专题02 幂函数、指数函数与对数函数（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了幂函数、指数函数与对数函数专题，涵盖指数与对数运算、函数图象性质、复合函数问题、恒成立与参数问题等核心内容，通过知识脑图搭建体系，考点分层突破构建完整知识网络。 清单采用母题探究结合考情定位，如指对比较大小题型标注高频考点，技法点拨提供运算策略与单调性分析方法，培养学生数学思维与数学语言表达能力。特设易错点警示如忽略底数讨论等问题，配套优题精练强化实战，助力学生自主高效复习，教师可据此精准指导备考方向。

专题02 幂函数、指数函数与对数函数 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01指数与对数运算 考点02幂函数与二次函数 考点03指数函数及其性质 考点04对数函数及其性质 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01指数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读02对数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读03指对函数恒成立与参数范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01指数与对数运算 题型02指对比较大小 ▶重点突破・考法深研 重点01幂函数的图象与性质 重点02指数函数的图象与性质 重点03对数函数的图象与性质 重点04利用函数单调性求解指对不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01指数幂与对数式运算 技法点拨02指对幂比较大小的常用方法 技法点拨03二次函数在闭区间上的最值问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略对指数与对数底数的讨论致错 易错点02求复合函数单调性时忽略定义域致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 指数与对数运算 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 3、对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式． （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)． 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 【新题对点练】（2026·天津和平·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 幂函数与二次函数 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【新题对点练】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 考点03 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【新题对点练】（25-26高三上·天津·开学考试）函数的单调递增区间为________． 考点04 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【新题对点练】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 难点解读01 指数型复合函数的单调性与值域问题 1、指数型复合函数的单调性问题 （1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、指数型复合函数的值域问题 （1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 【典例1】（2025·天津南开·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【典例2】（2025·天津南开·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 难点解读02 对数型复合函数的单调性与值域问题 1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略 （1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、对数型复合函数的值域问题的求解策略 （1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域． （2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集_________. 难点解读03 指对函数恒成立与参数问题 新高考中档综合难点，主打指对函数恒成立、存在性求参问题。解题核心思路为分离参数、数形结合、分类讨论，优先采用参变分离法，结合函数单调性求解最值，以此约束参数范围；含底数参数时，必须分类讨论与两种单调性情况． 【典例1】（24-25高三上·天津河北·期末）对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 指数与对数运算 考情定位：基础小题，更多作为比大小、函数综合题计算载体，运算难度低，无复杂多层变形，侧重公式熟练运用． 核心考法：①指数幂四则、根式与指数互化化简求值；②对数加减、幂次运算公式基础计算；③换底公式变形、对数恒等式化简；④指对互化求解简单等式． 解题要点：根式统一化为分数指数幂再运算；对数加减优先合并同底，乘幂可提前移至真数；换底公式统一底数简化计算；运算末尾统一化简，避免底数、真数出现负数． 【典例1】（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 题型02 指对比较大小 考情定位：天津高考固定单选必考，每题5分，常年位于选择前中段；融合指数、对数、幂函数三类式子，基础送分，少数综合型可作单选中档区分题． 核心考法：①同底指数/对数借助单调性比大小；②同指数式子借助幂函数单调性判断；③底数、指数、真数均不同，以0、1为中间值分层放缩；④结构相近式子作差、作商对比；⑤复杂式子构造函数结合单调性比较． 解题要点：先划分数值区间（小于0、0~1、大于 1）快速分层；同结构优先对应函数单调性；底数范围决定增减性，底数大于1递增，0到1递减；无法直接区分时引入中间值，复杂题型构造辅助函数分析． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 重点01 幂函数的图象与性质 核心解题要点：熟练掌握五类核心幂函数的定义域、值域、奇偶性与单调性，牢记所有幂函数在第一象限的图象规律与定点(1,1)；可依托幂函数单调性比较同指数幂数值大小，结合奇偶性判断函数对称性，快速求解简单不等式与参数问题． 高频陷阱：混淆幂函数与指数函数解析式；忽略不同幂函数的定义域限制；乱用第一象限单调性判断其他象限函数值大小． 【典例1】（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（    ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【典例2】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 重点02 指数函数的图象与性质 核心解题要点：依托指数函数定点、单调性、图象特征解题，根据底数的范围判定函数增减性，可快速比较指数式大小、求解简单指数不等式；结合图象分布规律，辨析函数图象、求解参数取值，适配基础选填题型． 高频陷阱：记错底数范围对应的单调性；忽略指数函数值域恒大于0的隐藏条件；底数大小与图象高低对应关系混淆出错． 【典例1】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典例2】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 重点03 对数函数的图象与性质 核心解题要点：严格遵循定义域优先原则，依托对数函数定点、单调性、反函数性质解题；根据底数范围判断增减趋势，用于对数值比大小、简单对数不等式求解，结合图象对称性解决函数综合基础问题． 高频陷阱：忽略对数真数大于0的硬性定义域限制；底数单调性判断错误导致比大小、解不等式出错；混淆指数与对数函数反函数图象特征． 【典例1】（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点04 利用函数单调性求解指对不等式 核心解题要点：将不等式两侧化为同底数指对函数形式，根据底数范围判定单调性，顺势脱去函数符号转化为代数不等式；对数不等式必须联立真数大于0的定义域条件，最终取交集得到解集． 高频陷阱：底数时忘记反转不等号方向；遗漏对数定义域限制导致解集范围偏大；非同一底数强行脱号求解，逻辑出错． 【典例1】（25-26高三上·天津河西·期末）若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__. 技法点拨01 指数幂与对数式运算 1、指数幂运算的一般原则 （1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； （4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 【典例1】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 指对幂比较大小的常用方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法． 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小． 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值． 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律． （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小． 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 【典例1】（25-26高三上·天津静海·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论；区间外单调直接取端点最值，区间内含对称轴则对比端点与顶点函数值，精准锁定最值． 【典例1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为______. 【典例2】（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 易错点01 忽略对指数与对数底数的讨论致错 辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论． 【典例1】（25-26高三下·广东·阶段检测）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 易错点02 求复合函数单调性时忽略定义域致错 辨析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错． 【典例1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 2．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知，“”是“函数 在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）_____. 10．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知幂函数的图象经过点，则实数_____． 11．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是__________． 12．（25-26高三上·天津·阶段检测）若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则______． 13．（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知函数，则不等式的解集为___________． 14．（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）已知函数且满足则实数a的取值范围为______． 三、解答题 15．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知，. (1)求不等式的解集； (2)设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； (3)若，，使得，求实数的取值范围. $专题02 幂函数、指数函数与对数函数 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01指数与对数运算 考点02幂函数与二次函数 考点03指数函数及其性质 考点04对数函数及其性质 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01指数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读02对数型复合函数的单调性与值域问题 难点解读03指对函数恒成立与参数范围问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01指数与对数运算 题型02指对比较大小 ▶重点突破・考法深研 重点01幂函数的图象与性质 重点02指数函数的图象与性质 重点03对数函数的图象与性质 重点04利用函数单调性求解指对不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01指数幂与对数式运算 技法点拨02指对幂比较大小的常用方法 技法点拨03二次函数在闭区间上的最值问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽略对指数与对数底数的讨论致错 易错点02求复合函数单调性时忽略定义域致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 指数与对数运算 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 3、对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式． （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)． 指数式与对数式的关系 （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)， ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. 【新题对点练】（2026·天津和平·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以，所以. 考点02 幂函数与二次函数 1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3、二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【新题对点练】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 【答案】2 【解析】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此， 故答案为：2. 考点03 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【新题对点练】（25-26高三上·天津·开学考试）函数的单调递增区间为________． 【答案】（说明写成也给分） 【解析】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 考点04 对数函数及其性质 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3、对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数， 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【新题对点练】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 由于为减函数，在上单调递增，在上单调递减， 则的单调递减区间是，故选：C. 难点解读01 指数型复合函数的单调性与值域问题 1、指数型复合函数的单调性问题 （1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、指数型复合函数的值域问题 （1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围． （2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域． 【典例1】（2025·天津南开·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 【典例2】（2025·天津南开·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【解析】解法1：因为， 所以， 所以关于对称. 因为，函数在区间上的值域为，所以. 解法2：因为在上递增， 所以. 解法3：取，因为在上递增， 所以.故选D. 难点解读02 对数型复合函数的单调性与值域问题 1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略 （1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、对数型复合函数的值域问题的求解策略 （1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域． （2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，又， 所以原函数可变为，， 所以，，所以的值域为.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集_________. 【答案】 【解析】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 难点解读03 指对函数恒成立与参数问题 新高考中档综合难点，主打指对函数恒成立、存在性求参问题。解题核心思路为分离参数、数形结合、分类讨论，优先采用参变分离法，结合函数单调性求解最值，以此约束参数范围；含底数参数时，必须分类讨论与两种单调性情况． 【典例1】（24-25高三上·天津河北·期末）对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为函数与都是实数集上的增函数， 所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立， 即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， . 所以实数的取值范围为. 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得，则有. 综上得.故选：B． 素养进阶·答题技法突破 题型01 指数与对数运算 考情定位：基础小题，更多作为比大小、函数综合题计算载体，运算难度低，无复杂多层变形，侧重公式熟练运用． 核心考法：①指数幂四则、根式与指数互化化简求值；②对数加减、幂次运算公式基础计算；③换底公式变形、对数恒等式化简；④指对互化求解简单等式． 解题要点：根式统一化为分数指数幂再运算；对数加减优先合并同底，乘幂可提前移至真数；换底公式统一底数简化计算；运算末尾统一化简，避免底数、真数出现负数． 【典例1】（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】原式，故选：C 题型02 指对比较大小 考情定位：天津高考固定单选必考，每题5分，常年位于选择前中段；融合指数、对数、幂函数三类式子，基础送分，少数综合型可作单选中档区分题． 核心考法：①同底指数/对数借助单调性比大小；②同指数式子借助幂函数单调性判断；③底数、指数、真数均不同，以0、1为中间值分层放缩；④结构相近式子作差、作商对比；⑤复杂式子构造函数结合单调性比较． 解题要点：先划分数值区间（小于0、0~1、大于 1）快速分层；同结构优先对应函数单调性；底数范围决定增减性，底数大于1递增，0到1递减；无法直接区分时引入中间值，复杂题型构造辅助函数分析． 【典例1】（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 【典例2】（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以，故选：D 重点01 幂函数的图象与性质 核心解题要点：熟练掌握五类核心幂函数的定义域、值域、奇偶性与单调性，牢记所有幂函数在第一象限的图象规律与定点(1,1)；可依托幂函数单调性比较同指数幂数值大小，结合奇偶性判断函数对称性，快速求解简单不等式与参数问题． 高频陷阱：混淆幂函数与指数函数解析式；忽略不同幂函数的定义域限制；乱用第一象限单调性判断其他象限函数值大小． 【典例1】（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（    ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【解析】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，， 所以函数在区间上单调递减，故选：C. 【典例2】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【解析】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 重点02 指数函数的图象与性质 核心解题要点：依托指数函数定点、单调性、图象特征解题，根据底数的范围判定函数增减性，可快速比较指数式大小、求解简单指数不等式；结合图象分布规律，辨析函数图象、求解参数取值，适配基础选填题型． 高频陷阱：记错底数范围对应的单调性；忽略指数函数值域恒大于0的隐藏条件；底数大小与图象高低对应关系混淆出错． 【典例1】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵函数是奇函数，定义域为， ∴，即， ∴，即， ∴，则，解得，故选：C． 【典例2】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为， 因点也在一次函数的图象上，则， 又，则得， 由， 当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值为9. 故答案为：9. 重点03 对数函数的图象与性质 核心解题要点：严格遵循定义域优先原则，依托对数函数定点、单调性、反函数性质解题；根据底数范围判断增减趋势，用于对数值比大小、简单对数不等式求解，结合图象对称性解决函数综合基础问题． 高频陷阱：忽略对数真数大于0的硬性定义域限制；底数单调性判断错误导致比大小、解不等式出错；混淆指数与对数函数反函数图象特征． 【典例1】（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：存在成立但不成立的情况， 例如，，，，但，因此充分性不成立； 必要性：当时，，因此必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 【典例2】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 重点04 利用函数单调性求解指对不等式 核心解题要点：将不等式两侧化为同底数指对函数形式，根据底数范围判定单调性，顺势脱去函数符号转化为代数不等式；对数不等式必须联立真数大于0的定义域条件，最终取交集得到解集． 高频陷阱：底数时忘记反转不等号方向；遗漏对数定义域限制导致解集范围偏大；非同一底数强行脱号求解，逻辑出错． 【典例1】（25-26高三上·天津河西·期末）若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 因为在R上单调递减，所以； 当时，，， 因为为偶函数，所以， 因为在R上单调递增， 由，得， 综上不等式的解集为.故选：A 【典例2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 令，不等式转化为，， 当时，， 解得， 当时，显然不成立， 所以， 即. 技法点拨01 指数幂与对数式运算 1、指数幂运算的一般原则 （1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； （4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 【典例1】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数运算性质可得，故选：D． 【典例2】（2026·天津·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 技法点拨02 指对幂比较大小的常用方法 1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． 2、作差法、作商法： （1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； （2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法． 3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小． 4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间； （2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值． 5、构造函数，运用函数的单调性比较： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律． （1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小； （2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小． 6、放缩法： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩； （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩； （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 【典例1】（25-26高三上·天津静海·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上是增函数， ， 在R是减函数，在上是增函数， ， .故选：D. 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ， 故.故选：D 技法点拨03 二次函数在闭区间上的最值问题 二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论；区间外单调直接取端点最值，区间内含对称轴则对比端点与顶点函数值，精准锁定最值． 【典例1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 【典例2】（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（Ⅰ）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（Ⅰ）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 因为可得，解得， 故实数的取值范围为. 易错点01 忽略对指数与对数底数的讨论致错 辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论． 【典例1】（25-26高三下·广东·阶段检测）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，根据对数函数的性质可得且， 即恒成立，，，解得， ，根据指数函数的性质得，，即， 故的取值范围为， 当时，根据对数函数的性质可得， 即不成立，舍去， 综上的取值范围为. 【典例2】（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，根据对数函数的性质可知： 函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增， 所以. 又，所以，，所以， 所以，即，解得. 综上，a的取值范围为.故选：A. 易错点02 求复合函数单调性时忽略定义域致错 辨析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错． 【典例1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【典例2】（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）若实数a、b满足 则 （    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由，得；由，得， 则， 则， 则，故选：D 2．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知，“”是“函数 在上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，得.所以函数 在上为增函数； 由函数 在上为增函数，得.所以. 所以“”是“函数 在上为增函数”的充要条件.故选：C. 3．（2026·天津宝坻·三模）下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 4．（2026·天津·模拟预测）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意得，，， 而在上单调递增，故， 而在上单调递减，故，充分性成立， ，不妨设，满足要求， 但此时，不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·天津·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 6．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为：幂函数在上单调递增，且，所以； 又函数在上单调递增，所以. 故.故选：C 7．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 而函数是增函数，所以， 而由函数的图象得， 因此， 又因为定义在上的偶函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 因此，即.故选：D. 8．（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）已知函数在上是增函数，且满足.若，，.则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知函数满足，所以是偶函数， 又在上是增函数，则在上是减函数， 因为，，, 易知，又 所以， 因此，即.故选：C. 二、填空题 9．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）_____. 【答案】 【解析】 . 10．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知幂函数的图象经过点，则实数_____． 【答案】1 【解析】根据题意可知，所以，解得. 11．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是__________． 【答案】4 【解析】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故. 12．（25-26高三上·天津·阶段检测）若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则______． 【答案】 【解析】由题设，即恒成立， 所以，经验证满足题设. 13．（25-26高三上·天津和平·开学考试）已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】由，可得，即函数的定义域为， 由，且， 则， 因函数在上递增且为正数，而函数在上递增， 故函数在上为增函数，又与均为增函数， 故函数在上为增函数， 由不等式，等价于，即， 可得，解得. 故答案为：. 14．（25-26高三上·天津宝坻·阶段检测）已知函数且满足则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】函数有意义，由，解得， 即的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 且， 函数和都是上的增函数，所以为上的增函数， 由，得， 则有，解得， 同时有，解得， 综上，实数a的取值范围为. 三、解答题 15．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知，. (1)求不等式的解集； (2)设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围； (3)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由可知函数的定义域为R， 因， 结合对数函数的单调性可得，，即， 解得，得， 故不等式的解集为. （2）由题可得， 因存在实数，使得成立， 即存在实数，使得成立， 所以方程有实数解， 令，当且仅当即时等号成立， 所以方程有实数解， 因为和为上的增函数，所以为上的增函数， 所以，所以，得， 所以实数m的取值范围为； （3）由题意，使得，所以， 由（1）知， 因为，所以，，所以， 因为， ①当时，在区间上单调递增，所以， 则，得，所以； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，即， 所以； ③当时，在区间上单调递减，所以， 则，得，所以； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为. $