第18讲 对数函数（4大知识点+13大题型）讲义-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第18讲 对数函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、对数函数的概念 3 知识点二、对数函数的图象与性质 3 知识点三、底数对对数函数图象的影响 4 知识点四、反函数 4 03 题型精讲举一反三 6 题型一：对数函数的概念辨析 6 题型二：参数取值与范围求解 6 题型三：函数解析式的确定 7 题型四：图象定点求解问题 7 题型五：图象识别与分析应用 7 题型六：定义域的求解计算 9 题型七：值域的求解计算 10 题型八：单调性的综合运用 11 题型九：对数式大小比较 11 题型十：对数型不等式求解 12 题型十一：奇偶性的判定与应用 13 题型十二：反函数的求解与应用 14 题型十三：对数函数性质的综合运用 14 04 过关测试 17 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点诠释： （1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点诠释： 关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 知识点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 题型一：对数函数的概念辨析 例1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．（多选题）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 变式1．（多选题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 题型二：参数取值与范围求解 例4．（多选题）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 例5．（2026·高一·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 例6．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 变式2．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 变式3．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三：函数解析式的确定 例7．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为________． 例8．（2026·高三·江苏·期末）满足的函数可以为______.（写出一个即可） 例9．（2026·高一·上海·阶段检测）已知对数函数过点，则其解析式为________． 变式4．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为____________. 变式5．已知对数函数过点，则的解析式为____________. 变式6．（2026·高一·河北保定·开学考试）写出一个满足且不是常数函数的函数：__________． 题型四：图象定点求解问题 例10．（2026·高一·山东济南·期末）函数（且）图象恒过定点坐标为______． 例11．（2026·高一·江西赣州·期末）当且时，函数的图象经过定点__________. 例12．（2026·高一·陕西安康·期末）函数的图象恒过定点_____. 变式7．（2026·高一·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 变式8．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 题型五：图象识别与分析应用 例13．（2026·高一·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   例15．（2026·高一·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高一·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式10．（2026·高一·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型六：定义域的求解计算 例16．（2026·高一·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 例17．函数的定义域是________. 例18．（2026·高一·天津河北·期末）函数的定义域为________． 变式11．（2026·高一·河南郑州·期末）函数的定义域为_______． 变式12．（2026·高一·浙江·开学考试）函数的定义域为_________． 题型七：值域的求解计算 例19．（2026·高一·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 例20．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 例21．（2026·高一·河南商丘·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 变式13．（2026·高一·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 变式14．（2026·高一·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)求的最大值． 题型八：单调性的综合运用 例22．（2026·高一·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 例23．（2026·高一·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 例24．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 变式15．（2026·高一·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 变式16．（2026·高一·黑龙江大庆·开学考试）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________. 变式17．（2026·高一·山西大同·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是_____. 题型九：对数式大小比较 例25．（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例26．（2026·高一·四川泸州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例27．（2026·高一·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 变式18．（2026·高一·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式19．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式20．（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 题型十：对数型不等式求解 例28．（2026·高一·广西百色·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立，若实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例29．（2026·高一·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例30．（2026·高一·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式21．（2026·高一·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式22．（2026·高一·江苏宿迁·期末）已知函数，若满足不等式，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式23．（2026·高一·天津·期末）若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 变式24．（2026·高一·河南新乡·期末）已知是奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型十一：奇偶性的判定与应用 例31．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例32．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 例33．（2026·高一·河南·期末）设是奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．3 变式25．已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 变式26．（2026·高一·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 变式27．（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 变式28．（2026·高一·北京·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（   ） A． B． C． D． 题型十二：反函数的求解与应用 例34．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________. 例35．（2026·高一·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． 例36．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，则________________. 变式29．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知实数，满足，，则的值_____ 变式30．（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 变式31．（2026·高一·山西太原·开学考试）已知，，，，则_____. 题型十三：对数函数性质的综合运用 例37．（2026·高一·湖北武汉·期末）定义在的函数满足对任意、，都有，则称 为 “类对数型”函数. (1)求证：为 “类对数型”函数； (2)当时，，请判断并证明函数的单调性； (3)若为 “类对数型”函数， 求的值. 例38．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 例39．（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数． (1)设， （i）求的值； （ii）解不等式； (2)若，，求的取值范围． 变式32．（2026·高一·河北唐山·开学考试）已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 变式33．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 变式34．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设 (1)求函数的最大值. (2)当不等式在上有解时，求的取值范围. 1．（2026·高一·浙江衢州·期末）“”是“ ”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·贵州毕节·期中）大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 4．（2026·高一·湖北荆州·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·重庆·期中）已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）高一某数学兴趣小组通过对课本习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10．（多选题）（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 11．（多选题）（2026·高一·湖北武汉·期末）若，则（       ） A． B． C． D． 12．不等式的解集为______. 13．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知，，，则，b，c的大小关系为______. 14．已知，，若，，使得成立，求的最大值. 15．（2026·高一·湖北·期中）已知函数，其中． (1)若，求方程的解； (2)若，对，均有，求的取值范围； (3)若，对，均有，证明：，并求出等号成立时的值． 16．（2026·高一·贵州·期中）已知函数，函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求正数的取值范围. 17．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知函数，函数且 (1)若为偶函数，求实数的值． (2)求的值，并根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若函数在上满足，求实数的取值范围． 18．（2026·高一·四川宜宾·期末）已知，函数满足为奇函数. (1)求实数的值，判断并用定义证明函数在上的单调性； (2)若不等式成立，求实数可取的最小整数值. 19．（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求，的值. (2)当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若在上单调，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 对数函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、对数函数的概念 3 知识点二、对数函数的图象与性质 3 知识点三、底数对对数函数图象的影响 4 知识点四、反函数 4 03 题型精讲举一反三 6 题型一：对数函数的概念辨析 6 题型二：参数取值与范围求解 7 题型三：函数解析式的确定 8 题型四：图象定点求解问题 9 题型五：图象识别与分析应用 10 题型六：定义域的求解计算 14 题型七：值域的求解计算 15 题型八：单调性的综合运用 18 题型九：对数式大小比较 20 题型十：对数型不等式求解 22 题型十一：奇偶性的判定与应用 26 题型十二：反函数的求解与应用 29 题型十三：对数函数性质的综合运用 31 04 过关测试 37 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点诠释： （1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点诠释： 关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 知识点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 题型一：对数函数的概念辨析 例1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 例2．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合. 故选D     例3．（多选题）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【解析】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 变式1．（多选题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【答案】CD 【解析】对于A，真数是，故A不是对数函数； 对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数； 对于D，底数，真数是，故D是对数函数． 故选：CD 题型二：参数取值与范围求解 例4．（多选题）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【解析】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 例5．（2026·高一·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【解析】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 例6．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【解析】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 变式2．（2026·高一·吉林长春·阶段检测）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 变式3．函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由解得或，又，且，所以 故选：B. 题型三：函数解析式的确定 例7．对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为________． 【答案】 【解析】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 例8．（2026·高三·江苏·期末）满足的函数可以为______.（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】可令，满足要求. 故答案为：.（答案不唯一） 例9．（2026·高一·上海·阶段检测）已知对数函数过点，则其解析式为________． 【答案】 【解析】设对数函数解析式为（，且）， 因为对数函数过点， 所以，解得， 所以对数函数解析式为. 故答案为： 变式4．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为____________. 【答案】 【解析】设对数函数的解析式为 (且)， 由已知可得，即， 解得，即函数解析式为， 故答案为： 变式5．已知对数函数过点，则的解析式为____________. 【答案】 【解析】设，结合已知有， ∴，又且， ∴，则， 故答案为：. 变式6．（2026·高一·河北保定·开学考试）写出一个满足且不是常数函数的函数：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】若， 则， 故符合题意的函数可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合即可，其中且，其他满足条件的函数亦可）. 题型四：图象定点求解问题 例10．（2026·高一·山东济南·期末）函数（且）图象恒过定点坐标为______． 【答案】 【解析】因为对任意且，， 令得，将代入， 得， 所以函数的图象恒过定点坐标为. 故答案为： 例11．（2026·高一·江西赣州·期末）当且时，函数的图象经过定点__________. 【答案】 【解析】当且时，对于函数， 令可得，所以， 故函数的图象经过的定点坐标为. 故答案为：. 例12．（2026·高一·陕西安康·期末）函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【解析】令，解得， 则，所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 变式7．（2026·高一·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【解析】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 变式8．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【解析】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. 题型五：图象识别与分析应用 例13．（2026·高一·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 例14．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】的定义域为，解得，渐近线为， ，，故函数过点， 的底数，单调递增， 综上，选项B中图象符合函数图象的性质，故B正确． 故选：B． 例15．（2026·高一·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 变式9．（2026·高一·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 变式10．（2026·高一·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C. 题型六：定义域的求解计算 例16．（2026·高一·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 例17．函数的定义域是________. 【答案】且 【解析】定义域满足，解得且. 故所求定义域为且 例18．（2026·高一·天津河北·期末）函数的定义域为________． 【答案】 【解析】要使函数有意义 所以解得 函数的定义域为． 变式11．（2026·高一·河南郑州·期末）函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】由题得，解得， 所以函数的定义域为. 变式12．（2026·高一·浙江·开学考试）函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】因为， 所以解得或， 所以函数的定义域为． 题型七：值域的求解计算 例19．（2026·高一·上海·期末）设常数，，． (1)已知的图象过点，求实数的值； (2)若成立，求实数的取值范围； (3)当时，求函数，的最大值（用实数表示）． 【解析】（1）因为的图象过点， 所以，所以，解得. （2）因为， 所以， 则，化简得，整理得， 当时，恒成立， 当时，可得，故实数的取值范围为. （3）当时，， 令，因为，所以， 则， 设，而，， 而开口向上，则讨论端点值即可， 当时，即，函数有最大值为6， 当时，即，函数有最大值为， 综上可得，当时，最大值为6， 当时，最大值为. 例20．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，， 由 ，所以不等式的解集为； （2）令，因为，所以， ，因为， 所以由， 因为，所以，当且仅当时取等号，即时，取等号， 所以在单调递减，则， 因此当时，恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. 例21．（2026·高一·河南商丘·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求函数解析式； (2)当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的x的值； 【解析】（1）当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 由题意可得：， 此时区间为；当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； （2）， 令，因为，所以， 所以， 所以，， ，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0. 变式13．（2026·高一·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【解析】（1）因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令，对称轴为， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 变式14．（2026·高一·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)求的最大值． 【解析】（1）要使函数有意义，则，解得，所以的定义域为． （2）．     因为函数是开口朝下的二次函数，对称轴在区间， 故的最大值为，         所以的最大值为． 题型八：单调性的综合运用 例22．（2026·高一·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 【答案】 【解析】函数定义域为或. 又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增， 从而函数的单调减区间为. 例23．（2026·高一·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 【答案】 【解析】由，得或， 所以函数的定义域为. 又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 例24．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】令，原题意等价于函数在单调递增， 可知在内单调递增，且在内恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为. 变式15．（2026·高一·浙江杭州·期中）函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 变式16．（2026·高一·黑龙江大庆·开学考试）函数在上单调递减，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】令，， 外层函数是减函数， 要使函数在上单调递减， 因此内层函数必须在上单调递增， 且满足恒成立， 即，解得：. 因此实数a的取值范围是. 变式17．（2026·高一·山西大同·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】由于函数在单调递减， 又因为在上是减函数，根据复合函数的单调性法则“同增异减”得： 函数在上单调递增，且. 由题意得：，解得，得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 题型九：对数式大小比较 例25．（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 例26．（2026·高一·四川泸州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数的性质可得，， 由对数函数的性质可得， . 例27．（2026·高一·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. 变式18．（2026·高一·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以. 变式19．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ，． 变式20．（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 题型十：对数型不等式求解 例28．（2026·高一·广西百色·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立，若实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在区间上对于任意两个不相等的实数、恒有成立， 不妨取，则，即， 所以函数在区间上是减函数， 又函数为偶函数，则等价于， 即，可得，解得，故实数的取值范围是. 例29．（2026·高一·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】、，当时，都有， 不妨设，则，所以，即， 令，则，即函数在上为减函数， 又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 因为，则， 由可得，即， 所以，所以，所以或，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. 例30．（2026·高一·河北石家庄·期末）已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为任意均有， 即， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，所以， 所以不等式，化为， 因为在上单调递减，故， 因为定义在上，所以， 即，解得， 故原不等式解集为. 故选：B. 变式21．（2026·高一·山西忻州·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数 设，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即函数为奇函数， 设，则， ，在上为增函数，而在上为增函数， 故在区间上为增函数， 又为增函数，所以在区间上为增函数， 不等式即为， 也即， 所以，解得. 故选：A. 变式22．（2026·高一·江苏宿迁·期末）已知函数，若满足不等式，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 又因为的定义域为，所以是偶函数， 当时，由指数函数和二次函数可知是在上的增函数， 又因为，所以不等式， 则， 故选：A 变式23．（2026·高一·天津·期末）若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 【答案】C 【解析】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 变式24．（2026·高一·河南新乡·期末）已知是奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是奇函数，， 所以， 由可得， 又在上单调递增， 所以，即， 所以不等式的解集为， 故选：B 题型十一：奇偶性的判定与应用 例31．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误； 对于B，因为，所以函数是偶函数，故错误； 对于C,在上单调递减，故错误； 对于D，因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确； 例32．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）函数为奇函数，则（    ） A．3 B．-1 C．3或-1 D．不存在这样的和 【答案】C 【解析】奇函数，则有， 根据奇函数的定义可知，， 得， 即， 所以对定义域中的x恒成立， 可得，即， 此时或，其定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 所以或. 故选：C. 例33．（2026·高一·河南·期末）设是奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】，因为为奇函数，故， 所以. 故选：D 变式25．已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【解析】由，得，则， 而函数是奇函数，且当时，， 所以. 故选：A 变式26．（2026·高一·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（   ） A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数 C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数 【答案】A 【解析】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称， 则，所以为奇函数； 由， 因为在上单调递增，为增函数， 所以为增函数. 故选：A 变式27．（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数， 任取，则， 易知当时，，即， 所以在单调递减，不满足题意； 选项B：函数的定义域为，不是奇函数，不满足题意； 选项C：函数的定义域为， 因为，所以不是奇函数，不满足题意； 选项D：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数， 又，在单调递增，所以在单调递增，满足题意； 故选：D 变式28．（2026·高一·北京·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，定义域为，且， 所以为偶函数，A错误； 对于B选项，在上单调递减，故B错误； 对于C选项，的定义域为，故不是奇函数，C错误； 对于D选项，的定义域为，又， 故为奇函数， 当时，，故函数在上单调递增，D正确. 故选：D 题型十二：反函数的求解与应用 例34．（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知实数满足，，则__________. 【答案】 【解析】由关于对称，又与垂直， 所以与的交点关于对称， 结合题设有，，且， 所以是与的交点；是与的交点， 所以与关于对称，则且， 所以. 例35．（2026·高一·江西景德镇·期末）若的反函数的图象经过点，则______． 【答案】3 【解析】因为函数的反函数的图象经过点， 所以函数的图象过点， 则，解得. 故答案为：3 例36．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，则________________. 【答案】2 【解析】由，可得， 所以分别为直线与和的图像交点横坐标， 因为和的图像关于直线对称，如图所示， 联立方程组，解得，所以，可得, 故答案为：. 变式29．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知实数，满足，，则的值_____ 【答案】 【解析】因为，可得，所以为方程的解， 即函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 又因为，可得， 即，可得， 令，可得，所以为方程的解， 即为函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 由函数和互为反函数，其图象关于对称， 如图所示，函数与的图象的交点为，所以， 所以，所以，即 则. 故答案为：. 变式30．（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【答案】3 【解析】易知函数与的图象关于直线对称， 即上一点，则有在上， 设，则，解得. 故答案为：3 变式31．（2026·高一·山西太原·开学考试）已知，，，，则_____. 【答案】1 【解析】依题意，分别可视为函数与和图象交点的横坐标， 函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称， 因此两个交点也关于直线对称，则， 由，得，所以. 故答案为：1 题型十三：对数函数性质的综合运用 例37．（2026·高一·湖北武汉·期末）定义在的函数满足对任意、，都有，则称 为 “类对数型”函数. (1)求证：为 “类对数型”函数； (2)当时，，请判断并证明函数的单调性； (3)若为 “类对数型”函数， 求的值. 【解析】（1）证明：的定义域为，满足定义要求. 对任意， ；， 即，满足“类对数型”函数定义，故是“类对数型”函数. （2）是单调递增函数. 证明：令，得，解得. 对任意，有. 根据题目条件，当时，因此. 将改写为，代入“类对数型”恒等式得， 移项整理得结合，可得. 即对任意，都有，因此在定义域上单调递增. （3）令，代入定义得. 对任意，令，代入定义得， 即，得. 原式中，共对，加上， 总和为. 例38．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质， 代入得， 验证可得，满足奇函数定义，故. （2）已知，可知是上的增函数. 当时，的最小值为. 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值. 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴， 则最小值为， 令，即实数的取值范围为. （3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为. ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集. ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 例39．（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数． (1)设， （i）求的值； （ii）解不等式； (2)若，，求的取值范围． 【解析】（1）当时， （i），所以； （ii）由题知． 由对数函数的单调性可得： 化简得：，解得或； （2）由， 设，使得且， 即， 所以， 设，所以， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故的取值范围是． 变式32．（2026·高一·河北唐山·开学考试）已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数，由函数图象与的图象关于对称，得， 由为奇函数，得， 则 ，整理得，而，解得， 此时函数定义域为，且，符合题意， 所以实数的值为2. （2）由（1）知， 依题意，不等式 在上恒成立，则 ，即， ，不等式 恒成立， 因此在恒成立， 当时，， ，当且仅当时取等号， 于是，解得，所以的取值范围为. 变式33．（2026·高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 【解析】（1）要使函数的解析式有意义，则，解得． ∴函数的定义域为． （2）函数是偶函数， 证明如下：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称．          ∵， ∴，             ∴ ∴函数是定义在上的偶函数． （3）的定义域为， ∵，∴，               当时，函数为上的增函数， ∴函数在上的最小值为， ∴，∴．                 当时，函数为上的减函数，                ∴函数在上的最小值为， ∴，∴，不符合题意 综上，a的取值范围为． 变式34．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设 (1)求函数的最大值. (2)当不等式在上有解时，求的取值范围. 【解析】（1）， 令， 因为对称轴为，则函数在上单调递增，上单调递减， 所以当时，. （2）由题可知，不等式在上有解， 即，化简得， 令，则在上有解. 解法1：令，则在上有解， 即有，即. 解法2：当时，，无解； 当时，在上单调增， ∴当时，，只需， 综上：. 1．（2026·高一·浙江衢州·期末）“”是“ ”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由指数函数的单调性可知， 而不能推出，（例如时函数意义）， 又， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 2．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示， 易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 3．（2026·高一·贵州毕节·期中）大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 【答案】B 【解析】由题意得损失函数，初始损失值时，. 对选项A，当时，，不等于，故A错误. 对选项B，令，两边取常用对数得. ，代入得， 化简得，迭代轮次至少约轮，故B正确. 对选项C，当时，，不等于，故C错误. 对选项D，为指数型函数，令，则，不是一次函数，损失值不是匀速减少，故D错误. 4．（2026·高一·湖北荆州·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增， 所以，， ，所以. 故. 5．（2026·高一·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 6．（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 7．（2026·高一·重庆·期中）已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以关于对称， 又在上单调递减，所以在上单调递增， 由可得即， 转化得，可得. 8．（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 9．（多选题）高一某数学兴趣小组通过对课本习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】对于A，令， 则，所以为奇函数，故A正确； 对于B，令， 则，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，令， 则，所以为奇函数，故C正确； 对于D，令， 则，所以为偶函数，故D正确. 10．（多选题）（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【解析】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·湖北武汉·期末）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意得，设， 因为单调递增， 单调递增，所以单调递增，则， 对于A，因为单调递增，所以，故A正确， 对于B，等价于，无法由得出，故B错误， 对于C，，因为，且单调递增， 所以，故C正确， 对于D， 单调递减，所以，即，故D正确. 12．不等式的解集为______. 【答案】 【解析】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 13．（2026·高一·贵州毕节·期中）已知，，，则，b，c的大小关系为______. 【答案】或 【解析】因为，，对数函数在上单调递增， 将与两边同时平方可得， ， ，故，因此，即， 因为，指数函数在上单调递增，，故 ，而 ，因此 ，即，所以。 14．已知，，若，，使得成立，求的最大值. 【解析】令，的值域为，在R上单调递增，所以； 令，的值域为，已知在单调递增，所以. 由题意可得，，即，所以只需，即， 所以的最大值为2. 15．（2026·高一·湖北·期中）已知函数，其中． (1)若，求方程的解； (2)若，对，均有，求的取值范围； (3)若，对，均有，证明：，并求出等号成立时的值． 【解析】（1）当时，. 由得. 变形为. 于是，整理得. 令，方程化为，解得（负根舍去）. 由，得，方程的解为. （2）当时，对恒成立. 变形得. 因为单调递增，故. 即对恒成立. 令，则在上恒成立. 方法一：所以则在上恒成立， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 故，故. 方法二：设，对称轴. ①当即时，在单调递增，时，所以. ②当即时，只需，解得，结合前提得. 综上，的取值范围是. （3）由题意，对恒成立. 因为，且，故不等式可化为. 又在上单调递增，因此对恒成立.令，则，上式两边同除以得. 由,根据基本不等式，，于是，即. 因此. 而，故，得证. 当时,上述不等式需全部取等,必有,解得. 代入得,此时取到等号,符合条件. 所以等号成立时的值为1. 16．（2026·高一·贵州·期中）已知函数，函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求正数的取值范围. 【解析】（1）由，得， 则，得，即不等式的解集为; （2）因为， 对任意的，函数的图象总在函数图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以 整理得， 设，只需使得在上恒成立即可. 函数对称轴，因为，所以， ①当时，即时，函数在上单调递增，此时， 因为，所以，即在上恒成立； ②当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为，所以，即存在，使得，所以不符合题意. 综上所述的取值范围为. 17．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知函数，函数且 (1)若为偶函数，求实数的值． (2)求的值，并根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若函数在上满足，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数为偶函数，则． 即． 所以 恒成立， ； （2），，． 证明：，，且， 则， ，，，， ，即，故在上单调递增． （3）在上单调递增，所以， ，，解得，即的取值范围为. 18．（2026·高一·四川宜宾·期末）已知，函数满足为奇函数. (1)求实数的值，判断并用定义证明函数在上的单调性； (2)若不等式成立，求实数可取的最小整数值. 【解析】（1）因为为奇函数， 所以所以. 由可得， 解得. （2）令，可得，解得，即有 所以，即， 又在上是增函数，所以，解得， 故实数可取的最小整数为6. 19．（2026·高一·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求，的值. (2)当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若在上单调，求的最小值. 【解析】（1）由题可知，的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由韦达定理得，解得，. （2）当时，，要使在内存在最大值且大于2， 只需函数，的最大值大于， 则，即，无实数解， 故不存在实数，使得在内存在最大值，且最大值大于2. （3）若在上单调，记， 则由复合函数单调性可知，函数在上单调，且在上恒成立 则或， ①当时，，， 此时， 当且仅当，时，等号成立； ②当时，，， 此时，当且仅当，时，等号成立. 综上，的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $