江苏省海门中学2027届高三数学一轮复习作业09

2027届高三数学一轮复习作业09 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 4．若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 6．已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．命题“”的否定是“或” C．如果，那么“”是“”的充要条件 D．，不等式恒成立，则的取值范围是 8．如图，在棱长为6的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的有（    ）    A．线段长度的最小值为 B．直线与直线所成角的最大值为 C．面 D．的最小值为 三、填空题 9．若为实数，，则的最小值为___________． 10．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 四、解答题 11．已知函数在区间上的值域为. （1）求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有3个零点，求实数的值. 12．在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 13．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点. (1)证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习作业09 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由公式法解绝对值不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设，且，则. 故选：B 2．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求得的值，由此求的值 【详解】令，解得，故. 故选：D 3．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【分析】根据各选项中的线面关系条件，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 4．若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆锥的侧面积公式求圆锥的母线长，再求圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解. 【详解】设圆锥的母线长为， 则有，所以， 于是圆锥的高为， 该圆锥的体积为：. 故选：D 5．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 6．已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．命题“”的否定是“或” C．如果，那么“”是“”的充要条件 D．，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】举例说明判断A；写出存在量词命题的否定判断B；利用充要条件定义推理判断C；利用一元二次不等式恒成立求出范围判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，命题“”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所求否定是“或”，B正确； 对于C，当时，， 因此当时，“”是“”的充要条件，C正确； 对于D，当时，恒成立，当时，则， 解得，因此的取值范围是，D错误． 故选：BC 8．如图，在棱长为6的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的有（    ）    A．线段长度的最小值为 B．直线与直线所成角的最大值为 C．面 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，当时，最短，然后由可得；对于B，即为直线与直线所成角，当点运动到点时，最大；对于C，由题可得平面平面，据此可得面；对于D，如图把平面沿展开到平面所在平面，连接交于，此时最小，据此可得最小值. 【详解】对A，连接，，，，如图， 当时，最短，由正方体棱长为6，， 所以，可得，故A错误；    对于B，将直线平移至，则即为直线与直线所成角， 显然，当点运动到点时，该角的最大值为，故B正确；    对于C，连接，，，，，如图， 在正方体中，，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，，平面，所以平面平面， 又平面，所以面，故C正确；    对于D，把平面沿展开到平面所在平面，如图， 连接交于，此时最小，最小值为， 在中，，， ，D正确，    故选：BCD. 三、填空题 9．若为实数，，则的最小值为___________． 【答案】54 【分析】由已知结合基本不等式即可求得的最小值． 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时取等号． 则的最小值为54． 故答案为：54. 10．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则， 则，即，解得， 故球的表面积为； 过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小； 设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则， 故只需d最大，此时截面圆与垂直， 即， 故， 故答案为：； 四、解答题 11．已知函数在区间上的值域为. （1）求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数有3个零点，求实数的值. 【答案】（1）1 （2） （3）-1 【分析】（1）由二次函数图像性质可得的最大值必是在区间端点处取得，将端点值代入计算a值检验即可；（2）令，将y=转为关于t的函数h(t)，并求函数h(t)的最小值，由可得m的取值范围.（3）令，将转为关于t的二次函数，将二次函数对应的二次方程分解因式，求得或 ，结合函数有三个零点即可得到k的取值. 【详解】（1）依题意，的最大值必然是在区间的端点处取得， 所以：或，解得：， 经检验，符合题意. （2）令，则原不等式可化为： 恒成立,令h(t)=, 因为，， 则， ∴的取值范围是 （3）令，则可化为： ∵解方程可得：或 又依题意：有3个不同的零点， ∴， ∴ 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力． 12．在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，进而证明侧棱垂直于底面，结合底面形状可证结论； （2）建立坐标系，利用平面与平面夹角求出高，结合点面距的向量公式可求答案. 【详解】（1）证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面， 因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则； ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 因为平面与平面夹角的余弦值为，所以， 解得，即. ，设点到平面的距离为，则. 13．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点. (1)证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，根据三角形中位线的性质构造线线平行，进而得到四边形是平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理得到结论. （2）先证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面夹角的正弦值. 【详解】（1）如图： 取中点，连接，， 因为为中点，所以且. 又底面为平行四边形，且为中点，所以，且. 所以且，所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因为是边长为4的等边三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接，在中，，，， 由余弦定理可得：， 所以,所以，所以是等腰直角三角形，. 所以两两垂直. 以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，令得. 所以. 即为直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $