15.3.2 等边三角形 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

等边三角形(1) 知识要点 对点训练 知识点 等边三角形的性质 (1) 的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. (2)等边三角形的三个角都 ，并且每一个角都等于 . 1.(2026石家庄二模)如图,△ABC是等边三角形,点 D 在 AC 边上,∠DBC =35°,则∠ADB的度数为( ) A.25° B.60° C.85° D.95° 知识点 等边三角形的判定 (1)由等边三角形的定义判定：三边都 的三角形是等边三角形. (2)三个角都 的三角形是等边三角形. (3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 2.下列条件中，不能得到等边三角形的是 ( ) A.有两个角是60°的三角形 B.有一个角是60°的等腰三角形 C.有两个外角相等的等腰三角形 D.三边都相等的三角形 知识点 等边三角形的性质和判定的综合 (1)等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形. (2)等边三角形具备等腰三角形的所有性质. (3)等边三角形是轴对称图形，其对称轴是三边的垂直平分线，有三条. (4)三条边上的中线、三条高线及三个内角平分线都相交于一点. 3.(人教8上P82、北师8 下 P12)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 4.【例1】(2026 孝感模拟)如图,直线l∥m,等边△ABC的两个顶点B，C 分别落在直线l，m上,若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数是( ) A.45° B.39° C.29° D.21° 小结：等边三角形三个角都是60°. 8.如图是一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β等于( ) A.180° B.220° C.240° D.300° 5.【例2】如图,已知 OA =a,P 是射线 ON 上一动点,∠AON =60°,当 OP = 时,△AOP 为等边三角形. 9.下列条件能判断一个三角形是等边三角形的有( ) ①三边相等；②三个内角相等；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)相等；④有一个角是60°的等腰三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 小结：判定等边三角形一般有三种情况：已知三边关系、已知三角关系、已知是等腰三角形. 6.【例3】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∠BAC 的平分线交 BC 于 D,DE⊥AB 于E.求证:△AEC 是等边三角形. 小结：掌握等边三角形的多种判定方法. 10.(人教8 上 P85)如图,△ABC 是等边三角形,E是AC上的点,且∠1=∠2,CD=BE.判断△ADE 的形状，并说明理由. 7.【例4】如图, 是等边三角形，且∠1= (1)求 的度数； 是等边三角形吗?请简要说明理由. 11.(推理能力)(2026 海南期末)如图,△ABC ^ 是等边三角形,点 D,E 分别在 BC,AC边上,AE=CD,AD与BE 相交于点 F. (1)求证:BE=AD; (2)求∠BFD 的度数. 小结：等边三角形中常遇到此类与角有关的问题，注意等量代换. 学科网（北京）股份有限公司 知识点 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 . (人教8上P83、北师8下P11) 几何语言：如图， ∵在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,∠BAC=30°, 或AB=2BC. 1.(跨学科融合)如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点 C，利用测量仪器测得∠A =60°,∠C=90°,AC =2km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB 等于( ) A.2km B.3km D.4km 知识点 有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用 注意： (1)应用性质的前提条件必须是直角三角形； (2)准确找出30°角所对的边. (跨学 科 融合) “2025中国国际大 数据产业博览会” 在贵阳举行，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是( ) A.4m B.6m C.10m D.12m 2.(跨学科融合)(人教8上P83、北师8下P13)如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点,立柱 BC,DE垂直于横梁AC,AB =7.4m ,∠A=30°.求立柱BC,DE的长. 知识点 3 在综合题中的运用 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B =15°,DE 垂直平分 AB,交 BC 于点 E,BE =4,则 AE = ,AC= . 3.(2026 淮南期末改编)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD 是高.若AC =8,则BD= . 学科网（北京）股份有限公司 4.【例1】如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B =30°,AD平分∠CAB,交 BC 于点 D,若CD=1,则BD= . 8.如图,△ABC 是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,若 AB =8cm,则BD= ,∠BDE= ,BE= 小结：此题可运用等腰三角形的判定与性质，也可构造与BD有关的直角三角形. 5.【例2】(2026 齐齐哈尔期末)如图,已知∠AOB=60°,点P 在边OA上,OP=12,点M,N在边OB 上,PM=PN,若MN=2,则OM=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 小结：结合等腰三角形“三线合一”求解. 9.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE，则下列说法错误的是( ) A.∠CAD=30° B. AD=BD C. BD=2CD D. CD=ED 6.【例3】如图,在 中,BA = BC,∠B = ,AB 的垂直平分线MN交AC 于D,求证: 小结：先构造直角三角形，再用相关定理求证. 10.(人教8 上 P92 改编)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是△ABC 的高,∠A =30°,AB=4,求BD 的长. 7.【例4】如图，在等边 中,D 是AB的中点， 于E, 于 F,已知. 求BF的长. 小结：运用等边三角形的性质. 11.(思维能力)如图,在等边△ABC 中, BC,BE是中线,AD与BE 交于点 M.猜想AM与DM的数量关系，并证明. 等边三角形(1) 知识点 ：(1)三边都相等(2)相等 60° 知识点 :(1)相等(2)相等(3)60° 1. D 2. C 3.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C, ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形. 4.【例1】B 5.【例2】a 6.【例3】证明:∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°. 又∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC. 又AD=AD,∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL),∴AE=AC, ∴△AEC是等边三角形. 7.【例4】解:(1)∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 又∵∠1=∠2=∠3,∴∠ABD=∠BCE=∠CAF, ∴∠BEC=180°-∠2-∠BCE=180°-(∠2+∠ABD)=180°-60°=120°. (2)是.理由:由(1)知∠BEC=120°,∴∠DEF=60°. 同理:∠DFE=∠EDF=60°,∴△DEF是等边三角形. 8. C 9. D 10.解：△ADE是等边三角形，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB,∠BAE=60°, 在△ACD和△ABE中, ∴△ACD≌△ABE(SAS), ∴AD=AE,∠CAD=∠BAE=60°, ∴△ADE是等边三角形. 11.(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA. 在△ABE和△CAD中, ∴△ABE≌△CAD(SAS),∴BE=AD. (2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD, ∴ ∠BFD = ∠ABE + ∠BAD = ∠CAD + ∠BAD = ∠BAC=60°. 等边三角形(2) 知识点 ：斜边的一半 知识点 ：B 知识点3:4 2 1. D 2.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°, ∵D是AB的中点,∴ 3.12 4.【例1】2 5.【例2】C 6.【例3】证明:连接BD. ∵MN是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD. ∵BA=BC,∠ABC=120°, ∴∠ABD=30°,∴∠DBC=120°-30°=90°, 7.【例4】解:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=8,∠A=∠B=∠C=60°, ∵D是AB的中点,∴AD=BD=4, ∵DE⊥AC,EF⊥BC, ∴∠DEA=90°,∠EFC=90°, ∴∠ADE=180°-∠DEA-∠A=30°, ∠FEC=180°-∠EFC-∠C=30°, ∴BF=BC-CF=8-3=5. 8.4 cm 30°2cm 9. D 10.解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4, ∵CD是△ABC的高,∴∠CDB=∠ACB=90°, ∵∠B=∠B,故∠BCD=∠A=30°, ∴在 Rt△BCD中, 11.解:AM=2DM.证明如下: ∵△ABC为等边三角形,∴BA=BC,∠BAC=∠ABC=60°, ∵AD⊥BC,BE是中线,∴AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴∠BAD=∠ABE=∠CBE=30°,∴AM=BM, 在 Rt△BDM中,∵∠DBM=30°, ∴BM=2DM,∴AM=2DM. 学科网（北京）股份有限公司 $