第五单元 百分数（思维拓展培优）-六年级上册数学从课本到奥数系列讲义（人教版）

第五单元 百分数（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：百分数的意义与本质 1. 定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 2. 符号表示：通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 3. 本质属性：百分数是一种特殊的倍比关系，只表示两个量之间的相对关系，不带单位名称。 4. 与分数的区别： (1) 意义不同：分数既可以表示具体数量（带单位），也可以表示倍比关系；百分数只表示倍比关系。 (2) 写法不同：分数有分子、分母、分数线；百分数有特定符号。 (3) 读法不同：分数读作“几分之几”；百分数读作“百分之几”。 知识点二：百分数、分数、小数的互化规律 1. 小数化百分数：将小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。若位数不够，用“0”补足。 2. 百分数化小数：去掉百分号，同时把小数点向左移动两位。若位数不够，用“0”补足。 3. 分数化百分数： (1) 方法一：先将分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。 (2) 方法二：将分数化成分母是100的分数，再写成百分数形式（适用于分母能整除100的情况）。 4. 百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。 5. 常用数值记忆：熟练掌握常见分数与百分数的互化（如 , , , , 等），以提高计算速度。 知识点三：求一个数是另一个数的百分之几 1. 基本公式：比较量 标准量（单位“1”） 百分率。 2. 关键识别：找准单位“1”，通常“是”、“占”、“比”、“相当于”后面的量为单位“1”。 3. 结果处理：计算结果通常化为百分数，若除不尽，一般保留一位小数（即百分号前保留一位小数）。 知识点四：求一个数比另一个数多（或少）百分之几 1. 核心逻辑：求的是“差额”占“单位1”的百分之几。 2. 公式推导： (1) （A比B多百分之几，B为单位“1”） (2) （A比B少百分之几，B为单位“1”） (3) 通用公式： 单位“1” 3. 易错点提示：务必确认谁是单位“1”，除数必须是单位“1”的量，而非比较量。 知识点五：求比一个数多（或少）百分之几的数是多少 1. 解题思路：已知单位“1”的量，求比较量。 2. 计算公式： (1) 单位“1”的量 增加的百分率 比较量 (2) 单位“1”的量 减少的百分率 比较量 3. 思维拓展：此类问题可转化为分数乘法应用题，关键在于理解 的含义，即比较量是单位“1”的百分之多少。 知识点六：已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数 1. 解题思路：已知比较量，求单位“1”的量。通常使用方程法或除法。 2. 计算公式： (1) 比较量 增加的百分率 单位“1”的量 (2) 比较量 减少的百分率 单位“1”的量 3. 方程法建模：设单位“1”为 ，则 已知量。此方法在处理逆向思维问题时更为直观，不易出错。 知识点七：折扣问题 1. 概念定义：商品按原价的百分之几出售，叫做打折扣销售。 2. 对应关系： (1) “几折”表示十分之几，也就是百分之几十。例如：八折 ，七五折 。 (2) 现价 原价 折扣率 (3) 原价 现价 折扣率 (4) 折扣率 现价 原价 3. 培优延伸：注意区分“降价百分之几”与“打几折”。若降价 ，则是打八折，而非二折。 知识点八：纳税与利率问题 1. 纳税相关： (1) 应纳税额：各种收入中应纳税的部分。 (2) 税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额等）的比率。 (3) 公式：应纳税额 各种收入 税率。 2. 储蓄相关： (1) 本金：存入银行的钱。 (2) 利息：取款时银行多支付的钱。 (3) 利率：利息与本金的比值（通常按年或月计算）。 (4) 公式：利息 本金 利率 存期。 (5) 取回总金额：本金 利息。 3. 注意事项：目前国家暂免征收储蓄存款利息所得税，计算时无需扣除税款（除非题目特殊说明）。 知识点九：浓度问题（溶液配比） 1. 基本要素：溶质（被溶解的物质）、溶剂（溶解溶质的物质，通常为水）、溶液（溶质+溶剂）。 2. 核心公式： (1) 溶液质量 溶质质量 溶剂质量 (2) 浓度 溶质质量 溶液质量 (3) 溶质质量 溶液质量 浓度 3. 不变量原理： (1) 加水稀释：溶质质量不变，溶液质量增加，浓度降低。 (2) 加盐浓缩：溶剂质量不变，溶质质量增加，浓度升高。 (3) 混合问题：混合前的溶质总和 混合后的溶质总和。 知识点十：利润与利润率问题 1. 基本概念： (1) 成本价（进价）：买入商品的价格。 (2) 售价（卖出价）：卖出商品的价格。 (3) 利润：售价 成本价。 2. 利润率公式： (1) 利润率 利润 成本价 (2) 售价 成本价 利润率 (3) 成本价 售价 利润率 3. 盈亏平衡：当售价 成本价时，利润为0，不盈不亏。 知识点十一：工程问题中的百分数应用 1. 工作总量：通常看作单位“1”。 2. 工作效率：单位时间内完成的工作量，可用百分数表示。 3. 基本关系： (1) 工作效率 工作总量 工作时间 (2) 合作效率 各单独效率之和 (3) 工作时间 工作总量 合作效率 4. 变式训练：当工作总量变化或效率改变时，利用百分数描述变化幅度，重新建立等量关系。 重难点题型精讲 题型一、百分数的意义与本质 【例题1】实验小学今年的用水量比去年减少了8%，用电量比去年增加了5%。这句话中8%表示的意义是( )，5%的意义是( )。 【跟踪训练1】地球上的水，约97.22%是海洋里的水，而人类可直接利用的淡水资源仅约占全部淡水的百分之零点三。97.22%读作( )，百分之零点三写作( )。 题型二、百分数、分数、小数的互化规律 【例题2】把下列分数、小数化成百分数。                  0.6＝      0.76＝      1.29＝     0.0086＝ 【跟踪训练2】把下面的百分数化成小数或分数。 27%＝（    ）    170%＝（    ）    6.4%＝（    ） 85%＝    37.5%＝    180%＝ 题型三、求一个数是另一个数的百分之几 【例题3】中国社会科学院考古研究所在西咸新区发现并清理了汉唐墓葬8座，其中M3和M4出土遗物较丰富，M3共出土各类器物20件，M4共出土各类器物33件。M3出土各类器物数量约是M4的百分之几？（百分号前保留整数） 【跟踪训练3】师徒两人共同生产一批零件。师傅生产了450个，合格的零件数是438个，徒弟生产了330个，有18个不合格。师傅和徒弟的合格率分别是多少？ 题型四、求一个数比另一个数多（或少）百分之几 【例题4】某品牌电动汽车厂2024年计划生产智能汽车6000辆，实际生产了7500辆，实际超产了百分之几？ 【跟踪训练4】某市5月新能源共享单车的投放量比4月少15%，6月的投放量比5月多20%，6月投放的新能源共享单车比4月多了百分之多少？ 题型五、求比一个数多（或少）百分之几的数是多少 【例题5】研究表明，眨眼有利于消除眼睛疲劳。根据统计，人在正常状态下一般每分钟眨眼20次，看书时眨眼次数比正常状态减少25％。看书时每分钟眨眼多少次？ 【跟踪训练5】“古辣香米•米香知故乡”号动车是宾阳县首趟以本地特色农产品“古辣香米”命名宣传的动车专列，车次为D3621，运行区间是南宁东至广州南。该动车最高运行时速为250千米，高铁的最高时速比这趟动车快40％。高铁的最高时速可达多少千米？ 题型六、已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数 【例题6】学校图书馆新购进一批图书，其中科技书有300本。科技书比故事书多20%，故事书有多少本？ 【跟踪训练6】“国之重器”东风－17高超音速导弹速度达10马赫（1马赫＝1倍音速，音速为340米/秒），且发射的行动轨迹没有规律可循，进而无法对其进行拦截。但它的速度却比东风－21导弹的速度慢60%，那么东风－21导弹的速度是多少米/秒？ 题型七、折扣问题 【例题7】国庆节期间，太原某购物中心文体用品专柜推出所有商品一律九折出售，VIP会员在此基础上再享八折优惠活动，李老师（VIP会员）买了10个篮球，每个篮球原价90元，他实际花了多少钱？ 【跟踪训练7】妈妈在网上买一台空调扇，甲商场打六折销售，乙商场每满200元返100元现金，丙商场一律八折，且折后超过350元再返现金100元，妈妈买一台标价460元的空调扇，到哪个商场买更省钱？ 题型八、纳税与利率问题 【例题8】王阿姨在银行存了25000元，整存整取4年，年利率为3.25%，到期后，王阿姨可以从银行取回本金和利息一共多少元？ 【跟踪训练8】小可的爸爸工资收入是5500元，根据国家规定，个人工资收入超过5000元的部分要缴纳3%的个人所得税。小可的爸爸纳税后，实际工资收入是多少元？ 题型九、浓度问题（溶液配比） 【例题9】把碘溶在酒精里，配成碘酒，现有含碘15%的碘酒50千克，要把它变成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？ 【跟踪训练9】现有64%浓度的盐水1170克，由于要将盐水浓度调低至48%，所以将一些清水倒入瓶中，但不小心倒了过多的水，结果盐水浓度降至45%，那么要加多少克盐，才可将盐水浓度调高至48%？ 题型十、利润与利润率问题 【例题10】某服装店进了一批羽绒服，按的利润定价。卖出后天气转暖店家只好将剩下的羽绒服打对折出售。卖完这批羽绒服，该服装店实际获得百分之几的利润？ 【跟踪训练10】中央商场某件皮衣的标价是1150元，若以八折售出，商场可以盈利15%。某顾客在标价打八折的基础上要求再让利150元。如果这样卖出这件皮衣，商场是盈利还是亏损？请计算说明。 题型十一、工程问题中的百分数应用 【例题11】甲、乙、丙三个修路队共同修完了一条公路、甲队修了这条路的一半，乙队修了90m，丙队修了全长的30%，这条公路长多少米？ 【跟踪训练11】甲、乙、丙三个修路队共同修完了一条公路。已知甲队完成了总任务的一半，乙队修了180米，丙队承担了全长的20%。这条公路全长多少米？ 培优练习 1．某小学六年级男生人数的和女生人数的相等，若该小学六年级男生有108人，则女生有（    ）人。 A．72 B．144 C．160 D．360 2．一种商品，先按原价打九折出售，再提价10%，现在的售价（    ）原价。 A．高于 B．低于 C．等于 D．无法确定 3．企鹅中体型最小的物种是小蓝企鹅，约高0.4m；体型最大的物种是帝企鹅，比小蓝企鹅约高175%，帝企鹅约高（    ）m。 A．0.7 B．1.1 C．1.5 D．1.8 4．水路货运运量大、成本低。现有甲、乙、丙三种水运集装箱，其中甲种集装箱的最大承载量为，乙种集装箱的最大承载量比甲种集装箱的最大承载量多5%，丙种集装箱的最大承载量是甲、乙两种集装箱最大承载量之和的60%，那么丙种集装箱的最大承载量是（    ）。 A．24t B．42t C．42.9t D．49.2t 5．120千克比( )千克多20%；( )千克比120千克少20%。 6．某市5月新能源共享单车的投放量比4月少15%，6月的投放量比5月多20%，6月投放的新能源共享单车比4月多了( )%。 7．超市运进一批饮料，第一天卖出35%，第二天卖出30%，还剩70瓶，这批饮料一共有( )瓶。 8．王叔叔购买了一辆新能源汽车，向银行贷款8万元，年利率为4.5%，贷款期限为二年，到期王叔叔应向银行支付( )元的利息。 9．甲、乙、丙三家外卖平台开展大促销，优惠规则如下： 甲：满30元减12元 乙：满25元打六折 丙：满20元直接补贴8元 小杰想点一份原价35元的外卖，选择( )最合算，实际花( )元。 10．从本学期起，佛山市小学开始实施春秋假，为充实同学们秋假生活，龙华小学为学生提供了三种选择：参加社会劳动实践、跟随家长外出旅游、回校参加校内托管。其中参加回校托管仅72人，为全校学生总数的10%，参加劳动实践的比外出旅游的少，外出旅游的占全校学生总数的( )%。 11．把下面的分数或小数化成百分数： ＝      0.07＝      ＝      0.142＝ ＝      ＝       1.75＝      ＝ 12．计算下列各题，能简算的要简算。                                   13．李师傅计划加工一批零件，上午共加工了180个，这时还剩下这批零件的40%没有加工。李师傅计划加工零件多少个？ 14．一辆汽车以每小时80千米的速度行驶了全程的30%后，离中点还有120千米。照这样的速度，行完全程一共需要多少小时？ 15．某工厂第二车间上午生产200个零件，合格率为95%；下午生产300个零件，合格率为98%。这一天生产零件的合格率是多少？ 16．两个工程队合修一条公路，当第一队修了150 米时，第二队比第一队多修了，这时两队正好修完全长的65%。这条公路全长多少米？ 17．某商场十周年庆，对商品进行促销：商品一律七五折优惠。一种电器按定价打完折后，发现每台可盈利60元。促销结束后，为了抢占市场，商场决定将这种电器原来的定价减少15%，这样每台仍可盈利300元。 (1)这种电器原来的定价是每台多少元？ (2)这种电器的进价是每台多少元？ 18．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付25%，剩余75%由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元，亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 19．网上购物越来越流行，它提供了更多的选择和更便捷的购物体验。某运动鞋网店10月份某款运动鞋的价格比9月份涨了20%，11月份的价格比10月份又降了18%。11月份的价格和9月份相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 20．学校需要配制15升20%的某溶液，现有10%溶液和30%溶液两种可供混合，问需要各取多少升两种溶液才能配成15升20%的溶液？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 百分数（思维拓展培优） 【知识点梳理+重难点题型精讲+培优练习】 知识点梳理 知识点一：百分数的意义与本质 1. 定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 2. 符号表示：通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 3. 本质属性：百分数是一种特殊的倍比关系，只表示两个量之间的相对关系，不带单位名称。 4. 与分数的区别： (1) 意义不同：分数既可以表示具体数量（带单位），也可以表示倍比关系；百分数只表示倍比关系。 (2) 写法不同：分数有分子、分母、分数线；百分数有特定符号。 (3) 读法不同：分数读作“几分之几”；百分数读作“百分之几”。 知识点二：百分数、分数、小数的互化规律 1. 小数化百分数：将小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。若位数不够，用“0”补足。 2. 百分数化小数：去掉百分号，同时把小数点向左移动两位。若位数不够，用“0”补足。 3. 分数化百分数： (1) 方法一：先将分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再化成百分数。 (2) 方法二：将分数化成分母是100的分数，再写成百分数形式（适用于分母能整除100的情况）。 4. 百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。 5. 常用数值记忆：熟练掌握常见分数与百分数的互化（如 , , , , 等），以提高计算速度。 知识点三：求一个数是另一个数的百分之几 1. 基本公式：比较量 标准量（单位“1”） 百分率。 2. 关键识别：找准单位“1”，通常“是”、“占”、“比”、“相当于”后面的量为单位“1”。 3. 结果处理：计算结果通常化为百分数，若除不尽，一般保留一位小数（即百分号前保留一位小数）。 知识点四：求一个数比另一个数多（或少）百分之几 1. 核心逻辑：求的是“差额”占“单位1”的百分之几。 2. 公式推导： (1) （A比B多百分之几，B为单位“1”） (2) （A比B少百分之几，B为单位“1”） (3) 通用公式： 单位“1” 3. 易错点提示：务必确认谁是单位“1”，除数必须是单位“1”的量，而非比较量。 知识点五：求比一个数多（或少）百分之几的数是多少 1. 解题思路：已知单位“1”的量，求比较量。 2. 计算公式： (1) 单位“1”的量 增加的百分率 比较量 (2) 单位“1”的量 减少的百分率 比较量 3. 思维拓展：此类问题可转化为分数乘法应用题，关键在于理解 的含义，即比较量是单位“1”的百分之多少。 知识点六：已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数 1. 解题思路：已知比较量，求单位“1”的量。通常使用方程法或除法。 2. 计算公式： (1) 比较量 增加的百分率 单位“1”的量 (2) 比较量 减少的百分率 单位“1”的量 3. 方程法建模：设单位“1”为 ，则 已知量。此方法在处理逆向思维问题时更为直观，不易出错。 知识点七：折扣问题 1. 概念定义：商品按原价的百分之几出售，叫做打折扣销售。 2. 对应关系： (1) “几折”表示十分之几，也就是百分之几十。例如：八折 ，七五折 。 (2) 现价 原价 折扣率 (3) 原价 现价 折扣率 (4) 折扣率 现价 原价 3. 培优延伸：注意区分“降价百分之几”与“打几折”。若降价 ，则是打八折，而非二折。 知识点八：纳税与利率问题 1. 纳税相关： (1) 应纳税额：各种收入中应纳税的部分。 (2) 税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额等）的比率。 (3) 公式：应纳税额 各种收入 税率。 2. 储蓄相关： (1) 本金：存入银行的钱。 (2) 利息：取款时银行多支付的钱。 (3) 利率：利息与本金的比值（通常按年或月计算）。 (4) 公式：利息 本金 利率 存期。 (5) 取回总金额：本金 利息。 3. 注意事项：目前国家暂免征收储蓄存款利息所得税，计算时无需扣除税款（除非题目特殊说明）。 知识点九：浓度问题（溶液配比） 1. 基本要素：溶质（被溶解的物质）、溶剂（溶解溶质的物质，通常为水）、溶液（溶质+溶剂）。 2. 核心公式： (1) 溶液质量 溶质质量 溶剂质量 (2) 浓度 溶质质量 溶液质量 (3) 溶质质量 溶液质量 浓度 3. 不变量原理： (1) 加水稀释：溶质质量不变，溶液质量增加，浓度降低。 (2) 加盐浓缩：溶剂质量不变，溶质质量增加，浓度升高。 (3) 混合问题：混合前的溶质总和 混合后的溶质总和。 知识点十：利润与利润率问题 1. 基本概念： (1) 成本价（进价）：买入商品的价格。 (2) 售价（卖出价）：卖出商品的价格。 (3) 利润：售价 成本价。 2. 利润率公式： (1) 利润率 利润 成本价 (2) 售价 成本价 利润率 (3) 成本价 售价 利润率 3. 盈亏平衡：当售价 成本价时，利润为0，不盈不亏。 知识点十一：工程问题中的百分数应用 1. 工作总量：通常看作单位“1”。 2. 工作效率：单位时间内完成的工作量，可用百分数表示。 3. 基本关系： (1) 工作效率 工作总量 工作时间 (2) 合作效率 各单独效率之和 (3) 工作时间 工作总量 合作效率 4. 变式训练：当工作总量变化或效率改变时，利用百分数描述变化幅度，重新建立等量关系。 重难点题型精讲 题型一、百分数的意义与本质 【例题1】实验小学今年的用水量比去年减少了8%，用电量比去年增加了5%。这句话中8%表示的意义是( )，5%的意义是( )。 【答案】 今年比去年减少的用水量占去年用水量的 今年比去年增加的用电量占去年用电量的 【分析】先确定百分数对应的单位“1”，两个百分数都是和去年的用量比较，所以单位“1”分别是去年的用水量、去年的用电量。 因为是“比去年减少8%”，所以是今年比去年减少的用水量占去年用水量的8%。 因为是“比去年增加5%”，所以是今年比去年增加的用电量占去年用电量的5%。 【详解】这句话中8%表示的意义是今年比去年减少的用水量占去年用水量的，5%的意义是今年比去年增加的用电量占去年用电量的5%。 【跟踪训练1】地球上的水，约97.22%是海洋里的水，而人类可直接利用的淡水资源仅约占全部淡水的百分之零点三。97.22%读作( )，百分之零点三写作( )。 【答案】 百分之九十七点二二 0.3% 【分析】解决第一个空：回忆百分数的读法规则，因为百分数读作“百分之”加上百分号前数字的对应读法，所以按照规则读出97.22%即可。 解决第二个空：回忆百分数的写法规则，因为“百分之”后面的内容要写成阿拉伯数字，再在末尾加上百分号，所以按照规则将百分之零点三转化为对应写法即可。 【详解】97.22%读作百分之九十七点二二，百分之零点三写作0.3%。 题型二、百分数、分数、小数的互化规律 【例题2】把下列分数、小数化成百分数。                  0.6＝      0.76＝      1.29＝     0.0086＝ 【答案】80%；12.5%；320%；28% 60%；76%；129%；0.86% 【分析】分数化成百分数，通常先用分子除以分母把分数化成小数，再把小数化成百分数。小数化成百分数，把小数点向右移动两位，添上百分号。 【详解】4÷5＝0.8＝80%       1÷8＝0.125＝12.5%       16÷5＝3.2＝320% 7÷25＝0.28＝28% 0.6＝60%       0.76＝76%     1.29＝129%   0.0086＝0.86% 【跟踪训练2】把下面的百分数化成小数或分数。 27%＝（    ）    170%＝（    ）    6.4%＝（    ） 85%＝    37.5%＝    180%＝ 【答案】0.27；1.7；0.064 ；； 【分析】把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位即可；把百分数化成分数，先把百分数化成分母是100的分数，再进行约分。 【详解】27%把百分号去掉，小数点向左移动两位变化为0.27，所以27%＝0.27； 170%把百分号去掉，小数点向左移动两位变化为1.7，所以170%＝1.7； 6.4%把百分号去掉，小数点向左移动两位变化为0.064，所以6.4%＝0.064； 85%先写为，分子分母同时除以5进行约分为，所以85%＝； 37.5%先写为，分子分母同时乘2消除小数得，再同时除以25约分得到，所以37.5%＝； 180%先写为，分子分母同时除以20约分得到，所以180%＝。 题型三、求一个数是另一个数的百分之几 【例题3】中国社会科学院考古研究所在西咸新区发现并清理了汉唐墓葬8座，其中M3和M4出土遗物较丰富，M3共出土各类器物20件，M4共出土各类器物33件。M3出土各类器物数量约是M4的百分之几？（百分号前保留整数） 【答案】61% 【分析】把M4出土的器物数量看作单位“1”，用M3出土的器物数量除以M4出土的器物数量，再乘百分之百，算出对应的百分数，最后根据四舍五入法按照要求保留整数。 【详解】20÷33×100% ≈0.61×100% ＝61% 答：M3出土各类器物数量约是M4的61%。 【跟踪训练3】师徒两人共同生产一批零件。师傅生产了450个，合格的零件数是438个，徒弟生产了330个，有18个不合格。师傅和徒弟的合格率分别是多少？ 【答案】师傅97.3%；徒弟94.5% 【分析】根据“合格率＝合格的零件个数÷生产零件的总个数×100%”，分别求出师傅、徒弟的合格率。 【详解】师傅的合格率： 438÷450×100% ≈0.973×100% ＝97.3% 徒弟的合格率： （330－18）÷330×100% ＝312÷330×100% ≈0.945×100% ＝94.5% 答：师傅的合格率是97.3%，徒弟的合格率是94.5%。 题型四、求一个数比另一个数多（或少）百分之几 【例题4】某品牌电动汽车厂2024年计划生产智能汽车6000辆，实际生产了7500辆，实际超产了百分之几？ 【答案】 【分析】求实际超产百分之几，将计划生产数量看作单位“1”，先算出实际比计划多生产的数量，再用多生产的数量除以计划生产数量，再乘100%，就能得到超产的百分比。 【详解】（辆） 答：实际超产了25%。 【跟踪训练4】某市5月新能源共享单车的投放量比4月少15%，6月的投放量比5月多20%，6月投放的新能源共享单车比4月多了百分之多少？ 【答案】 2% 【分析】将4月投放量看作单位“1”，先求出5月投放量相对4月的百分比；再把5月投放量看作单位“1”，再结合6月与5月的数量关系求出6月相对4月的百分比，最后计算6月比4月多的百分比。 【详解】把4月新能源共享单车的投放量看作单位“1”。 5月投放量对应4月的百分比： 6月投放量对应4月的百分比： 6月比4月多的百分比： 答：6月投放的新能源共享单车比4月多了2%。 题型五、求比一个数多（或少）百分之几的数是多少 【例题5】研究表明，眨眼有利于消除眼睛疲劳。根据统计，人在正常状态下一般每分钟眨眼20次，看书时眨眼次数比正常状态减少25％。看书时每分钟眨眼多少次？ 【答案】 次 【分析】根据题意，把正常状态下每分钟眨眼次数看作单位“”，看书时眨眼次数是正常状态的（），根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法”据此列式解答。 【详解】 ＝20×75% ＝20×0.75 ＝15（次） 答：看书时每分钟眨眼15次。 【跟踪训练5】“古辣香米•米香知故乡”号动车是宾阳县首趟以本地特色农产品“古辣香米”命名宣传的动车专列，车次为D3621，运行区间是南宁东至广州南。该动车最高运行时速为250千米，高铁的最高时速比这趟动车快40％。高铁的最高时速可达多少千米？ 【答案】 350千米 【分析】把动车的最高运行时速看作单位“1”，则高铁的最高时速是动车的（1＋40%），求一个数的百分之几是多少用乘法，据此列式计算。 【详解】250×（1＋40%） ＝250×140% ＝350（千米） 答：高铁的最高时速可达350千米。 题型六、已知比一个数多（或少）百分之几的数，求这个数 【例题6】学校图书馆新购进一批图书，其中科技书有300本。科技书比故事书多20%，故事书有多少本？ 【答案】250本 【分析】把故事书的本数看作单位“1”，科技书的本数是故事书的，已知科技书的本数，求单位“1”，单位“1”未知，用除法计算。 【详解】300÷（1＋20%） ＝300÷120% ＝300÷1.2 ＝250（本） 答：故事书有250本。 【跟踪训练6】“国之重器”东风－17高超音速导弹速度达10马赫（1马赫＝1倍音速，音速为340米/秒），且发射的行动轨迹没有规律可循，进而无法对其进行拦截。但它的速度却比东风－21导弹的速度慢60%，那么东风－21导弹的速度是多少米/秒？ 【答案】8500米/秒 【分析】先将10马赫换算为米/秒，把东风－21导弹的速度看作单位“1”，东风－17的速度是东风－21速度的，已知东风－17的速度，求单位“1”的量用除法计算。 【详解】 ＝340×10÷0.4 （米/秒） 答：东风－21导弹的速度是8500米/秒。 题型七、折扣问题 【例题7】国庆节期间，太原某购物中心文体用品专柜推出所有商品一律九折出售，VIP会员在此基础上再享八折优惠活动，李老师（VIP会员）买了10个篮球，每个篮球原价90元，他实际花了多少钱？ 【答案】648元 【分析】九折意思是现价是原价的90%，再享八折意思是最终价是第一次打折后价钱的80%， 用一个篮球的价钱乘篮球个数，计算出10个篮球的原价总和，再结合两次折扣的规则，用10个篮球的原价总和先乘90%算得九折后的价钱，再用打折后的钱乘80%算得实际花费。 【详解】（元） 九折＝90%，八折＝80% （元） （元） 答：他实际花了648元。 【跟踪训练7】妈妈在网上买一台空调扇，甲商场打六折销售，乙商场每满200元返100元现金，丙商场一律八折，且折后超过350元再返现金100元，妈妈买一台标价460元的空调扇，到哪个商场买更省钱？ 【答案】 乙商场 【分析】计算甲商场花费：甲商场打六折，所以用标价乘折扣率，即可得到实际应付金额； 计算乙商场花费：乙商场是每满200返100现金，所以先计算标价460元里包含几个200元，再用标价减去对应返还的现金总额，得到实际花费； 计算丙商场花费：丙商场先打八折，折后超过350再返100，所以先计算八折后的金额，再判断是否满足返现条件，满足的话减去100元得到实际花费；最后对比三个商场的实际花费，判断哪个商场花费最低，花费最少的商场最省钱。 【详解】甲商场实际花费： （元） 乙商场实际花费： （个）（元） （元） 丙商场实际花费： （元） （元） 比较花费： 答：到乙商场买更省钱。 题型八、纳税与利率问题 【例题8】王阿姨在银行存了25000元，整存整取4年，年利率为3.25%，到期后，王阿姨可以从银行取回本金和利息一共多少元？ 【答案】28250元 【分析】利用“利息＝本金×利率×存期”，算出利息，再加上本金，就能得到总共取回的钱数。 【详解】 （元） （元） 答：到期后，王阿姨可以从银行取回本金和利息一共28250元。 【跟踪训练8】小可的爸爸工资收入是5500元，根据国家规定，个人工资收入超过5000元的部分要缴纳3%的个人所得税。小可的爸爸纳税后，实际工资收入是多少元？ 【答案】5485元 【分析】个人所得税仅对超过5000元的部分征收，所以用总工资减去5000元得到应纳税所得额。因为税率是3%，所以用应纳税所得额乘3%即可得到纳税额。税后实际收入用总工资减去缴纳的个人所得税，就能得到最终的实际工资收入。 【详解】（元） （元） （元） 答：小可的爸爸纳税后，实际工资收入是5485元。 题型九、浓度问题（溶液配比） 【例题9】把碘溶在酒精里，配成碘酒，现有含碘15%的碘酒50千克，要把它变成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？ 【答案】200千克 【分析】在向碘酒中加入酒精的过程中，碘的质量始终保持不变。先根据原有碘酒的质量和浓度计算出碘酒中碘的质量，再根据碘的质量÷3%，计算出加入酒精后碘酒的质量，最后用加入酒精后碘酒的质量减去原有碘酒的质量，即可求出需要加入的酒精质量。 【详解】50×15%＝7.5（千克） 7.5÷3%＝250（千克） 250－50＝200（千克） 答：需要加入200千克酒精。 【跟踪训练9】现有64%浓度的盐水1170克，由于要将盐水浓度调低至48%，所以将一些清水倒入瓶中，但不小心倒了过多的水，结果盐水浓度降至45%，那么要加多少克盐，才可将盐水浓度调高至48%？ 【答案】96克 【分析】根据题意，我们可先求出64%浓度的盐水含盐量为1170×64%＝748.8（克），把浓度降至45%时，盐水中含水量为748.8÷45%×（1－45%）＝915.2（克），若把浓度再调为48%时，此时盐水中含盐量为915.2÷52×48＝844.8（克），可见需要加盐844.8－748.8＝96（克）。 【详解】1170×64%＝748.8（克） 748.8÷45%×（1－45%）＝915.2（克） 915.2÷52×48＝844.8（克） 844.8－748.8＝96（克） 答：要加96克盐，才可将盐水浓度调高至48%。 题型十、利润与利润率问题 【例题10】某服装店进了一批羽绒服，按的利润定价。卖出后天气转暖店家只好将剩下的羽绒服打对折出售。卖完这批羽绒服，该服装店实际获得百分之几的利润？ 【答案】 26% 【分析】设总成本为元，共进件。按的利润定价，先算出定价；分两部分算销售收入：先卖的收入剩下打对折的收入。总收入减去成本就是总利润，再除以成本得到利润率。 【详解】假设每件羽绒服成本为100元，共进100件。 总成本：（元） 定价： （元） 已售数量：（件） 已售收入：（元） 剩余数量：（件） 对折后售价：（元） 剩余收入：（元） 总收入：（元） 总利润：（元） 实际利润率： 答：该服装店实际获得的利润。 【跟踪训练10】中央商场某件皮衣的标价是1150元，若以八折售出，商场可以盈利15%。某顾客在标价打八折的基础上要求再让利150元。如果这样卖出这件皮衣，商场是盈利还是亏损？请计算说明。 【答案】商场亏损，亏损30元。 【分析】要判断盈亏，需先求出皮衣的进价，再算出让利后的实际售价，将两者对比即可。八折即80%，标价乘80%为售价，盈利15%即售价是进价的（1＋15%），用除法求出进价，让利后的实际价格为八折售价减去150元，进价和让利后的价格对比看看是否亏损。 【详解】（元） （元） （元） 所以商场亏损，亏损金额为：（元） 答：商场是亏损，亏损30元。 题型十一、工程问题中的百分数应用 【例题11】甲、乙、丙三个修路队共同修完了一条公路、甲队修了这条路的一半，乙队修了90m，丙队修了全长的30%，这条公路长多少米？ 【答案】450米 【分析】由题意可知，把总路程看作单位“1”，甲队完成了全部任务的一半，乙队修了90米，丙队修全长的30%；用90除以乙队修的长度对应的分率即可得到公路的全长。 【详解】90÷（1－50%－30%） ＝90÷（50%－30%） ＝90÷20% ＝450（米） 答：这条公路长450米。 【跟踪训练11】甲、乙、丙三个修路队共同修完了一条公路。已知甲队完成了总任务的一半，乙队修了180米，丙队承担了全长的20%。这条公路全长多少米？ 【答案】600米 【分析】把公路全长看作单位“1”，甲队完成全长的，丙队承担了全长的20%，那么乙队修了全长的（1－－20%），用乙队修的长度÷对应分率＝单位“1”的量，代入数据即可求出这条公路的全长。 【详解】180÷（1－－20%） ＝180÷（1－0.5－0.2） ＝180÷0.3 ＝600（米） 答：这条公路全长600米。 【点睛】本题考查了分数和百分数复合应用题，关键是确定单位“1”，找到对应分率。 培优练习 1．某小学六年级男生人数的和女生人数的相等，若该小学六年级男生有108人，则女生有（    ）人。 A．72 B．144 C．160 D．360 【答案】C 【分析】把小学六年级男生人数看作单位“1”，求它的是多少人，单位“1”已知，用乘法，用男生人数×。再把女生人数看作单位“1”，它的45%对应的是男生人数的，求单位“1”，用除法，用男生人数的÷45%解答。 【详解】108×÷45% ＝72÷45% ＝160（人） 女生有160人。 2．一种商品，先按原价打九折出售，再提价10%，现在的售价（    ）原价。 A．高于 B．低于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】九折意思是现价是原价的90%，将原价看作单位“1”，用原价乘90%算得打折后的价钱，再把打折后的钱看作单位“1”，用打折后的价钱乘算得现在的售价，假设原价是100元，依次计算打折、提价后的售价，再与原价比较大小即可。 【详解】假设原价为100元。 九折＝90% 打九折后的价格：（元） 再提价10%后的价格： （元） 因此现在的售价低于原价。 3．企鹅中体型最小的物种是小蓝企鹅，约高0.4m；体型最大的物种是帝企鹅，比小蓝企鹅约高175%，帝企鹅约高（    ）m。 A．0.7 B．1.1 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【分析】把小蓝企鹅的高度看作单位“1”，帝企鹅的高度是小蓝企鹅高度的（1＋175%），用小蓝企鹅的高度乘帝企鹅高度对应的百分率，即可求出帝企鹅的高度。 【详解】0.4×（1＋175%） ＝0.4×2.75 ＝1.1（m） 帝企鹅约高1.1m。 4．水路货运运量大、成本低。现有甲、乙、丙三种水运集装箱，其中甲种集装箱的最大承载量为，乙种集装箱的最大承载量比甲种集装箱的最大承载量多5%，丙种集装箱的最大承载量是甲、乙两种集装箱最大承载量之和的60%，那么丙种集装箱的最大承载量是（    ）。 A．24t B．42t C．42.9t D．49.2t 【答案】D 【分析】先把甲种集装箱的最大承载量看作单位“1”，乘乙种集装箱最大承载量对应的百分率（1＋5%），可求出乙种集装箱的最大承载量；再求出甲、乙两种集装箱的最大承载量之和，并将其看作单位“1”，乘丙种集装箱对应的百分率60%，即可求出丙种集装箱的最大承载量。 【详解】40×（1＋5%） ＝40×1.05 ＝42（t） （40＋42）×60% ＝82×0.6 ＝49.2（t） 丙种集装箱的最大承载量是49.2t。 5．120千克比( )千克多20%；( )千克比120千克少20%。 【答案】 100 96 【分析】求120千克比多少千克多20%，把要求的质量看作单位“1”，则120千克是要求质量的（1＋20%），单位“1”未知，根据百分数除法的意义求解。 求多少千克比120千克少20%，把120千克看作单位“1”，则要求的质量是120千克的（1－20%），单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求解。 【详解】120÷（1＋20%） ＝120÷1.2 ＝100（千克） 120×（1－20%） ＝120×0.8 ＝96（千克） 6．某市5月新能源共享单车的投放量比4月少15%，6月的投放量比5月多20%，6月投放的新能源共享单车比4月多了( )%。 【答案】2 【分析】4月的投放量为单位“1”，用4月投放量乘得到5月投放量，再用5月投放量乘得到6月投放量，最后计算6月与4月投放量的差值，再除以4月投放量，得到对应的百分比。 【详解】4月的投放量为单位“1” 5月投放量： 6月投放量： 6月比4月多的百分比： 7．超市运进一批饮料，第一天卖出35%，第二天卖出30%，还剩70瓶，这批饮料一共有( )瓶。 【答案】200 【分析】把这批饮料的瓶数看作单位“1”，先求出两天后还剩这批饮料的百分之几，再用剩下的饮料瓶数除以对应的百分比。 【详解】70÷（1－35%－30%） ＝70÷35% ＝200（瓶） 8．王叔叔购买了一辆新能源汽车，向银行贷款8万元，年利率为4.5%，贷款期限为二年，到期王叔叔应向银行支付( )元的利息。 【答案】7200 【分析】根据利息＝本金×利率×时间，列式计算即可。 【详解】8万元＝80000元 80000×4.5%×2 ＝3600×2 ＝7200（元） 9．甲、乙、丙三家外卖平台开展大促销，优惠规则如下： 甲：满30元减12元 乙：满25元打六折 丙：满20元直接补贴8元 小杰想点一份原价35元的外卖，选择( )最合算，实际花( )元。 【答案】 乙 21 【分析】甲：用35减去12计算实际花费。乙：先将折扣转化为百分数；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用35乘折扣计算实际花费。丙：用35减去8计算实际花费。最后比较甲、乙、丙的实际花费。 【详解】甲：35＞30 35－12＝23（元） 乙：35＞25 六折＝60% 35×60% ＝35×0.6 ＝21（元） 丙：35＞20 35－8＝27（元） 因为21＜23＜27，所以选择乙最合算，实际花21元。 10．从本学期起，佛山市小学开始实施春秋假，为充实同学们秋假生活，龙华小学为学生提供了三种选择：参加社会劳动实践、跟随家长外出旅游、回校参加校内托管。其中参加回校托管仅72人，为全校学生总数的10%，参加劳动实践的比外出旅游的少，外出旅游的占全校学生总数的( )%。 【答案】67.5 【分析】首先将全校的人数看作单位“1”，用参加回校托管的人数72人除以对应的百分比10%即可求出全校的人数；接着用全校总人数减去回校托管的人数，得到参加劳动实践和外出旅游的总人数。 设外出旅游的人数为单位“1”，因为参加劳动实践的比外出旅游的少​，所以可以得出劳动实践人数对应的分率，进而得到两类人数总和对应的分率，用参加劳动实践和外出旅游的总人数除以对应分率即可求外出旅游的人数。最后用外出旅游的人数除以全校总人数，再转化为百分数，得到结果。 【详解】72÷10%＝720（人） 720－72＝648（人） （人） 486÷720×100%＝67.5% 即外出旅游的占全校学生总数的67.5%。 11．把下面的分数或小数化成百分数： ＝      0.07＝      ＝      0.142＝ ＝      ＝       1.75＝      ＝ 【答案】50%；7%；60%；14.2%； 80%；12.5%；175%；25% 【详解】小数化百分数只要把小数点向右移动两位，添上百分号即可；分数化百分数首先化成小数再化成百分数；分母是100的分数可以直接化成百分数． 12．计算下列各题，能简算的要简算。                                   【答案】；；； 2；234；50 【分析】（1）先把分数、百分数都转化成小数，再利用乘法分配律，提取相同因数，简化计算。 （2）先把百分数化成分数，除以一个分数等于乘它的倒数，再用乘法分配律分别相乘，简化计算。 （3）有括号先算括号内，把小数、百分数统一化成分数，算出两个括号的结果，最后算除法。 （4）先把百分数化成分数，再利用加法交换律和结合律，先算同分母分数相加，简化计算。 （5）先把百分数化成分数，括号里先算除法、再算加法，最后算括号外面的除法。 （6）把百分数化成分数，除以分数等于乘它的倒数，从左往右依次计算。 【详解】（1） ＝0.75×0.4＋0.75×0.6 ＝0.75×（0.4＋0.6） ＝0.75×1 ＝0.75 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝1＋1 ＝2 （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝234 （6） ＝ ＝ ＝ ＝50 13．李师傅计划加工一批零件，上午共加工了180个，这时还剩下这批零件的40%没有加工。李师傅计划加工零件多少个？ 【答案】300个 【分析】把计划加工的零件总数看作单位“1”，已加工的180个零件对应总数的（1－40%），用除法可求出总数量。 【详解】180÷（1－40%） ＝180÷0.6 ＝300（个） 答：李师傅计划加工零件300个。 14．一辆汽车以每小时80千米的速度行驶了全程的30%后，离中点还有120千米。照这样的速度，行完全程一共需要多少小时？ 【答案】 7.5小时 【分析】把全程看作单位“1”，中点对应全程的，120千米对应全程的，用120千米除以对应百分比即可先求出全程长度，再根据路程除以速度等于时间计算总时间。 【详解】 （千米） （小时） 答：行完全程一共需要7.5小时。 15．某工厂第二车间上午生产200个零件，合格率为95%；下午生产300个零件，合格率为98%。这一天生产零件的合格率是多少？ 【答案】96.8% 【分析】由合格率＝合格的零件数÷生产的零件总数×100%可得，合格零件数＝生产的零件总数×合格率，据此分别求出上午、下午生产合格零件的件数；进而根据全天生产零件的合格率＝（上午生产合格的零件数＋下午生产合格的零件数）÷（上午生产零件总数＋下午生产零件总数）×100%，代入数据进行计算即可。 【详解】200×95% ＝200×0.95 ＝190（个） 300×98% ＝300×0.98 ＝294（个） （294＋190）÷（200＋300）×100% ＝484÷500×100% ＝0.968×100% ＝96.8% 答：这一天生产零件的合格率是96.8%。 16．两个工程队合修一条公路，当第一队修了150 米时，第二队比第一队多修了，这时两队正好修完全长的65%。这条公路全长多少米？ 【答案】500米 【分析】把第一队修的长度看作单位“1”，第二队是第一队修的（1＋），用第一队修的长度×（1＋），求出第二队修的长度，再用第一队和第二队修的长度和除以65%，即可解答。 【详解】[150＋150×（1＋）]÷65% ＝[150＋150×]÷65% ＝[150＋175]÷65% ＝325÷65% ＝500（米） 答：这条公路的全长500米。 【点睛】本题考查分数乘法，百分数，解答本题的关键是找出题中的数量关系式。 17．某商场十周年庆，对商品进行促销：商品一律七五折优惠。一种电器按定价打完折后，发现每台可盈利60元。促销结束后，为了抢占市场，商场决定将这种电器原来的定价减少15%，这样每台仍可盈利300元。 (1)这种电器原来的定价是每台多少元？ (2)这种电器的进价是每台多少元？ 【答案】(1)2400元 (2)1740元 【分析】（1）把电器原来的定价看作单位“1”。打七五折的售价占定价的75%，定价减少15%之后售价占定价的1－15%＝85%。进价固定不变，两次盈利的差就是两次售价的差，盈利相差（300－60）元，对应的分率差是（85%－75%），用相差的钱数除以对应的分率，求出单位“1”也就是原定价。 （2）单位“1”原定价已经求出，定价减少15%之后的售价为定价的85%，用这个售价减去该情况下的盈利300元，即可求出进价。 【详解】（1）（300－60）÷[（1－15%）－75%] ＝240÷[85%－75%] ＝240÷10% ＝2400（元） 答：这种电器原来的定价是每台2400元。 （2）2400×（1－15%）－300 ＝2400×0.85－300 ＝2040－300 ＝1740（元） 答：进价是1740元。 18．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付25%，剩余75%由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元，亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据表中医疗费用的支付方法，先计算超过650元的部分需要个人支付的钱数，再加上650元即可； （2）把超过650元的部分看作单位“1”，用除法可求出超过650元的部分，再加上650元即可。 【详解】（1） （元） 答：他本次住院需要个人支付1537.5元。 （2） （元） 答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元。 19．网上购物越来越流行，它提供了更多的选择和更便捷的购物体验。某运动鞋网店10月份某款运动鞋的价格比9月份涨了20%，11月份的价格比10月份又降了18%。11月份的价格和9月份相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ 【答案】 降了，降了 【分析】把9月份运动鞋的价格看作单位“1”，先根据10月份某款运动鞋的价格比9月份涨了20%，可知10月份某款运动鞋的价格是9月的（1＋20%），用单位“1”乘（1＋20%）求出10月份的价格；再根据11月份的价格比10月份又降了18%，同理用10月份的价格乘（1－18%），求出11月份的价格，最后和单位“1”比较，计算价格的变化幅度。 【详解】设9月份这款运动鞋的价格为单位“1”。 10月份价格： ＝1×1.2 ＝1.2 11月份价格： ＝0.984 因为，所以价格下降。 变化幅度： 答：11月份的价格和9月份相比是降了，变化幅度是1.6%。 20．学校需要配制15升20%的某溶液，现有10%溶液和30%溶液两种可供混合，问需要各取多少升两种溶液才能配成15升20%的溶液？ 【答案】需要取的溶液7.5升，的溶液7.5升。 【分析】采用鸡兔同笼的假设法，把两种溶液看成 “鸡和兔”，总容量 15 升是总头数，溶质总量是总脚数。先算出目标溶液的溶质总量，假设全为高浓度溶液，假设出的溶质比实际溶质多，每把1升30%溶液换成1升10%溶液，溶质会减少30%－10%＝20%，再推算出两种溶液的体积。 【详解】配15升20%的溶液，溶质：15×20%＝3（升） 假设15升溶液全部是30%的溶液，溶质有：15×30%＝4.5（升） 比实际溶质多：4.5－3＝1.5（升） 每替换1升，溶质减少：30%－10%＝0.2 10%的溶液：1.5÷0.2＝7.5（升） 30%的溶液：15－7.5＝7.5（升） 答：需要取10%的溶液7.5升，30%的溶液7.5升才能配成15升20%的溶液。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $