专题03 解三角形及其应用（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 解三角形及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01正、余弦定理及应用 考点02解三角形的实际应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三角形的最值范围问题 难点解读02三角形角平分线的应用 难点解读03三角形中线的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01解三角形及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01三角形的多解问题 重点02边角混合条件统一转化 重点03三角形的形状判断 重点04三角形的面积及应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01正弦定理解三角形 技法点拨02余弦定理解三角形 技法点拨03正弦定理解三角形外接圆 技法点拨04解三角形的实际应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视对角的讨论 易错点02边角互化时忽略齐次式 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 \ 考点深研·知能分层突破 考点01 正、余弦定理及应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【新题对点练】（26-27高三上·天津·开学考试）中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】 【解析】已知，可得， 根据余弦定理， 将，，代入上式：， 化简得：，，解得：(边长为正，舍去负根). 考点02 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【新题对点练】（25-26高三上·天津津南·阶段检测）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直角中，，则， 在中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角中，直角边，故选：A． 难点解读01 三角形的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 【典例1（角度）】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，则， 由余弦定理知，代入数据得，解得， 所以，所以的面积为. （2）， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 【典例2（边长或周长）】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 【答案】 【解析】由题知，，由余弦定理得， 即， 解得，当且仅当时取等号， 所以的周长取最大值为，此时的面积为. 故答案为：. 【典例3（面积）】（25-26高三上·天津津南·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】由题意，，由余弦定理得，即， 对其利用基本不等式可得， 所以当且仅当时，等号成立，此时有最大值4， 代入三角形面积公式可得， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 难点解读02 三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 【典例1】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，，故选：B． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知中，，若的平分线交于点D，则的长为________． 【答案】 【解析】由，得 ，即， 又，以，则，所以. 由的平分线交于点D，得. 在中，， 则， 即， 得，即. 故答案为： 难点解读03 三角形中线的应用 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 【典例1】（2025·天津河西·模拟预测）已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求A； (2)若，且的周长为5，设为边中点，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以，所以． 【典例2】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2)16. 【解析】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形及其应用 考情定位：解答题高频必考题型，稳定为中档解答大题，偶尔渗透选填小题；以正、余弦定理为核心，常结合三角恒等变换综合考查，包含纯三角形计算与实际测量应用两类题型，侧重边角转化与公式灵活运用，难度适中，套路性强． 核心考法：①利用正弦定理、余弦定理实现边角互化，求解三角形未知边、角；②结合三角形面积公式求解面积及相关最值；③根据已知条件判断三角形形状；④多三角形模型，借助公共边、公共角分步求解实际测量问题；⑤结合基本不等式、三角函数值域求解周长、面积取值范围． 解题要点：已知两角一边、边对角结构优先使用正弦定理；已知三边、两边夹角或含边平方结构优先使用余弦定理；解题优先统一形式，求角化边为角、求边化角为边；实际应用问题先画图建模，准确转化仰角、俯角、方位角等条件；全程紧扣三角形内角和、大边对大角隐含条件，规避多解、增根问题，最值问题注意角的范围约束． 【典例1】（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】 【解析】在中，，所以， 由正弦定理可得. 【典例2】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则，解得（舍去），故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 【典例3】（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）；则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 重点01 三角形的多解问题 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意，根据正弦定理有，所以， 要使有两组解，则，且，即， 即，即， 所以选项所给四个数据中只有符合，故选：B. 【典例2】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【解析】如图所示，记的外接圆的半径为，，， 由正弦定理得，，则， 在中，为定值，三角形有两解的条件：， 即，解得， 因为，，，，， 所以，故答案选C. 重点02 边角混合条件统一转化 题干出现边、角共存的混合等式是解三角形综合题的核心特征，解题核心原则为统一维度、归一化简，杜绝边角混杂变形．可分为两类标准化转化路径： 一是角化边，适用于式子为齐次结构、含正弦余弦无平方项的题型，利用正弦定理将所有角统一替换为对应边长比例，完全转化为纯边等式，结合余弦定理判断角度、三角形形状； 二是边化角，适用于式子含边长平方、单独边长、常数项，无法直接齐次化的题型，将边长统一转化为对应角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和关系化简，求解角度大小与角度关系． 【典例1】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________. 【答案】 【解析】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 【典例2】（24-25高三上·天津北辰·阶段检测）在中，分别为内角的对边，若，且，则__________. 【答案】2 【解析】因为，则，所以， 又因为，即，解得， 又由， 根据正弦定理，可得， 由余弦定理可得， 整理得，即. 重点03 三角形的形状判断 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 【典例1】（25-26高三上·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以， 又，所以， 由正弦定理可得. 因为，所以是等边三角形.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴， 又，∴， 由2cosAsinB＝sinC，得 ∴，即， 又，故三角形为等边三角形.故选：C 重点04 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知的内角 所对的边分别为，，则 的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，故， 而，故， 故，故三角形的面积为，故选：D． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 【答案】 【解析】因为且，所以， 由余弦定理：，， 又，所以， 所以. 故答案为： 技法点拨01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知分别为三个内角所对的边，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】由正弦定理，，可得， 因，则，故.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，，则， 由正弦定理，，则 .故选：D 技法点拨02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）已知、、分别是三个内角、、的对边，且，，，则______． 【答案】 【解析】因为，，， 由余弦定理可得. 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角___________. 【答案】 【解析】因为，所以 整理并化简得：， 所以， 因为，所以， 技法点拨03 正弦定理解三角形外接圆 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径． 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，，，则外接圆的面积为____. 【答案】 【解析】由正弦定理可得外接圆直径，解得， 故外接圆面积为. 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·期末）在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________. 【答案】 【解析】由且，可得， 则由正弦定理可得，， 则， 因为，所以，则， 设外接圆半径为，则，得， 则外接圆的面积为. 技法点拨04解三角形的实际应用 1、审题画图：根据题意画出平面几何示意图，标注所有已知长度、角度，区分仰角/俯角（水平线与视线夹角）、方位角（从正北顺时针转到目标方向）； 2、模型转化：把实际问题翻译成三角形边角条件，注意区分内角，避免角度加减出错； 3、定理选择： 有角的等量关系、对角型条件→正弦定理； 已知两边夹角、三边，求角→余弦定理； 4、双三角优先找公共边：公共边是两个三角形之间的等量纽带，建立方程； 5、结果检验：边长>0，三角形内角∈(0,π)，最终作答还原实际问题． 【典例1】如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高__________. 【答案】 【解析】由题意可得，， 故，，则， 故， 故. 故答案为：. 【典例2】（24-25高三上·天津武清·期中）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m. 【答案】 【解析】由题设， 在中， 所以m. 故答案为： 易错点01 忽视对角的讨论 辨析：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”． 【典例1】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 根据正弦定理，可得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 所以①，即，不符合题意， ②，即， 所以， 又，所以. 【典例2】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：， 化简可知：， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， （2）， 可得，， ， ，， ． 易错点02 边角互化时忽略齐次式 辨析：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化． 【典例1】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【解析】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍），． 【典例2】（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得.故选：A. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题设及，则， 又，故C为锐角，且，所以.故选：B． 2．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理可得. 所以， 因为，， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 3．（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（    ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【解析】如下图所示：    因为点在点的南偏东，点在点的北偏西，故选：A. 4．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在 中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【解析】由余弦定理得， 又在 中，，则为钝角， 所以为钝角三角形．故选：C． 5．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以.故选：B. 6．（25-26高三下·天津·阶段检测）在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 又，所以，则， 又，，所以，所以，则， 又，解得， 所以， 即的最短边与最长边之比为.故选：C 7．（25-26高三上·天津蓟州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】在中，由正弦定理，得. 因为，所以，或. 当时，，所以； 当时，，所以.故选：D. 方法二：由余弦定理，得 ，化简得. 所以，或. 当时，，，符合题意； 当时，，所以，，符合题意.故选：D. 8．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，，， 由正弦定理得， 所以，故选：D． 二、填空题 9．（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，，则________． 【答案】或 【解析】在中，由正弦定理可得，又， 所以，解得， 因为，所以，所以或， 当时，，当时，， 综上所述：或. 10．（24-25高三上·天津河西·期中）记的内角的对边分别为，若，，，则________. 【答案】 【解析】由可得，又，且，解得； 同理由可得， 由正弦定理可得，即. 11．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为______． 【答案】 【解析】由正弦定理，， 因为，故. 又，故， 故. 12．（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，，则的面积是______． 【答案】 【解析】在中，由余弦定理， 得，而，解得，又, 所以的面积. 故答案为： 13．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）已知的内角的对边分别为，满足 且  则________． 【答案】 【解析】利用正弦定理由可得， 整理可得，即； 所以， 又，因此， 又，因此，可得， 又，可得； 又由正弦定理，，可得. 14．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 【答案】2 【解析】由图可知，记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由可得，， 解得：． 方法二：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由正弦定理可得，， 解得：，因为， 所以，又， 所以，即． 故答案为：. 15．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且，则______，若，是角的内角平分线，，则______． 【答案】 1 【解析】设外接圆的半径为，由， 根据正弦定理，设外接圆半径为， 则，则，即， 由三角形的面积公式得， 所以， 即， ，则，即， 所以． 16．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为_________． 【答案】 【解析】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 三、解答题 17．（2026·天津武清·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则， 又，则. （2）由，为的中点，则， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 则. 18．（2026·天津滨海新区·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若周长为，外接圆半径为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】（1）因为， 则由正弦定理有， 在中，有，且， 则，则， 即，即，解得． （2）（ⅰ）结合（1），由正弦定理有，即，解得， 又周长为，即，所以， 由余弦定理有， 即，解得， 所以的面积为． （ⅱ）由，结合（ⅰ），有，解得，或（舍去）， 结合（1），则由正弦定理有，解得， 又在中，有，且，则， 则， ， 所以． $专题03 解三角形及其应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01正、余弦定理及应用 考点02解三角形的实际应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01三角形的最值范围问题 难点解读02三角形角平分线的应用 难点解读03三角形中线的应用 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01解三角形及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01三角形的多解问题 重点02边角混合条件统一转化 重点03三角形的形状判断 重点04三角形的面积及应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01正弦定理解三角形 技法点拨02余弦定理解三角形 技法点拨03正弦定理解三角形外接圆 技法点拨04解三角形的实际应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视对角的讨论 易错点02边角互化时忽略齐次式 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 \ 考点深研·知能分层突破 考点01 正、余弦定理及应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 【新题对点练】（26-27高三上·天津·开学考试）中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 考点02 解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【新题对点练】（25-26高三上·天津津南·阶段检测）在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（    ） A． B． C． D． 难点解读01 三角形的最值范围问题 1、三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 【典例1（角度）】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【典例2（边长或周长）】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 【典例3（面积）】（25-26高三上·天津津南·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为______． 难点解读02 三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 【典例1】（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知中，，若的平分线交于点D，则的长为________． 难点解读03 三角形中线的应用 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 【典例1】（2025·天津河西·模拟预测）已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求A； (2)若，且的周长为5，设为边中点，求． 【典例2】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 素养进阶·答题技法突破 题型01 解三角形及其应用 考情定位：解答题高频必考题型，稳定为中档解答大题，偶尔渗透选填小题；以正、余弦定理为核心，常结合三角恒等变换综合考查，包含纯三角形计算与实际测量应用两类题型，侧重边角转化与公式灵活运用，难度适中，套路性强． 核心考法：①利用正弦定理、余弦定理实现边角互化，求解三角形未知边、角；②结合三角形面积公式求解面积及相关最值；③根据已知条件判断三角形形状；④多三角形模型，借助公共边、公共角分步求解实际测量问题；⑤结合基本不等式、三角函数值域求解周长、面积取值范围． 解题要点：已知两角一边、边对角结构优先使用正弦定理；已知三边、两边夹角或含边平方结构优先使用余弦定理；解题优先统一形式，求角化边为角、求边化角为边；实际应用问题先画图建模，准确转化仰角、俯角、方位角等条件；全程紧扣三角形内角和、大边对大角隐含条件，规避多解、增根问题，最值问题注意角的范围约束． 【典例1】（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【典例2】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【典例3】（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 重点01 三角形的多解问题 解题要点：使用正弦定理求角时，优先判断已知边、角大小关系，结合大边对大角、内角和小于180度判定解的个数，严格筛选锐角、钝角合理性． 高频陷阱：不判范围直接保留两解；忽略三角形内角和导致角度超标；遗漏无解情况． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（    ） A．3 B． C．2 D． 【典例2】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（    ） A． B．6 C． D．8 重点02 边角混合条件统一转化 题干出现边、角共存的混合等式是解三角形综合题的核心特征，解题核心原则为统一维度、归一化简，杜绝边角混杂变形．可分为两类标准化转化路径： 一是角化边，适用于式子为齐次结构、含正弦余弦无平方项的题型，利用正弦定理将所有角统一替换为对应边长比例，完全转化为纯边等式，结合余弦定理判断角度、三角形形状； 二是边化角，适用于式子含边长平方、单独边长、常数项，无法直接齐次化的题型，将边长统一转化为对应角度正弦值，结合三角恒等变换、内角和关系化简，求解角度大小与角度关系． 【典例1】（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________. 【典例2】（24-25高三上·天津北辰·阶段检测）在中，分别为内角的对边，若，且，则__________. 重点03 三角形的形状判断 1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 【典例1】（25-26高三上·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【典例2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 重点04 三角形的面积及应用 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知的内角 所对的边分别为，，则 的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 技法点拨01 正弦定理解三角形 适配两类标准解题模型：两角一边型、两边一对角型． 解题固定流程：先利用内角和求出剩余角度，再通过正弦定理比例式同步求解对应边长；若为已知两边及其中一边对角的易错模型，必须执行“先比大小、再判解数”的规范步骤，依托大边对大角、内角和取值范围，严格区分无解、一解、两解临界情况． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知分别为三个内角所对的边，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 余弦定理解三角形 核心适用模型：已知三边、已知两边及夹角、含边长平方结构的边角等式． 解题固定流程：已知两边夹角直接套公式求第三边，已知三边通过余弦推论逐角求内角，优先求解最大边对应的最大角，可快速判定三角形为锐角、直角、钝角三角形． 【典例1】（25-26高三上·天津·开学考试）已知、、分别是三个内角、、的对边，且，，，则______． 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角___________. 技法点拨03 正弦定理解三角形外接圆 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径． 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，，，则外接圆的面积为____. 【典例2】（25-26高三上·河北衡水·期末）在中，内角所对边分别是，若，且，则外接圆的面积为__________. 技法点拨04解三角形的实际应用 1、审题画图：根据题意画出平面几何示意图，标注所有已知长度、角度，区分仰角/俯角（水平线与视线夹角）、方位角（从正北顺时针转到目标方向）； 2、模型转化：把实际问题翻译成三角形边角条件，注意区分内角，避免角度加减出错； 3、定理选择： 有角的等量关系、对角型条件→正弦定理； 已知两边夹角、三边，求角→余弦定理； 4、双三角优先找公共边：公共边是两个三角形之间的等量纽带，建立方程； 5、结果检验：边长>0，三角形内角∈(0,π)，最终作答还原实际问题． 【典例1】如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高__________. 【典例2】（24-25高三上·天津武清·期中）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m. 易错点01 忽视对角的讨论 辨析：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”． 【典例1】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 易错点02 边角互化时忽略齐次式 辨析：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化． 【典例1】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【典例2】（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小是（    ） A． B． C． D．或 2．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（    ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 4．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）在 中，，，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三下·天津·阶段检测）在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津蓟州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D．或 8．（2025·天津南开·模拟预测）如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，，则________． 10．（24-25高三上·天津河西·期中）记的内角的对边分别为，若，，，则________. 11．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为______． 12．（25-26高三上·天津·阶段检测）在中，，则的面积是______． 13．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）已知的内角的对边分别为，满足 且  则________． 14．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 15．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且，则______，若，是角的内角平分线，，则______． 16．（24-25高三上·天津·阶段检测）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为_________． 三、解答题 17．（2026·天津武清·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，且，求的值． 18．（2026·天津滨海新区·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若周长为，外接圆半径为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，求的值． $