3.1 圆的相关概念 易错专题练习 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版2024 · 圆的相关概念 · 第3章 圆 3.1圆的相关概念 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第3章 圆 第1课时 本专题按易错原因重新聚合题目，不按知识点顺序罗列。每个易错点配一道精讲例题，例题后紧跟即时巩固，趁热打铁练同类陷阱；全部易错点学完后，再用文末的综合检测题组统一验收。题目全部取自近年真题与同步练习原卷，保留原题数据与图形。 目录 易错点1：漏掉同圆或等圆前提 易错点2：等弦等弧转化漏公共角 易错点3：弧中点与弧的度数混淆 易错点4：等弧推等角时跳步 易错点5：跨节综合找不到桥梁 易错点1：漏掉同圆或等圆前提 学习目标 · 能说出等弧与等圆的判定前提 · 能辨别等弦对等弧的适用范围 · 能排除缺少同圆条件的说法 纠错指引 凡用等弧、等弦、等圆心角互推，先落笔写清「在同圆或等圆中」；选项里缺这一条前提的一律判错。等弧要求两弧能完全重合，不只是长度相等；优弧与劣弧比长短也必须先限定同圆或等圆。 精讲例题 例题1．（2024秋•西华县期末）·【基础】下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【分析】根据等弧、优弧、劣弧的定义以及圆心角、弦、弧之间的关系定理判断即可． 【解答】解：A、能够重合的弧是等弧，说法错误，故选项不符合题意； B、在同圆或等圆中，等弦所对的劣弧和劣弧相等，优弧和优弧相等，说法错误，故选项不符合题意； C、优弧一定比劣弧长，说法错误，条件是同圆或等圆中，故选项不符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，说法正确，故选项符合题意． 故选：D． 教学提示：把四个选项的前提条件逐条抄在黑板上做对比表，让学生用红笔圈出「在同圆或等圆中」；再追问「两根等长的铁丝弯成的弧一定能重合吗」，用实物说明等弧要能重合而非等长。 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把长度相等当成等弧 · 忽略同圆或等圆前提 · 认为优弧一定比劣弧长 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•旬阳市期末）·【提升】如图，AB，BC是⊙O的弦，连接OA，OB，OC，若∠AOB＝∠BOC，则弦AB，BC之间的数量关系为（　　） A．AB＝2BC B． C．AB＝BC D． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【解答】解：∵∠AOB＝∠BOC， ∴AB＝BC． 故选：C． 教学提示：先让学生凭直觉猜 AB 与 BC 的数量关系，再要求用一句话说出依据；板书突出「同圆中，等圆心角对等弦」，然后把条件改成 ∠AOB＝2∠BOC，让学生判断 AB＝2BC 是否成立，破除想当然的倍数误区。 易错点2：等弦等弧转化漏公共角 学习目标 · 能由等弦推出所对圆心角相等 · 能在等式两边同减公共角 · 能结合半径相等求底角 纠错指引 等弦先转成「所对圆心角相等」，再在等式两边同减公共角，得到真正要用的那组角；最后用 OA＝OC 的等腰三角形求底角。千万别把题目给的 84° 直接当成目标等腰三角形的顶角。 精讲例题 例题2．（2025秋•榆阳区校级期末）·【提升】如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系证明∠AOC＝∠BOD，再由等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD，即∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD， ∵∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°． 故选：A． 教学提示：先让学生只凭图形猜 ∠AOC 与 ∠BOD 的关系，再要求用等式两边同减 ∠AOD 说明依据；随后把 84° 换成 100° 当场重算一遍，验证学生是否真的会用公共角而不是记住答案。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 等弦不会转成圆心角 · 加减公共角时算错 · 把84°直接当成顶角 即时巩固 即时巩固2．（2026•吉林一模）·【基础】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°． 故选：B． 教学提示：让学生先把 OA、OB、OC 三条半径描成同色，标出两组等腰三角形；板演时坚持先算 ∠AOB、∠AOC 再相减，并追问「C 点跑到弧的另一侧时结果会怎样」，防止养成固定相加的习惯。 易错点3：弧中点与弧的度数混淆 学习目标 · 能说出弧的度数等于所对圆心角 · 能由弧中点得到两组等圆心角 · 能连半径构造等腰三角形 纠错指引 先连半径构造等腰三角形，把弧的问题转成圆心角问题。弧的度数只看它所对的圆心角，与弦长无关；「弧的中点」给的是两个圆心角相等，不是弧的长度数值，两者不要混着用。 精讲例题 例题3．（新教材同步题）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为 　 　 ． 【分析】连接CD，首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A＝90°﹣∠B＝62°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数． 【解答】解：连接CD． ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝62°． ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAD＝62°， ∴∠ACD＝56°， ∴弧AD的度数为56°． 故答案为56°． 教学提示：先画一个只标出 ∠ACD＝56° 的简化图问学生弧 AD 是多少度，再回到原题让学生自己说明为什么要连接 CD，体会「半径即腰」这一常用构造。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 把弧长当成弧的度数 · 忘记弧中点得等圆心角 · 漏连半径构造等腰三角形 即时巩固 即时巩固3．（2024秋•福清市期中）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠AOC＝70°，则∠BOD的度数为 　 　 ． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得∠BOD＝∠COD，再由∠BOD+∠COD+∠AOC＝180°计算∠BOD的度数即可． 【解答】解：∵点D是的中点， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠AOC＝70°， ∴2∠BOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°， ∴∠BOD＝55°． 故答案为：55°． 教学提示：让学生把「D 是弧 BC 的中点」先改写成 ∠BOD＝∠COD，再与平角方程联立；同时对比「D 是弦 BC 的中点」的说法，讨论两者是否等价，澄清条件差异。 易错点4：等弧推等角时跳步 学习目标 · 能按等弦等弧等角逐层书写 · 能用同减公共弧补出等弧 · 能用等角对等边收尾证明 纠错指引 证明链一步都不能省：AB＝CD → 弧AB＝弧CD → 同减公共弧得 弧AC＝弧BD → ∠B＝∠D → BE＝DE。每写一行都要能说出依据的定理和它的前提，中间两步最容易在草稿上跳过、却在试卷上丢分。 精讲例题 例题4．（2024秋•宿城区期中）·【基础】如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB． 【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立． 【解答】证明：如图，连接BD． ∵AB＝CD， ∴． ∴． ∴． ∴∠B＝∠D． ∴BE＝DE． 教学提示：让学生用不同颜色分别描出两条弦和它们所对的弧，边描边念出「等弦→等弧→同减公共弧→等角→等边」这条链；随后擦掉中间两步让同桌补全，训练书写完整性。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 等弦直接跳到角相等 · 同减公共弧这一步漏写 · 只写结论不写依据 即时巩固 即时巩固4．（2025•辽宁模拟）·【提升】如图，以O为圆心，AB为直径的圆，且，2CB＝AB＝1． （1）证明：E为CD中点； （2）求OE的长度． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系证明CB＝BD，再根据OC＝OD证明AB是CD的垂直平分线，从而证明E为CD中点； （2）根据等边三角形的判定与性质计算即可． 【解答】（1）证明：∵， ∴CB＝BD， ∵OC＝OD， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴CE＝DE， ∴E为CD中点． （2）∵2CB＝AB＝1， ∴CB，OBAB， ∴OB＝OC＝CB， ∴△BOC是等边三角形， ∵CD⊥AB， ∴CE是△BOC的中线， ∴OEOB． 教学提示：先让学生只证到 CB＝BD 为止，再追问「加上 OC＝OD 还能得到什么」；用两根等长木棒演示垂直平分线的判定，最后把 2CB＝AB＝1 单独拿出来做等边三角形识别训练。 即时巩固5．（2025秋•洛龙区校级期中）·【提升】如图，OA，OB是⊙O的半径，且，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系证明∠AOC＝∠BOC，由全等三角形的判定与性质证明CD＝CE即可； （2）根据△DOC≌△EOC证明∠OCM＝∠OCN，由等腰三角形的性质证明∠OMC＝∠ONC，再根据全等三角形的判定与性质证明CM＝CN即可． 【解答】证明：（1）∵OA，OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB， ∵点D、E分别是OA、OB的中点， ∴ODOA，OEOB， ∴OD＝OE， ∵， ∴∠AOC＝∠BOC， 在△DOC和△EOC中， ， ∴△DOC≌△EOC（SAS）， ∴CD＝CE． （2）如图，连接OM、ON． ∵△DOC≌△EOC， ∴∠OCD＝∠OCE，即∠OCM＝∠OCN， ∵OM＝OC，ON＝OC， ∴∠OMC＝∠OCM，∠ONC＝∠OCN， ∴∠OMC＝∠ONC， 在△OMC和△ONC中， ， ∴△OMC≌△ONC（AAS）， ∴CM＝CN． 教学提示：把两个三角形的全等条件列成三行对照表，让学生逐条打勾，重点讨论 SAS 中的夹角究竟是哪一组；第二问先让学生猜结论再证，体会「先猜后证」在圆中证明题里的用法。 易错点5：跨节综合找不到桥梁 学习目标 · 能由圆周角求出所对圆心角 · 能用邻补角补齐所求圆心角 · 能判断何时需要添作半径 纠错指引 看到圆周角与圆心角并存，先统一成圆心角：同弧所对圆心角是圆周角的两倍，再用邻补角补齐所求角。需要算长度时，添半径构造等腰三角形是最常用的桥——见到半径先想它能不能当腰用。 精讲例题 例题5．（2025春•新吴区校级月考）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　 　 ． 【分析】依据题意，由圆周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由邻补角的性质求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°． 【解答】解：∵∠E＝35°， ∴∠AOD＝2∠E＝70°， ∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110°． 教学提示：先复习同弧所对圆周角与圆心角的倍数关系，让学生用彩笔把同弧描出来；再放手让学生自己找出图中所有邻补角，说清为什么求 ∠BOD 必须绕道 ∠AOD。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 圆周角倍数关系用反 · 忘记用邻补角补齐 · 不会添半径作辅助线 即时巩固 即时巩固6．（2024秋•淳安县期中）·【提升】如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若，则CE：CA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD、BC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠COD＝90°，由圆周角定理求出∠DBC＝45°，根据等腰三角形的性质得到BC，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，从而求出CE：CA的值． 【解答】解：连接OD、BC． 设∠AOD＝x°，∠BOC＝y°，∠COD＝z°， 则x+y+z＝180， ∵， ∴x+y＝z， ∴z＝90， ∴∠COD＝90°， ∴∠DBC∠COD＝45°， ∵∠ACB＝90°，CEAB， ∴BC＝CEAB， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得ACAB， ∴CE：CAAB：AB． 故选：D． 教学提示：让学生先把弧的条件翻译成 x＋y＝z 的字母等式，再与 x＋y＋z＝180 联立求出 ∠COD；这一步做完再进入后续计算，避免学生一上手就陷进勾股运算而忘了条件从哪来。 即时巩固7．（2025秋•南充校级期中）·【基础】如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　 　 ． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC＝∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD＝2CM，代入求出即可． 【解答】解：连接OC， ∵C为弧AB的中点， ∴弧AC＝弧BC， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a， ∴OM＝ON＝a， ∴CM， ∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝2， 故答案为：2， 教学提示：先只给图形不给条件，让学生观察 C 到 OA、OB 的两条垂线段有什么关系；引出角平分线性质后再补上 ON＝a，最后追问「若 C 不是弧的中点，OM 还等于 ON 吗」。 过关测试（综合检测） 1．（2025•龙岗区校级开学）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是（　　） A．70° B．60° C．55° D．50° 【分析】求出∠AOC的度数，再根据圆心角、弧、弦的关系，求出∠AOD的度数即可． 【解答】解：∵∠COB＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝140°， ∵， ∴∠AOD∠AOC＝70°． 故选：A． 教学提示：先复习「直径把圆分成两个 180° 的半圆」，让学生口述 ∠AOC 的求法；再把已知与未知对调，改成已知 ∠AOD 反推 ∠COB，做正反两向训练。 2．（2024秋•阎良区校级期末）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧的三等分点，连接OC、OD、OE，当∠BOC＝35°时，∠BOE的度数为（　　） A．35° B．75° C．80° D．105° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系计算即可． 【解答】解：∵D，C是劣弧的三等分点，∠BOC＝35°， ∴∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝35°， ∴∠BOE＝∠DOE+∠COD+∠BOC＝35°+35°+35°＝105°． 故选：D． 教学提示：让学生在图上依次给三段弧标号 1、2、3，边标边累加圆心角；随后追问「若只说 D、C 是弧上两点而不等分，还能这样算吗」，强化等分条件的必要性。 3．（2024•龙港市二模）·【提升】中国传统玩具不倒翁（如图1），它的主体截面图由两个圆构成（如图2），测得不倒翁的高度AB＝9cm，上部分小圆半径r＝2cm，，求底部大圆半径R＝　 　 ；当不倒翁翻到如图3所示时，此时点B离地面的距离BH＝2cm，则点A到地面的距离AG＝　 　 ． 【分析】依据题意，设上面的圆的圆心为O1，下半圆的圆心为O2，AB交EF于点H，再由垂径定理得，EHEFcm，进而利用勾股定理求出O1H，故可得BH，又在Rt△EHO2中，即可求出R；由O1M⊥HG，AG⊥HG，BH⊥HG，从而BH∥O1M∥AG，进而可得，求出AF，然后再计算可以得解． 【解答】解：由题意，如图，设上面的圆的圆心为O1，下半圆的圆心为O2，AB交EF于点H． 由垂径定理得，EHEFcm． 又r＝O1E＝2cm， ∴O1H1cm． ∴BH＝AB﹣AH＝9﹣2﹣1＝6（cm）． 在Rt△EHO2中， O2E2＝EH2+O2H2． ∴R2＝3+（6﹣R）2． ∴Rcm． 如图∵O1M⊥HG，AG⊥HG，BH⊥HG， ∴BH∥O1M∥AG． ∴． ∴． ∴AF． ∴AG＝AF+FG2（cm）． 故答案为：cm；cm． 教学提示：先带学生把不倒翁实物抽象成两个相切的圆，在黑板上补出连心线；强调求半径要先在直角三角形中设未知数，再追问「翻倒后哪条线段长度不变」，培养找不变量的意识。 4．（2025秋•梁溪区校级月考）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为 　 　 ． 【分析】延长CO交⊙O于R，连接AR，DR，过D作DM⊥AR于M，证明△ADM是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：延长CO交⊙O于R，连接AR，DR，过D作DM⊥AR，垂足为M， ∵∠DOC＝90°， ∴∠DOR＝90°， ∵OD＝OA＝OR， ∴∠ODA＝∠OAD，∠OAR＝∠ORA， ∴∠DAR＝∠ORA+∠ODA， ∵∠DAR+∠ODA+∠ORA+∠DOR＝360°， ∴， ∴∠DAM＝45°， ∵DM⊥AR，， ∴△ADM是等腰直角三角形，DM＝AM＝1； ∵∠AOR＝∠BOC， ∴， ∴AR＝BC＝1， ∴MR＝AM+AR＝2， ∴， ∵△DOR是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 教学提示：把辅助线分三步板书——延长 CO 成直径、连接 AR、作 DM⊥AR，每添一条就问一句「这条线带来了什么新条件」；引导学生总结出「遇直径想直角，遇直角想等腰直角三角形」。 苏科版2024 · 圆的相关概念 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版2024 · 圆的相关概念 · 第3章 圆 3.1圆的相关概念 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版2024 第3章 圆 第1课时 班级：________________ 姓名：________________ 本专题按易错原因重新聚合题目，不按知识点顺序罗列。每个易错点配一道精讲例题，例题后紧跟即时巩固，趁热打铁练同类陷阱；全部易错点学完后，再用文末的综合检测题组统一验收。题目全部取自近年真题与同步练习原卷，保留原题数据与图形。 目录 易错点1：漏掉同圆或等圆前提 易错点2：等弦等弧转化漏公共角 易错点3：弧中点与弧的度数混淆 易错点4：等弧推等角时跳步 易错点5：跨节综合找不到桥梁 易错点1：漏掉同圆或等圆前提 学习目标 · 能说出等弧与等圆的判定前提 · 能辨别等弦对等弧的适用范围 · 能排除缺少同圆条件的说法 纠错指引 凡用等弧、等弦、等圆心角互推，先落笔写清「在同圆或等圆中」；选项里缺这一条前提的一律判错。等弧要求两弧能完全重合，不只是长度相等；优弧与劣弧比长短也必须先限定同圆或等圆。 精讲例题 例题1．（2024秋•西华县期末）·【基础】下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，等弦对等弧 C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 把长度相等当成等弧 · 忽略同圆或等圆前提 · 认为优弧一定比劣弧长 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2024秋•旬阳市期末）·【提升】如图，AB，BC是⊙O的弦，连接OA，OB，OC，若∠AOB＝∠BOC，则弦AB，BC之间的数量关系为（　　） A．AB＝2BC B． C．AB＝BC D． 易错点2：等弦等弧转化漏公共角 学习目标 · 能由等弦推出所对圆心角相等 · 能在等式两边同减公共角 · 能结合半径相等求底角 纠错指引 等弦先转成「所对圆心角相等」，再在等式两边同减公共角，得到真正要用的那组角；最后用 OA＝OC 的等腰三角形求底角。千万别把题目给的 84° 直接当成目标等腰三角形的顶角。 精讲例题 例题2．（2025秋•榆阳区校级期末）·【提升】如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · 等弦不会转成圆心角 · 加减公共角时算错 · 把84°直接当成顶角 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固2．（2026•吉林一模）·【基础】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 易错点3：弧中点与弧的度数混淆 学习目标 · 能说出弧的度数等于所对圆心角 · 能由弧中点得到两组等圆心角 · 能连半径构造等腰三角形 纠错指引 先连半径构造等腰三角形，把弧的问题转成圆心角问题。弧的度数只看它所对的圆心角，与弦长无关；「弧的中点」给的是两个圆心角相等，不是弧的长度数值，两者不要混着用。 精讲例题 例题3．（新教材同步题）·【基础】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为 　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 把弧长当成弧的度数 · 忘记弧中点得等圆心角 · 漏连半径构造等腰三角形 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固3．（2024秋•福清市期中）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠AOC＝70°，则∠BOD的度数为 　 　 ． 易错点4：等弧推等角时跳步 学习目标 · 能按等弦等弧等角逐层书写 · 能用同减公共弧补出等弧 · 能用等角对等边收尾证明 纠错指引 证明链一步都不能省：AB＝CD → 弧AB＝弧CD → 同减公共弧得 弧AC＝弧BD → ∠B＝∠D → BE＝DE。每写一行都要能说出依据的定理和它的前提，中间两步最容易在草稿上跳过、却在试卷上丢分。 精讲例题 例题4．（2024秋•宿城区期中）·【基础】如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD．求证：ED＝EB． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 等弦直接跳到角相等 · 同减公共弧这一步漏写 · 只写结论不写依据 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固4．（2025•辽宁模拟）·【提升】如图，以O为圆心，AB为直径的圆，且，2CB＝AB＝1． （1）证明：E为CD中点； （2）求OE的长度． 即时巩固5．（2025秋•洛龙区校级期中）·【提升】如图，OA，OB是⊙O的半径，且，弦CM，CN分别经过OA，OB的中点D，E． （1）求证CD＝CE； （2）求证CM＝CN． 易错点5：跨节综合找不到桥梁 学习目标 · 能由圆周角求出所对圆心角 · 能用邻补角补齐所求圆心角 · 能判断何时需要添作半径 纠错指引 看到圆周角与圆心角并存，先统一成圆心角：同弧所对圆心角是圆周角的两倍，再用邻补角补齐所求角。需要算长度时，添半径构造等腰三角形是最常用的桥——见到半径先想它能不能当腰用。 精讲例题 例题5．（2025春•新吴区校级月考）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 圆周角倍数关系用反 · 忘记用邻补角补齐 · 不会添半径作辅助线 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固6．（2024秋•淳安县期中）·【提升】如图，在以点O为圆心的半圆中，AB是直径，，连接AC，BD交于点E，连接OC交BD于点F，若，则CE：CA的值是（　　） A． B． C． D． 即时巩固7．（2025秋•南充校级期中）·【基础】如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　 　 ． 本专题错因自查清单 ☐ 漏写同圆或等圆前提 ☐ 把长度相等当作等弧 ☐ 等弦等弧转化漏公共角 ☐ 弧中点与弧的度数混淆 ☐ 等弧推等角跳步缺依据 ☐ 圆周角与圆心角倍数用反 过关测试（综合检测） 1．（2025•龙岗区校级开学）·【基础】如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是（　　） A．70° B．60° C．55° D．50° 2．（2024秋•阎良区校级期末）·【提升】如图，已知AB是⊙O的直径，D，C是劣弧的三等分点，连接OC、OD、OE，当∠BOC＝35°时，∠BOE的度数为（　　） A．35° B．75° C．80° D．105° 3．（2024•龙港市二模）·【提升】中国传统玩具不倒翁（如图1），它的主体截面图由两个圆构成（如图2），测得不倒翁的高度AB＝9cm，上部分小圆半径r＝2cm，，求底部大圆半径R＝　 　 ；当不倒翁翻到如图3所示时，此时点B离地面的距离BH＝2cm，则点A到地面的距离AG＝　 　 ． 4．（2025秋•梁溪区校级月考）·【提升】如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为 　 　 ． 苏科版2024 · 圆的相关概念 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $