3.4 函数的应用（一） 知识点梳理-2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册

3.4 函数的应用（一） 知识点梳理 · 人教A版 必修第一册 第三章 两例立骨 · 四型归位版式 对应教材 P93—P95 ｜ 本章最后一节 ｜ 正文两道例题（P93 例 1、P94 例 2）、练习（P95 练习 1～3）、习题 3.4（P95） ★ 本课分数集中在两处：一是二次型的最值——「顶点够不够得着」，够不着就落端点；二是分段型的分界点——「哪一段含端点、哪一段不含」。两处栽的是同一个毛病：只顾把式子写出来，不回头对范围。 教材 P93 的开头是这样写的：「我们学习过一次函数、二次函数、幂函数等，这些函数都与现实世界紧密联系。下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。」 本课的正文只给了两道例题——个人所得税与汽车里程表，两道都是分段函数。一次函数、二次函数、幂函数这三类模型，则分散在 P95 的三道练习里。把正文例题与练习合起来看，四类模型到这一课就齐了。 下面六关依次铺开：关一学读题，关二、关三精读教材的两道例题，关四把四类模型归位，关五专攻二次型的最值，关六把算出的结果送回实际。 本课地图 · 六关一览 这一关做什么 一句话结论 关键式子 最容易栽在哪里 对应教材 关一 把实际问题读成函数问题 先找两个变量，再看它们怎么互相牵动 y = f(x)，x 的范围由实际意义定 只顾写解析式，忘了写 x 的取值范围 P93 开篇 关二 一张税率表怎么变成分段函数 先算中间量 t，再按税率表逐段写 y 先写 t = g(x)，再按表逐段写 y = f(t) 忘记应纳税所得额不能为负，第一段写错 P93 例 1 关三 一张速率图怎么变成分段函数 规则按时间段给，一段一个式子 各段路程 = 速率 × 时间，各段端点首尾相接 分界点归错段，各段在连接点接不上 P94 例 2 关四 四型归位 一次、二次、幂、分段，各有各的识别信号 见本关的「四型总表」 型认错了，后面全白算 P95 练习 1～3 关五 二次型的最值 配方看顶点，再把顶点与取值范围对一对 顶点不在范围里，也照套顶点 P95 练习 2 关六 把结果送回实际 查范围、查单位、查意义，再用一句人话作答 结论要能读成一句实际的话 结果算对就交卷，不检验也不作答 P94 例 2 旁白 关一 · 把实际问题读成函数问题 教材开篇那句话点出了全课的路线：实际问题 → 函数问题 → 回到实际问题。中间这一步到底怎么走？先把四个动作记下来。 建模四步，一步都不能省 第几步 做什么 这一步的产物 第一步 审题 把题里的量一个个找出来，分清哪个是自变量、哪个跟着它变，再看有没有「每……就……」这类关系 一对变量的对应关系 第二步 建模 把上面的关系写成解析式，同时把自变量的取值范围写清楚 函数的解析式与它的范围 第三步 解模 用函数的性质（单调性、最大值最小值）把要求的量算出来 一个数学结果 第四步 还原 把数学结果放回实际情境里检验，再用文字把结论说出来 一句符合实际的回答 ★ 第二步最容易漏的是「取值范围」。题目里的量都带着实际意义：件数、人数必须是正整数，长度必须为正，销量不能是负数。教材 P94 例 2 的解答里，每一段后面都跟着 t 的范围，就是这个道理。 题里最常见的三种说法，怎么翻译成式子 题里的说法 写成式子 说明 固定成本 150 万元，每件可变成本 0.25 万元 C(x) = 150 + 0.25x 一次函数：不变的那部分当常数项 售价每提高 1 元，平均每天少卖 3 箱 y = 90 − 3(x − 50) 一次函数：变化率就是斜率 利润 = 收入 − 成本，而收入 = 单价 × 数量 L(x) = xy − C(x) 两个一次式相乘，得到的就是二次式 本关自查：这道题里哪个量在变、哪个量跟着它变？关系式写完之后，回头看一眼自变量的范围写上了没有。 关二 · 教材例 1：一张税率表怎么变成分段函数 教材 P93 例 1 的背景是《中华人民共和国个人所得税法》。题里先给两个计算公式，再给一张税率表。看懂这一例的关键，是分清前后两步：先把收入额变成应纳税所得额，再把应纳税所得额变成税额。 题里先给的两个计算公式 公式 内容 ① 个税税额 = 应纳税所得额 × 税率 − 速算扣除数 ② 应纳税所得额 = 综合所得收入额 − 基本减除费用 − 专项扣除 − 专项附加扣除 − 依法确定的其他扣除 公式②里的「基本减除费用」就是免征额，为每年 60000 元。 综合所得适用的税率表（全年） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过 36000 元的部分 3% 0 2 超过 36000 元至 144000 元的部分 10% 2520 3 超过 144000 元至 300000 元的部分 20% 16920 4 超过 300000 元至 420000 元的部分 25% 31920 5 超过 420000 元至 660000 元的部分 30% 52920 6 超过 660000 元至 960000 元的部分 35% 85920 7 超过 960000 元的部分 45% 181920 例 1（教材 P93 例 1） 设小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8%、2%、1%、9%，专项附加扣除金额与依法确定的其他扣除金额之和记为 m（单位：元），全年综合所得收入额为 x（单位：元），全年应缴纳的综合所得个税税额为 y（单位：元）。求 y 关于 x 的函数解析式。 规范解答： 第一步，用公式②把 x 换成 t。四项社会保险费与住房公积金的合计比例是 20%，所以专项扣除是 0.2x，于是 t = x − 60000 − 0.2x − m = 0.8x − 60000 − m。 第二步，找分界点。应纳税所得额 t 是「应当纳税的那一部分」，不可能为负。令 t = 0，解得 x = 。这条线把收入额分成两段：x 不超过它时 t = 0，也就是不用缴税；x 超过它时 t 才是正数。 第三步，逐档写 y。看 t 落进税率表的第几档，就用那一档的税率与速算扣除数，把 t 的式子代进去。 第四步，把各段并列写出来，就是一个分段函数。 从 x 到 y，四次动作 第几步 做什么 做出来是什么 第一步 用公式②把收入额 x 换成应纳税所得额 t t = 0.8x − 60000 − m（一次函数） 第二步 令 t = 0，定出分界点 x = 第三步 看 t 落在税率表的哪一档 落进七档中的某一档 第四步 用那一档的税率与速算扣除数写出 y y 先是 t 的一次式，再把 t 换成 x 的式子 ★ 关于 m 的取值：教材不同印次给的两项扣除数额并不一样，所以本课不写具体数字——把手上这本书里给的两个数加起来，代进 m，方法完全一样。税率表里的档位、税率、速算扣除数属于国家法定数据，各印次一致，可以放心用。 方法提炼：这一例教的是「两次转换」：x 经由一次函数变成 t，t 再经由分段函数变成 y。所以遇到个税这类题，第一件事不是套公式，而是问自己：题里有没有一个「要先算出来、再拿去查表」的中间量？找到它，分界点自然就有了。 本关自查：这道题里的「中间量」是谁？它什么时候等于 0？这两问答出来，分段函数就写出来了。 关三 · 教材例 2：一张速率图怎么变成分段函数 教材 P94 例 2 的原题给的是图 3.4-1：一辆汽车在某段路程中行驶，平均速率 v（单位：km/h）随时间 t（单位：h）变化。本线所有资料都不放图片，但这道题不看图也能做——把图里的信息摆成表格，一样清楚。 用表格把图 3.4-1 复原（五个速率段） 时间段 t / h 这一段的平均速率 v /（km/h） 这一段行驶的路程 / km 0 ≤ t < 1 50 50 1 ≤ t < 2 80 80 2 ≤ t < 3 90 90 3 ≤ t < 4 75 75 4 ≤ t ≤ 5 65 65 例 2（教材 P94 例 2 第（1）问） 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义。 规范解答：每一段内速率不变，这一段的路程就等于速率乘时间。五段相加：50 × 1 + 80 × 1 + 90 × 1 + 75 × 1 + 65 × 1 = 360。所以阴影部分的面积是 360；它的实际含义是：汽车在这 5 h 内行驶的路程为 360 km。 方法提炼：为什么「面积」会等于「路程」？因为每一段的「速率 × 时间」正好是那一段矩形的面积，五块拼起来就是整段路程。速率不是常值时这个办法不能照搬，但「分段累加」的想法是一样的。 里程表读数 s 的分段解析式（出发前读数为 2004 km） 时间段 t / h s 与 t 的关系式 这一段的起点读数 / km 0 ≤ t < 1 s = 2004 + 50t 2004 1 ≤ t < 2 s = 2054 + 80(t − 1) 2054 2 ≤ t < 3 s = 2134 + 90(t − 2) 2134 3 ≤ t < 4 s = 2224 + 75(t − 3) 2224 4 ≤ t ≤ 5 s = 2299 + 65(t − 4) 2299 这几段能不能接上，验一验就知道：t = 1 时第一段给出 2004 + 50 = 2054，正好是第二段的起点读数；t = 2 时第二段给出 2054 + 80 = 2134，正是第三段的起点。一路接到 t = 5，得到 2299 + 65 = 2364，比出发时的 2004 多了 360，正好是前面算出的总路程。几处连接点都对上了，说明式子写对了。 ★ 教材在例 2 后面留了一个问题：你能根据图 3.4-1 画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？答案是：路程一直在增大，但每段的快慢不同——第三个小时跑得最快，后面慢下来。它的图象就是上面那张表里五条线段接起来的折线。 分段函数建模的两条硬规矩 硬规矩 为什么 分界点不重不漏：每一段后面写清含不含端点 同一个 x 只能落在一段里；落在两段上，函数值就不唯一了 定义域是各段定义域的并集 分段函数是一个函数，不是几个函数凑在一起 ★ 分界点归哪一段，照题目的原话归。「不超过 100 件」含 100，就写 x ≤ 100；「超过 100 件」不含 100，就从 100 的右边开始。 教材 P94 例 2 之后的小结：函数图象对分析和理解题意很有帮助，要注意提高读图能力；本题用到了分段函数，而解决现实问题时经常会用到这类函数。 本关自查：每一段后面都写清端点了吗？上一段的末尾与下一段的开头接得上吗？把连接点代进去算一遍再往下走。 关四 · 四型归位：四类模型各认什么信号 教材正文的两道例题都是分段函数。P95 的三道练习把一次、二次、幂三类模型补齐——到这一课为止，四类模型就全了。其中二次型题量最大、出错最多，留到关五专门讲。 四型总表 模型 解析式长什么样 从题里哪句话认出来 教材里在哪儿出现 一次函数模型 y = kx + b（k ≠ 0） 「每件……元」「每月固定……」 P95 练习 3（公司效益） 二次函数模型 （a ≠ 0） 两个量相乘，其中一个量本身是一次式 P95 练习 2（广告牌面积） 幂函数模型 ，本课用到的是 「与……的平方成正比」 P95 练习 1（刹车距离） 分段函数模型 在不同的区间上用不同的式子 「不超过……的部分」「超过……」 P93 例 1、P94 例 2 ★ 幂函数模型是这一课补上的一块。3.3 学过幂函数，其中 就是它的原型；题里说「刹车距离与速率的平方成正比」，翻译过来就是 ——系数 a 待定，用一组已知数据就能把它定下来。 P95 的三道练习，各归哪一型 练习 题里的情境 属于哪一型 第一步做什么 P95 练习 1 刹车距离与刹车时速率的平方成正比 幂函数模型 把已知的一对数据代进去，用待定系数法求出 a P95 练习 2 矩形周长固定，求面积最大 二次函数模型 设一边长为 x，写出面积 S(x)，配方看顶点 P95 练习 3 固定成本加每件可变成本，求不亏本的最低产量 一次函数模型 写出利润 L(x)，把「不亏本」翻译成 L(x) ≥ 0 例 3（幂函数模型 · 教材 P95 练习 1） 汽车紧急刹车后滑行的距离 y（单位：m）与刹车时的速率 v（单位：km/h）满足 y = a（a 为常数）。已知某型号汽车在速率为 60 km/h 时紧急刹车后滑行的距离为 20 m。（1）求 a 的值；（2）若该型号汽车紧急刹车后滑行的距离为 40 m，求刹车时的速率。 规范解答：（1）把 v = 60、y = 20 代入 y = a，得 20 = 3600a，所以 a = 。（2）把 y = 40 代入，得 40 = ，即 。因为 v 是速率，v 必须为正，所以 v = = 60 ≈ 84.9。所以该型号汽车刹车时的速率约为 84.9 km/h。 方法提炼：幂函数模型的动作是「先定系数，再解方程」。题里给了一组对应数据，就先用它把 a 定下来；a 定下来之后， 就是一个已知的函数，问什么解什么。注意 v 的实际意义——速率不能取负，所以开方只取正的那一个根。 例 4（一次函数模型 · 教材 P95 练习 3） 某公司生产某种产品，固定成本为 150 万元，每件产品的可变成本为 0.25 万元，每件售价为 0.35 万元。设总产量为 x 件（x 取正整数）。题里没有一句提到函数，但每一句话都能翻成式子。 练习 3 里的四个量 量 解析式（单位：万元） 怎么来的 总成本 C(x) C(x) = 150 + 0.25x 固定成本 150 万元，再加上每件 0.25 万元 单位成本 总成本除以产量；产量越大，这一项越小 销售总收入 R(x) R(x) = 0.35x 每件售价 0.35 万元，共 x 件 总利润 L(x) L(x) = R(x) − C(x) = 0.1x − 150 两个一次式相减，还是一次式 ★ 单位成本 里藏着 3.3 学过的 ：产量越大，摊到每件上的固定成本越小。这就是「规模越大、单件越省」的数学说明。 一次函数模型求最值：两条路 走哪条路 什么时候用 具体怎么做 转化为不等式 题里问「至少多少」「不超过多少」 把要求写成 L(x) ≥ 0 或 L(x) ≤ 0，再解出 x 的范围 用单调性 题里问「最大利润」「最低成本」 先看一次项系数的正负，再结合自变量的范围在端点处取值 规范解答（第（2）问）：要让这家公司不亏本，总产量至少是多少件？不亏本就是总利润不小于零，即 L(x) = 0.1x − 150 ≥ 0，解得 x ≥ 1500。又 x 是产量，必须取正整数，而 1500 正好是整数，所以总产量至少 1500 件。 方法提炼：一次函数模型求「至少」「至多」，就是把条件翻译成一个不等式；解出来的范围还要与实际意义对一遍——若解出的是小数，还得按题意向上或向下取整。 这家公司的经济效益，一张表说清 产量与 1500 件的关系 经营状况 x < 1500 亏损：收入还不够抵掉成本 x = 1500 不亏不盈：收入刚好等于成本 x > 1500 盈利：而且产量越大，利润越高 本关自查：这道题问的是「哪一型」？认型的信号是题干里的哪一句话？把这两个问答出来，再动笔。 关五 · 二次型的最值：顶点够不够得着 只要题里出现「两个量相乘」，而且其中一个量本身是一次式，建模出来的就是二次函数。面积与利润这两类问题，几乎都是这个套路。二次型最值的关键只有一句话：配方得到的顶点，必须回头和自变量的取值范围对一对。 例 5（二次函数模型 · 教材 P95 练习 2） 某广告公司要为客户设计一幅周长为 L（单位：m）的矩形广告牌，怎样设计可以使广告牌的面积最大？ 规范解答： 设矩形的一边长为 x m，则另一边长为 ( − x) m。两边都为正，所以 0 < x < 。 面积 S = x( − x) = − + = − + 。 因为 ≥ 0，所以 S ≤ ，等号在 x = 时成立。所以当矩形的一边长为 m（即两边相等，围成正方形）时面积最大，最大面积是 。 方法提炼：二次函数求最值，配方是主路。也可以在 2.2 学过的基本不等式下完成：把 x 与 ( − x) 看成一正一正的两个数，它们的和是定值 ，乘积就有最大值——两条路的结论一致。 二次函数模型求最值：三步 第几步 做什么 这一步的要点 一、配方 把解析式配成 的形式 先确认二次项系数不为零，再把二次项系数提到括号外 二、看对称轴 读出对称轴 x = m 与开口方向 a > 0 时开口向上，顶点处取最小值；a < 0 时开口向下，顶点处取最大值 三、比区间 看 x = m 是否落在自变量的取值范围内 落在里面就直接用顶点；落在外面就改用单调性，在端点处取值 例 6（补充例题：利润最大） 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元。市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱；价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱。（1）求平均每天的销售量 y（箱）与销售单价 x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求平均每天的销售利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 规范解答：（1）售价提高（x − 50）元，销量就减少 3(x − 50) 箱，所以 y = 90 − 3(x − 50) = −3x + 240，其中 50 ≤ x ≤ 55，x 取整数。 （2）每箱的利润是（x − 40）元，每天利润 = 每箱利润 × 每天销量，所以 w = (x − 40)(−3x + 240) = −3 + 360x − 9600，50 ≤ x ≤ 55，x 取整数。 （3）配方得 w = 。它的对称轴是 x = 60，而 x 只能在 50 到 55 之间取值，整段区间都在对称轴的左边；又因为开口向下，所以 w 随 x 增大而增大。 因此 x = 55 时 w 取最大值，w = −3 × 25 + 1200 = 1125（元）。所以每箱苹果的售价为 55 元时，可以获得最大利润 1125 元。 方法提炼：本题最容易错的一步是比区间。不少人看见配方结果是 ，就顺手写下「x = 60 时最大，最大 1200 元」——可 x 根本取不到 60。顶点是不是落在自变量的取值范围里，必须回过头去看一眼。 对称轴与区间的三种位置 对称轴落在哪里 最大值取在何处 说明 在区间内部 顶点处 直接代入顶点，不必再看端点 在区间右侧 区间的右端点 开口向下时函数在区间上一直递增，越靠右越大 在区间左侧 区间的左端点 开口向下时函数在区间上一直递减，越靠左越大 ★ 这三行是二次型最值全部的情形。做这类题，配完方不要急着报顶点，先算一算对称轴落在哪一行，再决定答案取在哪里。 本关自查：对称轴在区间的哪一边？顶点到底够不够得着？够不着就得回到端点，这一步不能省。 关六 · 把结果送回实际：检验与作答 式子写出来、结果算出来，题还没有做完。教材 P94 例 2 的答案里，每一段后面都带着 t 的范围；教材 P95 练习 3 让同学们自己分析公司的经济效益。这两处都在提醒同一件事：数学结果要放回实际里过一遍。 还原与检验：四问 要问自己什么 怎么做 为什么必须做 结果落在允许的范围里吗 把算出的值代回定义域检查 件数、人数要取整数；长度、质量必须为正 单位统一了吗 让题意从头到尾只用一个单位 元与万元、件与千件混着用，会差上千倍 结果有实际意义吗 负的产量、负的人数一律舍去 数学上挑不出毛病，实际里却说不通 回答的是题目问的那一问吗 回头把问题再读一遍 问的是「最低产量」，就不要答成「最低成本」 把数学结论说成一句人话：示范 数学结果 回答时怎么说 x ≥ 1500，x 取正整数 公司的总产量至少为 1500 件时才不亏本 x = 55 时 w 取最大值 1125 每箱苹果定价 55 元时，平均每天的利润最大，为 1125 元 s 从 2004 变到 2364 这 5 小时里汽车一共行驶了 360 km 本关自查：四步里最容易被省掉的是第四步。检验不只是「再看一眼」，而是把范围、单位、实际意义三样逐一过一遍，最后用一句人话把结论说出来。 来龙去脉 · 用函数描述现实，走了多远 用式子描述变化，再拿它去解决实际问题，是数学里一条很长的路。 十六、十七世纪之交，伽利略研究落体运动，发现物体下落的路程与所用时间的平方成正比——这是二次函数来自现实世界的最早典范。后来他研究抛体运动，又发现抛出的物体轨迹也是一条抛物线。 1637 年，笛卡尔在《几何学》里把代数方程与几何曲线对应起来，图象从此成为描述变化的工具。1748 年，欧拉在《无穷分析引论》里系统地使用了 y = f(x) 这样的记号，「函数」才真正成为一种语言。从那以后，凡是能写成一个式子的变化规律，都能拿来算、拿来比、拿来求最大最小。 而现实里的规则常常不是「一个式子管到底」的：收入越过头一档要换一个税率，车速在不同时段不一样，停车超过 3 小时要另算钱。写这类规则用的，正是本课两道例题里的分段函数。 收束 · 四型归位速查卡 本课所有结论可以压成一张卡。考前把这张卡过一遍，四步怎么走、四型怎么认，就全在手里了。 要问的事 一句话答案 最容易栽在哪里 应用题从哪里下手 先找两个变量，再看它们怎么互相牵动 直接套见过的公式，不看题意 解析式写完了还差什么 自变量的取值范围，它由实际意义决定 忘了写范围，答案不完整 该用哪个模型 每份固定用一次型；两个量相乘用二次型；平方成正比用幂函数型；按档给规则用分段型 把分段题当成一次题做 二次型最大值怎么求 配方看顶点，再把顶点与取值范围对一对 顶点不在范围里也照套 分段型从哪里下手 先找分界点，再逐段写式子，最后验连接点 分界点归错段 算完了还要做什么 查范围、查单位、查意义，再用一句人话作答 结果算对就交卷 口诀：实际问题先审题，谁跟着谁变要看清。固定部分加每份，一次函数立起来；两个量乘得二次，配方之后看区间；平方正比幂函数，待定系数定下来；分档给的是分段，分界点上不重不漏。四步走完别急着交，范围单位验一验。 过关自测（满分 100 分） 本卷分值构成：选择题 6 小题共 30 分，填空题 4 小题共 20 分，解答题 3 小题共 50 分。 一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1. 关于用函数模型解决实际问题，下列说法正确的是（ ） A. 只要解析式写对了，实际问题就一定能解决 B. 建立函数模型时，自变量的取值范围由实际意义决定 C. 一次函数模型只能用来解决成本问题 D. 分段函数各段的定义域可以重叠 2. 某商品的进价为每件 30 元，售价为 x 元/件（40 ≤ x ≤ 45），日销售量 y = −2x + 180 件。则该商品平均每天的销售利润 w（元）关于 x 的函数解析式是（ ） A. w = −2 + 240x − 5400 B. w = −2 + 180x − 5400 C. w = −2 + 240x D. w = −2 + 60x − 5400 3. 某公司生产某种产品，固定成本为 300 万元，每件产品的可变成本为 0.2 万元，每件售价为 0.5 万元。要使该公司不亏本，产量 x（件）应满足（ ） A. x ≥ 600 B. x ≥ 1000 C. x ≥ 1500 D. x ≥ 2000 4. 用长为 24 m 的绳子围成一个矩形，当矩形的面积最大时，它的一边长为（ ） A. 4 m B. 6 m C. 8 m D. 12 m 5. 某停车场规定：停车时间不超过 3 小时收费 5 元；超过 3 小时的部分，每多停 1 小时加收 3 元（不足 1 小时按 1 小时计）。一辆汽车在该停车场停了 7 小时 20 分钟，应交停车费（ ） A. 17 元 B. 20 元 C. 23 元 D. 29 元 6. 某商品的日销售利润 w（元）与销售单价 x（元）满足 w = −2 + 800，且 25 ≤ x ≤ 28。则 w 的最大值是（ ） A. 750 元 B. 782 元 C. 792 元 D. 800 元 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 7. 某厂生产某种产品，日产量为 x 件时的总成本为 y = 4x + 1200（元），每件产品的售价为 6 元。要使该厂不亏本，最低日产量是 ________ 件。 8. 某物体由静止开始下落，下落高度 h（单位：m）与下落时间 t（单位：s）满足 h = k（k 为常数）。已知该物体下落 2 s 时的高度为 20 m，则 k = ________；该物体下落 45 m 需要 ________ s。 9. 一辆汽车先以 60 km/h 的速率行驶 1 h，再以 80 km/h 的速率行驶 2 h。这 3 h 内汽车行驶的总路程为 ________ km；若把它行驶的路程 s（单位：km）表示为时间 t（单位：h，0 ≤ t ≤ 3）的函数，则当 1 < t ≤ 3 时，s = ________。 10. 某商店销售一种商品，进价为每件 20 元，售价为 x 元/件，每天可卖出 (100 − 2x) 件，且每天至少能卖出 20 件。则 x 的取值范围是 ________；若每天利润为 P 元，则 P = ________。 三、解答题（共 50 分） 11.（14 分）某商店销售一种进价为每件 30 元的商品，当售价为每件 50 元时，每天可卖出 200 件；售价每提高 1 元，每天少卖出 5 件。设售价为每件 x 元，且 50 ≤ x ≤ 60。 （1）求每天销售量 y（件）关于 x 的函数解析式； （2）求每天利润 P（元）关于 x 的函数解析式； （3）售价定为每件多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？ 12.（16 分）某公司员工的月工资 y（元）与月销售量 x（件）满足下面的关系：当 0 ≤ x ≤ 100 时，y = 2000；当 x > 100 时，y = 2000 + 20(x − 100)。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式，并说明这是一个什么函数； （2）若某员工某月的销售量为 260 件，求他这个月的工资； （3）若某员工某月的工资为 5600 元，求他这个月的销售量。 13.（20 分）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本 30 万元，每生产 1 千件产品需再投入 5 万元。市场对这种产品的年需求量为 6 千件。当产品的销售量为 x（千件）时，销售所得的收入为 R(x) 万元，且 R(x) = 19x − （0 ≤ x ≤ 6）；R(x) = 78（x > 6）。 （1）求该公司的年利润 L(x)（万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 参考答案与解析 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B B B C 解析 1：B A 项把建模看成只写解析式，漏掉了取值的实际限制与最后的检验；C 项把一次函数模型的用途限死了——成本、收入、利润、计费都用得上；D 项恰恰说反了，分段函数各段的定义域不能重叠，否则同一个 x 会算出两个函数值。B 项正确：自变量的取值范围由实际意义决定，比如件数取正整数。 解析 2：A 每天利润 = 每件利润 × 每天销量。每件利润是（x − 30）元，销量是（−2x + 180）件，所以 w = (x − 30)(−2x + 180) = −2 + 240x − 5400。B 项漏掉了 180x 那一项；C 项把常数项整个丢了；D 项只算出了 −30 × (−2x) = 60x，漏掉了 x × 180 = 180x。 解析 3：B 设产量为 x 件，总利润 L(x) = 0.5x − (300 + 0.2x) = 0.3x − 300。不亏本即 L(x) ≥ 0，解得 x ≥ 1000，所以选 B。A 项只拿固定成本除以售价（300 ÷ 0.5 = 600），把可变成本整个丢了；C 项只拿固定成本除以每件可变成本（300 ÷ 0.2 = 1500），压根没用上售价；D 项把「不亏本」当成了「要把 300 万元赚回来」，多扣了一次固定成本（0.3x − 300 ≥ 300），得 x ≥ 2000。三个错项各自漏了一样东西，都算得出。 解析 4：B 周长 24 m，所以相邻两边之和是 12 m。设一边长为 x m，另一边为（12 − x）m，面积 S = x(12 − x) = − + 36，当 x = 6 时 S 最大，为 36 ，此时矩形是边长 6 m 的正方形。A、C 两项对应的面积都是 32 （一边长 4 m 与 8 m 时面积相同，这正是对称轴在起作用的缘故），D 项对应的是 0 （12 m 是周长的一半，另一边长为 0），都不是最大。 解析 5：B 7 小时 20 分钟不足 8 小时，按 8 小时计。前 3 小时收费 5 元；超过 3 小时的部分是 8 − 3 = 5 小时，每小时加收 3 元，共 5 × 3 = 15 元。所以应交 5 + 15 = 20 元，选 B。A 项忽略了「不足 1 小时按 1 小时计」，按 7 小时整算得 5 + 3 × 4 = 17；C 项把前 3 小时也算进了加收部分，得 5 + 3 × 6 = 23；D 项把每一小时都按加收 3 元算，得 5 + 3 × 8 = 29。 解析 6：C 这个二次函数的对称轴是 x = 30，开口向下，而 x 只能在 25 到 28 之间取值，整段区间都在对称轴的左边，所以 w 随 x 增大而增大，x = 28 时取最大值：w = −2 × 4 + 800 = 792（元），选 C。D 项 800 是顶点处的值，可是 x = 30 不在 25 ≤ x ≤ 28 内，取不到；A 项 750 是 x = 25 时的函数值，B 项 782 是 x = 27 时的函数值，都是区间内偏小的值。 二、填空题答案 7. 600 不亏本就是总收入不小于总成本，即 6x ≥ 4x + 1200，解得 x ≥ 600。因为 x 是日产量，取正整数，所以最低日产量是 600 件。 8. 5；3 把 t = 2、h = 20 代入 h = k，得 20 = 4k，所以 k = 5。再把 h = 45 代入，得 45 = 5，即 。因为 t 是时间，t 必须为正，所以 t = 3。 9. 220；s = 80t − 20 总路程 = 60 × 1 + 80 × 2 = 220（km）。当 1 < t ≤ 3 时，前 1 小时已经走了 60 km，之后又以 80 km/h 走了（t − 1）h，所以 s = 60 + 80(t − 1) = 80t − 20。 10. 20 < x ≤ 40；P = −2 + 140x − 2000 每天至少卖出 20 件，即 100 − 2x ≥ 20，解得 x ≤ 40；又售价必须高于进价才有利润，所以 x > 20。故 20 < x ≤ 40。每天利润 P = (x − 20)(100 − 2x) = −2 + 140x − 2000。 三、解答题答案 11.（14 分） （1）售价提高（x − 50）元，每天就少卖出 5(x − 50) 件，所以 y = 200 − 5(x − 50) = −5x + 450（50 ≤ x ≤ 60）。 （2）每件利润是（x − 30）元，每天利润 = 每件利润 × 每天销量，所以 P = (x − 30)(−5x + 450) = −5 + 600x − 13500（50 ≤ x ≤ 60）。 （3）配方得 P = 。对称轴是 x = 60，正好落在区间的右端点；抛物线开口向下，所以在 [50, 60] 上 P 随 x 增大而增大。 因此 x = 60 时 P 取最大值，P = −5 × 0 + 4500 = 4500（元）。所以售价定为每件 60 元时每天利润最大，最大利润是 4500 元。 12.（16 分） （1）y 关于 x 的函数解析式为 y = 2000（0 ≤ x ≤ 100）；y = 20x（x > 100）。 因为当 x > 100 时，2000 + 20(x − 100) = 20x。这是一个分段函数，分界点是 x = 100，两段上分别用不同的式子。 （2）260 > 100，所以代入第二段：y = 20 × 260 = 5200（元）。即他这个月的工资是 5200 元。 （3）若 x ≤ 100，则 y = 2000，不可能等于 5600，所以 x > 100。由 20x = 5600 得 x = 280，而 280 > 100，符合前提。所以他这个月的销售量是 280 件。 13.（20 分） （1）年成本为 30 + 5x（万元），年利润 = 年收入 − 年成本。 当 0 ≤ x ≤ 6 时，产品全部售出， L(x) = 19x − − (30 + 5x) = ； 当 x > 6 时，产品只能售出 6 千件，年收入为 78 万元， L(x) = 78 − (30 + 5x) = 48 − 5x。 所以 L(x) = − + 14x − 30（0 ≤ x ≤ 6）；L(x) = 48 − 5x（x > 6）。 （2）当 0 ≤ x ≤ 6 时，L(x) = − + 19。对称轴是 x = 7，在区间的右侧；抛物线开口向下，所以 L(x) 在 [0, 6] 上单调递增，x = 6 时取最大值：L(6) = −36 + 84 − 30 = 18（万元）。 当 x > 6 时，L(x) = 48 − 5x 随 x 增大而减小，所以 L(x) < 48 − 30 = 18（万元）。 比较两段可知，年产量为 6 千件时年利润最大，最大年利润为 18 万元。 学科网（北京）股份有限公司 $