专题02 三角函数的图象与性质综合（知识清单）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 三角函数的图象与性质综合 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图象与性质 考点02函数y＝Asin(ωx＋φ) ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用三角函数的单调性求ω 难点解读02利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω 难点解读03利用三角函数零点求ω 难点解读04利用三角函数的最值(值域)求ω 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01三角函数的图象与性质 ▶重点突破・考法深研 重点01三角函数的单调区间求解 重点02三角函数的奇偶性问题 重点03三角函数的对称性问题 重点04由图象确定三角函数的解析式 重点05三角函数的图象变换 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01三角函数定义域的求法 技法点拨02三角函数的最值及值域 技法点拨03与图象平移有关的参数问题 技法点拨04三角函数的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视三角函数的有界性 易错点02三角函数单调性判断错误 易错点03图象变换的方向把握不准 易错点04用零点确定φ，忽略图象的升降 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【新题对点练】（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的最大值是 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解析】. 对于A，当时，取得最大值，最大值是，故A错误； 对于B，的图象关于直线，即对称， 而当时，，不是整数，故的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，因为，所以的图象不关于点中心对称，故C错误. 对于D，因为当，即时，函数单调递增，所以的单调递增区间为，故D正确.故选：D. 考点02 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 【新题对点练】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度，可得到函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意函数的最小正周期为，即，所以. 当时，，则； 当时，，则.故选：B. 难点解读01 利用三角函数的单调性求ω 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例1】（2026·天津和平·二模）已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以： ， 因为（）的单调递增区间就是的单调递减区间， 由，，解不等式得： ，， 所以的单调递减区间为，， 又因为在区间上单调递减， 当时，单调递减区间为，则有， 由 得 ，由 得 ， 因为 ，所以 ， 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ， 又因为，且，则， 若在上单调递增， 所以，所以， 因为对任意的实数，在上不单调， 所以的周期，所以，所以．故选：D． 难点解读02 利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值，为.故选：B 【典例2】（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】已知函数，其中，， 由于是奇函数，所以满足，即，得， 又因为，当时，，符合题意， 所以，因此函数， 函数的对称轴满足，即， 由于函数的图象在区间上恰有条对称轴， 所以不等式恰有两个解， 又因为，所以不等式等价于不等式， 即， 在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和， 所以，解得， 所以的取值范围为. 难点解读03 利用三角函数零点求ω 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值．对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，函数， 由于，所以； 又由在上恰有两个零点，所以，解得； 又因为函数图象的一条对称轴是， 所以，即， 又且，所以当时，，故选：B． 【典例2】函数恰好有两个零点，则的范围是_____． 【答案】 【解析】①，，结合正弦函数性质知： ，解得． ②，，结合正弦函数性质知： ，解得． 综上有． 难点解读04 利用三角函数的最值(值域)求ω 求三角函数或的最值（值域）问题，一般在利用单调性分析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的取值范围． 【典例1】（2026·天津·二模）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】，周期为， ，则是周期， ，即是正偶数， 当时，， 已知最大值与最小值的和为0， 最大值与最小值互为相反数， 若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和为0； 的最小值为6． 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知偶函数在上恰有2个最大值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】， 由为偶函数，故有， 即，又，故， 即， 当时，， 即函数在区间上恰有两个最大值点， 故有，即. 故答案为：. 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数的图象与性质 考情定位：选填中档题为主，解答题第一问高频考查，常结合三角恒等变换化简后研究函数，侧重y＝Asin(ωx＋φ)图象变换、性质研究，重视数形结合，部分小题结合零点、参数范围考查． 核心考法：①由图象信息求y＝Asin(ωx＋φ)解析式；②判断平移、伸缩的图象变换过程；③求最小正周期、单调区间、最值与值域；④判断对称轴、对称中心；⑤结合图象分析零点个数、参数取值范围． 解题要点：由图象求解析式，利用最值求振幅，周期求ω，优先用五点法求初相；图象变换注意只对x进行加减伸缩，区分先后顺序带来的平移量差异；整体代换，令t=ωx＋φ转化为基础正弦函数；ω<0时，单调区间要反转；利用图象辅助判断零点与交点问题，注意区间端点． 【典例1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为， 但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误.故选：B. 【典例2】（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知.故选：A 【典例3】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为；(3) 【解析】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 重点01 三角函数的单调区间求解 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于，根据辅助角公式，得到.   令，因为的单调递减区间得. 解这个不等式：得到的单调递减区间是.   因为，当时，. 而，即函数的单调递减区间是，故选：A. 【典例2】（25-26高三上·天津河北·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，解得， 所以的单调递减区间为．故选：B 重点02 三角函数的奇偶性问题 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的最小正周期为可得， 即，则， 即， 又函数为偶函数，即，解得，且， 当时，.故选：B 【典例2】（2026·天津南开·一模）已知，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，为偶函数，故充分性成立， 为偶函数时，,故必要性不成立， 故“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 重点03 三角函数的对称性问题 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知函数的图象上距离原点最近的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因， 由可得，即函数的对称中心为， 故当时，点为函数距离原点最近的对称中心.故选：B. 【典例2】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得函数图象的对称中心为 由，函数图象的对称中心为， 依题意，对整数，点与重合，则， 因此，，而，所以，，D正确. 重点04 由图象确定三角函数的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象可知，，即， 由，得， 故，由于，故， 则，故选：B 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数（其中）的图象如上，则函数的解析式为______，在区间上的单调递增区间为______．    【答案】 【解析】设函数的最小正周期为， 则由图知，，，即，则， 于是，将点代入解析式，可得， 则，即， 因，故得，则函数的解析式为； 由，可得， 因，故得在区间上的单调递增区间为. 故答案为：；. 重点05 三角函数的图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 【典例1】（2025·天津武清·一模）要得到函数的图像，只要把函数图像（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【解析】， 把函数图像向左平移个单位， 可得的图像， 所以要得到函数的图像，只要把函数图像向左平移个单位，故选：D. 【典例2】（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 技法点拨01 三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域为________________，最小正周期为___________. 【答案】 【解析】对于函数，由解得， 所以函数的定义域为， 函数的最小正周期为. 故答案为：；. 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使有意义，需满足，解得且． 所以定义域为.故选：B． 技法点拨02 三角函数的最值与值域 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【典例1】（2026·天津河西·三模）已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 正弦函数中，对称中心到相邻对称轴的距离为，已知该距离为， 因此：， 由周期公式（），得：， 所以， 当时，令，则， 此时在时取得最小值，所以. 【典例2】（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域______. 【答案】 【解析】由题意， 因为，所以，所以， 所以函数在区间上的值域为. 故答案为：. 技法点拨03 与图象平移有关的参数问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以.故选：D. 【典例2】（2026·天津·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以向右平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以， 又因为为奇函数，所以，所以， 又，所以.故选：B. 技法点拨04 三角函数的应用 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模—化简—求参—还原”标准化解题流程，根据往复波动、周期变化的实际规律，建立y＝Asin(ωx＋φ)＋k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解． 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图可得，则， 当时，y取得最小值，为，得， ∵函数的图象过点， ∴，即，又，∴，∴. 当时，.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·湖南·阶段检测）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以.故选：A. 易错点01 忽视三角函数的有界性 辨析：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是______． 【答案】 【解析】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）函数的最大值与最小值之差为_______. 【答案】4 【解析】. 因为，则，所以 所以最大值与最小值之差为4. 易错点02 三角函数单调性判断错误 辨析：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）函数在的单调递减区间是______ 【答案】和 【解析】， 故的单调递增区间即为的减区间， 由，得， 又，所以或， 所以函数在的单调递减区间是和. 【典例2】设函数，则在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 令，，则，， 又，∴在上的单调递减区间为．故选：D. 易错点03 图象变换的方向把握不准 辨析：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】由，则可由的图象向右平移个单位得到.故选：D 【典例2】（2026·天津和平·三模）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 【答案】A 【解析】对于A，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故A正确； 对于B，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故B错误； 对于C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故C错误； 对于D，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故D错误. 易错点04 用零点确定φ，忽略图象的升降 辨析：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数图象可知，，， 所以，即，所以， 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，此时不存在； 当时，， 结合图象过点，且在函数的增区间上， 则，则， 又，， 函数. 【典例2】（25-26高三下·四川乐山·阶段检测）如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图知，函数的最小正周期，所以，则， 由图可知，点附近函数单调递增， 代入，可得，则， 又，则，所以. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 若函数在处取得最小值， 则，解得，可得， 又因为，则， 令，解得， 所以在区间上的单调递减区间为. 2．（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 3．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域是 【答案】D 【解析】将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得到函数的图象， 再向左平移个单位，可得的图象. 对于A，， 则直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，， 则点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有增有减， 所以函数在上有增有减，故C错误； 对于D，当时，， 则，即，故D正确.故选：D 4．（25-26高三下·天津津南·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【解析】由题意得，，解得， 又在上单调，，解得， 当时，，舍去；当时，，符合题意. 5．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得，解得， 又因为，所以的最小值为.故选：B. 6．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以当时，， 因为在区间上单调递增，所以，则，即， 所以，所以，解得，则的最大值为1， 此时， 当时，，则在区间上的值域为.故选：C. 7．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得，故选：D． 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列命题①，②的图象关于直线对称，③，④在上的值域为，其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由图象可知，，，故①正确； 从而， 由，， 因为，所以， 从而，故③正确； 因为，所以不是的对称轴，故②错误； 当时，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，，所以，故，即， 从而，即在上的值域为，故④错误. 二、填空题 9．（2025·天津南开·模拟预测）函数的定义域为______. 【答案】 【解析】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 10．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值_______． 【答案】 【解析】函数. 由，图象的两条相邻对称轴之间的距离为，得的最小正周期为，所以. 若，则. 因为，所以，所以. 所以. 11．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______． ① ②的图象关于点中心对称 ③在区间上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】①③④ 【解析】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以. 又图象经过点，代入解析式得：，即，解得. 因为，所以.故选项①正确. 由图象可知，函数在处取得零点，且此时图象处于下降阶段. 对于正弦曲线，当时，函数值为0且处于下降趋势. 所以，整理得：，解得：， 因为，且，所以.即函数解析式为. 选项②：将代入解析式：. 因为，所以点不是函数图象的对称中心，故选项②错误. 选项③：令，当时，， 正弦函数在区间上是单调递增的. 因为，所以函数在区间上单调递增，故选项③正确. 选项④：将的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为： ，代入，得： ，这与函数的解析式完全一致.故选项④正确. 12．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知函数，.直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为________. 【答案】 【解析】依题意，，， 因为直线与函数的图象分别交于两点，所以， 当时，，所以， 所以，从而， 所以当，即时，取得最大值，即的最大值为. 故答案为：. 13．（24-25高三上·天津河北·阶段检测）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为上有且仅有2个零点， 所以，所以. 故答案为： 14．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的图象与轴的交点为，_____，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】依题意得，，，则； 则， 令，得，令，得， 所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为，，且， 由题意，得，解得， 则的取值范围是. 三、解答题 15．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的最大值，以及相应x的值． 【答案】(1)；(2)；(3)最大值为2，此时. 【解析】（1）， 所以最小正周期； （2）令， 所以函数的单调递增区间. （3）因为，所以，则， 的最大值为2，此时，即. 16．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示 (1)求的解析式及最小正周期； (2)已知，，求的值. (3)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）由最值可确定，，即， 所以，解得，所以， 又，所以， 则，解得， 因为，所以，所以； 函数的最小正周期为； （2），即， 因为，所以 ，又，所以， 所以， 所以； （3）当时，，， 方程在上有两个不相等的实数根， 则的图象与的图象在区间上有两个交点， 由题中函数图象可得. 所以实数m的取值范围为. $专题02 三角函数的图象与性质综合 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图象与性质 考点02函数y＝Asin(ωx＋φ) ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用三角函数的单调性求ω 难点解读02利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω 难点解读03利用三角函数零点求ω 难点解读04利用三角函数的最值(值域)求ω 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01三角函数的图象与性质 ▶重点突破・考法深研 重点01三角函数的单调区间求解 重点02三角函数的奇偶性问题 重点03三角函数的对称性问题 重点04由图象确定三角函数的解析式 重点05三角函数的图象变换 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01三角函数定义域的求法 技法点拨02三角函数的最值及值域 技法点拨03与图象平移有关的参数问题 技法点拨04三角函数的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视三角函数的有界性 易错点02三角函数单调性判断错误 易错点03图象变换的方向把握不准 易错点04用零点确定φ，忽略图象的升降 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【新题对点练】（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）已知函数，则（    ） A．的最大值是 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．的单调递增区间为 考点02 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 【新题对点练】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度，可得到函数，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 难点解读01 利用三角函数的单调性求ω 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例1】（2026·天津和平·二模）已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津·阶段检测）函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 难点解读02 利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 【典例1】（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【典例2】（26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知函数（，）是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________． 难点解读03 利用三角函数零点求ω 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值．对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数的图象的一条对称轴是，且在上恰有两零点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】函数恰好有两个零点，则的范围是_____． 难点解读04 利用三角函数的最值(值域)求ω 求三角函数或的最值（值域）问题，一般在利用单调性分析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的取值范围． 【典例1】（2026·天津·二模）设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知偶函数在上恰有2个最大值点，则实数的取值范围为______． 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数的图象与性质 考情定位：选填中档题为主，解答题第一问高频考查，常结合三角恒等变换化简后研究函数，侧重y＝Asin(ωx＋φ)图象变换、性质研究，重视数形结合，部分小题结合零点、参数范围考查． 核心考法：①由图象信息求y＝Asin(ωx＋φ)解析式；②判断平移、伸缩的图象变换过程；③求最小正周期、单调区间、最值与值域；④判断对称轴、对称中心；⑤结合图象分析零点个数、参数取值范围． 解题要点：由图象求解析式，利用最值求振幅，周期求ω，优先用五点法求初相；图象变换注意只对x进行加减伸缩，区分先后顺序带来的平移量差异；整体代换，令t=ωx＋φ转化为基础正弦函数；ω<0时，单调区间要反转；利用图象辅助判断零点与交点问题，注意区间端点． 【典例1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．0 【典例3】（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 重点01 三角函数的单调区间求解 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津河北·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 重点02 三角函数的奇偶性问题 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津南开·一模）已知，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重点03 三角函数的对称性问题 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）已知函数的图象上距离原点最近的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 重点04 由图象确定三角函数的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数（其中）的图象如上，则函数的解析式为______，在区间上的单调递增区间为______．    重点05 三角函数的图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 【典例1】（2025·天津武清·一模）要得到函数的图像，只要把函数图像（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【典例2】（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）函数的定义域为________________，最小正周期为___________. 【典例2】（24-25高三上·天津·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 三角函数的最值与值域 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【典例1】（2026·天津河西·三模）已知函数，图像的对称中心到相邻的对称轴之间的距离为，则在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域______. 技法点拨03 与图象平移有关的参数问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·天津·一模）设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 三角函数的应用 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模—化简—求参—还原”标准化解题流程，根据往复波动、周期变化的实际规律，建立y＝Asin(ωx＋φ)＋k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解． 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·湖南·阶段检测）图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（    ） A． B． C． D． 易错点01 忽视三角函数的有界性 辨析：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是___． 【典例2】（2026·广东深圳·模拟预测）函数的最大值与最小值之差为_______. 易错点02 三角函数单调性判断错误 辨析：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决． 【典例1】（24-25高三上·天津·阶段检测）函数在的单调递减区间是______ 【典例2】设函数，则在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 易错点03 图象变换的方向把握不准 辨析：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为． 【典例1】（25-26高三上·天津·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【典例2】（2026·天津和平·三模）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 易错点04 用零点确定φ，忽略图象的升降 辨析：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】函数的部分图象如图所示，则函数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·四川乐山·阶段检测）如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域是 4．（25-26高三下·天津津南·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 5．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列命题①，②的图象关于直线对称，③，④在上的值域为，其中正确的个数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．（2025·天津南开·模拟预测）函数的定义域为______. 10．（25-26高三上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．若，且，则的值_______． 11．（26-27高三上·天津北辰·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______． ① ②的图象关于点中心对称 ③在区间上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 12．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知函数，.直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为________. 13．（24-25高三上·天津河北·阶段检测）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 14．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数的图象与轴的交点为，_____，又在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是_____. 三、解答题 15．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的最大值，以及相应x的值． 16．（25-26高三上·天津津南·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示 (1)求的解析式及最小正周期； (2)已知，，求的值. (3)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围. $