3.3 第2课时 相似三角形判定定理的证明-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

©第2课时相似目 基础在线》知识要点分类紫。 知识点相似三角形的判定定理 1.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F= 90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似 的是 () A.∠A=55°，∠D=359 B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8 C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 D.AB=10,AC=8,DE=15,EF=9 2.如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件 是 () A.∠B=∠DAC B.∠BAC=∠ADC C.AC=DC·BC D.AD=BD·BC 第2题图 第3题图 3.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的任一 点，连接BE,过点E作BE的垂线交BC的延 长线于点F,交边CD于点P,则图中共有相似 三角形 () A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 4.如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上 的一点，且AC=EC,连接AE,交CD于点F,若 AB=1,则线段DF的长是 () A C.2-√2D.2-1 第4题图 第5题图 5.划图，四边形ABCD是矩形，册-兴 0则∠MAN=度， 角形判定定理的证明 6.如图，已知∠ADE=∠ACB, BD=8,CE=4,CF=2,则 DF- B 7.如图，在△ABC中，点E,F分别在AB,AC 上，船能 (1)求证：△AEF∽△ABC; (2)若点D在BC上，AD与EF交于点G,求 证部品 G ②能力在线沙方法规律综合然 8.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中 点，F是CD上一点，且CF=二CD,下列结论 中错误的是 ) AEF-方AE B.△ABE∽△AEF C.△ABEp△ECF D.△ADF∽△ECF 第8题图 第9题图 第三章64 9.如图，点D在BC上，△ABC和△ADE均为 等边三角形，AC与DE相交于点F,则图中相 似三角形有 () A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 10.如图，已知在△ABC中，AB=14,BC=12, AC=10.D是AC上一点，过点D画一条直 线L,把△ABC分成两部分，使其中的一个三 角形与△ABC相似，这样的直线有() A.2条 B.3条 C.3条或4条 D.4条 第10题图 第11题图 11.（易错题)已知∠ACB=∠ABD=90°，AB=√6， AC=2,则AD= 时，图中两直 角三角形相似： 12.学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两 个直角三角形全等的条件所获得的经验，继 续探索两个直角三角形相似的条件. (1)“对于两个直角三角形，满足一边一锐角 (在两个三角形中，已知边都是该已知锐角的 对边或邻边)对应相等，或两直角边对应相 等，两个直角三角形全等”.类似地，你可以得 到：“若满足 或 ,则两个直角三角形相似”； (2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等”，类似地，你可以得到：“满 足 的两个 直角三角形相似”， 请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明 过程. 已知：如图， 65探究在线九年级数学（上）·BS 求证：Rt△ABCORt△A'BC'. 3 拓展在线》路优拔尖提升臻。 13.在平面直角坐标系内，已知点A(0,6),点 B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以 每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时 动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个 单位长度的速度向点A移动，设点P,Q移动 的时间为t秒 (1)当t为何值时，以点A,P,Q为顶点的三 角形与△AOB相似？ (2)当t=2时，求四边形OPQB的面积. y微专题8利用相似三角形巧证线段的 设PE=a,则DF=2a,AP=3a, 数量和位置关系 .PQ:QD=AP:DF=3:2. 1.ABBF=BCBD,0器 ∴.BP:PQ:QD=5:3:2. 2.过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G 又.'∠B=∠B,∴.△ABC∽△DBF.∴.∠A=∠D. CG∥AB,.∠DAF=∠G 又.∠AEF=∠DEC, 又：D为CF的中点， :△AERADEC.53, ∴.CD=DF ∠DAF=∠G, 即AE·EC=EF·ED. 在△ADF和△GDC中， ∠ADF=∠GDC, 2.(1)BE,CD是△ABC的高， DF=DC, ∴∠BEA=∠CDA=90°.又∠EAB=∠DAC, ∴.△ADF≌△GDC(AAS)..AF=CG △EAB△DAC铝是 .BF:AF=3:2,∴.AB:AF=5:2. AB∥CG, AE·AC=AB·AD. (2)AF=AB...AE_AD ∴△ABn△GCE,器-00-号 ADAC·ABAC, 3.过点B作BN∥CF交AD的延长线于点N. 又∠BAD-∠BAC,△EAD△BAC,-器， ÷S-、,∠PCD=∠NBD ,∠BAC=∠BEA+∠ABE=120°，∠BEA=90°， 又：∠CDE=∠BDN, ∴∠ABE=30,AE=AB, ÷△EDCn△NDB票-品 暖-铝=合即DE=合C BD-CD..ED-DN-EN. 在Rt△BDC中，点M为BC的中点， DM=合BC,DE=DM 带器 ∴AE:ED=2AF:FB. 4.过点C作CF∥AB交DP于点F, 3.AG-AB.AD ∴.△PCF∽△PBD. 又：∠A=∠A,△ACD∽△ABC. ÷鄂器：aD/cF, ∴∠ADC=∠ACB. ∴.∠ADE=∠EFC BC=AB·BD小品-C AD=AE,.∠ADE=∠AED I∠AED=∠CEP,.∠EFC=∠CEP. 又∠B=∠B, ∴.EC=CF. ∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC=∠ACB. ∴.∠ADC=∠BDC. 部認 :∠BDC+∠ADC=180°， 第4课时黄金分割 ∴.∠ADC=∠BDC=90°. 基础在线 ∴.CD LAB. 1.B2.B3.A 4.:△ACB为等腰直角三角形，DE⊥CD,DE=CD, 4.设她应穿xcm高的鞋子才最好看，依题意，得 ∴∠CAB=∠CED=45°，又∠AFC=∠EFD, △AFC△EFD,能S瓷S, 65-5-1,解得x10. 95+x 2 .她应穿10cm高的鞋子才最好看 又，∠AFE=∠DFC,.△AFEP△CFD, ∴.∠EAF=∠DCF=45°， 6.5em政25a 2 cm .∠EAF+∠CAD=90°，即∠EAC=90. 能力在线 :∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ACB=180°， 6.D7.2√5+2或4 ∴.AE∥BC. 拓展在线 微专题9巧作平行线构造相似三角形的技巧 1.连接DF 8.a)由计算，得AD=3-,5=AC.CD. 2 :E,F是边BC上的两个三等分点， (2)由(1)，得BC=AC·CD,可证△CBD∽△CAB, .∴.BE=EF=FC. .∠CBD=∠A,∠BDC=∠ABC=∠C, 点D是AC的中点，.AD=CD .BD=BC=AD,∠ABD=∠A, .DF是△ACE的中位线. 设∠ABD=a,可得∠ABC=∠C=2a, DP∥AE,且DF=AE.DF∥PE 由∠A+∠ABC+∠C=180°，得∠ABD=36°， 3相似三角形判定定理的证明 ABEP△BFD÷器-S 第1课时平行线分线段成比例 .BF=2BE,.'.BD=2BP..'BP=PD 基础在线 :DF∥AE,△APQ∽△FDQ 1.D2.A 器品 3.(1)EF=9,DF=DE+EF=6+9=15. (2)BC=24 5 一探究在线·九年 4.B5.C 6:EG/Bc8怎 综上所述，当1韶或8时，以点A,PQ为顶点的三角 形与△AOB相似. E/CD福-能铝-品 (2)当t=2时，AP=2,AQ=6,过点Q作QM⊥OA于点 ·ABAD 7.6或12 MM@/0a一铝-8器即总-，解得QM=48 能力在线 8c9.c1o.9 5aw=7APQM=号×2X4.8=4.8 11.:四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,AD∥BC. Sne=5e-Se=子X8X6-48=18.2 ..BO-AO.AO_OF 器怨把器器器 阶段测评3(3.1-3.3) 1.D2.B3.A4.C5.C6.A7.4:58.4 即BO2=OF·OE. 12.(1)过点E作EF∥AB交BC于点F,证 9.2V2cm或v反cm政号cm10.31.3-512.6 四边形BDEF是平行四边形，BF=DE, 13.:四边形ABCD为正方形， BF_AE_DE 由EF∥AB,得BC-AC=BC, ∴BF/CDAD∥BE,AD=CD,:需器 由DE∥BC,0铝怎铝怎 GF∥BE,.GF∥AD. (2)结论成立，证明略. 部部 拓展在线 又.AD=CD,.GF=BF 18号 14.(1)证明：，四边形ABCD为菱形， ∴.CD∥AB,AB=CB, 第2课时相似三角形判定定理的证明 ∴.∠ACD=∠CAB,∠CAB=∠ACB, 基础在线 .∠ACD=∠ABE, 1.C2.D3.A4.D5.906.4 ∴.∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB 7器是器品 .△ABC∽△AEB. 又：∠EAF=∠BAC,.△AEFn△ABC. (2):△ABC△AEB,A0-S, (2).△AEF∽△ABC, ∴.∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB.∴.EF∥BC 即是-合，解得AE=9, .∠AGE=∠ADB,∠AGF=∠ADC. 15.(1)证明：由∠DAC=∠CAB,AB-AC, AC AD .△AEGP△ABD,△AGF∽△ADC 品怨部怨品品 证△ADC∽△ACB, 得∠ACB=∠ADC=90°. 能力在线 (2)证CE=BE=AE, 8.D9.C10.D11.3或3√2 得∠ECA=∠CAB=∠DAC, 12.(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例 CE∥AD (2)斜边和一条直角边对应成比例 (3)由CE∥AD,得△AFD∽△CFE, 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∠c=∠c=0号=8 0-爵-空- (2)证明过程如下： 4相似三角形的性质 设常-瓷=>0，则AB=Mg,AC=AC 第1课时相似三角形中的高、中线和角平分线 基础在线 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， 9 BC=V√AB-ACEAB-ACT 1.A2.B3.64.2 BC√AB-AC 二k V√AB-ACF 5.DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC.AG⊥BC, ∴0-瓷=B器R△ACR△ABC BC .De AF BC FG+AF 拓展在线 BC=10,AF=3,FG=2,.DE=10X3+2=6. 3 13.(1)依题意，得AB=10,AP=t,AQ=10 6.D7.C -2t. ①当△AQ△A0B时，S-A8, 能力在线 =10.2解得 8.c9.B10.c1. 30 10 11 12.△ABC∽△A'B'C',BE,BE'分别是∠ABC,∠A'B'C ②当△AQP∽△AOB时，AO-AB' AQ AP 的角平分线， 10.24=0解得=碧 器-指0-瓷，∠ABD-∠ABD 6 BD=BC,BD=专BC'∴0=0。 级数学（上）·BS一 23