精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

方城一高2025秋期高二年级第一次月考模拟考试 数学学科 命题人：赵晓阳 审题人：王金奎 考试范围：第一章第二章前两节；考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题. 1. 是方程表示椭圆的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 先由表示椭圆，求出的范围，再由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以，解得或， 因为是的真子集， 所以是方程表示椭圆的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】结论点睛： 判定充分条件和必要条件时，一般根据充分条件和必要条件的概念直接判定；有时也需要根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，对应的集合与对应集合互不包含． 2. 某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两镇位于公路的两侧等价于它们的坐标代入后异号，然后解不等式即可. 【详解】由已知得的方程为，而点在的侧取决于的符号. 所以条件等价于，即，此即或. 故选：B. （课本第45页第10题变式） 3. 已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. （课本第40页第4题变式） 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 5. 若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. （课本第40页第2题结论的应用） 6. 已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【详解】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. （课本第27页第8题变式） 7. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解. 【详解】入射光线所在的直线方程为，即， 联立方程组解得即入射点的坐标为． 设关于直线对称的点为， 则解得，即． 因为反射光线所在直线经过入射点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为，即． 故选：D. （新高考全国I卷） 8. 已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则，的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为M在C上，由椭圆的定义可得： ，所以， 当且仅当时取等， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线l被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误， 对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 11. 已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则满足题意的点有个； C. 若是钝角三角形，则； D. 椭圆的内接矩形的周长的最小值为. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可 【详解】由椭圆可得，则， 对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为 所以，所以A正确， 对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确， 对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确， 对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为 （其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误， 故选：ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题. （课本第40页第3题变式） 12. 已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________. 【答案】. 【解析】 【分析】由圆的方程，得到圆心的坐标，由圆的特征可得： ，从而可求出直线的斜率，再由直线过点，即可得出直线方程. 【详解】因为圆的圆心坐标为，又点坐标为， 所以直线的斜率为； 又因为是圆的一条弦，为的中点， 所以，故，即直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故答案为 【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型. （课本第49页第2题变式） 13. 已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________. 【答案】()． 【解析】 【分析】先由题中条件，得到两圆的圆心和半径，设动圆的半径为，动圆与定圆位置关系，得出等量关系，推出动圆圆心轨迹为椭圆去掉左顶点，进而可求出结果. 【详解】由圆，圆得到，半径，，半径， 设动圆的半径为，∵圆在圆内，∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，即：， ∵动圆与圆外切，∴，∵动圆与圆内切，∴， ∴，即到和到的距离之和为定值， ∴是以、为焦点的椭圆，且，，所以， ∴动圆圆心的轨迹方程为， 又圆过点，椭圆也过点，而点显然不在圆上， 所以所求轨迹方程为：. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是__________. ① ②双曲线的离心率为2 ③的面积为 ④直线的斜率为 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，由和双曲线的定义可得，，进而可得；对于②，由直线的斜率为，可得，在由余弦定理可得，进而可得；对于③，由可得，进而由可得；对于④，由点差法可得. 【详解】如图所示，对于①，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以，①正确． 对于②，已知直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则为锐角且，可得， 则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以，因为，解得，②错误． 对于③，因为为钝角，则， 因，故， ，③错误． 对于④，设，则， 可得，因为，则， 由得，所以，则，④正确． 【点睛】关键点点睛：④直线的斜率为中点弦问题，考虑用点差法，设点做差可得，进而可得. 四、解答题 15. ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3)．求： （Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程； （Ⅱ）BC边上高线AH所在直线的方程． 【答案】（Ⅰ）2x－3y+6=0；（Ⅱ）2x－y+6=0． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求得BC的中点坐标，利用点斜式即可求得BC边上中线AD所在直线的方程； （Ⅱ）可求得BC的斜率，继而可求得BC边上高线AH所在直线的斜率，利用点斜式即可求得AH所在直线的方程． 【详解】（Ⅰ）∵A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），∴BC的中点M（0，2）， ∴BC边上中线AD所在直线的方程为：y﹣2＝（x﹣0），∴2x﹣3y+6＝0； （Ⅱ）∵BC的斜率kBC＝﹣，∴BC边上高线AH所在直线的斜率kAH＝2， ∴由点斜式得AH所在直线的方程为：y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0． 【点睛】本题考查直线的点斜式方程与直线垂直间的关系，属于基础题． （课本89页第8题变式） 16. （1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围． ①曲线是椭圆； ②曲线是双曲线． 【答案】（1）；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出两条直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入即可； （2）根据椭圆的标准方程可得；根据双曲线的标准方程可得，求解即可. 【详解】（1）联立，得，即两条直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，即， 所以所求直线方程为； （2）①曲线的方程为， ，又曲线是椭圆， ，解得且， 故实数的取值范围为； ②曲线是双曲线， ，解得或， 故实数的取值范围为. 17. 已知直线和点． （1）在直线l上求一点P，使的值最小； （2）在直线l上求一点P，使的值最大； （3）若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 【答案】（1）P点坐标为 （2）P点坐标为 （3）当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大 【解析】 【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. （2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案. （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. 【小问1详解】 设点A关于直线l对称点为， 则，解得，即， 因为点P在直线l上运动， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最小值等于， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 联立，解得， 所以交点 【小问2详解】 因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最大值为， 即P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB方程为， 联立，解得， 故所求点P的坐标为 【小问3详解】 若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即点P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB的方程为，即， 联立，解得， 故使的值最小时，P点坐标为. 由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时取得最大值， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 所以，解得， 所以交点 （课本44页第8题） 18. 已知直线经过点，圆． （1）若直线经过圆C的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由两点式可求解得答案； （2）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离公式即可求解.； （3）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离公式及弦长公式即可求解.. 【小问1详解】 将圆化为标准方程为：， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 所以直线经过点，，由两点式可得直线的方程为：，化简整理得直线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）可知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问3详解】 因为直线l被圆C所截得的弦长为，所以圆C的圆心到直线l的距离为. 由（2）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得或. 故直线l的方程为或. 19. 已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 （1）求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； （2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】（1）的轨迹方程为，即点的轨迹是除去两点的椭圆 （2） 设 如图： ①当直线斜率不存在时，可知， 且有， 解得或，当时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为， ②当直线斜率存在时，设直线，则 . 联立直线方程与椭圆方程， 消去可得：， 根据韦达定理可得：， 所以， 即 整理得：， 所以，则或， 当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，把点满足的条件用坐标表示，列出方程，再化简即可得轨迹方程，再结合轨迹方程说明点的轨迹. （2）设，对直线有无斜率分情况讨论.当直线有斜率时，设直线：，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，可得与，结合，确定的关系，可确定直线所过的定点. 【小问1详解】 设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率， 同理，直线的斜率， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为， 即点的轨迹是除去两点的椭圆. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城一高2025秋期高二年级第一次月考模拟考试 数学学科 命题人：赵晓阳 审题人：王金奎 考试范围：第一章第二章前两节；考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题. 1. 是方程表示椭圆的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. （课本第45页第10题变式） 3. 已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. （课本第40页第4题变式） 4. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （课本第40页第2题结论的应用） 6. 已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 （课本第27页第8题变式） 7. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. （新高考全国I卷） 8. 已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则，的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 二、多选题 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10. 已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线l被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 11. 已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则满足题意的点有个； C. 若是钝角三角形，则； D. 椭圆的内接矩形的周长的最小值为. 第II卷（非选择题） 三、填空题. （课本第40页第3题变式） 12. 已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________. （课本第49页第2题变式） 13. 已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是__________. ① ②双曲线的离心率为2 ③的面积为 ④直线的斜率为 四、解答题 15. ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3)．求： （Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程； （Ⅱ）BC边上高线AH所在直线的方程． （课本89页第8题变式） 16. （1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围． ①曲线是椭圆； ②曲线是双曲线． 17. 已知直线和点． （1）在直线l上求一点P，使的值最小； （2）在直线l上求一点P，使的值最大； （3）若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． （课本44页第8题） 18. 已知直线经过点，圆． （1）若直线经过圆C的圆心，求直线的方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程； （3）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程． 19. 已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 （1）求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； （2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $