15.3.2等边三角形（分层作业，16大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 15.3.2 等边三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等边三角形的性质 题型02 等边三角形的判定 题型03 根据等边三角形的性质求长度 题型04 根据等边三角形的性质求角度 B组 能力进阶 题型01 等边三角形的性质与判定的综合应用 题型02 证明是等边三角形 题型03 与等边三角形有关的折叠问题 题型04 等边三角形中的动点问题 题型05 等边三角形中的多结论问题 题型06 利用含30°的直角三角形的性质求长度 题型07 利用含30°的直角三角形的性质证明 题型08 等边三角形与平行线 题型09 含30°角的直角三角形的性质的应用 题型10 最短路径的基本作图 题型11 与最短路径有关的计算 C组 思维拔高 题型 大（小）边对大（小）角定理 等边三角形的性质题型01 1．一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【详解】等边三角形三线合一，所以等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故对称轴的条数是3条．故选C 2．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A．64 B．32 C．16 D．128 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质和∠MON＝30°，可得A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，再由△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，可得，从而得到，可得到A2B2＝2B1A2，同理B3A3＝2B2A3，进而得到A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，即可求解． 【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°， ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝30°， ∴A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴A2B2＝2B1A2， 同理B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64． 故选：A 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 3．如图摆放一个正方形和两个等边三角形，若，则__________． 【答案】100 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义和等边三角形的性质得到，，，进而得到，再由三角形内角和定理得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：100． 4．已知等边三角形的两个顶点坐标为，，则点的坐标为__________或__________． 【答案】 （0，3） （0，-3） 【分析】根据A（-3，0），B（3，0），得到AB=6，根据等边三角形的性质得到OC=OA=3，于是得到结论． 【详解】如图，∵A（-3，0），B（3，0）， ∴AB=6， ∵△ABC是等边三角形， ∴OC=OA=3， ∴点C的坐标为（0，3）或（0，-3）， 故答案为：（0，3）；（0，-3）． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，解题关键是根据题意画出图形，不要漏解． 5．（24-25八年级下·广东河源·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，规律型：点的坐标，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∴， 同理得到：， 按此规律得到： ∴点的纵坐标为 ． 故答案为：． 等边三角形的判定题型02 1．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(    ) A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等 【答案】C 【分析】（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【详解】A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确； B、有一个外角是120°，则该等腰三角形的一个内角是60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知，有一外角为120°的等腰三角形是等边三角形；故本选项正确； C、有两个角相等的等腰三角形有可能还是等腰三角形；故本选项错误； D、腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形；故本选项正确； 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质．在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列命题，属于真命题的是（    ） A．16的算术平方根是4 B．三角形一边上的中线与高线互相重合 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了命题真假的判断，算术平方根的定义和全等三角形的判断，等边三角形的判定．根据算术平方根定义，全等三角形的判定，等边三角形的判定方法，逐项判断命题真假即可． 【详解】解：A．16的算术平方根是4，是真命题，故A符合题意； B．只有等腰三角形底边上的中线与高线重合，一般三角形不成立，是假命题，故B不符合题意； C．面积相等的三角形不一定全等，例如底为4高为3的三角形与底为6高为2的三角形面积均为6但不全等，是假命题，故C不符合题意； D．有一个角是的三角形不一定是等边三角形，例如直角三角形中有一个角为，但其他角为和，是假命题，故D不符合题意． 故选：A． 3．命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是____（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】根据等边三角形的判定即可判断． 【详解】解：三个角都是的三角形是等边三角形，故该命题是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题考查命题与定理，等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键， 4．（24-25八年级上·广东东莞·月考）如图：，试说明是等边三角形． 【答案】 证明：， ， ， 又， 是等边三角形． 【分析】本题考查的是等边三角形的判定、三角形外角的性质，先求出，得出，结合，即可证明结论． 【详解】略 5．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在中，点在边上，． (1)以点为顶点的三角形为_______； (2)以为边的三角形为_______； (3)底边和腰不相等的等腰三角形为_______； (4)等边三角形为______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义进行解答即可； （4）根据等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点为顶点的三角形为，， 故答案为：，； （2）解：以为边的三角形为，， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴底边和腰不相等的等腰三角形为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴等边三角形为， 故答案为：． 根据等边三角形的性质求长度题型03 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 2．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 3．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______． 【答案】1.5 【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB， ∵∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB， ∵AB=2，BC=3.5， ∴CD=BC-BD=3.5-2=1.5． 故答案为1.5． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 4．如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了等边三角形和含直角三角形．熟练掌握等边三角形性质，含直角三角形的性质，一元一次方程应用，是解决问题的关键． （1）根据．，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得； （2）当点P与点Q重合时，，得，解得，即得； （3）当点P在点Q右侧时，，得，解得，即得；当点P在点Q左侧时，，得， 解得 ，即得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴， 故； （2）解：当点P与点Q重合时，， ∴， 解得：   故； （3）解：当点P在点Q右侧时，，， 有， 解得：，   ∴； 当点P在点Q左侧时，， 有， 解得： ， ∴， 综上所述，当时，的长为：或． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，． (1)用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：在边上求作点Q，使得； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 【答案】(1)如图，则点Q即为所求． (2)． 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点Q，则点Q即为所求； （2）由题意得为等边三角形，则．再根据，可得． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线，交于点Q． （2）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴． 根据等边三角形的性质求角度题型04 1．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的三线合一性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三线合一性质． 根据等边三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】∵在等边中，是边上的中线， ∴是的平分线， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级·期末）如图，是等腰直角三角形，，以为边向右作等边三角形，连接，作，且，连接，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度，三角形内角和定理的应用，等边三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用邻补角的意义求得，再根据角的差求得，从而可结合等边三角形的性质与三角形内角和定理求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为以为边向右作等边三角形， 所以， 所以， 故选：C． 3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠AED的度数为___________． 【答案】75° 【分析】根据等边三角形三线合一和等腰三角形等边对等角的性质求解即可． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠DAC=∠BAC=30°， ∵AE=AD， ∴∠ADE=∠AED==75°． 故答案为75°． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，证明三角形全等是解题关键．由等边三角形的性质得出，再证明得出，根据三角形的内角和定理可得，等量代换即可求出． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 5．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE． (1)试说明△BCD≌△ACE的理由； (2)如果BE＝2AB，求∠BAE的度数． 【答案】(1) ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∴∠DBC＝∠ECA=120°． ∵AD＝BE， ∴AD﹣AB＝BE﹣BC， 即BD＝CE． 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）； (2)90° 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．可证明△BCD≌△ACE； （2）证得AC＝CE，得出∠CAE＝∠E，可求出∠E＝30°，由三角形的内角和定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解∶∵BE＝2BC， ∴BC＝CE， ∵AC＝BC， ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝60°， ∴∠E＝30°， ∵∠ABE+∠E+∠BAE＝180°，∠ABE=60°， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝90°． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 等边三角形的性质与判定的综合应用题型01 1．如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，得到，，则可求出，进而得到，则． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法错误的是（ ） A．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 B．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 C．等边三角形的高、中线、角平分线长度都相同 D．有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可得当两个等腰三角形的顶角相等时，那么它们的底角也相等，再结合全等三角形的判定定理可判断A、B；由三线合一定理可判断C、D． 【详解】解：A：腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等．等腰三角形腰相等，顶角对应相等，则底角也相等．根据可证明两三角形全等，原说法正确，不符合题意； B：底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等．底边相等，顶角相等，则底角也相等．由或可证明两三角形全等，原说法正确，不符合题意； C：等边三角形的高、中线、角平分线长度相同．等边三角形的三线合一（高、中线、角平分线重合），长度必然相等，原说法正确，不符合题意； D：若某边的高和中线重合，仅能判定该三角形为等腰三角形（底边对应的高和中线重合），但无法得出三边均相等的结论．例如，等腰非等边三角形也满足此条件，原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质，由题意得，推出，得是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，即； ∴是等边三角形， ∴的周长为：； 故选：B 4．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点B，再以B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，若，连接，则的周长为_____________，面积为_____________． 【答案】 6 【分析】通过作图步骤可知，，，故，可判定为等边三角形，再利用等边三角形的周长、面积公式（为正三角形的边长）计算即可． 【详解】解：以为圆心画弧交于，得（同圆半径相等），以为圆心、为半径画弧于，得， ，即． 等边三角形周长为. 故答案为：① ② 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记“判断为等边三角形”是解题关键． 5．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一点，且OP＝4cm，C、D分别是P关于OA、OB的对称点，连结CD、PM、PN，则△PMN的周长为________． 【答案】4cm 【分析】如图，连接OC、OD，先根据轴对称的性质得出OC=OD=OP，∠COD=2∠AOB=60°，进一步即可判定△OCD是等边三角形，从而可得CD=OC，而易证CD的长就是△PMN的周长，于是问题得解. 【详解】解：如图，连接OC、OD，∵C、D分别是点P关于OA、OB的对称点， ∴PM=CM、PN=DN，OC=OD=OP，∠AOP=∠AOC，∠BOP=∠BOD， ∵∠AOB=30°， ∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOD+∠BOP=2∠AOB=2×30°=60°， ∴△OCD是等边三角形， ∵OP=4cm， ∴CD=OC=4cm， ∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=4cm． 故答案为4cm． 【点睛】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，连接OC、OD，根据轴对称的性质证得△OCD是等边三角形是解题的关键. 证明是等边三角形题型02 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】略 2．如图，在中，，，，为中点． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：是的中点， ， 又∵， 又∵， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、三角形外角的性质等；熟记各性质并准确识图是解题的关键． （1）根据等腰三角形两底角相等求出，，即可得出结果； （2）根据线段中点，得出，再根据三角形外角的性质，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）略 3．（25-26八年级·上海·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【答案】 探究（1） 证明：∵是上的中线， ∴． ∵是上的高， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． 探究（2） 已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且， 求证：是等边三角形． 证明：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定，解题的关键是利用已知条件推导等腰三角形的腰与底边相等． （1）利用中线性质得线段相等，结合高的垂直性质证明三角形全等，进而推出腰与底边相等，判定等边三角形； （2）根据三角形面积公式或全等三角形判定，由高相等推导腰与底边相等，再结合等腰三角形性质判定等边三角形． 【详解】略 4．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图1所示，在中，，，为线段上一点，为中点，连接．作，得到射线，过点作交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)如图2，当时，连接、，求证：为等边三角形． 【答案】(1) 如图， (2) 证明：， ， ， ，， ， ； (3) 证明：延长至使，连接， ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵，则， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等； （1）按要求补全图形，即可求解； （2）由角的和差得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （3）延长至使，连接，证明得出，，进而证明，证明，推出，，即可得出，则为等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 与等边三角形有关的折叠问题题型03 1．如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】根据题意证明出，得到，，然后结合折叠的性质得到，即可判断①；推出，证明出是等边三角形，即可判断②；根据题意无法证明，即可判断③；推出垂直平分线段，求出，得到，即可判断④；根据题意证明出，得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，，， ∴，故①正确； ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形，故②正确； 根据题意无法证明，故③错误； ∵将线段沿翻折得到线段 ∴垂直平分线段， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵，，， ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的是①②④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（25-26八年级上·北京·期中）小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上的点N处； （3）连接，则为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（    ） ____________ 为等边三角形． 【答案】 如下图即为所求作； ，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定，先按要求完成作图，再根据线段垂直平分线的性质进行证明即可． 【详解】略 等边三角形中的动点问题题型04 1．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 3．在边长为的等边三角形中，点M，N都以的速度同时出发．点M在线段上由点A向点C运动，点N在线段上由点C向点B运动． (1)如图①，当，且点M，N运动了时，和是否全等？请说明理由． (2)在点M，N运动的过程中，连接，交点为E（如图②）．试猜想度数的变化情况，并说明理由． 【答案】(1) 全等． 理由：为等边三角形， ． 当点M，N运动了时，． 又， ． 在和中， ． (2) 的度数始终不变，为． 理由：由题意，得． 在和中， ， ． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质， （1）结合等边三角形的性质得到，结合题意得到，即可证出全等； （2）先证出得到，再结合即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (3)如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1) 证明：，是等边三角形， ，，． 在和中， ， ， ； (2) ，理由如下： ， ． 又， ． ． (3) 仍有成立． 证明：，为等边三角形， ，，． ，即． 在和中， ， ． ． 又， ． ． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，，，根据证明即可得证； （2）由全等三角形的性质结合题意可得，即可得证； （3）仿照（1）、（2）的证明方法解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1) 解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； (2)2或8 (3)或 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）略 （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 等边三角形中的多结论问题题型05 1．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 证明，可判断，可判断①；根据题意可得，可判断③；由，可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意无法确定的度数， ∴无法确定的度数， ∴无法得到的大小关系，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 故选：D 2．如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，可得出，根据等腰三角形三线合一可得出是的高线，是的角平分线． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是的高线，是的角平分线，是中线， ∴， ∵， ∴， 无法判断是等边三角形，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 3．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 【答案】B 【详解】解：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形． ∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴B正确，A错误． ∵等腰三角形的顶角可以为锐角、直角或钝角， ∴等腰三角形不一定是锐角三角形，也不一定是钝角三角形，C、D错误． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·质检）如图，在中，，在的内部取一点，连接，，，恰有．，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等腰三角形；⑤是等边三角形．其中所有说法正确的序号是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形判定与性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理等知识，首先利用等腰三角形的性质并结合已知可求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理即可求出，据此判断①②；结合角之间的关系可得，利用等量代换可得，接下来结合等腰三角形的性质判断③④；利用等边三角形的判定并结合角之间的关系可判断⑤，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰三角形，故①②符合题意， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③④符合题意， ∵，，， ∴不是等边三角形，故⑤不符合题意， 故答案为：①②③④． 5．（24-25七年级下·上海·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【答案】 （1）证明：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下， ∵，是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质判定定理，全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理以及已知条件得出，进而得出，则，即可得证； （2）证明得出，则，即可得证； （3）根据（2）的方法证明，只有欢欢的可以证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 利用含30°的直角三角形的性质求长度题型06 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为，， ∴， ∴， ∴线段的长为， 故选：A． 2．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______. 【答案】6 【分析】根据题意易证△AEP为等边三角形，则AE=AP=2，在Rt△ACE中，利用含30°角的直角三角形性质求得EC的长，然后在等腰三角形BCE中得到BE的长，进而得到AB的长. 【详解】∵，， ∴∠ACB=60°， ∵是的平分线， ∴∠ECA=∠ECB=30°， 在△AEC中，∠AEC=90°﹣∠ACE=60°， ∵， ∴∠BAD=90°﹣∠B=60°， ∴△AEP为等边三角形， ∴AE=AP=2， ∴EC=2AE=4， ∵∠B=∠BCE=30°， ∴BE=CE=4， ∴AB=BE+AE=4+2=6. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，含30°角的直角三角形性质等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为______．    【答案】4 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和，等边三角形的判定和性质，两点间的距离；由得，由三角形内角和得，证得是等边三角形，再根据两点间的距离即可解答． 【详解】解：由图可知， ∴， ∵直角三角板中， ∴， ∴是等边三角形， ∵点E，F表示的刻度分别为2，6， ∴， ∴， 故答案为4． 利用含30°的直角三角形的性质证明题型07 1．（25-26八年级上·吉林辽源·期中）如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】略 2．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， (1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 如图所示：即为所求： (2) 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）根据作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，求出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了基本作图，等边三角形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点； (2)连接，求证：为等边三角形． 【答案】(1) 解：由题意，画图如下： (2) ∵在中，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）以点为圆心，任意长为半径交于两点，以这两点为圆心，大于这两点之间的距离为半径画弧，连接点与两弧的交点所形成的直线交于点，即可； （2）根据中垂线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理求出均为60度，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26八年级上·期末）如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点E为的中点，即； (2) 解：为等边三角形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵由（1）得，即， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再由三线合一即可证明； （2）先由直角三角形的性质得到，而，再由即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25八年级上·重庆·期末）在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． (1)用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； (2)根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 为等边三角形 【答案】(1)如图为所求作： (2)；；； 【分析】（1）根据垂线的画法作出垂线，连接即可． （2）根据等腰三角形的性质可得，，再根据为中点，可得，从而证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明为等边三角形,即可得出答案． 【详解】（1）解：以点为圆心画弧，交于两个点，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点长度的二分之一画弧交于一点，连接交点和点，交于点，连接即可． （2）略 【点睛】本题考查了垂线的画法，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 等边三角形与平行线题型08 1．如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质及三角形内角和定理及等边三角形性质即可求出对顶角的度数，即可得到答案． 【详解】解： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到． 2．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形以及平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形以及平行线的性质可得，从而得到，再由含30度角的直角三角形的性质解答，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·新疆·月考）如图，在等边三角形中，点分别在上，且， 过 点作，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到，故此可得到为等腰三角形． 【详解】略 4．如图，在中，平分，交的延长线于点，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， ， 平分， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等边三角形的判定； 先根据平角的定义求出，再根据角平分线定义和平行线的性质求出即可． 【详解】略 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) 解：是等边三角形，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵． ∴，即， ∴是等边三角形， (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可． （1）由题意得，根据推出，即可求证； （2）连接，可推出垂直平分得；进而得， ，，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 含30°角的直角三角形的性质的应用题型09 1．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键． 2．（25-26八年级·陕西西安·期末）如图，学校操场边有一盏垂直于水平地面的路灯，路灯旁有一斜坡，斜坡与水平地面的夹角．数学延时课上，实践小组的小创同学带领组员一起来测量路灯的高度．他们的方案如下：①小智同学站在斜坡最高处点处，用一根足够长的绳子，把绳子一端打结向路灯的顶端扔去，使得绳子打结处刚好挂在路灯顶端处；②小研同学把绳子拉直，在绳子上的点处做标记，再把绳子拉向斜坡最高点处，发现；③小九同学测量发现，斜坡最高点处到地面的距离为3米．求路灯的高度． 【答案】6米 【分析】根据两角互余确定，再结合，得到是等边三角形，将转化为，最后在中，根据30°所对的直角边是斜边的一半的性质得到长，从而确定路灯的高度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴， 答：路灯的高度是6米． 3．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键． 用含t的代数式表示出． （1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论． 【详解】（1）解：在中， ，， ． ， ． 当时，为等边三角形． 即，解得． ∴当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时，， 即 ； ②当时，， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 最短路径的基本作图题型10 1．（25-26七年级·浙江台州·期末）如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 2．如图所示，A，B两村庄要在公路l边建一个货物中转站，请在图中画出中转站的位置P，使A，B两村庄到中转站P的总路程最短． 【答案】 如图，点即为所求． 【分析】利用轴对称的性质，将其中一个点关于直线作对称，再连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求的最短路径点． 【详解】解：作点关于直线l的对称点，再连接交直线于点P． 【点睛】本题考查最短路径问题，掌握利用轴对称转化线段，两点之间线段最短是解题的关键． 3．如图，河l同侧有一块直角三角形的绿化带，，，，．A到河l的距离等于的长度．需要用水管从河l上一点P处分别引水到A，B两处，并通过安装在这两处的喷水龙头灌溉草地． (1)请在河l上画出点P的位置，使得从点P向A，B两处引水所需的水管总长度最短； (2)求至少需要水管多少米（连接处接头长度忽略不计）． 【答案】(1) 如图，点P如图所示； (2)至少需要长的水管． 【分析】（1）作点A关于河的对称点E，连接BE交于P，即可得到最短距离； （2）根据含30°的直角三角形即可求出需要水管的长度． 【详解】（1）解：作点A关于l的对称点E，连接交l于点P，则点P就是所要画的点； （2）解：∵，， ∴C，A，E在同一直线上； ∵，， ∴，； ∵， ∴，AE=AB， ∴， ∴在中，． 答：至少需要长的水管． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，平面展开—最短路径问题，解决问题的关键是掌握对称的性质． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)的面积为______； (3)在y轴上画出点P，使最小． 【答案】(1) 如图所示：，即为所求； (2) (3)如图 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据分割法即可求得的面积； （3）连接与y轴的交点为P，可使最小． 【详解】（1）略 （2）的面积为：； 故答案为：6.5； （3）连接与y轴的交点为P，P点即为所求． 【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 【答案】(1) 如图，点即为所作， (2) 如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； (3) 如图，点即为所作， 在中，，则最大． 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点； （2）连接，作线段的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （3）连接并延长交直线于点，假设直线上有一点（异于点），连接、，点即为所作． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 与最短路径有关的计算题型11 1．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故周长的最小值是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值． 【详解】解：作M关于的对称点E，连接， 又∵四边形为正方形， ∴，点E为的中点， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，最短， ∵N是中点，点E为的中点， ∴． ∴的最小值为4． 故答案为：4． 3．（25-26八年级·期中）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 由基本作图得到垂直平分，则，所以，连接，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， 连接，如图， ∵（当且仅当M点在上时取等号）， ∴的最小值为， ∵，D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴长度的最小值为5． 故答案为：5． 4．（25-26八年级上·福建·期中）如图，已知的顶点分别为、、 (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)在x轴上找出一点P，使的值最小，请直接写出的最小值． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； 点的坐标为； (2) 如上图所示，点即为所求． 【分析】本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找到的顶点的对应点，顺次连接即可求解，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据轴对称的性质，连接交轴于点，点即为所求，利用网格及勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）． 5．如图，在规格为的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．    (1)画出关于直线n对称的； (2)在直线m上作出点P，使得的周长最小；（保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，图中的面积为 ．（请直接写出结果） 【答案】(1) 如图所示，即为所求；    (2) 如图所示，点即为所求； (3)2 【分析】（1）根据轴对称的性质找出对应点即可求解； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求； （3）根据割补法即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． 大（小）边对大（小）角定理题型 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 3．如图，在中，已知．求证：． 【答案】 证明：∵，∴． ∵， ∴， ∴可作， 其中点在线段上． ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 而， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键； 构造等腰三角形，利用三线合一的性质，证明，由此证明． 【详解】略 4．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)解：， 证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等，熟知相关性质定理并正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明过程写这两步的依据即可； （2）连接，由，得，在边上截取，连接，方法同（1），即可证明结论； 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知，请根据下列要求作图并回答问题． (1)点D在边上，请你用直尺和圆规在图中作出点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，，求证：． 【答案】(1)所作图形如图： ； (2)由作图知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，则，则； （2）求得，，推出，即． 【详解】（1）解：作图略 （2）解：略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15.3.2 等边三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等边三角形的性质 题型02 等边三角形的判定 题型03 根据等边三角形的性质求长度 题型04 根据等边三角形的性质求角度 B组 能力进阶 题型01 等边三角形的性质与判定的综合应用 题型02 证明是等边三角形 题型03 与等边三角形有关的折叠问题 题型04 等边三角形中的动点问题 题型05 等边三角形中的多结论问题 题型06 利用含30°的直角三角形的性质求长度 题型07 利用含30°的直角三角形的性质证明 题型08 等边三角形与平行线 题型09 含30°角的直角三角形的性质的应用 题型10 最短路径的基本作图 题型11 与最短路径有关的计算 C组 思维拔高 题型 大（小）边对大（小）角定理 等边三角形的性质题型01 1．一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 2．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A．64 B．32 C．16 D．128 3．如图摆放一个正方形和两个等边三角形，若，则__________． 4．已知等边三角形的两个顶点坐标为，，则点的坐标为__________或__________． 5．（24-25八年级下·广东河源·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为________． 等边三角形的判定题型02 1．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(    ) A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列命题，属于真命题的是（    ） A．16的算术平方根是4 B．三角形一边上的中线与高线互相重合 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 3．命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是____（填“真”或“假”）命题． 4．（24-25八年级上·广东东莞·月考）如图：，试说明是等边三角形． 5．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在中，点在边上，． (1)以点为顶点的三角形为_______； (2)以为边的三角形为_______； (3)底边和腰不相等的等腰三角形为_______； (4)等边三角形为______． 根据等边三角形的性质求长度题型03 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 3．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______． 4．如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，． (1)用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：在边上求作点Q，使得； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 根据等边三角形的性质求角度题型04 1．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级·期末）如图，是等腰直角三角形，，以为边向右作等边三角形，连接，作，且，连接，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠AED的度数为___________． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 5．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE． (1)试说明△BCD≌△ACE的理由； (2)如果BE＝2AB，求∠BAE的度数． 等边三角形的性质与判定的综合应用题型01 1．如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法错误的是（ ） A．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 B．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等 C．等边三角形的高、中线、角平分线长度都相同 D．有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形 3．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点B，再以B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，若，连接，则的周长为_____________，面积为_____________． 5．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一点，且OP＝4cm，C、D分别是P关于OA、OB的对称点，连结CD、PM、PN，则△PMN的周长为________． 证明是等边三角形题型02 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 2．如图，在中，，，，为中点． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 3．（25-26八年级·上海·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图1所示，在中，，，为线段上一点，为中点，连接．作，得到射线，过点作交射线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)如图2，当时，连接、，求证：为等边三角形． 与等边三角形有关的折叠问题题型03 1．如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 2．（25-26八年级上·北京·期中）小明同学在折纸时发现：可以用一张纸折出一个等边三角形．他的折纸方式如下： （1）对折纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次沿折叠纸片，使点B落在上的点N处； （3）连接，则为等边三角形． 小明将折法与小云分享，小云发现小明的方法也可以通过尺规作图的方式来呈现． 请你完成下面小云的作图（保留作图痕迹）及证明过程并在括号中填写推理依据． 如图，已知长方形 ①尺规作图：作的垂直平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③连接、，则为等边三角形． 证明：直线垂直平分 ____________（    ） ____________ 为等边三角形． 等边三角形中的动点问题题型04 1．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 2．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 3．在边长为的等边三角形中，点M，N都以的速度同时出发．点M在线段上由点A向点C运动，点N在线段上由点C向点B运动． (1)如图①，当，且点M，N运动了时，和是否全等？请说明理由． (2)在点M，N运动的过程中，连接，交点为E（如图②）．试猜想度数的变化情况，并说明理由． 4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图1，等边中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边，连接． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并证明你的判断； (3)如图2，将动点D运动到边的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是（2）中的结论是否成立？并说明理由． 5．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 等边三角形中的多结论问题题型05 1．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 2．如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　） A． B．是的高线 C．是的角平分线 D．是等边三角形 3．下列结论中，正确的是（    ） A．等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一定是钝角三角形 4．（24-25八年级上·陕西渭南·质检）如图，在中，，在的内部取一点，连接，，，恰有．，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等腰三角形；⑤是等边三角形．其中所有说法正确的序号是_____． 5．（24-25七年级下·上海·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 利用含30°的直角三角形的性质求长度题型06 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______. 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为______．    利用含30°的直角三角形的性质证明题型07 1．（25-26八年级上·吉林辽源·期中）如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 2．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， (1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)连接，求证：是等边三角形． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点； (2)连接，求证：为等边三角形． 4．（25-26八年级上·期末）如图， 在四边形中，，，平分 ，连接． (1)求证：； (2)若，判断的形状， 并说明理由． 5．（24-25八年级上·重庆·期末）在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． (1)用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； (2)根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 为等边三角形 等边三角形与平行线题型08 1．如图，直线，是等边三角形，，则的大小为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25八年级上·新疆·月考）如图，在等边三角形中，点分别在上，且， 过 点作，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 4．如图，在中，平分，交的延长线于点，求证：是等边三角形． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 含30°角的直角三角形的性质的应用题型09 1．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级·陕西西安·期末）如图，学校操场边有一盏垂直于水平地面的路灯，路灯旁有一斜坡，斜坡与水平地面的夹角．数学延时课上，实践小组的小创同学带领组员一起来测量路灯的高度．他们的方案如下：①小智同学站在斜坡最高处点处，用一根足够长的绳子，把绳子一端打结向路灯的顶端扔去，使得绳子打结处刚好挂在路灯顶端处；②小研同学把绳子拉直，在绳子上的点处做标记，再把绳子拉向斜坡最高点处，发现；③小九同学测量发现，斜坡最高点处到地面的距离为3米．求路灯的高度． 3．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 最短路径的基本作图题型10 1．（25-26七年级·浙江台州·期末）如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，A，B两村庄要在公路l边建一个货物中转站，请在图中画出中转站的位置P，使A，B两村庄到中转站P的总路程最短． 3．如图，河l同侧有一块直角三角形的绿化带，，，，．A到河l的距离等于的长度．需要用水管从河l上一点P处分别引水到A，B两处，并通过安装在这两处的喷水龙头灌溉草地． (1)请在河l上画出点P的位置，使得从点P向A，B两处引水所需的水管总长度最短； (2)求至少需要水管多少米（连接处接头长度忽略不计）． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)的面积为______； (3)在y轴上画出点P，使最小． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 与最短路径有关的计算题型11 1．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为______． 3．（25-26八年级·期中）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为_____ ． 4．（25-26八年级上·福建·期中）如图，已知的顶点分别为、、 (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)在x轴上找出一点P，使的值最小，请直接写出的最小值． 5．如图，在规格为的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．    (1)画出关于直线n对称的； (2)在直线m上作出点P，使得的周长最小；（保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，图中的面积为 ．（请直接写出结果） 大（小）边对大（小）角定理题型 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 3．如图，在中，已知．求证：． 4．阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（依据1） 是的外角， ，（依据2） ， ． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 5．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知，请根据下列要求作图并回答问题． (1)点D在边上，请你用直尺和圆规在图中作出点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，，求证：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $