第三章 函数的概念与性质讲义（5大知识点+18大题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一

第三章 函数的概念与性质高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1、函数的概念 3 知识点2、分段函数的应用 3 知识点3、函数的单调性 3 知识点4、函数的最值 4 知识点5、函数的奇偶性 4 方法总结1：单调性常见方法及结论 5 方法总结2：奇偶性常用结论 6 方法总结3：中值模型 6 方法总结4、抽象函数定义域的方法 6 方法总结5、求值域、最值的方法 7 03 题型精讲 9 题型 1：函数的概念 9 题型 2：函数定义域的求解 10 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 10 题型 4：函数单调区间的求解 11 题型 5：单调性应用与不等式求解 12 题型 6：单调性约束下的参数范围求解 12 题型 7：函数奇偶性的判定 13 题型 8：奇偶性的图象分析 14 题型 9：奇偶性约束下的参数求解 15 题型 10：利用奇偶性确定函数解析式 16 题型 11：中值模型的应用 16 题型 12：求函数的值域 17 题型 13：求函数解析式 18 题型 14：分段函数的综合运用 19 题型 15：函数单调性的判定与证明 21 题型 16：幂函数图像与性质 23 题型 17：奇偶性、单调性与对称性的综合运用 24 题型 18：函数的应用 26 知识点1、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 知识点2、分段函数的应用 1、分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 2、分段函数的图像 在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像,组合在一起就是完整的分段函数图像. 知识点3、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 知识点4、函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 知识点5、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 方法总结1：单调性常见方法及结论 1、 单调性定义的变式：设，且， ①在是增函数 ②在是减函数 2、判断函数单调性 设，具有单调性，常数，常数，则 ①，与有相同的单调性 ②，与有相反的单调性 ③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ⑤增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数， 增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； 3、复合函数单调性 讨论复合函数的单调性时要注意: ①若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则为增函数; ②若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数.列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 方法总结2：奇偶性常用结论 ①奇偶函数四则运算与复合 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ②奇函数的定义域若包括0，则必有. ③为偶函数 ④若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ⑥的定义域关于原点对称，为偶函数，为奇函数，为偶函数. ⑦奇函数：；偶函数： ⑧若是偶函数，则奇次项系数为0. 若是奇函数，则偶次项系数为0. 方法总结3：中值模型 基本模型：，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 方法总结4、抽象函数定义域的方法 原则：(1)定义域一定是的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ①已知的定义域是，求的定义域 解不等式，其解集就是的定义域. ②已知的定义域是，求的定义域 利用求的值域，该值域就是的定义域. ③已知的定义域是，求的定义域 利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定义域. 方法总结5、求值域、最值的方法 1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值. 2、配方法(对称轴法)：对于形如，形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3、换元法 常见的模型 ，令，则. 4、图象法(数形结合法)： ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求或的值域 ③根据函数表达式的几何意义. 5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值. 6、基本（均值）不等式法 7、有界性法：含，，，的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域。 8、判别式法 形如中至少有一个不为零）的函数求值域. 判别式法求其值域,要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值; ②定义域是否属于； ③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在; ④分子、分母必须是既约分式（不可约分）. 题型 1：函数的概念 【典例1】（2026·高一·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【变式1-1】（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1-2】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·北京·阶段检测）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型 2：函数定义域的求解 【典例2】（2026·高一·海南·期中）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 【典例3】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（第4讲函数映射说立足三要素）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·云南·期中）若函数的定义域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（2026·高一·江西宜春·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 4：函数单调区间的求解 【典例4】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·湖南·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 题型 5：单调性应用与不等式求解 【典例5】（2026·高一·江苏·期中）已知函数 ，若 ，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高二·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型 6：单调性约束下的参数范围求解 【典例6】（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高一·江苏连云港·期中）若函数在区间上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·浙江嘉兴·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 7：函数奇偶性的判定 【典例7】（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【变式7-1】（2026·高二·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 题型 8：奇偶性的图象分析 【典例8】（2026·高三·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高三·天津蓟州·期中）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·高一·天津武清·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．下面的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 题型 9：奇偶性约束下的参数求解 【典例9】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式9-1】（2026·高二·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【变式9-2】（甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2025-2026学年高一期中考试数学试题）已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 【变式9-3】（2026·高一·北京延庆·期中）如果函数是偶函数，那么（    ） A． B． C． D． 题型 10：利用奇偶性确定函数解析式 【典例10】（2026·高一·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【变式10-2】（2026·高一·江苏扬州·期中）函数是定义在上的奇函数，且当，，则时，__________. 【变式10-3】（2026·高一·山西大同·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时，_______. 题型 11：中值模型的应用 【典例11】已知，则________. 【变式11-1】已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【变式11-2】（2026·高一·上海·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【变式11-3】（2026·高一·吉林长春·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 题型 12：求函数的值域 【典例12】求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【变式12-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【变式12-2】（2026·高一·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【变式12-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 题型 13：求函数解析式 【典例13】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【变式13-1】（2026·高一·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【变式13-2】求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【变式13-3】（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 题型 14：分段函数的综合运用 【典例14】（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 【变式14-1】（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【变式14-2】（2026·高一·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【变式14-3】（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式. 题型 15：函数单调性的判定与证明 【典例15】（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【变式15-1】已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【变式15-2】已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【变式15-3】（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 题型 16：幂函数图像与性质 【典例16】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【变式16-1】（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【变式16-2】（2026·高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【变式16-3】（2026·高一·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 题型 17：奇偶性、单调性与对称性的综合运用 【典例17】（2026·高一·安徽宿州·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【变式17-1】（2026·高一·海南·阶段检测）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以上信息解决下列问题： (1)求函数图象的对称中心； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. 【变式17-2】（2026·高一·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【变式17-3】（2026·高一·湖北十堰·期末）我们知道：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数.已知函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，. （i）求的值； （ii）若对，使得恒成立，求实数的取值范围. 题型 18：函数的应用 【典例18】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【变式18-1】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） (2)请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【变式18-2】（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）“中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． (1)求的解析式； (2)若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 【变式18-3】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1、函数的概念 3 知识点2、分段函数的应用 3 知识点3、函数的单调性 3 知识点4、函数的最值 4 知识点5、函数的奇偶性 4 方法总结1：单调性常见方法及结论 5 方法总结2：奇偶性常用结论 6 方法总结3：中值模型 6 方法总结4、抽象函数定义域的方法 6 方法总结5、求值域、最值的方法 7 03 题型精讲 9 题型 1：函数的概念 9 题型 2：函数定义域的求解 11 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 12 题型 4：函数单调区间的求解 14 题型 5：单调性应用与不等式求解 15 题型 6：单调性约束下的参数范围求解 18 题型 7：函数奇偶性的判定 20 题型 8：奇偶性的图象分析 22 题型 9：奇偶性约束下的参数求解 25 题型 10：利用奇偶性确定函数解析式 26 题型 11：中值模型的应用 28 题型 12：求函数的值域 29 题型 13：求函数解析式 34 题型 14：分段函数的综合运用 36 题型 15：函数单调性的判定与证明 39 题型 16：幂函数图像与性质 43 题型 17：奇偶性、单调性与对称性的综合运用 46 题型 18：函数的应用 51 知识点1、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. (3)函数表示法：函数书写方式为， (4)函数三要素：定义域、值域、对应法则. (5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 知识点2、分段函数的应用 1、分段函数的概念 在函数定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 2、分段函数的图像 在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像,组合在一起就是完整的分段函数图像. 知识点3、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 知识点4、函数的最值 1、最大值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最大值，记作； 2、最小值：的定义域为，如果满足：（1）对，都有，（2），使得，则称为的最小值，记作． 知识点5、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 方法总结1：单调性常见方法及结论 1、 单调性定义的变式：设，且， ①在是增函数 ②在是减函数 2、判断函数单调性 设，具有单调性，常数，常数，则 ①，与有相同的单调性 ②，与有相反的单调性 ③若，都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ④设，都是区间上的恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数． ⑤增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数， 增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； 3、复合函数单调性 讨论复合函数的单调性时要注意: ①若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则为增函数; ②若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数.列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 方法总结2：奇偶性常用结论 ①奇偶函数四则运算与复合 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ②奇函数的定义域若包括0，则必有. ③为偶函数 ④若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数. ⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ⑥的定义域关于原点对称，为偶函数，为奇函数，为偶函数. ⑦奇函数：；偶函数： ⑧若是偶函数，则奇次项系数为0. 若是奇函数，则偶次项系数为0. 方法总结3：中值模型 基本模型：，其中为奇函数，为常数 （1） （2） 方法总结4、抽象函数定义域的方法 原则：(1)定义域一定是的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样. ①已知的定义域是，求的定义域 解不等式，其解集就是的定义域. ②已知的定义域是，求的定义域 利用求的值域，该值域就是的定义域. ③已知的定义域是，求的定义域 利用先求出的值域，然后解不等式，其解集就是的定义域. 方法总结5、求值域、最值的方法 1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值. 2、配方法(对称轴法)：对于形如，形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成.可以结合图象完成求值域或最值. 3、换元法 常见的模型 ，令，则. 4、图象法(数形结合法)： ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成. ②求或的值域 ③根据函数表达式的几何意义. 5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值. 6、基本（均值）不等式法 7、有界性法：含，，，的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域。 8、判别式法 形如中至少有一个不为零）的函数求值域. 判别式法求其值域,要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值; ②定义域是否属于； ③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在; ④分子、分母必须是既约分式（不可约分）. 题型 1：函数的概念 【典例1】（2026·高一·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【解析】对于①，，当时，，故①不满足题意； 对于②，，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③满足题意； 对于④，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④满足题意． 故选：C 【变式1-1】（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【解析】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 【变式1-2】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：令（），则，原式可变形为（）. 令（），则，所以，即，满足题意，A正确； 选项B：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误； 选项C：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误； 选项D：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误； 故选：A 【变式1-3】（2026·高一·北京·阶段检测）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】由图象可知C符合，ABD都出现一个对应多个的情况， 所以C对，ABD错误. 故选：C 题型 2：函数定义域的求解 【典例2】（2026·高一·海南·期中）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数有意义，所以， 解得． 【变式2-1】（2026·高一·辽宁·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，即， ，则的定义域为， 由，得． 的定义域为． 【变式2-2】（2026·高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【变式2-3】（2026·高一·全国·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的定义域为，可得，解得， 所以的定义域为， 又因为，解得，所以函数的定义域为. 题型 3：定义域约束下的参数范围求解 【典例3】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D 【变式3-1】（第4讲函数映射说立足三要素）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 【变式3-2】（2026·高一·云南·期中）若函数的定义域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，所以恒成立. 当时，有，显然恒成立， 当，则，解得， 综上可得. 故选：B 【变式3-3】（2026·高一·江西宜春·阶段检测）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为， 所以不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得； 综上，，即的取值范围是. 故选：D. 题型 4：函数单调区间的求解 【典例4】函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 【变式4-1】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【变式4-2】（2026·高一·湖南·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 【变式4-3】（2026·高一·江苏徐州·阶段检测）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 题型 5：单调性应用与不等式求解 【典例5】（2026·高一·江苏·期中）已知函数 ，若 ，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时， ，因此，是奇函数， 当时， ，是一个开口向上， 对称轴为的二次函数，在上单调递增，因为是奇函数， 所以在也单调递增，因此在上单调递增， 已知 ，则 可转化为 即， 因此 或 ， 又， ，即 或 ， 又在上单调递增， 所以或 ，解得或， 综上，实数的取值范围为． 【变式5-1】（2026·高二·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 【变式5-2】（2026·高一·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 【变式5-3】（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 题型 6：单调性约束下的参数范围求解 【典例6】（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 【变式6-1】（2026·高一·江苏连云港·期中）若函数在区间上为增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于 在 单增，若 ， 是增函数，满足题意； 若 ，则有 ，即 ， 综上； 故选：A. 【变式6-2】（2026·高一·浙江嘉兴·期末）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】任取，且， 则， 若函数在上单调递增，则恒成立， 因为，可得，则，即恒成立， 又因为且，可得，则，所以， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6-3】（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，是单调递增函数， 因为函数是单调函数， 则函数在上单调递增函数， 则,解得：, 所以实数的取值范围是. 故选：B 题型 7：函数奇偶性的判定 【典例7】（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 【变式7-1】（2026·高二·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 【变式7-2】（2026·高一·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 【变式7-3】（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 题型 8：奇偶性的图象分析 【典例8】（2026·高三·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 【变式8-1】（2026·高三·天津蓟州·期中）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图知为奇函数， 对C，，定义域为，关于原点对称， 且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除C； 对D，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除D； 由图知，而对A解析式，代入知，矛盾，故A错误. 对B，，定义域为，关于原点对称， ，则其为奇函数， 则只需研究其时的单调性， 当时，， 因为在上单调递增，且恒成立， 则在上单调递减， 当时，， 因为在上单调递增，且恒成立， 则在上单调递减， 结合其为奇函数和其在上函数图象的连续性知： 在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，与题目所给图象符合，则B正确. 故选：B. 【变式8-2】（2026·高一·天津武清·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 【变式8-3】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．下面的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 由图知的定义域为，排除选项C， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项A， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项D. 故选：B. 题型 9：奇偶性约束下的参数求解 【典例9】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 【变式9-1】（2026·高二·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【解析】若，则， 所以， 所以，，. 【变式9-2】（甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2025-2026学年高一期中考试数学试题）已知定义域为的奇函数，则的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为定义域为的奇函数， 所以，解得， 又由奇函数可知，解得， 所以， 所以， 故选：A 【变式9-3】（2026·高一·北京延庆·期中）如果函数是偶函数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为函数是偶函数，所以 故， 所以，所以，， 故选：A. 题型 10：利用奇偶性确定函数解析式 【典例10】（2026·高一·安徽·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 【变式10-1】（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 【变式10-2】（2026·高一·江苏扬州·期中）函数是定义在上的奇函数，且当，，则时，__________. 【答案】 【解析】当时，，所以. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 【变式10-3】（2026·高一·山西大同·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时，_______. 【答案】 【解析】当时，，而当时，，且函数是偶函数， 因此， 所以当时，. 故答案为： 题型 11：中值模型的应用 【典例11】已知，则________. 【答案】 【解析】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 【变式11-1】已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【答案】2026 【解析】设，则， 所以， 所以. 【变式11-2】（2026·高一·上海·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【答案】4 【解析】， 令， 则，则函数为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以，， 则. 故答案为：4. 【变式11-3】（2026·高一·吉林长春·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】 【解析】 令，则， ∴为上的奇函数， ，即， 所以. 故答案为：. 题型 12：求函数的值域 【典例12】求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【解析】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 【变式12-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【变式12-2】（2026·高一·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【变式12-3】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． (4)． 【解析】（1）方法一  因为，且，所以，所以原函数的值域为． 方法二 令，则， 所以原函数的值域为． （2）因为， 所以， 所以原函数的值域为． （3）设，则且， 得． 因为，所以，即， 所以原函数的值域为． （4）方法一 令，因为， 所以关于x的方程有解，则当，即时，； 当时，， 整理得，解得或． 综上，原函数的值域为． 方法二 令，则， 当时，； 当时，， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以， 当时，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以． 综上，原函数的值域为． 题型 13：求函数解析式 【典例13】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【解析】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 【变式13-1】（2026·高一·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 【变式13-2】求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【解析】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【变式13-3】（2026·高一·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【解析】（1）是一次函数，设， 由题可知：， 化简得， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）， 又，当且仅当，即时等号成立. 设，则， ， 函数的解析式为 （3），①，② 由①②得， 函数的解析式为. 题型 14：分段函数的综合运用 【典例14】（2026·高一·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 【解析】（1）， ． （2）当时，由，得，解得，符合题意； 当时，由，得，解得（舍去）. 故的值为0或2． 【变式14-1】（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【解析】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 【变式14-2】（2026·高一·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【解析】（1） 作出函数的图象如图所示： （2）， （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或， 因为，所以. 【变式14-3】（2026·高一·甘肃庆阳·期中）已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以； （2）当时，，又，所以，解得，舍去； 当时，，又， 所以，故. 综上，的值为； （3）当时，，所以； 当时，，所以. 综上，原不等式的解集为. 题型 15：函数单调性的判定与证明 【典例15】（2026·高一·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【解析】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     （2）证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． （3）单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【变式15-1】已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【解析】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【变式15-2】已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【解析】（1）令代入，得，所以 （2）设且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是增函数； （3）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以不等式可化为 所以，解得，所以不等式的解集为． 【变式15-3】（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 题型 16：幂函数图像与性质 【典例16】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式16-1】（2026·高一·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【解析】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【变式16-2】（2026·高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【解析】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式16-3】（2026·高一·天津武清·阶段检测）若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为函数为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2）由（1）得，则是一元二次函数， 当时恒成立，只需即可， 当时，在上单调递增， ， 解得，与矛盾，此时无解； 当时，在单调递减，在单调递增， ，解得， 当时，在上单调递减， ， 解得，与矛盾，此时无解； 综上. 题型 17：奇偶性、单调性与对称性的综合运用 【典例17】（2026·高一·安徽宿州·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）设函数图象的对称中心为，则是奇函数， 则对定义域中的每一个值恒成立， 即， 也即对定义域中的每一个值恒成立， 故得，解得， 所以的对称中心为. （2）任取，且， 则， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由题意可得在上的值域是在上的值域的子集. 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域. 而的对称轴为直线， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， 因为，所以，解得， 又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需， 且， 解不等式得：， 又，故此时； ③当即时，在上单调递减，又过对称中心，则在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， 因为，所以，解得， 又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 【变式17-1】（2026·高一·海南·阶段检测）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以上信息解决下列问题： (1)求函数图象的对称中心； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. 【解析】（1）设图象的对称中心为， 由题设结论知为奇函数， 即为奇函数， 因为奇函数的偶次项系数为0，所以，解得， 所以，满足，为奇函数， 所以函数图象的对称中心为. （2），因为的图象关于原点对称，将其平移可知的图象的对称中心为. 根据对称中心的性质可知，当时，. 所以. 【变式17-2】（2026·高一·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 【变式17-3】（2026·高一·湖北十堰·期末）我们知道：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件为函数为奇函数.已知函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，. （i）求的值； （ii）若对，使得恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）（1）由，易知为奇函数， 根据题意可知的图象关于点对称. （2）（i）函数图象关于点对称，则有， 令，则有. （ii）依题意有的取值范围为取值范围的子集. 因为.可知在上单调递增， 所以在上的取值范围为. 记的值域为A，且当时. ①当即时，有在上单调递增， 由对称点可得在上单调递增，故在上单调递增， 故，， ， 则，即，解得. ②当即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则有， 由，得，，， 又，， 综合得当时，恒成立. ③当即时，有在上单调递减， 由对称点可得在上单调递减，所以在上单调递减， 故，， ， 则，即，解得. 综上得. 题型 18：函数的应用 【典例18】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【解析】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【变式18-1】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） (2)请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【解析】（1）若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，不符合表格中数据； 若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，当时，，符合题意， 所以更适宜作为函数模型. （2）由（1）知，在中，， 所以函数表达式为. （3）设乙产品的研发投入为x万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润 ，当且仅当，即时取等号， 则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为36（万元），64（万元），可使总利润最大. 【变式18-2】（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）“中老铁路”于2021年12月3日通车，玉溪作为中老铁路上的重要节点，从玉溪前往老挝，实现了朝发夕至．据悉，从玉溪到西双版纳的高铁，发车时间间隔t（单位：小时）满足，经统计在某一时段，高铁载客量与发车时间间隔t相关，当时高铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2小时时载客量为560人，记高铁载客量为． (1)求的解析式； (2)若该时段这趟高铁每小时的净收益为（千元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每小时的净收益最大？ 【解析】（1）由题意设减少的人数为， 由题意得，其中为常数， 因为发车时间间隔为2小时时载客量为560人，所以， 解得， 所以 （2）由得， 即， ①当时， ，当且仅当等号成立， ②当时， 在上单调递减，当时Q取最大值， 综上，当发车时间间隔为小时，该时段这条线路每小时的净收益最大，最大为120千元. 【变式18-3】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【解析】（1）每辆售价 6 万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为（万元） 当时，， 当时，， ∴； （2）当时，， 这个二次函数的对称轴为，所以当时，为最大值， 当时，， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即当时，取到最大值2300， ∵，∴当时， 即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元. 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $