第七单元 可能性（思维拓展培优）-五年级上册数学从课本到奥数系列讲义（人教版）

第七单元 可能性（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：事件的确定性与不确定性分类 1. 确定事件 (1) 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。 1　 关键词：“一定”、“肯定”、“总是”。 2　 示例：太阳从东方升起；掷一枚标准的正方体骰子，点数小于7。 (2) 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 1　 关键词：“不可能”、“绝不”。 2　 示例：太阳从西方升起；掷一枚标准的正方体骰子，点数是7。 2. 不确定事件（随机事件） (1) 定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 1　 关键词：“可能”、“也许”、“不一定”。 2　 示例：明天会下雨；抛硬币正面朝上；抽奖中奖。 (2) 思维拓展要点： 1　 判断事件类型时，必须明确“条件”。条件改变，事件性质可能改变（例如：在标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件；但在高原低压环境下，则不是）。 2　 “可能”包含两种情况：发生或不发生，不能因为发生过就认为下次“一定”发生，也不能因为没发生过就认为“不可能”发生。 知识点二：可能性大小的定性描述 1. 基本判断原则 (1) 在总数一定的情况下，某种结果对应的数量越多，出现的可能性就越大；数量越少，出现的可能性就越小。 (2) 如果两种结果对应的数量相等，则它们出现的可能性相等。 2. 常用描述词汇及其对应关系 (1) 极大可能性：对应数量占绝大多数（接近全部）。描述为“经常”、“很可能”。 (2) 极小可能性：对应数量占极少数（接近零）。描述为“偶尔”、“不太可能”。 (3) 中等可能性：对应数量适中。描述为“有时”、“可能”。 (4) 相等可能性：对应数量相同。描述为“机会均等”。 3. 思维拓展要点 (1) 误区警示：可能性大不代表“一定”发生，可能性小不代表“一定”不发生。小概率事件在一次试验中也可能发生，大概率事件在一次试验中也可能不发生。 (2) 整体与部分：比较可能性大小时，要看清比较的对象是“单一颜色/数字”还是“某类颜色/数字组合”。例如：红球5个，蓝球3个，黄球2个。摸到红球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小；但摸到“非红球”（蓝+黄=5个）的可能性与摸到红球的可能性相等。 知识点三：随机试验规律与数据推测 1. 频率与概率的关系（大数定律启蒙） (1) 单次试验：结果是随机的、不可预测的。 (2) 大量重复试验：随着试验次数的增加，各种结果出现的频率会逐渐稳定在一个固定的数值附近。这个稳定的数值反映了该结果发生的可能性大小。 (3) 结论：试验次数越多，统计结果越接近理论上的可能性分布。 2. 根据数据反推物体特征 (1) 逆向思维：如果在一个不透明的盒子中进行多次摸球试验（每次摸出后放回并摇匀），统计发现摸到红球的次数远多于白球。 (2) 合理推测：可以推断盒子中红球的数量可能比白球多。 (3) 注意：这只是基于数据的“推测”，并非绝对事实。如果试验次数不够多，推测可能存在偏差。 知识点四：游戏的公平性判断与设计 1. 公平性的数学定义 (1) 一个游戏对各方参与者是公平的，当且仅当所有参与者获胜的可能性相等。 (2) 若获胜可能性不相等，则游戏不公平，对可能性大的一方有利。 2. 常见游戏模型的公平性判断 (1) 抛硬币：正面朝上和反面朝上的可能性均为1/2，公平。 (2) 掷骰子： 1　 规则A：点数大于3甲赢，点数小于3乙赢。（不公，因为大于3有4,5,6三种情况，小于3只有1,2两种情况，甲赢面大）。 2　 规则B：点数为奇数甲赢，点数为偶数乙赢。（公平，奇偶各3个，可能性相等）。 (3) 转盘游戏：指针停在某个区域的可能性与该区域的面积大小成正比。若双方对应的区域面积相等，则公平；否则不公平。 3. 设计公平游戏的策略 (1) 等量原则：确保代表双方获胜条件的物品数量、区域面积或数字个数完全相等。 (2) 对称原则：利用几何对称性或数字奇偶性等天然对称属性来设计规则。 (3) 修改不公规则：如果游戏规则不公，可以通过调整物品数量、改变获胜条件或引入“重来”机制（如掷出特定数字无效）来使其变得公平。 4. 思维拓展要点 (1) 表面公平 vs 实质公平：有些游戏看起来道具一样，但规则隐含偏见。需通过列举所有可能的结果（样本空间）来计算各自的胜率，用数据说话，而非凭感觉判断。 重难点题型精讲 题型一、事件的确定性与不确定性分类 【例题1】在括号里填上“一定”“可能”或“不可能”。 (1)今天是晴天，明天( )是雨天。 (2)小红今年12岁，明年( )是13岁。 (3)弟弟的年龄( )比哥哥的年龄大。 【答案】(1)可能 (2)一定 (3)不可能 【分析】无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。 在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件。 在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 【详解】（1）今天是晴天，明天可能是雨天。 （2）小红今年12岁，明年一定是13岁。 （3）弟弟的年龄不可能比哥哥的年龄大。 【跟踪训练1】结合自己的生活经验，在（    ）里填“一定”“可能”“不可能”。 (1)掷一枚骰子，得到的点数比1小。( ) (2)2月有28天。( ) (3)明天是阴天。( ) (4)太阳每天都是东升西落。( ) 【答案】(1)不可能 (2)可能 (3)可能 (4)一定 【分析】一定发生的事指的是某种事件或情况在未来的某个时间点或时间段内必然会发生，没有任何的偶然性或不确定性；不可能事件是任何情况下都不可能会发生的事件；可能性事件是指事件可能发生也可能不发生，是不确定的。 【详解】（1）骰子的点数是1、2、3、4、5、6，不存在比1小的点数，所以这件事完全不会发生，填“不可能”。 （2）平年的2月有28天，闰年的2月有29天，所以2月有28天是会在部分年份出现的情况，填“可能”。 （3）明天的天气是不确定的，明天可能是晴天、阴天、雨天等各种天气情况，所以阴天是可能发生的，填“可能”。 （4）太阳的运行规律固定是每天东升西落，这件事必然发生，填“一定”。 题型二、可能性大小的定性描述 【例题2】一个袋子里有5个红球、3个黄球，任意摸出一个，摸到( )球的可能性大；如果再放入( )个黄球，摸到两种球的可能性相等；至少放入( )个黄球，摸到黄球的可能性比红球大。 【答案】 红 2 3 【分析】（1）可能性的大小和对应物体的数量有关，数量越多，摸到的可能性越大，比较红球和黄球数量即可； （2）要使摸到两种球的可能性相等，需要两种球的数量相同。用红球数量减去黄球数量，即为需要再放入的黄球数量； （3）要使摸到黄球的可能性比红球大，黄球的数量需要比红球多，至少多1个，再减去黄球原有的数量，即为至少放入的数量。 【详解】（1）因为5＞3，所以红球数量多，即任意摸出一个，摸到红球的可能性大； （2）5－3＝2（个） 如果再放入2个黄球，摸到两种球的可能性相等； （3）5＋1＝6（个） 6－3＝3（个） 至少放入3个黄球，摸到黄球的可能性比红球大。 【跟踪训练2】利民超市为了庆祝十周年店庆，制作了一个抽奖转盘，分别设置了一、二、三等奖。请你帮忙在转盘上写一写，使获得一等奖的可能性最小，三等奖的可能性最大。 【答案】（答案不唯一） 【分析】这个抽奖转盘被平均分成了8等份，要使得三等奖可能性最大，那就意味着三等奖出现的次数要最多，一等奖可能性最小，那就让一等奖出现的次数最少即可。 【详解】作图略。 题型三、随机试验规律与数据推测 【例题3】盒子里有4种不同颜色的球（这些球除颜色外均相同）。小明摸了55次，摸球的情况如下表。 颜色 红色 黄色 蓝色 黑色 次数 7次 20次 13次 15次 根据上面的数据推测，盒子里（    ）色的球可能最多，（    ）色的球可能最少。 A．红；蓝 B．黄；红 C．蓝；红 D．黑色；黄 【答案】B 【分析】在摸球总次数固定时，摸出某种颜色球的次数越多，盒子里该颜色的球可能越多；摸出次数越少，该颜色的球可能越少。 【详解】比较各颜色摸出的次数：20＞15＞13＞7，黄色摸出次数最多，对应黄色球可能最多。红色摸出次数最少，对应红色球可能最少。 【跟踪训练3】盒子里有白球和黑球，小明从盒子里每次摸出一个，记录下颜色，再放回去摇匀，重复20次，记录结果如下表，盒子里可能( )球多( )球少。 颜色 次数 白色 13 黑色 7 【答案】 白色 黑色 【分析】根据摸出次数多少推断哪个颜色的球多，摸出次数多的那个颜色的球多。 【详解】由题可得，白球摸出次数是13次，黑球摸出次数是7次，13＞7 ； 所以盒子里可能白色球多，黑色球少。 题型四、游戏的公平性判断与设计 【例题4】利用下面的转盘设计甲、乙两人玩游戏的规则。想一个公平的办法：指针停在( )甲赢，指针停在( )乙赢。 【答案】 1、2、3、4号区域 5、6、7、8号区域 【分析】1号区域与5号区域面积相等，2号区域与6号区域面积相等，3号区域与7号区域面积相等，4号区域与8号区域面积相等。当指针所停区域面积相等时，制定的游戏规则公平；反之则不公平。据此进行判断。 【详解】1、2、3、4号区域的面积和等于5、6、7、8号区域的面积和，所以指针停在（1、2、3、4号区域）甲赢，指针停在（5、6、7、8号区域）乙赢。 【跟踪训练4】方方和点点用6张扑克牌做游戏。 （1）每人从6张牌中任意摸出两张，将摸到的两张牌上的数加起来。若小于7，则算方方胜；否则算点点胜。这个游戏规则公平吗？ （2）请你为他俩设计一个公平的游戏规则。 【答案】（1）不公平； （2）每人从6张牌中任意摸出一张，摸到奇数方方胜，摸到偶数点点胜。（答案不唯一） 【分析】（1）先把6张牌两两组合，依次求出两张牌上的数字之和，观察和小于7的情况有几种，和大于等于7的情况有几种，如果和小于7与和大于等于7的情况相等，那么游戏规则公平，否则不公平； （2）设计游戏规则时，如果要使游戏公平，那么要使两人获胜的可能性一样大，如：每人从6张牌中任意摸出一张，摸到奇数方方胜，摸到偶数点点胜，设计合理即可。 【详解】（1）1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，1＋6＝7； 2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，2＋6＝8； 3＋4＝7，3＋5＝8，3＋6＝9； 4＋5＝9，4＋6＝10； 5＋6＝11。 由上可知，和小于7的情况有6种，和大于等于7的情况有9种，因为9＞6，和大于等于7的可能性比较大，所以点点获胜的可能性比较大，这个游戏规则不公平。 答：这个游戏规则不公平，因为和大于等于7的可能性比和小于7的可能性大，所以点点获胜的可能性比较大，即这个游戏规则不公平。 （2）游戏规则略。（答案不唯一） 培优练习 1．下面的事件中，是确定事件的有（    ）。 ①月球绕着地球转                ②两个真分数相乘，积小于每一个分数 ③明天是晴天                    ④我们在教室里上课 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】确定事件是指一定发生或者一定不会发生的事件，不确定事件指可能发生也可能不发生的事。 【详解】①月球绕着地球转是固定的自然规律，一定会发生，属于确定事件； ②真分数都小于1，一个数乘小于1的数，积小于原数，因此两个真分数相乘，积一定小于每一个真分数，属于确定事件； ③明天的天气存在多种可能，可能是晴天，也可能是其他天气，属于不确定事件； ④上课的地点不固定，可能是教室，也可能是操场等其他场所，属于不确定事件。 综上，确定事件共有2个。 2．表示事件发生的可能性很大的成语是（    ）。 A．千载难逢 B．大海捞针 C．痴人说梦 D．十拿九稳 【答案】D 【分析】根据每个成语所表达的含义，判断其代表的事件发生的可能性大小，然后找出表示事件发生可能性很大的成语。 【详解】A．“千载难逢”意思是一千年里也难碰到一次，形容机会极其难得，说明该事件发生的可能性非常小； B．“大海捞针”是指在大海里捞一根针，大海面积广阔，针又小，要捞到针的难度极大，意味着该事件发生的可能性极小； C．“痴人说梦”原指对痴人说梦话而痴人信以为真，比喻凭借荒唐的想象胡言乱语，说明该事件发生的可能性几乎为零； D．“十拿九稳”形容做事情很有把握，发生的可能性很大。 3．一个不透明的袋子中有若干个黑球、白球和红球，这些球除颜色外其他完全相同，涛涛从袋子里任意摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，共摸球36次，结果如下表，下面说法错误的是（    ）。 球的颜色 黑色 白色 红色 次数 25 1 10 A．再摸一次，可能会摸到白球 B．袋子里的红球一定比白球多 C．袋子里的黑球可能最多 D．再摸一次，不可能摸到绿球 【答案】B 【分析】如果袋子里存在某颜色的球，那么摸一次就有摸到该颜色球的可能性，与之前摸到的次数多少无关；如果某颜色球被摸到的可能性大，可以推测出其数量可能更多，但不能得出“一定”的确定性结论；据此逐一分析。 【详解】A．袋子里有白球，再摸一次可能摸到白球，说法正确； B．摸球次数只能说明摸到红球的可能性比白球大，不能确定红球的实际数量一定比白球多，说法错误； C．摸出黑球的次数最多，说明袋子里的黑球可能最多，说法正确； D．袋子里没有绿球，再摸一次不可能摸到绿球，说法正确。 4．同学们玩摸球游戏，盒子里的球除颜色外完全相同。每次摸出1个球，看完颜色后放回摇匀，小丽前6次摸到球的情况为：黄、白、白、黄、白、白。她第7次可能摸到什么球？以下说法正确的是（    ）。 A．盒子里的白球多，第7次一定能摸到白球。 B．前6次中有4次摸到白球，第7次摸出黄球的可能性大。 C．盒子里有黄球和白球，第7次黄球和白球都有可能摸到。 D．前面出现了两组“黄、白、白”，第7次一定会摸到黄球。 【答案】C 【分析】每一次摸球都是独立的随机事件，之前的摸球结果不会影响下一次的摸球情况。 【详解】A．虽然白球数量更多，但只能说摸到白球的可能性更大，不是“一定能摸到白球”，说法错误。 B．盒子里白球数量比黄球多，摸到白球的可能性本来就比黄球大，前6次的结果不会让第7次摸黄球的可能性变大，说法错误。 C．盒子里既有黄球也有白球，所以第7次摸球时，两种颜色的球都有可能被摸到，说法正确。 D．摸球没有固定的循环规律，不会因为之前出现了两组“黄、白、白”，第7次就一定摸到黄球，说法错误。 5．如图，转盘被平均分成6个区域，转动转盘上的指针，每转动一次，指针停在某个区域里面，就记录转动次数为1次。如果指针停在两个区域的公共边上，不记录次数，重新转动。按照这样的要求转动500次后，停在6个区域的次数如下表所示： 区域A 区域B 区域C 区域D 区域E 区域F 68 86 109 81 71 86 随着转动次数的增加，指针停在6个区域的次数会呈现的规律是（    ）。 A．停在C的次数最多 B．停在A的次数最少 C．停在B和F的次数一定同样多 D．停在六个区域的次数越来越接近 【答案】D 【分析】这个转盘是平均分成6个大小完全一样的区域，每个区域被指针指向的可能性是相等的，逐个分析选项。 【详解】A．现在转500次的结果里C次数最多，这只是少量转动的偶然情况，转动次数继续增加后，结果不一定还保持这个状态，不是长期的规律。 B．现在转500次的结果里A次数最少，这只是少量转动的偶然情况，转动次数继续增加后，结果不一定还保持这个状态，不是长期的规律。 C．B和F现在次数相同，但转动是随机的，不可能保证后续它们的次数“一定同样多”，这个说法太绝对，不符合随机现象的特点。 D．当转动的总次数越来越多的时候，因为6个区域的大小完全相等，指针停在六个区域的次数就会越来越接近，这是等可能性随机事件的规律。 6．用“一定”“可能”或“不可能”填空。 (1)闽南用谚语“立夏小满，雨水相赶”来形容梅雨季节雨水多，如果从周一到周五已经连续降雨5天，那么周六( )会下雨。 (2)下周北京市外地车辆限号出行如下。宁叔叔下周要驾车去北京市开会，他的车( )会被限行；确定下周三去开会，( )会被限行。 星期 一 二 三 四 五 限行尾号 4和9 5和0 1和6 2和7 3和8 【答案】(1)可能 (2) 可能 不可能 【分析】对于（1），明确降雨是随机事件，不存在连续降雨后后续必然降雨的规律，因此判断事件发生的确定性。 对于（2）第一空，先提取车辆尾号，再对比周一到周五的限行尾号范围，判断整个下周是否存在限行的可能性。 对于（2）第二空，先确定周三的限行尾号，再将车辆尾号与之对比，判断该日限行的确定性。 【详解】（1）之前连续5天下雨不代表周六一定下雨，也不是绝对不会下雨，周六下雨是不确定的随机情况，所以填“可能”。 （2）宁叔叔还没确定下周哪一天去开会，他的车尾号是5，下周只有周二限行尾号5，他如果选周二去就会被限行，选其他日子去就不会被限行，结果不确定，所以填“可能”。 已经确定周三去，周三的限行尾号是1和6，他的车尾号是5，不在周三的限行范围内，绝对不会被限行，所以填“不可能”。 7．盒子里有7个红球和9个黄球，从中任意摸出1个球，摸出( )球的可能性较大；要想摸出红球和黄球的可能性一样大，在红球个数不变的情况下，需要减少( )个黄球。 【答案】 黄 2 【分析】盒子里哪种颜色球数量多，摸到它的可能性就大；两种球数量相等时，摸到的可能性一样大。 【详解】对比红球和黄球数量，9大于7，黄球数量更多，摸到黄球可能性大。 9－7＝2（个），红球个数不变，减少2个黄球，摸到的可能性一样大。 8．某十字口红绿灯的时间设置为红灯90秒，黄灯3秒，绿灯50秒。当你随意经过这个路口时，遇到交通信号灯有( )种可能，遇到( )灯的可能性最大。 【答案】 红 【分析】交通信号灯的状态属于不确定事件，可能性的种类由灯的颜色种类决定；可能性的大小与每种灯亮的时间长短有关，在总周期内，某种灯亮的时间越长，遇到该种灯的可能性就越大。 【详解】确定可能性的种类：交通信号灯分为红灯、黄灯、绿灯，共种状态，所以遇到交通信号灯有3种可能。 比较可能性的大小： 红灯亮的时间为秒，绿灯亮的时间为秒，黄灯亮的时间为秒。比较三个数的大小：。因为红灯亮的时间最长，根据可能性大小的判断方法，占据的时间越长，遇到的可能性越大，所以遇到红灯的可能性最大。 因此，某十字口红绿灯的时间设置为红灯90秒，黄灯3秒，绿灯50秒。当你随意经过这个路口时，遇到交通信号灯有3种可能，遇到红灯的可能性最大。 9．玲玲和华华玩游戏，在标有数字2、5、7、8的四张卡片中一次性抽出两张。若点数之和是单数，则玲玲赢：若点数之和是双数，则华华赢。在这个游戏中，玲玲赢的可能性( )华华赢的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】先把从4张卡片里抽两张的所有可能的和都算出来；再根据，数量越多的可能性就越大，比较结果单数多还是双数多即可。 【详解】2＋5＝7（单数） 2＋7＝9（单数） 2＋8＝10（双数） 5＋7＝12（双数） 5＋8＝13（单数） 7＋8＝15（单数） 和是单数的有4种，和是双数的只有2种。 4＞2，所以玲玲赢的可能性大于华华赢的可能性。 10．现有3枚黑棋，将它们放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到黑棋的可能性大；放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到白棋的可能性大。如果维维和奇奇玩游戏，规定摸出黑棋维维胜，摸出白棋奇奇胜，那么这3枚黑棋放进( )号箱中游戏最公平。（填序号） 【答案】 ③ ① ② 【分析】要判断摸到哪种棋子的可能性大，就看哪种棋子数量多；要游戏公平，就要让黑棋和白棋数量一样多。原来箱子里只有白棋，放入3枚黑棋后，分别看每个箱子中黑白两色棋子谁多谁少。 【详解】①号箱：原有6枚白棋，黑棋：3枚，白棋：6枚，白棋多，摸到白棋可能性大； ②号箱：原有3枚白棋，黑棋：3枚，白棋：3枚，黑棋、白棋同样多，游戏最公平； ③号箱：原有1枚白棋，黑棋：3枚，白棋：1枚，黑棋多，摸到黑棋可能性大。 因此，放入③号箱，黑棋数量多，摸到黑棋可能性大； 放入①号箱，白棋数量多，摸到白棋可能性大； 放入②号箱，黑棋、白棋数量相等，游戏最公平。 11．按要求涂一涂。 （1）可能摸到红球、黄球或黑球。 （2）可能摸到红球、黄球或黑球，并且摸到红球的可能性最大，摸到黄球和黑球的可能性一样大。 【答案】见详解 【分析】（1）可能摸到红球、黄球或黑球，那么这些球中要有红、黄、黑这三种颜色的球，据此涂色。 （2）根据可能性大小的判断方法，要使摸到红球的可能性最大，摸到黄球和黑球的可能性一样大，那么这些球中，红球的数量最多，黄球和黑球的数量一样多，据此涂色。 【详解】（1）如图： （答案不唯一） （2）如图： （答案不唯一） 12．如下图，盒子里有大小、质地相同的三种球，分别是、、，任意摸一个，要使摸出的可能性最大，摸出的可能性最小，盒子里的球可能是怎样的？请你涂一涂。 【答案】（涂法不唯一） 【分析】根据题目要求，的数量要最多，这样摸到的概率才最大．的数量最少，这样摸到的概率才最小。此题的答案不唯一，只要符合要求即可。 【详解】据分析可知，涂3个，涂4个，剩下的7个为，，这样任意摸一个，摸出的可能性最大，摸出的可能性最小。（答案不唯一）作图略。 13．某文具店开展促销活动，他们在店门口设计了一个转盘，顾客只要消费满10元就可以转动转盘一次，已知转盘上共有5个区域，它们分别是：谢谢参与、书包、钢笔、格尺、橡皮。如果“谢谢参与”出现的可能性最大，其他奖品出现的可能性从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮。请你在下面的转盘上标出它们的位置。 【答案】 【分析】转盘上区域面积越大，转到的可能性就越大。“谢谢参与”的可能性最大，它占的扇形面积最大，其他奖品出现的可能性从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮，对应的扇形面积从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮，据此标出位置。 【详解】略 14．小红和小西玩跳棋游戏，他们掷骰子决定谁先走：点数大于3，小红先走；点数小于3，小西先走；点数是3就重新掷。 （1）这个规则公平吗？为什么？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】（1）不公平；因为两人先走的可能性不相等。（理由不唯一） （2）掷骰子，点数是奇数（1、3、5）小红先走，点数是偶数（2、4、6）小西先走。（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）骰子的点数有1、2、3、4、5、6，共6种可能。小红先走的情况：点数大于 3（4、5、6），共3种可能；小西先走的情况：点数小于3（1、2），共2种可能； 重新掷的情况：点数是3，共1种可能。 由于小红和小西先走的可能性数量不同（3≠2），因此这个规则不公平。 （2）公平规则需保证两人先走的可能性数量相等，例如：掷骰子，点数是奇数（1、3、5），小红先走；点数是偶数（2、4、6），小西先走。（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）不公平。 因为小红先走的情况有3种（4、5、6），小西先走的情况只有2种（1、2），两人先走的可能性不相等。 （2）略。 15．元旦这天，和平路超市推出了大型抽奖活动，只要购物满100元就可以抽奖一次。奖品设置情况见下表。 奖项 一等奖 微波炉1台 二等奖 电风扇1台 三等奖 大米1袋 纪念奖 抽纸1盒 奖券数量 1张 5张 30张 400张 截止到中午12时，已经抽出一等奖1张，二等奖1张，三等奖7张，纪念奖384张。这时，王叔叔购物也满100元。他去抽奖，不可能抽到什么奖？他抽到什么奖的可能性最大？（请说明理由） 【答案】一等奖；三等奖 【分析】由题可知，奖项有微波炉、电风扇、大米、抽纸，由于一等奖只有1张，已经抽出去了，所以王叔叔不可能抽到一等奖；再根据剩下奖券的数量的多少，数量越多，抽到的可能性最大，数量越少，抽到的可能性越小，据此解答。 【详解】一等奖已抽完，所以他去抽奖，不可能抽到一等奖。 一等奖剩余：1－1＝0（张） 二等奖剩余：5－1＝4（张） 三等奖剩余：30－7＝23（张） 纪念奖剩余：400－384＝16（张） 23＞16＞4＞0，所以抽到三等奖的可能性最大。 答：他去抽奖，不可能抽到一等奖；他抽到三等奖的可能性最大。 16．乐乐和多多做小数乘除法计算游戏，乐乐每次从下面的卡片中任意拿出一张（卡片向下，看不到卡片上的算式），用多多手上的2.8去乘或除以乐乐拿出的卡片，得数大于2.8就算乐乐赢，得数小于2.8就算多多赢。 (1)( )赢的可能性大，我是这样想的：( )。 (2)如果让你修改一张卡片，使这个游戏变公平。你将怎样修改？ 【答案】(1) 乐乐 得数大于2.8的有5张，得数小于2.8的有3张，5＞3，所以乐乐赢的可能性大 (2)我把上面的卡片÷0.1改成×0.1，2.8×0.1＜2.8，这样得数大于2.8，得数小于2.8的都有4种可能，这个游戏就公平了。（修改方法不唯一） 【分析】一个非0数乘大于1的数，结果比原数大；乘小于1的数，结果比原数小；除以小于1的数（0除外），结果比原数大；除以大于1的数，结果比原数小。分别统计结果大于2.8的卡片数量和小于2.8的卡片数量，哪类数量多则对应赢的可能性大。 要使游戏公平，因为需让两类结果的卡片数量相等。 【详解】（1）乐乐赢（结果＞2.8）的卡片：÷0.1、×3.5、×1.3、×4.7、÷0.7，共5张； 多多赢（结果＜2.8）的卡片：×0.58、÷1.2、÷2.7，共3张； 得数大于2.8的有5种，得数小于2.8的有3种，5＞3，所以乐乐赢的可能性大。 （2）要让游戏公平，只要修改1张乐乐赢的卡片，把它变成结果小于2.8的卡片。把上面的卡片÷0.1改成×0.1，2.8×0.1＜2.8，这样两类结果的卡片数量相等，这个游戏就公平了。 17．转盘游戏。 (1)转动甲转盘，转盘停止转动后，指针( )指向黄色区域；转动乙转盘，转盘停止转动后，指针( )指向红色区域。（填“一定”“可能”或“不可能”） (2)请你设计一个丙转盘，使转盘停止转动后，指针指向的情况有红、黄、蓝3种可能，且指向红色区域的可能性比蓝色区域大。 【答案】(1) 不可能 一定 (2)（画法不唯一） 【分析】（1）在一定条件下，一些事件的结果是可以预知的，具有确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述；一些事件的结果是不可预知的，具有不确定性，不确定的事件用“可能”来描述；可能性有大有小，每种颜色所占区域面积越大，指针指向它的可能性越大。 （2）使转盘停止转动后，指针指向的情况有红、黄、蓝3种可能，说明转盘上有红、黄、蓝三种颜色；指向红色区域的可能性比蓝色区域大，说明红色区域大于蓝色区域；据此画图。（画法不唯一） 【详解】（1）甲转盘中只有红和蓝两种颜色，没有黄色，指向黄色这件事确定不会发生，所以转盘停止转动后，指针不可能指向黄色区域； 乙转盘中只有红色，所以转盘停止转动后，指针必然落在红色区域，结果确定，所以指针一定指向红色区域； （2）由分析可知，丙转盘中，红色占两份，蓝色一份，黄色一份，画图略。（画法不唯一） 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 可能性（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：事件的确定性与不确定性分类 1. 确定事件 (1) 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。 1　 关键词：“一定”、“肯定”、“总是”。 2　 示例：太阳从东方升起；掷一枚标准的正方体骰子，点数小于7。 (2) 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 1　 关键词：“不可能”、“绝不”。 2　 示例：太阳从西方升起；掷一枚标准的正方体骰子，点数是7。 2. 不确定事件（随机事件） (1) 定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 1　 关键词：“可能”、“也许”、“不一定”。 2　 示例：明天会下雨；抛硬币正面朝上；抽奖中奖。 (2) 思维拓展要点： 1　 判断事件类型时，必须明确“条件”。条件改变，事件性质可能改变（例如：在标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件；但在高原低压环境下，则不是）。 2　 “可能”包含两种情况：发生或不发生，不能因为发生过就认为下次“一定”发生，也不能因为没发生过就认为“不可能”发生。 知识点二：可能性大小的定性描述 1. 基本判断原则 (1) 在总数一定的情况下，某种结果对应的数量越多，出现的可能性就越大；数量越少，出现的可能性就越小。 (2) 如果两种结果对应的数量相等，则它们出现的可能性相等。 2. 常用描述词汇及其对应关系 (1) 极大可能性：对应数量占绝大多数（接近全部）。描述为“经常”、“很可能”。 (2) 极小可能性：对应数量占极少数（接近零）。描述为“偶尔”、“不太可能”。 (3) 中等可能性：对应数量适中。描述为“有时”、“可能”。 (4) 相等可能性：对应数量相同。描述为“机会均等”。 3. 思维拓展要点 (1) 误区警示：可能性大不代表“一定”发生，可能性小不代表“一定”不发生。小概率事件在一次试验中也可能发生，大概率事件在一次试验中也可能不发生。 (2) 整体与部分：比较可能性大小时，要看清比较的对象是“单一颜色/数字”还是“某类颜色/数字组合”。例如：红球5个，蓝球3个，黄球2个。摸到红球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小；但摸到“非红球”（蓝+黄=5个）的可能性与摸到红球的可能性相等。 知识点三：随机试验规律与数据推测 1. 频率与概率的关系（大数定律启蒙） (1) 单次试验：结果是随机的、不可预测的。 (2) 大量重复试验：随着试验次数的增加，各种结果出现的频率会逐渐稳定在一个固定的数值附近。这个稳定的数值反映了该结果发生的可能性大小。 (3) 结论：试验次数越多，统计结果越接近理论上的可能性分布。 2. 根据数据反推物体特征 (1) 逆向思维：如果在一个不透明的盒子中进行多次摸球试验（每次摸出后放回并摇匀），统计发现摸到红球的次数远多于白球。 (2) 合理推测：可以推断盒子中红球的数量可能比白球多。 (3) 注意：这只是基于数据的“推测”，并非绝对事实。如果试验次数不够多，推测可能存在偏差。 知识点四：游戏的公平性判断与设计 1. 公平性的数学定义 (1) 一个游戏对各方参与者是公平的，当且仅当所有参与者获胜的可能性相等。 (2) 若获胜可能性不相等，则游戏不公平，对可能性大的一方有利。 2. 常见游戏模型的公平性判断 (1) 抛硬币：正面朝上和反面朝上的可能性均为1/2，公平。 (2) 掷骰子： 1　 规则A：点数大于3甲赢，点数小于3乙赢。（不公，因为大于3有4,5,6三种情况，小于3只有1,2两种情况，甲赢面大）。 2　 规则B：点数为奇数甲赢，点数为偶数乙赢。（公平，奇偶各3个，可能性相等）。 (3) 转盘游戏：指针停在某个区域的可能性与该区域的面积大小成正比。若双方对应的区域面积相等，则公平；否则不公平。 3. 设计公平游戏的策略 (1) 等量原则：确保代表双方获胜条件的物品数量、区域面积或数字个数完全相等。 (2) 对称原则：利用几何对称性或数字奇偶性等天然对称属性来设计规则。 (3) 修改不公规则：如果游戏规则不公，可以通过调整物品数量、改变获胜条件或引入“重来”机制（如掷出特定数字无效）来使其变得公平。 4. 思维拓展要点 (1) 表面公平 vs 实质公平：有些游戏看起来道具一样，但规则隐含偏见。需通过列举所有可能的结果（样本空间）来计算各自的胜率，用数据说话，而非凭感觉判断。 重难点题型精讲 题型一、事件的确定性与不确定性分类 【例题1】在括号里填上“一定”“可能”或“不可能”。 (1)今天是晴天，明天( )是雨天。 (2)小红今年12岁，明年( )是13岁。 (3)弟弟的年龄( )比哥哥的年龄大。 【跟踪训练1】结合自己的生活经验，在（    ）里填“一定”“可能”“不可能”。 (1)掷一枚骰子，得到的点数比1小。( ) (2)2月有28天。( ) (3)明天是阴天。( ) (4)太阳每天都是东升西落。( ) 题型二、可能性大小的定性描述 【例题2】一个袋子里有5个红球、3个黄球，任意摸出一个，摸到( )球的可能性大；如果再放入( )个黄球，摸到两种球的可能性相等；至少放入( )个黄球，摸到黄球的可能性比红球大。 【跟踪训练2】利民超市为了庆祝十周年店庆，制作了一个抽奖转盘，分别设置了一、二、三等奖。请你帮忙在转盘上写一写，使获得一等奖的可能性最小，三等奖的可能性最大。 题型三、随机试验规律与数据推测 【例题3】盒子里有4种不同颜色的球（这些球除颜色外均相同）。小明摸了55次，摸球的情况如下表。 颜色 红色 黄色 蓝色 黑色 次数 7次 20次 13次 15次 根据上面的数据推测，盒子里（    ）色的球可能最多，（    ）色的球可能最少。 A．红；蓝 B．黄；红 C．蓝；红 D．黑色；黄 【跟踪训练3】盒子里有白球和黑球，小明从盒子里每次摸出一个，记录下颜色，再放回去摇匀，重复20次，记录结果如下表，盒子里可能( )球多( )球少。 颜色 次数 白色 13 黑色 7 题型四、游戏的公平性判断与设计 【例题4】利用下面的转盘设计甲、乙两人玩游戏的规则。想一个公平的办法：指针停在( )甲赢，指针停在( )乙赢。 【跟踪训练4】方方和点点用6张扑克牌做游戏。 （1）每人从6张牌中任意摸出两张，将摸到的两张牌上的数加起来。若小于7，则算方方胜；否则算点点胜。这个游戏规则公平吗？ （2）请你为他俩设计一个公平的游戏规则。 培优练习 1．下面的事件中，是确定事件的有（    ）。 ①月球绕着地球转                ②两个真分数相乘，积小于每一个分数 ③明天是晴天                    ④我们在教室里上课 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．表示事件发生的可能性很大的成语是（    ）。 A．千载难逢 B．大海捞针 C．痴人说梦 D．十拿九稳 3．一个不透明的袋子中有若干个黑球、白球和红球，这些球除颜色外其他完全相同，涛涛从袋子里任意摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，共摸球36次，结果如下表，下面说法错误的是（    ）。 球的颜色 黑色 白色 红色 次数 25 1 10 A．再摸一次，可能会摸到白球 B．袋子里的红球一定比白球多 C．袋子里的黑球可能最多 D．再摸一次，不可能摸到绿球 4．同学们玩摸球游戏，盒子里的球除颜色外完全相同。每次摸出1个球，看完颜色后放回摇匀，小丽前6次摸到球的情况为：黄、白、白、黄、白、白。她第7次可能摸到什么球？以下说法正确的是（    ）。 A．盒子里的白球多，第7次一定能摸到白球。 B．前6次中有4次摸到白球，第7次摸出黄球的可能性大。 C．盒子里有黄球和白球，第7次黄球和白球都有可能摸到。 D．前面出现了两组“黄、白、白”，第7次一定会摸到黄球。 5．如图，转盘被平均分成6个区域，转动转盘上的指针，每转动一次，指针停在某个区域里面，就记录转动次数为1次。如果指针停在两个区域的公共边上，不记录次数，重新转动。按照这样的要求转动500次后，停在6个区域的次数如下表所示： 区域A 区域B 区域C 区域D 区域E 区域F 68 86 109 81 71 86 随着转动次数的增加，指针停在6个区域的次数会呈现的规律是（    ）。 A．停在C的次数最多 B．停在A的次数最少 C．停在B和F的次数一定同样多 D．停在六个区域的次数越来越接近 6．用“一定”“可能”或“不可能”填空。 (1)闽南用谚语“立夏小满，雨水相赶”来形容梅雨季节雨水多，如果从周一到周五已经连续降雨5天，那么周六( )会下雨。 (2)下周北京市外地车辆限号出行如下。宁叔叔下周要驾车去北京市开会，他的车( )会被限行；确定下周三去开会，( )会被限行。 星期 一 二 三 四 五 限行尾号 4和9 5和0 1和6 2和7 3和8 7．盒子里有7个红球和9个黄球，从中任意摸出1个球，摸出( )球的可能性较大；要想摸出红球和黄球的可能性一样大，在红球个数不变的情况下，需要减少( )个黄球。 8．某十字口红绿灯的时间设置为红灯90秒，黄灯3秒，绿灯50秒。当你随意经过这个路口时，遇到交通信号灯有( )种可能，遇到( )灯的可能性最大。 9．玲玲和华华玩游戏，在标有数字2、5、7、8的四张卡片中一次性抽出两张。若点数之和是单数，则玲玲赢：若点数之和是双数，则华华赢。在这个游戏中，玲玲赢的可能性( )华华赢的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 10．现有3枚黑棋，将它们放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到黑棋的可能性大；放进( )号箱中，从中任意摸出1枚棋子，摸到白棋的可能性大。如果维维和奇奇玩游戏，规定摸出黑棋维维胜，摸出白棋奇奇胜，那么这3枚黑棋放进( )号箱中游戏最公平。（填序号） 11．按要求涂一涂。 （1）可能摸到红球、黄球或黑球。 （2）可能摸到红球、黄球或黑球，并且摸到红球的可能性最大，摸到黄球和黑球的可能性一样大。 12．如下图，盒子里有大小、质地相同的三种球，分别是、、，任意摸一个，要使摸出的可能性最大，摸出的可能性最小，盒子里的球可能是怎样的？请你涂一涂。 13．某文具店开展促销活动，他们在店门口设计了一个转盘，顾客只要消费满10元就可以转动转盘一次，已知转盘上共有5个区域，它们分别是：谢谢参与、书包、钢笔、格尺、橡皮。如果“谢谢参与”出现的可能性最大，其他奖品出现的可能性从小到大依次是书包、钢笔、格尺、橡皮。请你在下面的转盘上标出它们的位置。 14．小红和小西玩跳棋游戏，他们掷骰子决定谁先走：点数大于3，小红先走；点数小于3，小西先走；点数是3就重新掷。 （1）这个规则公平吗？为什么？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 15．元旦这天，和平路超市推出了大型抽奖活动，只要购物满100元就可以抽奖一次。奖品设置情况见下表。 奖项 一等奖 微波炉1台 二等奖 电风扇1台 三等奖 大米1袋 纪念奖 抽纸1盒 奖券数量 1张 5张 30张 400张 截止到中午12时，已经抽出一等奖1张，二等奖1张，三等奖7张，纪念奖384张。这时，王叔叔购物也满100元。他去抽奖，不可能抽到什么奖？他抽到什么奖的可能性最大？（请说明理由） 16．乐乐和多多做小数乘除法计算游戏，乐乐每次从下面的卡片中任意拿出一张（卡片向下，看不到卡片上的算式），用多多手上的2.8去乘或除以乐乐拿出的卡片，得数大于2.8就算乐乐赢，得数小于2.8就算多多赢。 (1)( )赢的可能性大，我是这样想的：( )。 (2)如果让你修改一张卡片，使这个游戏变公平。你将怎样修改？ 17．转盘游戏。 (1)转动甲转盘，转盘停止转动后，指针( )指向黄色区域；转动乙转盘，转盘停止转动后，指针( )指向红色区域。（填“一定”“可能”或“不可能”） (2)请你设计一个丙转盘，使转盘停止转动后，指针指向的情况有红、黄、蓝3种可能，且指向红色区域的可能性比蓝色区域大。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $