3.3 幂函数（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦幂函数的定义、图像与性质这一核心知识点，系统梳理从定义（强调系数为1、底数为自变量、指数为常数）到五个基本幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，再到图像变化规律及与指数函数区别的脉络，构建“定义-图像-性质-应用”的学习支架。 资料通过分题型讲解（判断、图像、单调性等），搭配例题、解题贴士及对点练，结合随学随练与分层练习。以五个基本幂函数图像对比培养数学眼光（几何直观），用单调性比较大小例题发展数学思维（推理能力），课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升应用意识。

第 三 章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 课标要点 1、理解幂函数的定义，能判断一个函数是否为幂函数。 2、掌握幂函数 的图像与基本性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）。 3、能根据幂指数的不同，归纳幂函数图像的变化规律。 4、会利用幂函数的单调性比较函数值的大小。 5、理解幂函数与指数函数的区别。 学习重难点 重点： 1、幂函数的定义及判断（形式为 ）； 2、五个基本幂函数的图像与性质； 3、幂函数在第一象限的图像特征； 4、幂函数单调性及奇偶性的应用。 难点： 1、幂指数对图像形状和定义域的影响，如α为分数、负数时，定义域需根据分母奇偶和分子正负确定； 2、幂函数与指数函数的混淆（指数函数底数为常数、指数为变量，幂函数底数为变量、指数为常数）； 3、不同幂函数在同一坐标系中的图像位置关系与大小比较（如α>1与0<α<1的增长趋势不同）。 知识点 幂函数的定义 1、定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 特别提醒 （1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．满足这三个条件，才是幂函数． 随学随练 1．（25-26高一上�新疆乌鲁木齐�阶段检测）（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 知识点 幂函数的图像与性质 1．常见的5种幂函数的图象 2．常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 增函数 在和上递减 过定点 点 3、幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性． (2)幂函数的图象过定点，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当时，在上为增函数；当时，在上为减函数． 随学随练 1．（2026�上海�模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 题型 判断是否是幂函数 ▌例1（25-26高一上�新疆�阶段检测）（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. ▌例2（25-26高一上�江西九江�期中）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义判定选项即可. 【详解】形如（为常数）的函数为幂函数，故A、B、C均为幂函数，D错误. 故选：D 解题贴士 幂函数的标准形式为 （ 为常数，且系数必须为1）。判断时先看表达式是否符合 “系数为1，底数为自变量 ，指数为常数” 的结构，缺一不可。 ▌对点练1-1（25-26高一上�北京丰台�期中）下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合， 故选：A. ▌对点练1-2（25-26高一上·云南曲靖·期末）下列函数，既是幂函数，又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】幂函数形式：，所以不是幂函数， 但没有零点，不符合题意， 既是幂函数，又存在零点． 故选：D. 题型 幂函数的图像 ▌例1（25-26高二下�黑龙江�期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． ▌例2（2026高三�全国�专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 解题贴士 幂函数  的图像取决于指数  的取值： ：图像过原点  和 ，在第一象限随  增大而上升； ：图像不过原点，过 ，在第一象限随  增大而下降，渐近于坐标轴；  为奇数时图像关于原点对称（奇函数）， 为偶数时关于  轴对称（偶函数）；  时图像上凸增长， 时下凹增长， 时为直线 。 注意定义域受  影响（如  时 ， 为分数且分母为偶数时 ）。 ▌对点练1-1（25-26高一上�上海�期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. ▌对点练1-2（25-26高二下�全国�期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 题型 幂函数的单调性的应用 ▌例1（25-26高一下�辽宁铁岭�阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． ▌例2（25-26高二下�重庆沙坪坝�期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 解题贴士 幂函数  在  上恒有单调性—— 时单调递增， 时单调递减。利用这一性质可比较同底数幂的大小，或解含幂函数的不等式。若比较不同底数不同指数的幂，则需转化为同底或同指数，再结合幂函数与指数函数单调性综合判断。注意定义域限制（如偶次根式或负指数幂要求 ）对单调区间的影响。 ▌对点练1-1（25-26高二下�黑龙江大庆�阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，进而求出，换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. ▌对点练1-2（25-26高二下�辽宁本溪�期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 题型 幂函数的奇偶性 ▌例1（2025高一上�广东汕头�竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， ▌例2已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据幂函数的定义、函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或. 当时，，该函数是奇函数，不符合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意， 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故实数的取值范围为. 解题贴士 幂函数  的奇偶性由指数  决定（定义域需先关于原点对称）： 1、若  为整数， 为偶数则为偶函数， 为奇数则为奇函数； 2、若  为分数 （最简分数），则：  为奇数时，定义域关于原点对称， 为偶数则为偶函数， 为奇数则为奇函数；  为偶数时，定义域为 ，不关于原点对称，函数非奇非偶。 注意  时，定义域需排除 ，若  为偶数（如 ），定义域为 ，仍非奇非偶。 ▌对点练1-1（2026�上海浦东新�三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. ▌对点练1-2（25-26高一上�江苏无锡�期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 题型 幂函数的定义域 ▌例1（25-26高一上�广东深圳�期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. ▌例2（25-26高一上�河南�期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 解题贴士 幂函数  的定义域由指数  决定：  为正整数时，定义域为 ；  为负整数时，定义域为 ；  为分数 （最简分数）时： 为奇数时，定义域为 （若  则 ）； 为偶数时，定义域为 （若  则为 ）。  为无理数时，定义域通常为 。 ▌对点练1-1（25-26高一上�上海浦东新�期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： ▌对点练1-2（25-26高一下�河北衡水�开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 题型 幂函数的综合性质 ▌例1（25-26高一上�江苏淮安�期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质求出的定义域、值域、奇偶性和单调性判断选项ABC；利用奇偶性和单调性解不等式，得到，判断选项D. 【详解】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C ▌例2（25-26高一上�黑龙江佳木斯�阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C 【分析】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以， 因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选：C 解题贴士 幂函数的综合性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的应用。 ▌对点练1-1（25-26高一上�四川绵阳�期中）（多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【答案】AC 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断ABC；解法一：取特殊值计算可判断D，解法二：作图，根据函数图象可判断D. 【详解】设幂函数 的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点， 所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以函数 为偶函数，故C正确； 对于D，解法一：，取， 则，， 此时， 解法二：作出函数的图象如下：      由图象可知，函数为凹函数， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC ▌对点练1-2（25-26高一上�海南省直辖县级单位�阶段检测）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据待定系数法求解幂函数的表达式，即可由幂函数的性质结合选项逐一判断. 【详解】根据已知，设幂函数，又函数图像过点，解得，即. 对于选项A，因为，所以A正确； 对于选项B，定义域为，B错误； 对于选项，，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于选项D，值域为，故无最小值，D正确. 故选：AD. 基础通关 1．（25-26高一上�天津�阶段检测）下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 2．（25-26高一下�云南玉溪�期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 3．（25-26高二下�江苏常州�期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 4．（25-26高一上�江苏南通�期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 5．（2026高三�全国�专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 6．（25-26高一上�山东枣庄�阶段检测）（多选）当时，幂函数的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【分析】根据幂函数性质确定选项. 【详解】因为经过一，三象限，经过第一象限， 经过一，三象限， 故幂函数的图象不可能经过二，四象限. 故选：BD 7．（25-26高三上�上海�阶段检测）幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 8．（25-26高二下�河北沧州�期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 9．（25-26高一上·重庆·期中）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】判断出函数的单调性及图象形状，结合复合函数单调性的判断方法、特殊值法逐项分析即可. 【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则， 又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下： 函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 素养提升 1．（25-26高一下�四川眉山�期末）（多选）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 2．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 3．（25-26高一上�福建龙岩�阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 4．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）略. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章 函数的概念与性质 3.3幂函数 课时目标 1、理解幂函数的定义，能判断一个函数是否为幂函数。 1 2、 掌握幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y=x1 的图像与基本性质（定义域、 课标要点 值域、单调性、奇偶性)。 3、 能根据幂指数的不同，归纳幂函数图像的变化规律。 4、会利用幂函数的单调性比较函数值的大小。 5、理解幂函数与指数函数的区别。 重点： 1、幂函数的定义及判断（形式为y=x); 2、五个基本幂函数的图像与性质； 3、幂函数在第一象限的图像特征； 4、幂函数单调性及奇偶性的应用。 难点： 学习重难点 1、幂指数对图像形状和定义域的影响，如为分数、负数时，定义域需根据分母奇偶和 分子正负确定； 2、幂函数与指数函数的混淆（指数函数底数为常数、指数为变量，幂函数底数为变量、 指数为常数)； 3、不同幂函数在同一坐标系中的图像位置关系与大小比较（如P1与0K<1的增长趋势 不同)。 清主线 课时内容导图 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点一：幂函数的定 形式：y=xa(系数为1，底数为自变量x,指数a为常数) 义 与指数函数的区别：幂函数底数为变量、指数为常数；指 数函数底数为常数、指数为变量 五个基本幂函数：y=x、y=x2、y=x3、y=x(/2y=x(-1) 第一象限特征：a>0时单调递增，过原点；α<0时单调递 知识点二：幂函数的图 减，不过原点；a=0时为直线y=1(x0) 幂函数 像与性质 过定点：(1，)；与坐标轴相交则交点为原点 奇偶性：由α决定（整数看奇偶；分数看分母奇偶，分母为 偶数时非奇非偶) 定义域：受α影响，负指数要求x0;分数指数分母为偶数 时x20 综合要点 值域：由定义域和奇偶性共同决定 单调性：在(O,+o∞)上，a>0递增，a<0递减 比较大小：利用单调性或图像位置关系判断 理新知 教材全盘梳理 知识点1 幂函数的定义 1、定义：一般地，形如y=x“的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 特别提醒 (1)x“的系数是1；(2)x“的底数x是自变量；(3)x“的指数a为常数.满足这三个条件，才是幂函 数 随学随练 1.(25-26高一上9新疆鸟鲁木齐阶段检测)（多选）关于幂函数∫(x)=,下列结论正确的是() 1 A.当。=-1时，图象关于原点对称 B.当a=2时，定义域为(0，+∞) C.所有幂函数都过点(L,) D.当a>0时，函数在(0，+∞)上单调递增 知识点2 幂函数的图像与性质 2/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.常见的5种幂函数的图象 y=r2 y=x y=x y=r2 2 y=x2 -2 -1 y=xI O1 y=x 2.常见的5种幂函数的性质 函数 y=X y=x2 y=x3 少* y=x1 定义域 R R R [0,+o0 (-00,0)U(0,+00） 值域 R [0,+oo】 R [0,+∞) (-∞，0)U(0,+∞】 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 在(0，+∞)上递增， 在(-00,0)和(0，+0】 单调性 增函数 增函数 增函数 在(-∞，0]上递减 上递减 过定点 点(1,1 3、幂函数的图象和性质 ()幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内， 要看函数的奇偶性。 (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 (3)当Q>0时，y=x在0，+oo上为增函数；当C<0时，y=x在0，+o∞上为减函数. 7随学随练 1,(206@上海按教溪)已知子23小.平商数y=的大做图象如图所示，用。 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通题型 解题能力构建 题型 判断是否是幂函数 ■例1(25-26高一上？新疆阶段检测)（多选）下列函数中是幂函数的是() A.y=2x B.y=x2 C.y=2 D.y=x3 1例2(25-26高一上。江西九江期中)下列函数中，不是幂函数的是() A.f(x)=x B.f(x)=x3 C.f(x)=x D.f(x)=3 解题贴士 幂函数的标准形式为y=x(a为常数，且系数必须为1)。判断时先看表达式是否符合“系数为 1,底数为自变量X,指数为常数”的结构，缺一不可。 ■对点练1-1(25-26高一上北京丰台？期中)下列函数是幂函数的是() A.y=x B.y=(2) C.y=22别 D.y-y ■对点练1-2(25-26高一上：云南曲靖·期末)下列函数，既是幂函数，又存在零点的是() A.y=-x B.y=x3 C.y=0.5 D.y=x2 题型 幂函数的图像 1例1(2526高二下◇果龙江0期末)已知紧西数y=)的图象经过点5，》， 则f(x)图象的大致形 状为() 4/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C ■例2(2026高三。全国专题练习)己知幂函数y=x,y=x2,y=x,y=X在第一象限内的图象 如图所示分别是C,C,C,C,则乃，乃，乃，n的大小关系是() A.%>n2>1,m<4<0 B.n2>n>2,n4<n3<0 C.n1>1>n2>0>n4>n3 D.n>1>n2>0>n3>4 解题贴士 幂函数y=x“的图像取决于指数Q的取值： a>0:图像过原点0,0和1,1，在第一象限随x增大而上升； a<0:图像不过原点，过1,1，在第一象限随X增大而下降，渐近于坐标轴： Q为奇数时图像关于原点对称（奇函数），Q为偶数时关于y轴对称（偶函数）； 0<a<1时图像上凸增长，a>1时下凹增长，a=1时为直线y=x。 注意定义域受Q影响（如Q<0时X≠0，Q为分数且分母为偶数时X≥0） ■对点练1-1(25-26高一上。上海？期中)如图所示曲线是幂函数y=x“在第一象限内的图像，其中 a= 2a=2,则曲线C,C,C,C,对应a的值依次是() CA C? A22月 5/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c.2 .2分2月 1 ■对点练1-2(25-26高二下。全国期末)若幂函数y=x,y=x"与y=x在第一象限内的图象如图所 示，则() y=xm y=x" A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m<2 C.-1<m<0<n<2 D.-1<n<0<m<1 题型 幂函数的单调性的应用 1例1(25-26高一下辽宁铁岭9阶段检测)已知幂函数f()=(m2-3m-3)x在(0，+0）上单调递减， 则f(2)=() A.4 B.司 C.2 【例2(25-26高二下重庆沙坪坝。期末)已知幂函数f(x)过点(8,4)，则不等式f(x-2)>f1-2x)的解 集为() A.（-1,0 -2 C.,+0) D.(←0，-10L,+∞) 解题贴士 幂函数y=x在0，+o上恒有单调性一一a>0时单调递增，Q<0时单调递减。利用这一性质可 比较同底数幂的大小，或解含幂函数的不等式。若比较不同底数不同指数的幂，则需转化为同底或同 指数，再结合幂函数与指数函数单调性综合判断。注意定义域限制（如偶次根式或负指数幂要求X>0 )对单调区间的影响。 ■对点练11(2526高二下。黑龙江大庆9阶段检测)若幂函数f(x)的图象经过点(8,2W2),则函数 f(x-3)+[f(x)]了的最小值为() 6/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13 7 A.3 C.4 D. 【对点练1-2(25-26高二下。辽宁本溪9期未)已知幂函数f)的图象过点(9，V3),则函数 y=f(x2-2x-3)的单调递增区间为() A.（-0,1) B.（-0,-1) C.[I,+o) D.[3,+oo) 题型 幂函数的奇偶性 ■例1(2025高一上0广东汕头9竞赛)己知幂函数f()=(2-k-5)x的图象关于y轴对称，则k= ■例2已知幂函数f(x)-(m-3m+3)x”是R上的偶函数，且函数g(x)=f(x)-2ar在区间山，3]上单调递 减，则实数a的取值范围是 (用区间表示) 解题贴士 幂函数y=x的奇偶性由指数a决定（定义域需先关于原点对称）： 1、若a为整数，口为偶数则为偶函数，a为奇数则为奇函数； 2、若a为分数P/q(最简分数)，则： q为奇数时，定义域关于原点对称，P为偶数则为偶函数，P为奇数则为奇函数； q为偶数时，定义域为[0，+0)，不关于原点对称，函数非奇非偶。 注意Q<0时，定义域需排除x=0,若q为偶数（如x12),定义域为0，+o0,仍非奇非偶。 I对点练11(20260上海浦东新0三模)已知mGR,若幂函数y=6m2- m+2r是偶函数，则m= 1对点练1-2(25-26高一上江苏无锡9期末)若函数f(x)是偶函数，且值域为(0，+∞)，则f(x)可以是 () A. f(x)=x B.f(x)=x C.f(x)=x2 D.f()=x 题型 幂函数的定义域 ② 1例1(25-26高一上广东深圳。期末)已知幂函数fy的图象过点8 4， 则函数y=f(4x-3)的定 义域是() 7/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(-0,+oo） B. -04 c. ■例2(25-26高一上。河南期中)已知函数f(x)的定义域为(-2,4)，则函数y=f(2x)+(x-1)3的定义 域为() A.（-4,8) B.（-4,1)U1,8) c.(-1,2) D.（-1,1)(1,2) 解题贴士 幂函数y=x”的定义域由指数Q决定： a为正整数时，定义域为R, a为负整数时，定义域为x|x≠0： a为分数卫（最筒分数）时：q为奇数时，定义域为R(若Q<0则x≠0)：9为偶数时，定义 q 域为[0，+o)(若a<0则为(0，+∞)。 a为无理数时，定义域通常为[0，+∞)。 Ⅱ对点练11(25-26高一上。上海浦东新◇期末)已知幂函数f的图象过点 4 则f(x2-2x)的 定义域为 I对点练1-2(25-26高一下？河北衡水？开学考试)若幂函数(x)=(2m2-m)x"的定义域为R,则 题型 幂函数的综合性质 Ⅱ例1(25-26高一上？江苏淮安期中)下列关于幂函数f(x)=x3的说法不正确的是() A.定义域为R B.值域为[0，+o∞) C.f()在(-o,0)上单调递增 D.f(-2)>f(2a+4)的解集为(-3，-1) ■例2(25-26高一上？黑龙江佳木斯？阶段检测)己知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，则以下说法 正确的是() A.函数f(x)为偶函数 B.若0<x<x,则f(x)>f(x) 8/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 f(x)+f(x2) C. 设x,2>0 则f +≥ 2 2 D.3x>0,f(x≤0 解题贴士 幂函数的综合性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）的应用。 Ⅱ对点练11(25-26高一上四川绵阳◇期中)（多选）已知幂函数f(x)的图象经过点(4,16)，则下列 说法正确的是() A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(O,+∞) C.函数f(x)为偶函数 g(x)+g(x2) 2 【对点练1-2(25-26高一上？海南省直辖县级单位？阶段检测)（多选）己知幂函数y=f()的图象过点 2则) A.f(x)=x2 B.y=f(x)的定义域是(0，+∞) C.y=f(x)在定义域上单调递增 D.y=f()无最小值 刷好题 课时巩固精炼 基础通关 1.(25-26高一上9天津9阶段检测)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（) A.y=x2 B.y=x C.y=x D.y= 2.(25-26高一下。云南玉溪。期未)幂函数f()=(m2-3m-3)x2在区间(0，+∞)上单调递减，则实数 m= 3.(25-26高二下0江苏常州0期末)已知幂函数f()=(口2+2a-2）x2(a∈R)的图象不经过原点， 则fV2)=() A B. C.2或32 D.皮2 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高一上9江苏南通9期末)已知幂函数y=f()的图象过点P(2,V2),则y=f(x)+f1-x)的 定义域为 5.(2026高三全国？专题练习)已知幂函数y=x-m-6的图象与x轴无交点，则m的取值范围是() A.-2<m<3 B.-2≤m≤3 C.-3<m<2 D.-3≤m≤2 6.(25-26高一上山东枣庄？阶段检测)（多选）当∈ 3 时， 幂函数y=x“的图象不可能经过 的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(25-26高三上。上海阶段检测)幂函数y=F的图像是()· 8.(25-26高二下河北沧州期末)已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)x2在(0，+0）上单调递减，若正实 a2+1 数a,b满足a+b=m则b的最小值为() A.5 B.4 C.2V2-2 D.2V2+2 9.(25-26高一上重庆期中)若函数f(x)=x5且x<x2,则() A.(x-x2)f(x)-f(x)<0 B.x-x2>f(x)-f(x2) C.f(x)+x<f()+5 D. sf 10.(25-26高一上山西晋中·期中)函数f(x)=(-x2-5x+6)的单调递减区间为， ®素养提升 1.(25-26高一下四川眉山令期末)（多选）已知点2,2在幂函数f(x)=x的图象上，则下列叙述正 确的是() A.函数∫(x)是奇函数 B.函数f(x)是偶函数 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.f-号 D.函数∫(x)在定义域内是减函数 2.(25-26高三下重庆阶段检测)己知幂函数f(x)的图象经过点(16,2)，则() A.函数f(c)为奇函数 B.函数f(x)为增函数 C.若x>x>0,则 ff 2 D.若>x>0,则 f),生） 3.(25-26高一上福建龙岩阶段检测)己知幂函数f(x)=(m2-3m+3)x”的图象关于y轴对称. (1)求m的值： (2)设g(时)=x' 若对任意的 2,2],总存在5∈1-a,3a+小，使f)=g,)成立，求实数，的取值范 围 4.(25-26高一下贵州贵阳阶段检测)已知幂函数f(x)=(m-m-l)x”在(0，+∞)上单调递增， g(x)=2f(x)+1 (①)求函数f(x)的解析式： (2)求关于x的不等式g(x)-2ax>a+l-x的解集（其中a∈R)· 5.(24-25高一上福建厦门期中)已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)x-2(k∈Z☑)是偶函数，且在(0，+∞) 上单调递增。 (1)求函数f(x)的解析式： ②)判断函数g)=+4 x一在区间[2，+o)上的单调性，并证明， 11/11