14（℃）， 故C错误. 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 函数的表示法 【例1】　某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每 答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法 表示一个参与者的得分 y 与答错题目道数 x （ x ∈{0，1，2，3，4， 5}）之间的函数关系 y ＝ f （ x ）. 目录 数学·必修第一册 解：（1）用列表法可将函数 y ＝ f （ x ）表示为 x 0 1 2 3 4 5 y 50 40 30 20 10 0 （2）用图象法可将函数 y ＝ f （ x ）表示为 （3）用解析法可将函数 y ＝ f （ x ）表示为 y ＝50－10 x ， x ∈{0，1，2，3，4，5}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 函数的三种表示法的选择 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函 数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采 用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义 域内自变量的个数较少. 2. 用三种表示法表示函数时的注意点 （1）解析法必须注明函数的定义域； （2）列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； （3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）＝－ x －1， x ∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和 列表法表示函数 y ＝ f （ x ）. 解：用图象法表示函数 y ＝ f （ x ），如图所示. 用列表法表示函数 y ＝ f （ x ），如表所示. x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 目录 数学·必修第一册 题型二 函数的图象 【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域： （1） y ＝2 x ＋1， x ∈[0，2]； 解： 当 x ∈[0，2]时，图象是直线 y ＝2 x ＋1 的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1， 5]. 目录 数学·必修第一册 （2） y ＝ ， x ∈[2，＋∞）. 解： 当 x ∈[2，＋∞）时，图象是反 比例函数 y ＝ 的一部分，如图②，观察图 象可知其值域为（0，1]. 目录 数学·必修第一册 通性通法 描点法作函数图象的三个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个 图象； （3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点 等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. 提醒　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、 离散的点等. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）＝ x2－2 x （－1≤ x ≤2）. （1）画出 f （ x ）图象的简图； 解： f （ x ）图象的简图如图所示. （2）根据图象写出 f （ x ）的值域. 解： 观察 f （ x ）的图象可知， f （ x ）图象上所有点的纵 坐标的取值范围是[－1，3]，即 f （ x ）的值域是[－1，3]. 目录 数学·必修第一册 题型三 函数表示法的应用 【例3】　（1）已知函数 y ＝ f （ x ）的对应关系如表，函数 y ＝ g （ x ）的图象是如图的曲线 ABC ，其中 A （1，3）， B （2，1）， C （3，2），则 f （ g （2））的值为（　B　） x 1 2 3 f （ x ） 2 3 0 B A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 目录 数学·必修第一册 解析： 由函数 y ＝ g （ x ）的图象知， g （2）＝1，则 f （ g （2））＝ f （1）＝2. 目录 数学·必修第一册 （2）一辆中型客车的营运总利润 y （单位：万元）与营运年数 x （ x ∈N）的变化关系如表所示， x （年） 4 6 8 … y 是 x 的二次函数 7 11 7 … 则营运总利润 y ＝ 　） .营运10年的总利 润为 万元. ） 　 y ＝－ x2＋12 x －25　 －5　 目录 数学·必修第一册 解析：由表格数据可知，二次函数图象开口向下，且对称轴为 x ＝6，根据二次函数的性质可知，当 x ＝6时，营运总利润 y 最大 为11.设 y ＝ a （ x －6）2＋11，则 a （4－6）2＋11＝7，解得 a ＝ －1，所以 y ＝－（ x －6）2＋11＝－ x2＋12 x －25.当 x ＝10时， y ＝－5. 目录 数学·必修第一册 通性通法 函数表示法的应用的关注点 （1）列表法的应用问题的解决关键在于弄清每个表格表示的函数； （2）图象法的应用问题解决的关键是利用图象认识函数，弄清函数 的定义域及函数值随自变量的变化情况； （3）解析法的应用问题的解决关键在于求得解析式，要注意自变量 满足的实际意义. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 某市某一天内的气温 Q （ t ）（单位：℃）与时刻 t （单位：时）之间的关系如图所示，令 C （ t ） 表示时间段[0， t ]内的温差（即时间段[0， t ]内最 高温度与最低温度的差）， C （ t ）与 t 之间的函数 关系用图象表示，下列正确的是（　　） 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意， C （ t ）在 t 从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到 12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，只有B选项符合 题意. 目录 数学·必修第一册 1. 下列各式为函数解析式的是（　　） B. y2＝ x （ x ≥0） C. x2＋ y2＝1 D. ｜ y ｜＝ x2＋1 解析： 　对于A，对任意的 x ≥0，按照对应关系 y ＝ 都有唯一 确定的 y 与之对应，符合函数的定义，而B、C、D都不符合函数的 定义，故选A. 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 f （ x ）， g （ x ）分别由下表给出. x 4 5 6 f （ x ） 1 3 1 x 1 2 3 g （ x ） 4 5 4 则 g （ f （5））＝ ； f （ g （2））＝ ⁠. 解析：由题表可知 f （5）＝3， g （3）＝4，∴ g （ f （5））＝ g （3）＝4.又 g （2）＝5， f （5）＝3，∴ f （ g （2））＝ f （5）＝3. 4　 3　 目录 数学·必修第一册 3. 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数 x 与销售 额 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解：（1）列表法如表： x （台） 1 2 3 4 5 y （元） 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x （台） 6 7 8 9 10 y （元） 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 目录 数学·必修第一册 （2）图象法：如图所示. （3）解析法： y ＝3 000 x ， x ∈{1，2，3，…，10}. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下列表格中， x 与 y 能构成函数的是（　　） x 非负数 非正数 y 1 －1 x 奇数 0 偶数 y 1 0 －1 A B x 有理数 无理数 y 1 －1 x 自然数 整数 有理数 y 1 0 －1 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　A错误，当 x ＝0时， y ＝±1， y 的值不唯一；B错误，0是 偶数，当 x ＝0时， y ＝0或 y ＝－1， y 的值不唯一；C正确， x 取任意 一个有理数， y 取唯一值1， x 取任意一个无理数， y 取唯一值－1；D 错误，自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如 x ＝1时， y 的值 不唯一. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 观察表格： x －3 －2 －1 1 2 3 f （ x ） 5 1 －1 －3 3 5 g （ x ） 1 4 2 3 －2 －4 则 f （ f （－1）－ g （3））＝（　　） A. －1 B. －3 C. 3 D. 5 解析： 　由题中表格得 f （－1）＝－1， g （3）＝－4， f （ f （－1）－ g （3））＝ f （－1－（－4））＝ f （3）＝5，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较 慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到 了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小， 且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较 快，直至为0，只有D选项符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为 x cm，下底长为上底长 的3倍.设它的高为 y cm，则 y 关于 x 的函数解析式为（　　） A. y ＝50 x （ x ＞0） B. y ＝100 x （ x ＞0） 解析： 　依题意，得100＝ · y ，即 y ＝ .又 x ＞0，所以 y ＝ （ x ＞0）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. （多选）下列说法正确的是（　　） B. 函数 y ＝2 x （ x ∈N）的图象是一条直线 C. 函数是其定义域到值域的对应关系 D. 函数 y ＝ x2（ x ≥0）的图象是一条曲线 解析：CD　A选项，函数 f （ x ）的定义域需满足 x ≥2且 x ≤1，不 存在，A错；B选项，函数 y ＝2 x （ x ∈N）的图象是由离散的点组 成的，B错；C选项，函数是其定义域到值域的对应关系，C对；D 选项，函数 y ＝ x2， x ≥0的图象是抛物线的一部分，D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6.已知，且，则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 　令，解得，所以. A. 3 B.  C. 1 D.  目录 数学·必修第一册 7. （多选）如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔 中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象显示该容 器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中正确的为（　　） 解析： 　对于选项A，水面的高度 h 的增加应是均匀的，因此不正确，其余选项均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 已知陈校长某日晨练时，行走的时间 x 与离家的直线距离 y 之间的函数图象如图，若用黑点表示陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是（　　） 解析： 　由函数图象可知，在行走过程中，有一段路程离陈校 长家距离不变，除D选项外，其余都不符合.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. 已知 f （ x ）＝min{6－ x ， x }，试求 f （ x ）的值域. 解：作出函数 f （ x ）的图象如图实线部分，由6－ x ＝ x 得2 x ＝6， x ＝3，此时 y ＝3，即 f （ x ）≤3，则函数 f （ x ）的值域为 （－∞，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $