专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，贵州专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）（多选）若不等式的解集为或，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．集合只有1个真子集 【答案】ACD 【分析】利用一元二次不等式解集的性质，求出，后，依次代入计算可判断各选项. 【详解】因为不等式的解集为或, 所以，为方程的两根， 所以,，解得，，所以，故正确； 将的值代入得，解得，故错误； ，故正确； 将的值代入可得，解得， 所以只有一个真子集，故正确. 故选：. 2．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）计算__________． 【答案】6 【分析】利用指数幂的运算规则可得答案. 【详解】原式 . 故答案为：6 3．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）根据条件求解下列式子的值： (1)计算； (2)已知，求的值； (3)已知，且，求的值. 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据分数指数幂的化简原则，计算即可得答案. （2），平方可得，再平方可得，代入所求，即可得答案. （3）根据立方和公式，化简整理，结合条件，即可求得答案. 【详解】（1）. （2），， ， . （3） . 考点02 指数函数 1．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法正确的为（   ） A．对任意实数，函数的图象必过定点 B． C．与的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】BC 【分析】根据解析式特点可得定点坐标，判断A；，利用中间值可比较大小，判断B，利用点的对称性可判断函数图象的对称性，判断C，求出函数定义域结合复合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，当，恒为2，所以函数的图象必过定点，A错误； 对于B，，，因为，所以， 又，所以，B正确； 对于C，设的图象上任意一点为，则有，其关于轴的对称点为， 因为，即在的图象上， 所以与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，由可得定义域为， 则在上单调递减，且为增函数， 故在上单调递减，D错误. 故选：BC 2．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】分别由题意证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选：A. 考点03 对数 1．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）（1）计算：； （2）化简（且）； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂、对数的运算性质计算可得； （2）根据指数幂的运算性质计算可得. 【详解】（1） ． （2）. 考点04 对数函数 1．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 2．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数（且）必过定点 B．函数（且）必过定点 C．函数的递增区间为 D．函数的递增区间为 【答案】BC 【分析】根据指数函数的性质，可判定A不正确；根据对数函数的性质，可判定B正确；根据复合函数的单调性的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】对于A，由函数，令，可得， 所以函数过定点，所以A错误； 对于B，由函数，令，可得， 所以函数过定点，所以B正确； 对于C，由函数，可得其图象开口向上，对称轴方程为， 可得函数在上单调递减，在单调递增， 又由函数为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得的递增区间为，所以C正确； 对于D，由函数，令， 解得或，即函数的定义域为， 且在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数得递增区间为，所以D错误. 故选：BC. 3．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）已知函数， 若， 则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的解析式，求得函数的定义域，再根据函数的奇偶性和复合函数的单调性，得出函数为奇函数且为单调递减函数，再根据函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即，解得， 又由，所以函数为奇函数， 令，可得函数为单调递减函数， 根据复合函数的单调性，可得函数为定义域上的单调递减函数， 因为，即， 则满足，解得. 故选：B. 【点睛】求解函数不等式的方法： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 4．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据对数函数的真数为正数，偶次方根的被开方数非负，列不等式组求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 5．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______. 【答案】 【分析】根据对数函数的图象求出定点的坐标，代入求出的值，然后计算函数值即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 令，解得，则， 所以点坐标为， 又点在幂函数的图象上，所以，解得， 所以， 所以， 故答案为： 6．（25-26高一上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知函数 ，若且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题设，结合对数函数的单调性即可得，再根据基本不等式即可求得答案. 【详解】解：由对数复合函数的单调性得函数在上单调递增， 因为， 所以函数在上，在上， 因为且， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 由于，所以等号不能取到， 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 7．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域 (3)判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】(1)3 (2) (3)函数为偶函数 证明：对任意， 由偶函数的定义可得函数为偶函数 【分析】(1)令，代入解析式计算即可； (2)对数有意义，即真数大于，列出不等式计算即可； (3) 函数为偶函数，利用偶函数的定义证明得出结论． 【详解】（1）令，则 （2）由题意:，解得，故定义域为； （3）略 【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，涉及函数的奇偶性和定义域，属基础题． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26高一上·贵州遵义·期中）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点的存在性定理即可求解. 【详解】因为在上单调递增， ， 根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故A错误; ， 根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故B错误; ， 根据零点的唯一性定理知函数在上有唯一零点，故C正确; ， 根据零点的唯一性定理知函数在上无零点，故D错误; 故选:C. 2．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（    ） A．25天 B．30天 C．35天 D．40天 【答案】B 【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答. 【详解】依题意，，解得，当时，， 即，解得，于是得，解得， 所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度. 故选：B 3．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）函数的零点所在的区间为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：可以求得，所以函数的零点在区间内．故选C． 考点：零点存在性定理． 4．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知函数，则的定义域为__________．的零点是__________． 【答案】 【分析】令求定义域，令即可求解零点. 【详解】已知函数， 令，得，所以的定义域为； 令，得，所以的零点是. 故答案为：； 5．（25-26高一上·贵州·期中）设，函数，当时，函数有______个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，根据零点的定义直接可得解；若函数恰有3个零点，设，分情况讨论和时函数的图象，进而讨论与的解的情况，数形结合即可得解. 【详解】当时，， 当时，恒成立， 设，令，可解得， 令，即，解得或， 即当时，函数有个零点； 当时，由可知， 当时，恒成立， 所以令，，即，方程有个解， 即当时，函数有个零点，不成立； 当时，当时在上单调递增，在单调递减， 且时，， 此时函数图象如图所示， 令，解得或， 即或， 又有且只有一解，则只能有两个解， 即， 解得， 故答案为：，. 6．（25-26高一上·贵州·期中）某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． (1)写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 【答案】(1)；3 (2)两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可. （2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较. 【详解】（1）由题意得使用年后：， 令，即，解得 因为，所以， 即从第3年开始，该设备开始盈利 （2）方案①：平均盈利额为， 当且仅当“”即时等号成立 第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元 方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元 第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 7．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【分析】（1）由题意求出的解析式即可； （2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 8．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）十一长假期间，某宾馆有个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天元时，房间会全部住满.当房间每天的房价每增加元时，就会多一个房间空闲.宾馆每天对游客入住过的每个房间需支出元的各项费用（人工费､消耗费用等等，没有游客入住的房间不用支付此项费用）.受市场调控，每个房间每天的房价不得高于元，设每个房间每天的房价增加元（且为的整数倍）. (1)设一天订住的房间数为，直接写出关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)（，且是的整数倍）； (2)（，且是的整数倍）； (3)一天订住个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是元. 【分析】（1）每天的房价增加元，就会空闲个房间，因此，由可得自变量的取值范围； （2）利用每个房间的利润乘以订住的房间数为，即可得与的函数关系式，注明的取值范围即可； （3）利用二次函数的性质求时的最大值以及取得最大值时的值即可. 【详解】（1）因为宾馆有个房间供游客住宿，房间每天的房价每增加元时，就会多一个房间空闲， 所以每天的房价增加元，就会空闲个房间，所以， 由可得， 所以关于的函数关系为：（，且是的整数倍）. （2）由题意可得宾馆一天的利润： （，且是的整数倍）. （3）由（2）得. 当时，随的增大而增大，又因为， 所以当时，取得最大值元，此时， 故一天订住个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是元. 9．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果. （2）由二次函数图像与性质即可得到最大值点和最大值. 【详解】（1）解：由题意可得， , 所以函数的函数关系式为 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时. 综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 10．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 11．（25-26高一上·贵州遵义·期中）某企业计划生产某新产品，前期需投入固定成本4万元，以后生产万千克该产品，需另投入成本万元，且已知该产品每千克的售价为8元，且该企业生产的这种产品能全部销售完．利润是收入与成本之差． (1)当时，求该企业这种产品的利润； (2)求该企业这种产品的利润（单位：万元）与生产量（单位：万千克）的函数关系式； (3)求该企业这种产品的利润的最大值． 【答案】(1)11万元 (2) (3)万元. 【分析】（1）根据利润是收入与成本之差结合代入求解； （2）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本万元即可求解； （3）根据二次函数的性质和基本不等式分别求分段函数两段的最大值，取最大的即可求解. 【详解】（1）当时，企业这种产品的利润为万元 （2）因为每千克产品的售价为元，所以万千克产品的销售收入为万元. 当时，； 当时，， 所以 （3）当时，， 此时当时，取得最大值（万元）. 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值（万元）. 因为，所以当月产量为万件时，企业所获利润最大，利润的最大值为万元. 12．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）（1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为. 所以，都有. 由，得， 所以函数为奇函数. （3） 【分析】（1）根据基本不等式，求得当时，取得最小值2.，进而求得的最大值为； （2）由奇函数的定义可判断，并证明函数为奇函数； （3）分离参数，构造新函数，通过求新函数的值域，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，. 因为，当且仅当时，取得最小值2. 所以当且仅当时，取得最大值，最大值为； 所以当时，的最大值为. （2）略 （3）由（1）知，当时，； 当时，，所以， 当且仅当，即时，取得最小值2. ，所以. 令，，则， 因为关于的方程有实数解， 所以有实数解，即有实数解. 令， 因为与在和上均单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递增. 或由，得在上单调递增，在上单调递增. 所以. 则. 所以的取值范围是. 13．（25-26高一上·贵州·期中）一般地，对于定义在区间上的函数： 若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点． 已知函数，（）． (1)求函数的不动点的集合； (2)若函数有两个相异的不动点，，且，求的取值范围； (3)若函数的不动点和稳定点的集合分别为和，当时，求的取值范围： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解方程可得结果； （2）由不动点定义得，将题干条件转化为二次函数在上有2个零点，列出不等式组求得的取值范围； （3）分和两种情况进行分析：显然符合条件，时，由和可得的初步范围，再分解的方程得到的构成，结合的条件分析方程的解的情况，最终确定的范围. 【详解】（1）不动点满足，即，整理得， ，解得或， 所以函数的不动点的集合为. （2）， 不动点满足，即，整理为， 令，由函数有两个相异的不动点，，且， 等价于在上有2个零点，因为， 则，解得， 所以的取值范围是. （3）由题意，为的解集，为的解集， ①当时，， 令，可得，所以， 令，可得，所以，满足； ②当时，令，由，需满足，解得， 令，即，上式可分解为， 由于，则方程的解属于或无解， 若无解，则，解得， 若的解属于， 令，即，解得， 此时的解为，而的解为和，符合条件. 所以的取值范围为. 综上，的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．ACD 2．6 3．【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据分数指数幂的化简原则，计算即可得答案. （2），平方可得，再平方可得，代入所求，即可得答案. （3）根据立方和公式，化简整理，结合条件，即可求得答案. 【详解】（1）. （2），， ， . （3） . 考点02 指数函数 1．BC 2．A 考点03 对数 1．【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂、对数的运算性质计算可得； （2）根据指数幂的运算性质计算可得. 【详解】（1） ． （2）. 考点04 对数函数 1．D 2．BC 3．B 4． 5． 6． 7．【答案】(1)3 (2) (3)函数为偶函数 证明：对任意， 由偶函数的定义可得函数为偶函数 【分析】(1)令，代入解析式计算即可； (2)对数有意义，即真数大于，列出不等式计算即可； (3) 函数为偶函数，利用偶函数的定义证明得出结论． 【详解】（1）令，则 （2）由题意:，解得，故定义域为； （3）略 【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，涉及函数的奇偶性和定义域，属基础题． 考点05 函数的应用（二） 1．C 2．B 3．C 4． 5． 6．【答案】(1)；3 (2)两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可. （2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较. 【详解】（1）由题意得使用年后：， 令，即，解得 因为，所以， 即从第3年开始，该设备开始盈利 （2）方案①：平均盈利额为， 当且仅当“”即时等号成立 第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元 方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元 第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 7．【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【分析】（1）由题意求出的解析式即可； （2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 8．【答案】(1)（，且是的整数倍）； (2)（，且是的整数倍）； (3)一天订住个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是元. 【分析】（1）每天的房价增加元，就会空闲个房间，因此，由可得自变量的取值范围； （2）利用每个房间的利润乘以订住的房间数为，即可得与的函数关系式，注明的取值范围即可； （3）利用二次函数的性质求时的最大值以及取得最大值时的值即可. 【详解】（1）因为宾馆有个房间供游客住宿，房间每天的房价每增加元时，就会多一个房间空闲， 所以每天的房价增加元，就会空闲个房间，所以， 由可得， 所以关于的函数关系为：（，且是的整数倍）. （2）由题意可得宾馆一天的利润： （，且是的整数倍）. （3）由（2）得. 当时，随的增大而增大，又因为， 所以当时，取得最大值元，此时， 故一天订住个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润是元. 9．【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元 【分析】（1）代入售价和成本即可得到利润结果. （2）由二次函数图像与性质即可得到最大值点和最大值. 【详解】（1）解：由题意可得， , 所以函数的函数关系式为 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时. 综上：当投入的肥料费用为6元时，该农作物单株获得的利润最大，为42元. 10．【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 11．【答案】(1)11万元 (2) (3)万元. 【分析】（1）根据利润是收入与成本之差结合代入求解； （2）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本万元即可求解； （3）根据二次函数的性质和基本不等式分别求分段函数两段的最大值，取最大的即可求解. 【详解】（1）当时，企业这种产品的利润为万元 （2）因为每千克产品的售价为元，所以万千克产品的销售收入为万元. 当时，； 当时，， 所以 （3）当时，， 此时当时，取得最大值（万元）. 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值（万元）. 因为，所以当月产量为万件时，企业所获利润最大，利润的最大值为万元. 12．【答案】（1） （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域为. 所以，都有. 由，得， 所以函数为奇函数. （3） 【分析】（1）根据基本不等式，求得当时，取得最小值2.，进而求得的最大值为； （2）由奇函数的定义可判断，并证明函数为奇函数； （3）分离参数，构造新函数，通过求新函数的值域，求得的取值范围. 【详解】（1）当时，. 因为，当且仅当时，取得最小值2. 所以当且仅当时，取得最大值，最大值为； 所以当时，的最大值为. （2）略 （3）由（1）知，当时，； 当时，，所以， 当且仅当，即时，取得最小值2. ，所以. 令，，则， 因为关于的方程有实数解， 所以有实数解，即有实数解. 令， 因为与在和上均单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递增. 或由，得在上单调递增，在上单调递增. 所以. 则. 所以的取值范围是. 13．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解方程可得结果； （2）由不动点定义得，将题干条件转化为二次函数在上有2个零点，列出不等式组求得的取值范围； （3）分和两种情况进行分析：显然符合条件，时，由和可得的初步范围，再分解的方程得到的构成，结合的条件分析方程的解的情况，最终确定的范围. 【详解】（1）不动点满足，即，整理得， ，解得或， 所以函数的不动点的集合为. （2）， 不动点满足，即，整理为， 令，由函数有两个相异的不动点，，且， 等价于在上有2个零点，因为， 则，解得， 所以的取值范围是. （3）由题意，为的解集，为的解集， ①当时，， 令，可得，所以， 令，可得，所以，满足； ②当时，令，由，需满足，解得， 令，即，上式可分解为， 由于，则方程的解属于或无解， 若无解，则，解得， 若的解属于， 令，即，解得， 此时的解为，而的解为和，符合条件. 所以的取值范围为. 综上，的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）（多选）若不等式的解集为或，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．集合只有1个真子集 2．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）计算__________． 3．（25-26高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中）根据条件求解下列式子的值： (1)计算； (2)已知，求的值； (3)已知，且，求的值. 考点02 指数函数 1．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）（多选）下列说法正确的为（   ） A．对任意实数，函数的图象必过定点 B． C．与的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 2．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 考点03 对数 1．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）（1）计算：； （2）化简（且）； 考点04 对数函数 1．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数（且）必过定点 B．函数（且）必过定点 C．函数的递增区间为 D．函数的递增区间为 3．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）已知函数， 若， 则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 4．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）函数的定义域为__________. 5．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______. 6．（25-26高一上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知函数 ，若且，则的取值范围是_____． 7．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）已知函数． (1)求的值； (2)求函数的定义域 (3)判断函数的奇偶性，并证明. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26高一上·贵州遵义·期中）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（    ） A．25天 B．30天 C．35天 D．40天 3．（25-26高一上·贵州毕节金沙县第五中学·期中）函数的零点所在的区间为 A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州遵义·期中）已知函数，则的定义域为__________．的零点是__________． 5．（25-26高一上·贵州·期中）设，函数，当时，函数有______个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为______． 6．（25-26高一上·贵州·期中）某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． (1)写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． (2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 7．（25-26高一上·贵州月期中学·期中）为全面实施乡村振兴战略，践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 8．（25-26高一上·贵州镇宁民族中学·期中）十一长假期间，某宾馆有个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天元时，房间会全部住满.当房间每天的房价每增加元时，就会多一个房间空闲.宾馆每天对游客入住过的每个房间需支出元的各项费用（人工费､消耗费用等等，没有游客入住的房间不用支付此项费用）.受市场调控，每个房间每天的房价不得高于元，设每个房间每天的房价增加元（且为的整数倍）. (1)设一天订住的房间数为，直接写出关于的函数关系式及自变量的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 9．（25-26高一上·贵州师范大学附属中学·期中）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展，为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕产业发展生态化，生态建设产业化”思路，某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为5元/，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元） (1)求的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 10．（25-26高一上·贵州县中新学校·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 11．（25-26高一上·贵州遵义·期中）某企业计划生产某新产品，前期需投入固定成本4万元，以后生产万千克该产品，需另投入成本万元，且已知该产品每千克的售价为8元，且该企业生产的这种产品能全部销售完．利润是收入与成本之差． (1)当时，求该企业这种产品的利润； (2)求该企业这种产品的利润（单位：万元）与生产量（单位：万千克）的函数关系式； (3)求该企业这种产品的利润的最大值． 12．（25-26高一上·贵州遵义第二十三中学·期中）（1）当时，求的最大值； （2）判断函数的奇偶性，并加以证明； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 13．（25-26高一上·贵州·期中）一般地，对于定义在区间上的函数： 若存在，使得，则称为函数的一阶不动点，简称不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，简称稳定点． 已知函数，（）． (1)求函数的不动点的集合； (2)若函数有两个相异的不动点，，且，求的取值范围； (3)若函数的不动点和稳定点的集合分别为和，当时，求的取值范围： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $