15.3.2等边三角形(第2课时 含30°角的直角三角形的性质)（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

15.3.2(第2课时)含30°角的直角三角形的性质（原卷版） 目 录 类型一、线段数量关系的判断 1 类型二、根据性质求边长 1 类型三、尺规作图 4 类型四、折叠问题 6 类型五、根据性质证明结论 7 类型一、线段数量关系的判断 1．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 类型二、根据性质求边长 3．如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 4．如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 5．如图，，E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 6．如图，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面内将一块含的三角板向右平移得到，若，则边扫过的面积与边扫过的面积之比为（    ）    A．2 B． C． D． 8．如图，的斜边的垂直平分线与交于点M，，，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，两个全答的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 10．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 11．如图，，是的平分线上一点，，交于点，，垂足为.如果，则的长为 . 12．如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则 ． 13．如图，，平分，，为的垂直平分线，交于点．若，则的长为 ． 14．如图，在中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E，，则边的长度为 ． 15．如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 16．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)判断，的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 类型三、尺规作图 17．如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， 作射线，交于点D，过点D作交于点E，已知，，则的长为 ． 18．如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． (1)由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 19．如图，已知，点是边上一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，过点作于点，若，，求的面积． 20．如图：在中，，． (1)作的角平分线； (2)若，求的长． 21．如图，在中，，． (1)用尺规作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 22．如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）． 23．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作边上的高； (2)，求证：． 类型四、折叠问题 24．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 25．如图，直角三角形纸片中，，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕，若，，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D． 26．如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 27．如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则 ． 类型五、根据性质证明结论 28．如图，在中，是高，， 求证：． 29．已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 30．已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 2．如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则，其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 4．在Rt中，，，，若点在直线上，，则的长为 ． 5．如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是 ． 1．如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 2．在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． (1)在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … (2)如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3.2(第2课时)含30°角的直角三角形的性质（解析版） 目 录 类型一、线段数量关系的判断 1 类型二、根据性质求边长 2 类型三、尺规作图 13 类型四、折叠问题 19 类型五、根据性质证明结论 22 类型一、线段数量关系的判断 1．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 【详解】解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 2．如图，中，，是高，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果有一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ， ∴，即 故选B． 类型二、根据性质求边长 3．如图，在中，，，平分，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形，角平分线的性质，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解本题的关键． 作于，根据直角三角形的性质，，根据角平分线的性质，可得，再根据可求得答案． 【详解】解：如图，作于，则，    ∵， ∴， ，平分， ， ， ， 即点到的距离是． 故选：D． 4．如图，将沿方向平移得到，点的对应点分别为点与交于点G，若，，，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记平移的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】∵将沿方向平移得到， ， ，， ， 故选：D． 5．如图，，E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题综合考查角平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形面积计算．解题核心是通过构造辅助线，将分散的条件关联起来，利用角平分线性质得到，再结合直角三角形和等腰三角形的性质确定与的长度，最终代入面积公式求解。 【详解】解：过点E作，交于点D， 点E在的平分线上，且 ， ， ， 在中，，（即）， ， ，点E在的平分线上， ， ， , , ， ． 故选：C． 6．如图，，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 7．如图，在平面内将一块含的三角板向右平移得到，若，则边扫过的面积与边扫过的面积之比为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，过点B作于点G，延长交于点H，根据平移的性质可得，求出，根据，求出，进而得到，设，根据直角三角形的性质求出，再计算出边扫过的面积与边扫过的面积即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点G，延长交于点H，    由平移的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴边扫过的面积为，边扫过的面积为，， ∴边扫过的面积与边扫过的面积之比为． 故选：B． 8．如图，的斜边的垂直平分线与交于点M，，，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ， ， 又∵ 故选A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 9．如图，两个全答的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握平移的性质是解题关键．过点作于点，与交于点，由平移的性质可知，，，，，进而推出，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得出，再结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，与交于点， ， ， 由平移的性质可知，，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：B． 10．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，由三角形内角和定理求出，在根据含30度直角三角形的性质即可得出． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， 故选：C 11．如图，，是的平分线上一点，，交于点，，垂足为.如果，则的长为 . 【答案】2 【分析】本题主要考查角平分线的性质及含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作，交于点，利用角平分线的性质得到，再利用平行线的性质得到，最后利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 故答案为：2． 12．如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，连接构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据线段垂直平分线的性质可得出，，进而可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接， 中，，， ， 是的中垂线， ，， ， ， 是直角三角形， ∴， ， ． 13．如图，，平分，，为的垂直平分线，交于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质．过点作于点，根据角平分线的性质，可得，，再由线段垂直平分线的性质，可得，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，然后根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 14．如图，在中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E，，则边的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． 利用等边对等角，求出的度数，利用中垂线的性质，得到，利用等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系可得，根据含角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为： 15．如图，在中，，， 的垂直平分线交于E，交于D，若，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出含角的直角三角形是解题的关键． 连接，根据三角形的内角和定理求出、，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 的垂直平分线交于点E， ，， ， ， ， ， ． 16．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)判断，的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】（1）根据是等边三角形，可知，根据平行线的性质可知，根据直角三角形的性质可知，根据三角形外交的性质可得，，进而可得，再根据等角对等边可证结论成立； （2）由是等边三角形，可得，进而可得，再证是等边三角形，则可得，在中，根据角所对的边等于斜边一半，可得． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型三、尺规作图 17．如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，小于 的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， 作射线，交于点D，过点D作交于点E，已知，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等角对等边，平行线的判定及性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 18．如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． (1)由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角可得，然后再计算出的度数，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半进而可求解； 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：如图，连接， 由（1）知，是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． 19．如图，已知，点是边上一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，过点作于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质和直角三角形中30度所对的边是斜边的一半等知识． （1）根据角平分线的尺规作图即可； （2）根据角平分线的定义以及平行的性质可得，从而得到，再由直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 20．如图：在中，，． (1)作的角平分线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作的平分线交于点，则即为所求； （）先求出，又平分，则，所以，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴． 21．如图，在中，，． (1)用尺规作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据线段的垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）求解，证明，可得，，，证明，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线、点E、D即为所求： （2）解：∵，， ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴为的平分线， ∵直线为线段的垂直平分线，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 22．如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线，交于点，结合题意可得，即点为所求． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点． ，， ， ， ， ． 在中，， ， ，即 ∴点即为所求． 23．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作边上的高； (2)，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合三角形的高的定义画图即可； （2）由题意得，，则，可得，结合含30度角的直角三角形的性质可得，即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）证明：∵为边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型四、折叠问题 24．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 25．如图，直角三角形纸片中，，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕，若，，则的长为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形内角和等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可知且，且，再根据以及四边形内角和为解得，进而确定，然后根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可求得答案． 【详解】解：根据题意，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕， 则且，且， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：B． 26．如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，角的性质． 根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据角的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴，， 在中，， ，， , ∴平分， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 27．如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则 ． 【答案】1 【分析】此题综合运用了折叠的性质、直角三角形的性质，根据折叠可得，，熟练运用折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 类型五、根据性质证明结论 28．如图，在中，是高，， 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先结合题意确定，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”易得，再证明，进一步可得． 【详解】证明：∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 29．已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质、含角的直角三角形，熟记角平分线的性质、在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，在中，，可得，从而结论即可得证． 【详解】证明：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 30．已知：如图，在中，，D为中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，得； （2）证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵，点D是的中点， ∴． 1．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．作点E关于射线的对称点，连接，当点F、P、三点共线，且时，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则， ， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则，其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 由、得出可判断①；由①可证明可判断②；可证明是等腰三角形但不能证明是等边三角形，可判定③；由，可求出，进而得出，继而证出可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，即，故②符合题意； 由，不能判定是等边三角形，则③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意． 综上，正确的有①②④． 故选：B． 3．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，在图中构造合适的辅助线是解题的关键．如图所示过点E作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度． 【详解】解：如图所示：过点E作， ∵，， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，于F， ∴， ∴， 故选：C． 4．在Rt中，，，，若点在直线上，，则的长为 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边．分为点Q在线段上和Q在线段的延长线上两种情况，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴，， ①点Q在线段上， ∵，， ∴， ∴； ②点在线段的延长线上， ∵，， ∴， ∴， 综上，的长为2或4． 故答案为：2或4． 5．如图，在中，，，，P是边上的动点（点P不与点C，B重合），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．利用垂线段最短分析可知：与重合时为3，根据含角的直角三角形的性质得出，结合点P不与点C，B重合，由此可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3， ∵在中，，，， ∴， ∵点P不与点C，B重合， ∴的取值范围是， 故答案为：． 1．如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． (1)在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … (2)如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的性质与判定，命题与定理，含度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）延长到，使，连接．证明是等边三角形可得结论； （2）证明可得结论． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，，， ，， ， 由（1）可得， ， ．故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$